1、全国自考公共课线性代数（经管类）模拟试卷 16 及答案与解析一、单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1 设 A，B 为 n 阶方阵，则下列各式一定成立的是 ( )（A）(A+B) 2=A2+2AB+B2（B） (A+B)2=A2+AB+BA+B2（C） (A+B)(A-B)=A-B2（D）(A-B)(A+B)=A 2 一 B22 设 A 为 n 阶方阵，E 为 n 阶单位矩阵，若 A2=E，则一定有 ( )（A）r(A-E)=0（B） r(A+E)=0（C） r(A)=n（D）r(A)n3 下列矩阵中不是初等方阵的
2、是 ( )4 非齐次线性方程组 Ax= 中，A 和增广矩阵 A 的秩都等于 4，A 是 4 6 矩阵，则( )（A）无法确定方程组是否有解（B）方程组无解（C）方程组有无穷多组解（D）方程组有惟一组解5 下列命题正确的是 ( )（A）Ax=b 有无穷多解，则 Ax=0 仅有零解（B） Ax=b 有无穷多解，则 Ax=0 有非零解（C） Ax=0 有非零解，则 Ax=b 有无穷多解（D）Ax=0 仅有零解，则 Ax=b 有唯一解二、填空题请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。6 设 3 阶方阵 A=(1， 2， 3)，其中 i(i=1，2，3)为 A 的列向量，若|B|=|1+22，
3、 2+33， 3|=8，则|A|=_7 已知四阶行列式 D 的第一行元素依次为 1，3， 0，一 2，第三行元素对应的代数余子式依次为 8，k，一 7，10，则 k=_8 3 阶方阵 A 的行列式|A|=一 3，则|一 2A|=_9 设 A 为三阶可逆阵， ，则 A*=_10 设 2 阶实对称矩阵 A 的两个特征值分别为一 2，一 3，则矩阵为_定矩阵，|A|=_，多项式 f(x)=x2 一 1，则|f(A)|=_11 设 A 为 3 阶方阵，|A|=3，则其行列式|3A|=_12 齐次线性方程组13 设 A，B 都为 n 阶对称矩阵，则 AB 也为对称矩阵的充要条件为_14 设 ，=一 2-
4、，则 + 一 3=_15 若矩阵 则二次型 xTAx=_三、计算题16 计算行列式17 已知 先用初等行变换化为行最简形，再用初等列变换将其化为等价标准形18 求矩阵 的秩和列向量组的极大无关组，并用其表示向量组中其余向量19 已知向量组 1=(1，一 1，2，4) T， 2=(0，3，1，2) T， 3=(3，0，7，14)T， 4=(1，一 2，2，0) T， 5=(2，1，5，10) T求此向量组的一个极大无关组，并把其余向量用该极大无关组线性表出20 已知矩阵 相似，求 x，y21 设 求一个正交矩阵 P，使得 p-1AP 为对角矩阵22 已知二次型 f(x1，x 2，x 3)=2x1
5、2+2x22+ax32+2x2x3 的矩阵 A 的一个特征值为 1，求a 的值并写出该二次型的标准形四、证明题23 设 A，B 为 n 阶方阵，试证明：全国自考公共课线性代数（经管类）模拟试卷 16 答案与解析一、单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1 【正确答案】 B【试题解析】 矩阵乘法不满足交换律2 【正确答案】 C【试题解析】 由(AE)(A+E)=O 得 A2=E，由于 A2=E，故|A 2|=|A|2=1，|A|0 ，A可逆，所以 r(A)=n3 【正确答案】 C【试题解析】 初等方阵即由单位矩阵 E
6、经过一次初等变换得到的矩阵4 【正确答案】 C【试题解析】 由于方程组的系数矩阵和增广矩阵的秩相同，方程组必有解。又因为方程组的未知数个数等于 6，而系数阵的秩等于 4，因此方程组有无穷多组解5 【正确答案】 B【试题解析】 齐次方程 Ax=0 一定有解，而非齐次方程 Ax=b 不一定有解，因此C 和 D 都不一定成立Ax=b 有无穷多解，Ax=0 有非零解，故选 B.二、填空题请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。6 【正确答案】 8【试题解析】 |B|=| 1+22， 2+33， 3|=|1+22， 2， 3|=|1， 2， 3|=|A|=87 【正确答案】 4【试题解析】 根
7、据代数余子性质 8+3k 一 20=0 得 k=48 【正确答案】 24【试题解析】 |一 2A|=(一 2)3.|A|=一 8(-3)=249 【正确答案】 【试题解析】 10 【正确答案】 负，6，24【试题解析】 由于 A 的两特征值一 2，一 3 均小于 0，则 A 为负定矩阵|A|=一2(一 3)=6f(A)的特征值 f(一 2)=3,f(一 3)=8，则|f(A)|=38=2411 【正确答案】 3 4【试题解析】 |3A|=3 3.|A|=3412 【正确答案】 k(3，一 2，1) T，其中 k 为任意常数【试题解析】 原方程 以 z 为自由变量，基础解系为(3，一 2，1)
8、T，则 =k(3，一 2，1) T，k 为常数13 【正确答案】 AB=BA【试题解析】 A，B 为 n 阶对称矩阵，则 AT=A，B T=B，因为 AB 也是对称矩阵(AB) T=BTAT=BA=AB，故 A，B 都为 n 阶对称矩阵，则 AB 也为对称矩阵的充要条件为 AB=BA.14 【正确答案】 【试题解析】 15 【正确答案】 x 12+2x22+5x32+2x1x24x2x3【试题解析】 因为 所以由二次型的定义可知 f(x)=x12+2x22+5x32+2x1x24x2x3三、计算题16 【正确答案】 17 【正确答案】 A 的行最简形和其等价标准形都是18 【正确答案】 设 A
9、=(1， 2， 3， 4)，( 1， 2， 3， 4)=所以 r(A)=3， 1， 2， 3 为向量组的一个极大无关组，且 4=1 一 2+319 【正确答案】 ( 1， 2， 3， 4， 5)=所以 1,2， 4 是一个极大线性无关组，且 5=21+2+04， 3=31+2+0420 【正确答案】 由于 A，A 相似，所以它们的行列式和迹相同，即21 【正确答案】 矩阵的特征多项式为得 A 的特征值为1=1， 2=2， 3=5对于特征值 1=1，求解方程组(E A)x=0，得到一个特征向量对于特征值 2=2，求解方程组(2EA)x=0，得到一个特征向量对于特征值 3=5，求解方程组(5EA)x=0，得到一个特征向量因为特征值不相等，则 1， 2， 3 正交，将 1， 2， 3 单位化得令 P=(p1,p2，p 3)= 则有 P-1AP=22 【正确答案】 由于二次型 f 的矩阵 A= 1 是 A 的特征值，所以|EA|=2 一 a=0，a=2所以 f(x1，x 2，x 3)=2x12+2x22+2x32+2x2x3则二次型 f(x1，x 2，x 3)的标准形为四、证明题23 【正确答案】 证明：由于 两边取行列式得
