1、2014届山东省东营市高三 4月统一质量检测考试文科数学试卷与答案（带解析） 选择题 已知集合 ，则 ( ) A B C D 答案： 试题分析：因为 ， 所以 ,选 . 考点：集合的运算 ,简单不等式的解法 . 已知 ， 是双曲线 的左，右焦点，若双曲线左支上存在一点 与点 关于直线 对称，则该双曲线的离心率为（ ） A B C D 答案： 试题分析： 即双曲线的一条渐近线方程 .过焦点 且垂直渐近线的直线方程为： ，与 联立，解之可得 故对称中心的点坐标为（ ）； 由中点坐标公式可得对称点的坐标为 ，将其代入双曲线的方程可得 结合 化简可得 ，故 故选 . 考点：双曲线的几何性质，直线方程，
2、两直线的位置关系 . 偶函数 满足 ,且在 时， ，则关于 的方程 在 上的根的个数是 （ ） A 3 B 4 C 5 D 6 答案： 试题分析：由题意可得， .即函数 为周期为 的周期函数，又 是偶函数， 所以，在同一坐标系内，画出函数 ， 的图象，观察它们在区间的交点个数，就是方程 在 上根的个数，结合函数图象的对称性，共有 个交点，故选 . 考点：函数的奇偶性、周期性，函数的图象，函数的零点 . 函数 的部分图像如图所示，则 的式可以是 ( ) A B C D 答案： 试题分析：观察函数的图象可知，该函数应为奇函数，可排除 ； 又函数在 有定义，可排除 ； 而 时，函数值为 ，因此可排除
3、 ； 综上知，选 考点：函数的奇偶性，函数的图象 . 如图所示程序框图中，输出 ( ) A B C D 答案： 试题分析： 不满足 ； 继续执行程序， 不满足 ； 执行程序， 不满足 ； 执行程序， 不满足 ； 执行程序， 不满足 ； 执行程序， 不满足 ； 执行程序， 不满足 ； 执行程序， 不满足 ； 执行程序， 不满足 ； 执行程序， 满足 输出 ； 故选 . 考点：算法与程序框图 已知 ，函数 在 上单调递减则 的取值范围是 （ ） A B C D 答案： 试题分析：由已知，得， 故选 . 考点：正弦型函数，三角函数的图象和性质 . 某种饮料每箱装 5听，其中有 3听合格， 2听不合格
4、，现质检人员从中随机抽取 2听进行检测，则检测出至少有一听不合格饮料的概率是 ( ) A B C D 答案： 试题分析： 从中随机抽取 2听进行检测，总的方法数为 ，检测出至少有一听不合格饮料的方法数为 ，所以，检测出至少有一听不合格饮料的概率是 ， 故选 . 考点：组合问题，古典概型 . 命题 “若 ， ，则 ”的逆否命题是 ( ) A若 ， ，则B若 ， ，则C若 且 ， ，则D若 或 ， ，则答案： 已知 满足约束条件 ，则目标函数 的最大值为 ( ) A B C D 答案： 为虚数单位，则 ( ) A B C D 答案： 试题分析： ，选 . 考点：复数的四则运算 . 填空题 设 分别
5、是 的斜边 上的两个三等分点，已知 ，则 答案： 试题分析：以 为原点，以 所在直线为 轴，建立平面直角坐标系 . 则 又 分别是 的斜边 上的两个三等分点， 所以， . 考点：平面向量的坐标运算 . 已知某几何体的三视图（单位： cm）如图所示，则该几何体的表面积为_ 答案： 试题分析： 该几何体是棱长为 的正方体，截去一角 .截面三角形是边长为的正三角形， 所以，该几何体的表面积为 . 考点：三视图，几何体的表面积 . 已知 三点在球心为 的球面上， ， ，球心 到平面 的距离为 ，则球 的表面积为 _ _ 答案： 试题分析：由已知中 ， ， 所以， 为平面 截球所得截面的直径 ,即 ,
6、. 又 球心到平面 的距离 , 所以 ,球的半径 ,球的表面积 . 考点：球的性质，球的表面积 . 已知等比数列 是递增数列， 是 的前 项和若 是方程的两个根，则 _ 答案： 试题分析：因为等比数列 是递增数列，所以，解方程 ，可得 . 设等比数列 的公比为 ，则 所以 所以， 考点：等比数列 某公司一年购买某种货物 400吨，每次都购买 吨，运费为 4万元 /次，一年的总存储费用为 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则_ _ 吨 答案： 试题分析：每次都购买 吨，则需要购买 次， 运费为 万 /次，一年的总存储费用为 万元， 一年的总运费与总存储费用之和为 + 万元 + ，当且仅
7、当 4 时，取等号， 吨时，一年的总运费与总存储费用之和最小 考点：函数的应用问题，基本不等式的应用 . 解答题 （本小题满分 12分）在 中，角 所对的边为 ，且满足 （ 1）求角 的值； （ 2）若 且 ，求 的取值范围 答案：（ 1） （ 2） . 试题分析：（ 1）利用三角函数的和差倍半公式，将化简为 ， 即可得到 ，根据三角形内角的范围可得 （ 2）根据 ，得到 ， 应用正弦定理可得 ， 将 表示成 根据 ， ， 确定得到 （ 1）由已知 得 3分 化简得 5分 故 6分 （ 2）因为 ，所以 ， 分 由正弦定理 ，得 ， 故分 因为 ，所以 ， ， 10分 所以 12分 考点：三角
8、函数式的化简，三角函数的性质，正弦的应用 . 为了了解调研高一年级新学生的智力水平，某校按 l 0的比例对 700名高一学生按性别分别进行 “智力评分 ”抽样检查，测得 “智力评分 ”的频数分布表如下表 l，表 2 表 1：男生 “智力评分 ”频数分布表 智力评分 频数 2 5 14 13 4 2 表 2：女生 “智力评分 ”频数分布表 智力评分 频数 1 7 12 6 3 1 （ 1）求高一的男生人数并完成下面男生的频率分布直方图； （ 2）估计该校学生 “智力评分 ”在 1 65， 1 80）之间的概率； （ 3）从样本中 “智力评分 ”在 180， 190）的男生中任选 2人，求至少有
9、1人 “智力评分 ”在 185， 190）之间的概率 答案：（ 1）高一的男生人数是 男生的频率分布直方图如图所示： （ 2） P= ； （ 3） . 试题分析：（ 1）样本中男生人数是 ，由抽样比例是 10%可得高一的男生人数是 ， 根据频率分布表可得，男生的频率分布直方图如图所示 . （ 2）根据前表得到样本的容量是 ，计算得到样本中学生 “智力评分 ”在之间的频率为 ， 由 估计学生 “智力评分 ”在 之间的概率是 . （ 3）样本中智力评分 ”在 之间的有 4人，设其编号是 ，样本中“智力评分 ”在 间的男生有 人，设其编号为 ，从中任取 人的结果总数是 共 种， 至少有 1人 “智力
10、评分 ”在 间的有 9种 . （ 1）样本中男生人数是 ，由抽样比例是 10%可得高一的男生人数是 ， 1分 男生的频率分布直方图如图所示 4分 （ 2）由表 1和表 2知，样本中 “智力评分 ”在 中的人数是，样本的容量是 ，所以样本中学生 “智力评分 ”在之间的频率 ， 6分 由 估计学生 “智力评分 ”在 之间的概率是 P= 7分 （ 3）样本中智力评分 ”在 之间的有 4人，设其编号是 ，样本中“智力评分 ”在 间的男生有 人，设其编号为 ，从中任取 人的结果总数是 共 种， 9分 至少有 1人 “智力评分 ”在 间的有 种， 11分 因此所求概率是 12分 考点：古典概型，频率分布表
11、，频率分布图 . 如图甲，在平面四边形 ABCD中，已知 ,，现将四边形 ABCD 沿 BD折起，使平面 ABD 平面 BDC（如图乙），设点 E， F分别为棱 AC， AD的中点 （ 1）求证： DC 平面 ABC； （ 2）设 ，求三棱锥 A-BFE的体积 答案：（ 1）证明：见；（ 2） . 试题分析：（ 1）注意分析折叠前后变化的关系及不变化的关系 .在图甲中可得； 在图乙中，可得 AB CD根据 DC BC，即可得到 DC 平面 ABC （ 2）首先根据 E， F分别为 AC， AD的中点，得到 EF/CD，根据（ 1）知，DC 平面 ABC，得到 EF 平面 ABC，从而得到 在图
12、甲中，根据给定角度及长度，计算 “不变量 ”，得， BD=2 ， BC= ，EF= CD= ， 利用体积公式计算即得所求 解答本题的关键是确定 “垂直关系 ”，这也是难点所在，平时学习中，应特别注意转化意识的培养，等 体积转化的方法，是立体几何中常用方法之一 . （ 1）证明：在图甲中 且 ， 即 1分 在图乙中， 平面 ABD 平面 BDC ， 且平面 ABD平面 BDC BD 4分 又 ， ，且 ， DC 平面 ABC 6分 （ 2）解： ， 7分 又由（ 1）知， DC 平面 ABC， EF 平面 ABC， 8分 所以， 9分 在图甲中， 由 得， ， 10分 ， 11分 12分 考点：
13、平行关系，垂直关系，几何体的体积 . 设数列 为等差数列，且 ， ，数列 的前 项和为 ，且 （ 1）求数列 , 的通项公式； （ 2）若 ,求数列 的前 项和 答案：（ 1） ， ； （ 2） . 试题分析：（ 1）确定数列 为的公差 ， ，即得， 由已知得 ，当 时 ,得 , 两式相减整理得 ，所以 又 ， 得知 是以 为首项， 为公比的等比数列 . （ 2） 利用 “错位相减法 ” 求和 . 解得本题的关键是确定数列的基本特征 . （ 1） 数列 为等差数列，公差 ，易得 ， 所以 2分 由 ，得 ，即 ， 所以 ，又 ，所以 ， 3分 由 ， 当 时 ,得 , 两式相减得： ，即 ，所
14、以 5分 又 ，所以 是以 为首项， 为公比的等比数列，于是6分 （ 2） 7分 9分 两式相减得 11分 所以 12分 考点：等差数列、等比数列的通项公式及其求和公式， “错位相减法 ”. 设 是椭圆 的两点， ，且 ，椭圆离心率 ，短轴长为 2， O 为坐标原点 （ 1）求椭圆方程； （ 2）若存在斜率为 的直线 AB过椭圆的焦点 （ 为半焦距），求 的值； （ 3）试问 的面积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由 答案：（ 1） （ 2） （ 3）三角形的面积为定值 1 试题分析：（ 1）由 解得 （ 2）设 AB方程为 ，由 应用韦达定理 利用建立 方程求解 . （ 3）讨论
15、当的斜率不存在和当 AB斜率存在的情况， 在斜率存在时，设 AB方程为 由 应用韦达定理，利用 ,得到 , 计算三角形的面积为定值 1 （ 1）由 解得 2分 所求椭圆方程为 3分 （ 2）设 AB方程为 ，由 4分 由已知 : 5分 6分 解得 7分 （ 3）当的斜率不存在时，则 ， ，由 得， 又 ，得 ， ， 8分 当 AB斜率存在时，设 AB方程为 由 10分 又 ,即 , 知 , 11分 = = = =1 所以三角形的面积为定值 1 13分 考点：椭圆的几何性质，直线方程，直线与圆锥曲线的位置关系，平面向量的数量积，分类讨论思想 . 设函数 ，其中 ， 为正整数， ， ，均为常数，曲
16、线 在 处的切线方程为 . （ 1）求 ， ， 的值； （ 2）求函数 的最大值； （ 3）证明：对任意的 都有 .（ 为自然对数的底） 答案：（ 1） ;（ 2） ;（ 3）见 . 试题分析：（ 1）在切点处的的函数值 ，就是切线的斜率为 ，可得 ；根据切点适合切线方程、曲线方程，可得， . （ 2）求导数，求驻点，讨论区间函数单调性，确定最值 . （ 3）本小题有多种思路，一是要证对任意的 都有 只需证； 二是令 ，利用导数确定 ， 转化得到 令 ，证明 （ 1）因为 ， 1分 所以 ，又因为切线 的斜率为 ，所以 2分 ，由点（ 1,c）在直线 上，可得 ，即 3分 4分 （ 2）由（ 1）知， ，所以 令 ，解得 ，即 在（ 0， + 上有唯一零点 5分 当 0 时， ，故 在（ ， + 上单调递减； 7分 在（ 0， + 上的最大值 = = = 8分 （ 3）证法 1：要证对任意的 都有 只需证 由（ 2）知在 上 有最大值， = ，故只需证9分 ，即 相关试题 2014届山东省东营市高三 4月统一质量检测考试文科数学试卷（带）
