1、考研数学（数学一）模拟试卷 357 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 ，其中 c1，c 2，c 3，c 4 为任意常数，则下列向量组线性相关的为（A） 1， 2， 3（B） 1， 2， 4（C） 1， 3， 4（D） 2， 3， 42 3 4 5 6 7 下列各式中正确的是( ) （A） （B） （C） （D） 8 二、填空题9 假设一设备开机后无故障工作的时间 X 服从指数分布，平均无故障工作的时间(EX)为 5 小时设备定时开机，出现故障时自动关机，而在无故障的情况下工作 2小时便关机试求该设备每次开机无故
2、障工作的时间 y 的分布函数 F(y)=_10 11 12 函数 u=xyz2 在条件 x2+y2+z2=4(x0，y0，z0)下的最大值是13 14 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 设函数 y=y(x)往(- ，+)内具有二阶导数，且 y0，x=x(y)是 y=y(x)的反函数15 试将 x=x(y)所满足的微分方程 d2x/dy2+(y+sinx)(dx/dy)3=0 变换为 y=y(x)满足的微分方程；16 求变换后的微分方程满足初始条件 y(0)=0，y(0)=3/2 的解17 18 19 20 设 f(x)= ，其中 g(x)有二阶连续导数，且 g(0)=1，
3、g (0)=-1(I) 求 f(x)；() 讨论 f(x)在(-，+)上的连续性21 22 23 23 (2001 年试题，十) 已知 3 阶矩阵 A 与三维向量 x，使得向量组 x，Ax ，A 2x 线性无关，且满足 A3x=3Ax 一 2A2x24 记 P=(x，Ax ，A 2x)，求 3 阶矩阵 B，使 A=PBP-1；25 计算行列式A+E考研数学（数学一）模拟试卷 357 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【知识模块】 向量2 【正确答案】 D【试题解析】 3 【正确答案】 B【试题解析】 4 【正确答案】 D【试题解析】 5
4、 【正确答案】 B【试题解析】 6 【正确答案】 B【试题解析】 7 【正确答案】 A8 【正确答案】 D【试题解析】 二、填空题9 【正确答案】 【知识模块】 综合10 【正确答案】 【试题解析】 11 【正确答案】 【试题解析】 12 【正确答案】 2.【试题解析】 【分析一】用拉格朗日乘子法求解，令（x,y,z）=xyz 2+(x2+y2+z2-4)，解方程组由，得 y=x, ,代入得 x=1,y=1, .因存在最大值，又驻点唯一，所以最大值为 ，填 2.【分析二】化为简单最值问题。由条件的出 z2=4-x2-y2(02+y22-y2)在区域D=（ x,y）0 2+y2 ，即 得x=1,
5、y=1u(1,1)=2.又 u 在 D 的边界上取零值，因此 ，填 2.13 【正确答案】 2【试题解析】 14 【正确答案】 2【试题解析】 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。【知识模块】 一元函数微分学15 【正确答案】 dx/dy=1/y,d 2x/dy2=(dx/dy)y=(1/y)y=(1/y)x.(dx/dy)=-y“/y3=-y“(dx/dy)3 代人原微分方程，便得常系数的二阶线性微分方程 y“-y=sinx【知识模块】 一元函数微分学16 【正确答案】 特征方程 r2-1=0 的两个根为 r1.2=1；由于 A=ir1.2，则设(*)的特解为 y=acosx+
6、bsinx 代入 (*)求得 a=0，b=-1/2，故 y*=-1/2sinx于是(*)的通解为 y(x)=C1ex+C2e-x-1/2sinx 又由原始条件得 C1=1，C 2=-【知识模块】 一元函数微分学17 【正确答案】 18 【正确答案】 19 【正确答案】 20 【正确答案】 而 f(x)在x0 处是连续函数，所以 f(x)在(- ，+) 上为连续函数关键是在 x=0 处 f(0)的存在性及 f(x)的连续性均应用定义讨论21 【正确答案】 22 【正确答案】 23 【正确答案】 【知识模块】 特征值与特征向量24 【正确答案】 解法 1 依题设，A(x，Ax，A 2x)=(Ax，
7、A 2x，A 3x)=(Ax，A 2x，3Ax 一 2A2x) 即得 因P=(x，Ax，A 2x)可逆，故得 解法 2 由 A3x=3Ax 一 2A2x 知，A(A2x+3Ax)=A2x+3Ax，故 A 有特征值 1，同理得其有三个不同的特征值 1,一3，0，也就有三个线性无关的特征向量，不难看出依次为：A 2x+3Ax，A 2xAx，A 2x+2Ax 一 3x 令 Q=(A2x+3Ax，A 2xAx，A 2x+2Ax 一 3x)，则有故 A=QAQ-1=PCAC-1P-1从而 B=CAC-1 解法 3设 则由 AP=PB 得： 即从而 因为x，Ax，A 2x 线性无关，故可得 a1=a2=a
8、3=b2=c1=0，b 1=c2=1，b 3=3，c 3=一 2，即得解法 4 因为 P=(x，Ax，A 2x)可逆，所以 P-1P=E，即 P-1(x，Ax ，A 2x)=E进而有 故 B=P-1AP=P-1(Ax A2x，A 2x)=P-1(Ax，A 2x，3Ax 一 2A2x)=(P-1Ax，P -1A2x，3P -1Ax 一 2P-1A2x)【知识模块】 特征值与特征向量25 【正确答案】 由(1)知，A 与 B 相似，故 A+E 与 B+E 也相似，则【试题解析】 注意本题的解法技巧，因为 A 是抽象矩阵，直接求其行列式或特征值是困难的，可利用求其相似矩阵的行列式或特征值来达到求原矩阵的行列式或特征值的效果，这种处理技巧值得借鉴此外，应注意由 A3x=3Ax 一 2A2x 得(A2+2A 一 3A)x=0，进而得A 3+2A2 一 3A=0，即A .A 一E A+3E=0 后，不能说 A 的特征值就是 0，1，一 3，只能说明 A 的特征值所组成的集合 c0，1，一 3【知识模块】 特征值与特征向量
