1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 167 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设函数 f(x)在x 内有定义且f(x)x 2，则 f(x)在 x=0 处( )（A）不连续（B）连续但不可微（C）可微且 f(0)=0（D）可微但 f(0)02 设 an0(n=1，2，)且 ( )（A）绝对收敛（B）条件收敛（C）发散（D）敛散性与 k 有关3 下列说法正确的是( ) 4 设 F(x)=xx2 esintsintdt，则 F(x)( )（A）为正常数（B）为负常数（C）为零（D）取值与 x 有关二、填空题5 =_6 =_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程
2、或演算步骤。7 求 8 确定常数 a，b，c 的值，使得当 x0 时，e x(1+bx+cx2)=1+ax+o(x3)9 设 f(x)在 x=a 处二阶可导，证明： =f(a)10 设 f(x)在0，上连续，在(0，)内可导，证明：至少存在一点 (0，)，使得f()=一 f()cot11 求 12 求 13 设 f(x)连续，证明： 0x0tf(u)dudt=0xf(t)(xt)dt14 求经过平面 1，x+y+1=0 与 2：x+2y 2z=0 的交线，且与平面 3：2xyz=0垂直的平面方程15 设 z= f(t，e t)dt，f 有一阶连续的偏导数，求 16 设 D 是由点 O(0，0)
3、 ，A(1 ，2)及 B(2，1)为顶点构成的三角形区域，计算xdxdy17 计算 位于 z=2 下方的部分18 求幂级数 的和函数19 求微分方程 xy(1 一 x)y=e2x(x0)的满足 y(x)=1 的特解20 求函数 y= 的反函数21 设 f(x)在0，1上二阶可导，且 f(0)=f(0)=f(1)=f(1)=0证明：方程 f(x)一 f(x)=0在(0， 1)内有根22 设 f(x)在区间a，b上二阶可导且 f(x)0证明： 22 设曲面： 及平面 ：2x+2yz+5=0 23 求曲面上与 平行的切平面方程；24 求曲面与平面 的最短和最长距离25 设 26 证明：用二重积分证明
4、 0 27 证明：(1)设 an0，且na n有界，则级数 an2 收敛；(2) 收敛28 某湖泊水量为 V，每年排入湖泊中内含污染物 A 的污水量为 ，流入湖泊内不含 A 的水量为 ，流出湖的水量为 ，设 1999 年底湖中 A 的含量为 5m0，超过国家规定指标，为了治理污染，从 2000 年初开始，限定排入湖中含 A 污水的浓度不超过 问至多经过多少年，湖中污染物 A 的含量降到 m0 以内(设湖中A 的浓度是均匀的)?考研数学一（高等数学）模拟试卷 167 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 【知识模块】 高等数学2
5、 【正确答案】 A【试题解析】 【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 D【试题解析】 【知识模块】 高等数学4 【正确答案】 A【试题解析】 由周期函数的平移性质，F(x)= xx2 esintdt= esintsintdt，再由对称区间积分性质得 F(x)=0(esintsint 一 esint sint)dt=0(esint 一 esint )sintdt，又(e sint 一esint )sint 连续、非负、不恒为零，所以 F(x)0，选(A)【知识模块】 高等数学二、填空题5 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学三
6、、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。7 【正确答案】 【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 【知识模块】 高等数学9 【正确答案】 【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 令 (x)=f(x)sinx，(0)=()=0， 由罗尔定理，存在 (0，)，使得 ()=0， 而 (x)=f(x)sinx+f(x)cosx， 于是 f()sin+f()cos=0，故 f()=一 f()cot【知识模块】 高等数学11 【正确答案】 【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 方法一令 F(x)=0xf(t)dt，则 F(x)=f(x)，于是 0x0
7、tf()ddt=0xF(t)dt， 0xf(t)(x t)dt=x0xf(t)dt0xtf(t)dt=xF(x)一 0xtdF(t)=xF(x)一 tF(t) 0x+0xF(t)dt=0xF(t)dt命题得证方法二因为 0x0tf()ddt=0xf()d， x0xf(t)dt 0xtf(t)=0xf(t)dt，所以 0x0tf()d 一 0xf(t)(xt)dtC0，取 x=0 得 C0=0，故0x0tf()ddt=0xf(t)(x-t)dt【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 设经过两平面 1， 2 交线的平面方程为 ：x+y+1+(x+2y+2z)=0，即 ：(1+)x+(1+2)y+
8、2z+1=0，因为平面 与平面 3：2xyz=0 垂直，所以有1+，1+2，2 2，一 1，一 1=0，即 2+212 一 2=0，解得 =，所求平面方程为 ： x+2y+z+1=0【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 将区域向 x 轴投影，【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 曲面在 xOy 平面上的投影区域为 Dxy：x 2+y24，【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 令 (x)=ex f(x)+f(x) 因为
9、 (0)=(1)=0，所以由罗尔定理，存在 c(0，1)使得 (c)=0， 而 (x)=ex f(x)一 f(x)且 ex 0，所以方程 f(c)一 f(c)=0 在(0，1) 内有根【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 【知识模块】 高等数学【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 设切点为 M0(x0，y 0，z 0)，令 F(x，y，2)= ，【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 【知识模块】 高等数学26 【正确答案】 令 D1= (x，y)x 2+y2R2，x0，y0，S=(x，y)0xR ，0yR，D 2=(x，y)x 2y 22R2，x0，y0【知识模块】 高等数学27 【正确答案】 (1)因为na n有界，所以存在 M0，使得 0na nM，即0a n2 ，而级数 收敛(2)【知识模块】 高等数学28 【正确答案】 【知识模块】 高等数学
