1、专升本（高等数学二）模拟试卷 83 及答案与解析一、选择题1 下列极限不正确的是 ( )2 若 = f(x0)，则 k= ( )（A）1（B） 3（C）（D）任意实数3 设 f(x)= (x0)在 x=0 处连续，且 f(0)= ，则 a= ( )（A）2（B） 2（C）（D）4 = ( )（A）0（B）（C）（D）15 设 f(x)=x3sinx，则 f( )= ( )（A） 2（B）（C）（D）26 函数 y=ex 在定义域内单调 ( )（A）增加且是凸的（B）增加且是凹的（C）减少且是凸的（D）减少且是凹的7 设 f(cosx)=sinx，则 f(cosx)= ( )（A）一 cosx+
2、C（B） cosxC（C） +C（D） (2sin2xx)+C8 04f(x)dx=sin2，则 02xf(x2)dx= ( )（A）sin2（B） 2sin2（C） sin2（D）9 若事件 A 与 B 互斥，且 P(A)=05，P(AB)=08，则 P(B)等于 ( )（A）03（B） 04（C） 02（D）0110 设 100 件产品中有次品 4 件，从中任取 5 件产品，不可能的事件是 ( )（A）“5 件都是正品 ”（B） “5 件都是次品”（C） “至少有一件是次品”（D）“至少有一件是正品”二、填空题11 设 f(x)= 在 x=0 处连续，则 k=_12 设 =e，则 k=_1
3、3 =_14 设 Y=x(x+1)(x+3)(x+5)(x+7)+x10+e10，则 y(10)=_15 设 y=x +ln(x+ )，则 y=_16 设函数 y=3-x2，则其单调递增区间为_17 若 11(xsin4x+2ax )dx= ，则 a=_18 曲线 y= x44x 22x 与 x 轴所围成的图形的面积 A=_19 设 z=x(lnx+lny)，则 =_。20 从 0，1，2，3，4，5 共六个数字中，任取 3 个数组成数字不重复的 3 位奇数的概率是_21 若 =5，求 a，b22 求由方程 siny+xey=0 确定的曲线在点(0，) 处的切线方程23 计算 24 求曲线 上
4、对应于 t= 点处的法线方程25 计算 26 设函数 y=y(x)是由方程 cos(xy)=x+y 所确定的隐函数，求函数曲线 y=y(x)过点(0，1)的切线方程27 求函数 f(x，y)=x 2+xy+y2 一 3x 一 6y 的极值28 做一个如图所示的角铁架子，其底为等腰三角形，底边长为 6m，架子总长为5m，试求所用角铁为最少时，三根角铁的长度各为多少 ? 专升本（高等数学二）模拟试卷 83 答案与解析一、选择题1 【正确答案】 B【试题解析】 B 项： =e1 ，2 【正确答案】 C【试题解析】 k= 3 【正确答案】 D【试题解析】 f(x)= 在 x=0 连续，4 【正确答案】
5、 B【试题解析】 本题考查重要极限： =15 【正确答案】 C【试题解析】 f (x)=3x2sinx+x3cosx，f ( )= 6 【正确答案】 D【试题解析】 y =一 ex 0，y =ex 0，所以应选 D7 【正确答案】 C【试题解析】 因为 f(cosx)= =sinx，则有 f(cosx)=sinxd(cosx)=一sin2xdx=一 (1-cos2x)dx= sin2x+C8 【正确答案】 C【试题解析】 本题考查的知识点是定积分的概念和定积分的换元积分法，换元时积分的上、下限一定要一起换因为 04f(x)dx=sin2 更广义的理解应为 04f()d=sin2，所以 02xf
6、(x2)dx= 02f(x2)d(x2) 04f()d= sin29 【正确答案】 A【试题解析】 利用加法公式 P(AB)=P(A)+P(B)一 P(AB)，已知条件 AB= ，所以 P(B)=0805=0310 【正确答案】 B【试题解析】 本题考查的知识点是不可能事件的概念，不可能事件是指在一次试验中不可能发生的事件，由于只有 4 件次品，所以一次取出 5 件都是次品是根本不可能的二、填空题11 【正确答案】 1【试题解析】 由连续的三要素及 f(00)=1=f(0+0)=f(0)，得 k=112 【正确答案】 2【试题解析】 =e，且 =e，k=213 【正确答案】 【试题解析】 14
7、 【正确答案】 10！【试题解析】 注意到五项连乘积是 x 的 5 次多项式，因此它的 10 阶导数为零，不必逐项计算15 【正确答案】 【试题解析】 y=216 【正确答案】 (一，0【试题解析】 若 y=3x2 ln3(一 2x)0，则 x0，则其单调递增区间为(一，017 【正确答案】 【试题解析】 被积函数中的 xsin4x 是奇函数，而 2ax 是偶函数，则有所以 a= 18 【正确答案】 【试题解析】 曲线 y=一 x3+x2+2x 的图形如图， 它与x 轴围成的图形面积为 S=一 1 0(一 x3+x2+2x)dx+02(一 x3+x2+2x)dx19 【正确答案】 【试题解析】
8、 =lnxlny+1，20 【正确答案】 048【试题解析】 样本空间的样本点总数为 C51C51C41=100奇数的个数：个位数的取法有 C31 种，百位数的取法有 C41 种(除去 0，只有 4 个数可当成百位数字)，十位数的取法有 C41 种，依次完成，所以 3 位奇数的个数是 C31C 41C 41=48，其概率为 P= =04821 【正确答案】 解若 =5，则当 x2 时,x 2+ax+b 与 x 一 2为同阶无穷小量，令 x2+ax+b=(x 一 2)(x+k)， ()则 (x+k)=5，此时 k=3，代入()式得 x2+axb=(x 一 2)(x+3)，即 x 2ax+b=x
9、2 x 一 6，所以 a=1，b=一 6【试题解析】 本题关键在于根据同阶无穷小量的定义，将 x2+ax+b 写成两个一次式的乘积，使得两个未知数 a，b 变为一个 k，解答就简便了22 【正确答案】 解 方程两边对 x 求导得 cosyy +ey+xe yy =0，得 y =，所以 =e，故所求切线方程为 y 一 =e(x 一 0)，即 e xy+=0【试题解析】 本题主要考查如伺求切线方程已知切线过足点，只需求出凼数在该点的导数值，即得切线的斜率，代入直线方程，进而求得切线方程23 【正确答案】 【试题解析】 通过换元法去根号，使被积函数有理化，注意积分后要进行反换元，即将式中的 t 用
10、换回24 【正确答案】 解注意到【试题解析】 本题中出现了以 t 为参变量的参数方程，求 y可以分别将 y 和 x 看作 t 的函数，对 t 求导，再求出 25 【正确答案】 【试题解析】 这是变上限定积分的问题，用洛必达法则与变上限积分的导数来求解26 【正确答案】 解 解法一 直接求导法 等式两边对 x 求导得一 sin(xy)(y+xy )=1+y，解得 y= 解法二 公式法 设 F(x，y)=cos(xy)一 xy， =一 sin(xy)y 一 1， =sin(xy)x 一 1，所以解法三 微分法 等式两边求微分得dcos(xy)=d(x+y)，一 sin(xy)(ydx+xdy)=d
11、x+dy，一1+xsin(xy)dy=1+ysin(xy)【试题解析】 本题是一道典型的综合题，考查的知识点是隐函数的求导计算和切线方程的求法，本题的关键是由已知方程求出 y，此时的 y中通常含有 x 和 y，因此需由原方程求出当 x=0 时的 y 值，继而得到 y的值，再写出过点(0，1)的切线方程，计算隐函数 y(x)的导数，通常有三种方法：直接求导法(此时方程中的 y 是 x的函数)、公式法( 隐函数的求导公式)和微分法( 等式两边求微分)27 【正确答案】 解 令 得驻点P(0，3)，在点 P(0，3)，A=f xx(0，3)=2，B=f xy(0，3)=1，C=f yy(0，3)=2
12、 ，B 2 一AC=14=一 30，而 A=20，从而函数 f(x，y)在点 P(0，3)有极小值 f(0，3)=一 9【试题解析】 二元函数无条件极值的求解步骤为：(1)先求驻点 Mi，即的解(x i,yi)；(2) 求在驻点 Mi 处的 A=fxx(Mi)，B=f xy(Mi)，C=f yy(Mi)，确定 B2 一 AC 的符号；(3)判定：若 B2 一 AC0，且 A0(A 0)，则 z=f(xi，y i)为极大(极小)值28 【正确答案】 解 设等腰三角形的高为 h，则 BD=DC= ，三根角铁的总长 l=5 一 h+2 ，l 2=1 =0，得 4h2=h2+9，解得 h=m，由于只有唯一的驻点，所以 h= m 时，所用角铁为最少，此时三根角铁的长度分别为 BD= 【试题解析】 这是应用题中的最值问题，首先要列出函数关系式，再求其在已知条件下的最值
