1、考研数学三（微积分）历年真题试卷汇编 6 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 (92 年 )设 F() ，其中 f()为连续函数， F()等于 【 】（A）a 2（B） a2f(a)（C） 0（D）不存在2 (93 年 )设 f()为连续函数，且 F() f(t)dt，则 F()等于 【 】（A）（B）（C）（D）3 (95 年 )下列广义积分发散的是 【 】（A）（B）（C）（D）4 (97 年 )设 f() ，则当 0 时，f()是 g()的 【 】（A）低阶无穷小（B）高阶无穷小（C）等价无穷小（D）同阶但不等价的无穷小5 (99 年 )设 f(
2、)是连续函数，F()是 f()的原函数，则 【 】（A）当 f()是奇函数时， F()必是偶函数（B）当 f()是偶函数时，F()必为奇函数（C）当 f()是周期函数时，F()必为周期函数（D）当 f()是单调增函数时， F()必为单调增函数6 (01 年 )设 g() 0f(u)du，其中 则 g()在区间 (0，2)内 【 】（A）无界（B）递减（C）不连续（D）连续二、填空题7 (90 年 )曲线 y 2 与直线 y2 所围成的平面图形面积为 _8 (94 年 ) _9 (95 年 )设 f(ln)1，则 f()_10 (96 年) 设f()darcsinC，则 _11 (97 年) 若
3、 f() ，则 01f()d_12 (98 年) _13 (99 年) 设 f()有一个原函数 ，则 _14 (00 年) _三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 (90 年) 求函数 I() 在区间e，e 2上的最大值16 (91 年) 假设曲线 L1：y 1 2(01)与 轴和 y 轴所围区域被曲线 L2：ya 2分为面积相等的两部分其中 a 是大于零的常数，试确定 a 的值17 (92 年) 计算 I18 (92 年) 设曲线 ye (0) (1)把曲线 ye ， 轴，y 轴和直线 (0) 所围成平面图形绕 轴旋转一周，得一旋转体，求此旋转体体积 V()；求满足 V(a
4、)V()的 a (2)在此曲线上找一点，使过该点的切线与两个坐标轴所夹平面图形的面积最大，并求出该面积19 (93 年) 已知 ，求常数 a 的值20 (94 年) 设函数 f()可导，且 f(0)0，F(0) 0(nt n)dt，求 21 (94 年) 已知曲线 ya (a0)与曲线 yIn 在点( 0，y 0)处有公共切线求 (1)常数 a 及切点( 0，y 0)； (2)两曲线与 轴围成的平面图形绕 轴旋转所得旋转体体积 V22 (95 年) 设 f() 试讨论 f()在 0 处的连续性和可导性23 (95 年) 设 f()、g()在区间a，a(a0)上连续g()为偶函数，且 f()满足
5、条件f()f()A(A 为常数) (1)证明 -aaf()g()dA 0ag()d (2)利用(1)的结论计算定积分 sinarctane d24 (96 年) 计算25 (96 年) 设 f()在区间0，1上可微，且满足条件 f(1) f()d，试证：存在(0， 1)，使 f()f() 026 (97 年) 设函数 f()在0，)上连续单调不减且 f(0)0试证函数 在0， )上连续且单调不减(其中 n0)27 (99 年) 设函数 f()连续，且 0tf(2t)dt arctan2，已知 f(1)1，求 12f()d的值28 (00 年) 设 In sinncosd，n0，1，2， ，求2
6、9 (00 年) 设函数 f()在0，上连续，且 0f()d0， 0f()cosd0试证明：在(0，) 内至少存在两个不同的点 1， 2，使 f(1)f( 2)0考研数学三（微积分）历年真题试卷汇编 6 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 则 A、C、D 均不正确，故应选 B【知识模块】 微积分2 【正确答案】 A【试题解析】 由公式 f()()f()() 知【知识模块】 微积分3 【正确答案】 A【试题解析】 由于 10，根据极限审敛法知 发散【知识模块】 微积分4 【正确答案】 B【试题解析】 则 f()是 f()的高阶
7、无穷小【知识模块】 微积分5 【正确答案】 A【试题解析】 排除法选项 B、C、D 分别举反例如下 B 的反例：f()cos，F()sin1 不是奇函数 C 的反例：f()cos1，F() sin 不是周期函数 D 的反例：f()，F() 2 不是单调增的【知识模块】 微积分6 【正确答案】 D【试题解析】 则 g()在(0，2) 内联系，应选 D【知识模块】 微积分二、填空题7 【正确答案】 【试题解析】 令 22 解得 1 和 2，则所求面积为 S -12(2 2)d【知识模块】 微积分8 【正确答案】 ln3【试题解析】 原式 ln6ln2 ln3【知识模块】 微积分9 【正确答案】 e
8、 C【试题解析】 在 f(ln)1 中令 lnt，则 f(t)1e t 从而 f(t)(1e)dtte tC【知识模块】 微积分10 【正确答案】 【试题解析】 由 f()(arcsin) 则 故【知识模块】 微积分11 【正确答案】 【试题解析】 等式 f() 两边从 0 到 1 作定积分得 从而有 01f()d 【知识模块】 微积分12 【正确答案】 【试题解析】 由于 ，因此【知识模块】 微积分13 【正确答案】 1【试题解析】 由于 f()有一个原函数为 ，则【知识模块】 微积分14 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15
9、 【正确答案】 I() 0 e，e 2 则 I()在e，e 2上单调增则最大值为I(e2)【知识模块】 微积分16 【正确答案】 由 S1S 2 知 解得 a3【知识模块】 微积分17 【正确答案】 【知识模块】 微积分18 【正确答案】 由 (2)设切点为(a ，e -2a)，则切线方程为 ye -ae -a( a) 令 0 得 y(1 a)e -a，令 y0，得 1a ，则切线与坐标轴夹的面积为 S (1a) 2e-a S(1a)e -a (1a) 2e-a (1a 2)-a 令 S0，得a11，a 21，其中 a2 应舍去 由于当 a1 时， S0；当 a1 时，S0，故当 a1 时，面
10、积 S 有极大值，即最大值，则所求切点为(1，e -1)，最大面积为 S【知识模块】 微积分19 【正确答案】 a 42e-2d2 a 2de-22 2e-2 a 4 a e-2d 2a 2e-2a2ae -2ae -2a 于是由 e-2a2a 2e-2a2ae -2ae -2a 得 a0 或 a1【知识模块】 微积分20 【正确答案】 令 nt nu，则 F() 0tn-1f(nt n)dt f(u)du F() n-1f(n)【知识模块】 微积分21 【正确答案】 (1)由 y 知 y ；由 yln 知，y 由于两曲线在( 0，y 0)点处有公切线，可见 将 0 分别代入两曲线方程，有 y
11、0于是 从而切点为(e 2，1) (2)旋转体体积为【知识模块】 微积分22 【正确答案】 则 f(00)f(0 0)f(0)，故 f()在 0 处连续 即f+(0)f -(0)，则 f()在 0 处可导【知识模块】 微积分23 【正确答案】 由于 -aaf()g()d -a0f()g()d 0af()g()d 又()g()d f(t)g(t)dtf(t)g(t)dt 0af()g()d 所以 -aaf()g()d 0af()f()g()dA 0ag()d (2)取 f()arctane ，g()sin，a f()f()arctane arctane 由于(arctane arctane )
12、0 则arctanearctane A 令 0，得 2arctan1A，A 即 f()f() 于是有【知识模块】 微积分24 【正确答案】 【知识模块】 微积分25 【正确答案】 令 ()f() ，由积分中值定理可知，存在 (0， ) 使 由已知条件，有 由于 (1)f(1)() 并且 ()在 ，1 上连续，在( ，1)上可导，故由罗尔定理可知，存在 (，1) (0，1)，使得 ()0 即 f()f()0【知识模块】 微积分26 【正确答案】 由题意得： 可见，F()在0，)上单调不减【知识模块】 微积分27 【正确答案】 令 u2t， 则 0tf(2t)dt 2(2u)f(u)du2 2f(
13、u)du 2uf(u)du 于是 2 2f(u)du 2uf(u)du arctan2 上式两边对 求导得 22f(u)du22f(2)f()2f(a).2f() 即 212f(u)du f() 令1 得 2f(u)du 于是f()d 【知识模块】 微积分28 【正确答案】 有 令 S() ，则其收敛半径 R1，在(1，1)内有于是 S() ln1 令 (1，1)，则 从而【知识模块】 微积分29 【正确答案】 令 F()f(t)dt，0 则有 F(0)0，F()0，又因为 0 0f()cosd 0cosdF()F()cos 0 0F()sind 0F()sind 所以存在 (0，) ，使 F()sin0，因若不然，则在(0，) 内或 F()sin 恒为正，或 F()sin 恒为负，均与 0F()sind0 矛盾但当 (0，) 时，sin0 ，故 F()0 由以上证得F(0)F()F()0 (0) 再对 F()在区间0， ，上分别用罗尔中值定理知至少存在 1(0，)， 2(，)，使 F( 1)F( 2)0， 即 f(1)f( 2)0【知识模块】 微积分
