1、2013届福建省泉州市普通高中毕业班（第二轮）质量检测文科数学试卷与答案（带解析） 选择题 若 是虚数单位，则复数 在复平面内所对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 答案： B 试题分析： ，该复数在复平面内对应的点的坐标为，此点位于第二象限，故复数 在复平面内所对应的点位于第二象限 . 考点：复数的四则运算、复数的几何意义 如图，在棱长为 1的正方体 的对角线 上任取一点 P，以 为球心， 为半径作一个球 .设 ，记该球面与正方体表面的交线的长度和为 ，则函数 的图象最有可能的是（ ） A B C D 答案： B 试题分析：当 ，以 为半径的球面与正方体 的侧面
2、、 以及下底面 均相交，且与侧面 、 以及下底面 的交线均为圆心角为 的圆弧， 即 ，此时函数 是关于自变量 的正比例函数，排除选项 、 ，当 时，侧面 、 以及下底面 内的点到点的最大距离为 ，此时球面与这三个面无交线，考虑球面与平面 的交线，设球面与平面 的交线是半径为圆弧，在圆弧上任取一点 ，则， ，易知， 平面 ，由于 平面 ，由勾股定理得 ，则有 ，即球面与正方体的侧面 的交线为以 为半径，且圆心角为 的圆弧，同理，球面与侧面 及底面 的交线都是以 为半径，且圆心角为的圆弧，即 ，排除 选项，故选项 正确 . 考点：立体几何、函数 已知周期函数 的定义域为 ，周期为 2，且当 时，若
3、直线 与曲线 恰有 2个交点，则实数 的所有可能取值构成的集合为（ ） A 或 B 或 C 或 D 答案： C 试题分析：对于直线 ， 可视为直线 在 轴上的恒截距，如下图所示，当 时，当直线 与函数 相切时，直线在曲线 在区间 上还有一个交点，即此时函数与曲线 有两个交点，当 ， ，则 ， 令 ，解得 ， ，切点坐标为，故有 ， 解得 ，将此直线向左或向右每次平移 个单位长度，所得到的直线与曲线仍有两个公共点，此时 ；当直线 过点 ，此时直线 与曲线 还有一个公共点，此时有 ，解得，将此直线向左或向右每次平移 个单位长度，所得到的直线与曲线仍有两个公共点，此时 .综上所述，实数 所有可能取值
4、的集合对应选项为 C. 考点：函数的周期性、函数的零点 已知 的图象与 的图象的两相邻交点间的距离为 ，要得到 的图象，只须把 的图象（ ） A向左平移 个单位 B向右平移 个单位 C向左平移 个单位 D向右平移 个单位 答案： C 试题分析：， ，由于函数 的图象与 的图象的两相邻交点的距离为 ，即函数 的最小正周期为 ， ，故得到函数 的图象，只需将函数 的图象向左平移 个单位 . 考点：辅助角变换、三角函数周期、三角函数图象变换 若双曲线 的一个焦点在直线 上，则其渐近线方程为（ ） A B C D 答案： A 试题分析：设双曲线 的焦距为 ，则 ，在直线方程 中，令 ，解得 ，即直线
5、与 轴交于点 ，则有 ， ，故双曲线 的渐近线方程为 ， 即 ，即 . 考点：双曲线的渐近线 设 ，那么 “ ”是 “ ”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 答案： B 试题分析：取 ， ，则 ，此时 ，；当 时，则 ，在不等式的两边同时除以正数得， ，故 ，即 “ ”是 “ ”的必要不充分条件 . 考点：不等式的性质、充分必要条件 下列函数中，既是奇函数又是减函数的是（ ） A B C D 答案： D 试题分析：对与幂函数 ，定义域为 ，函数 为奇函数，但是函数 在上为增函数， A选项不对；对于函数 ，定义域为 ，它为奇函数，它在每个区间 上
6、均为减函数，但是函数 在定义域上 不是减函数；对于 C选项，函数 的定义域为 ，关于原点对称，函数 为奇函数， 但是 ， ，故 ，故函数 在定义域上不是减函数，由排除法答案：选 D. 考点：函数单调性与奇偶性 圆 在点 处的切线方程为（ ） A B C D 答案： D 试题分析：将圆 化为标准式得 ，设圆心为点 ，则点 的坐标为 ， ，即点 在圆 上，故所求切线与线段垂直，设所求切线的斜率为 ，直线 的斜率 ， ，故圆 在点 处的切线方程为，化简得 . 考点：圆的切线方程 若 ， ，且 构成等比数列，则 ） A 有最小值 4 B 有最小值 4 C 无最小值 D 有最小值 2 答案： B 试题分
7、析：由于 、 、 、 成等比数列， ，且 ， ，由基本不等式得 ，当且仅当 时，上式取等号，由于，故有 ， 即当 时， 取最小值 ， A、 C选项错误；由基本不等式得，当且仅当 时，上式取等号，由于 ，故有，即当 时， 取最小值 ，故选项 B正确 . 考点：等比数列的性质、基本不等式 执行如图所示程序框图所表达的算法，若输出的 值为 ，则输入的 值为 （ ） A B C D 答案： B 试题分析：设输入的 的值为 ， 成立，执行第一次循环体， ； 成立，执行第二次循环体， ，； 成立 ，执行第三次循环体， ， ；不成立，跳出循环体，输出 的值为 ，则有 ， . 考点：算法与程序框图 某校组织班
8、班有歌声比赛， 8个评委为某个班级打出的分数如茎叶图所示，则这些数据的中位数是（ ） A B C D 答案： C 试题分析：这些数据分别从小到大依次为 、 、 、 、 、 、 、，共 个数，故这些数据的中位数为 . 考点：茎叶图、中位数 设全集 ， ， ，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A B C D 答案： A 试题分析：图中阴影部分表示的集合为 ， ， . 考点：集合的表示法、集合的交集运算 填空题 对于 个互异的实数，可以排成 行 列的矩形数阵，右图所示的 行 列的矩形数阵就是其中之一将 个互异的实数排成 行 列的矩形数阵后，把每行中最大的数选出，记为 ，并设其中最小的数为 ；把每列中
9、最小的数选出，记为 ，并设其中最大的数为 . 两位同学通过各自的探究，分别得出两个结论如下： 和 必相等； 和 可能相等； 可能大于 ； 可能大于 以上四个结论中，正确结论的序号是 _（请写出所有正确结论的序号） 答案： 试题分析：不妨假设 行 列的矩形数阵，为右图所示的 5 行 6 列的矩形数阵，则由题意可得 的最小值为 6，最大为 30；而 的最小值为 6，最大为 26，例如，这 个数分别为 、 、 、 、 ，组成下面两个不同的 行 列矩形数阵， 则 ， ， ， ， ，根据题中定义知 ， ， ， ， ， ，根据题中定义知 ，又如下面这个行 列矩形数阵， 则 ， ， ， ， ，根据题中定义知
10、 ， ， ， ， ， ，根据题中定义知 ，此时，而一般地，在同一个 5行 6列的矩形数阵中，一定有 ，故 正确，而 不正确，故答案：为 考点：分析法与综合法 一水平放置的平面图形 ，用斜二测画法画出它的直观图 如图所示，此直观图恰好是一个边长为 的正方形，则原平面图形 的面积为 答案： 试题分析：利用原平面图形面积 与直观图的面积 之间的换算关系 ，由已知条件知，原平面图形的直观图是一个边长为 的正方形，则 ，故原平面图形 的面积 . 考点：直观图 根据 2012年初我国发布的环境空气质量指数 AQI技术规定（试行），AQI共分为六级： 为优， 为良， 为轻度污染，为中度污染， 为重度污染，
11、300以上为严重污染 2013年 5月 1日出版的 A市早报报道了 A市 2013年 4月份中 30天的 AQI统计数据，下图是根据统计数据绘制的频率分布直方图 . 根据图中的信息可以得出 A市该月环境空气质量优 良的总天数为 答案： . 试题分析：由频率分布直方图可知， A市该月环境空气质量优良的频率，故 A市该月环境空气质量优良的天数为. 考点：频率分布直方图、分层抽样 已知向量 ， ，若 ，则实数 等于 答案： . 试题分析： ，两边平方得 ，则有， 化简得 ，即 ，解得 . 考点：平面向量的模、平面向量的坐标运算 解答题 在某次模块水平测试中，某同学对于政治、历史、地理这三个学科每个学
12、科是否能达到优秀水平的概率都为 ，记政治、历史、地理达到优秀水平的事件分别为 、 、 ，未达到优秀水平的事件分别为 、 、 （ ）若将事件 “该同学这三科中恰有两科达到优秀水平 ” 记为 ，试求事件发生的概率； （ ）请依据题干信息，仿照（ ）的叙述，设计一个关于该同学测试成绩情况的事件 ，使得事件 发生的概率大于 ，并说明理由 答案：（ ） ；（ ）详见 . 试题分析：（ ）先将总的基本事件与事件 所包含的基本事件列出来，并明确事件 所包含的基本事件个数和总的基本事件个数，最后再利用古典概型的概率计算公式即可计算处事件 发生的概率；（ ）由于总的基本事件有 8 个，要使得所涉及的事件发生的概
13、率超过 ，则所设计的基本事件的个数不少于7个，故方案一和方案二都是在否定 8个基本事件中某一个基本事件的基础上进行的 . 试题：（ ）依题意，总的基本事件有 “ ， ， ， ， ， ， ”，共 种， 2分 事件 包含的基本事件有 “ ， ， ”，共 种， 4分 由于每个基本事件发生的可能性都相等，故事件 发生的概率 6分 （ ）方案一：记 “该同学这三科中至少有一科达到优秀水平 ”的事件为 ，则事件 发生的概率大于 . 8分 理由：事件 包含的基本事件有 “ ， ， ， ， ， ”，共 种， 10分 由于每个基本事件发生的可能性都相等，所以 12分 方案二：记 “该同学参加这次水平测试成绩不全
14、达到优秀水平 ”的事件为 ，则事件 发生的概率大于 . 8分 理由：事件 包含的基本事件有 “ ， ， ， ， ， ”，共 种， 10分 由于每个基本事件发生的可能性都相等，故 12分 考点：事件的独立性、古典概型 已知 外接圆 的半径为 ，且 （ ）求 边的长及角 的大小； （ ）从圆 内随机取一个点 ，若点 取自 内的概率恰为 ，试判断 的形状 答案：（ ） ， ；（ ） 为 等边三角形 . 试题分析：（ ）先利用 的定义结合 计算出的大小，然后在 中利用余弦定理即可求出 边的长，对于角 的大小可以根据性质 “同弧所对的圆周角是圆心角的一半来计算；（ ）先利用几何概型计算出 的面积，然后利
15、用三角形的面积公式及余弦定理等求出的三条边 、 、 的大小，进而确定 的形状 . 试题：（ ）依题意 ， 2分 得 ，又 ，故 ， 4分 又 为等腰三角形， 故 ， 5分 而 或 6分 （ ）依题意，从圆 内随机取一个点，取自 内的概率 ， 可得 8分 设 ， .设 ，由 ，得 ， 由 ，得 ， 联立 得 ,这是不可能的 . 所以必有 . 9分 由 ，得 ， 由 ，得 ， 11分 联立 解得 . 所以 为等边三角形 12分 考点：平面向量的数量积、圆周角定理、余弦定理、几何概型、三角形的面积公式 在数列 和等比数列 中， ， ， （ ）求数列 及 的通项公式； （ ）若 ，求数列 的前 项和
16、答案：（ ） ， ；（ ） . 试题分析：（ ）先利用数列 是等比数列，结合 ， 计算出数列的首项 和公比 ，从而确定等比数列 的通项公式，然后间接地求出数列 的通项公式；解法二是先由数列 是等比数列，结合定义证明数列是等差数列，然后将题设条件化为是有关数列 的首项 和公差 的二元一次方程组，求出首项 和公差 的值进而求出数列 的通项公式，最后确定等比数列 的通项公式； （ ）先根据 ，即数列 的每一项均为等差数列中的项乘以等比数列中的项，结合利用错位相减法即可求出数列 的前 项和 . 试题：解法一：（ ）依题意 ， ， 2分 设数列 的公比为 ，由 ，可知 ， 3分 由 ，得 ，又 ，则 ，
17、 4分 故 ， 5分 又由 ，得 6分 （ ）依题意 7分 ， 则 9分 - 得 ， 11分 即 ，故 12分 解法二：（ ）依题意 为等比数列，则 （常数）， 由 ，可知 ， 2分 由 ， 得 （常数），故 为等差数列， 4分 设 的公差为 ，由 ， ，得 ， 故 6分 （ ）同解法一 考点：等差数列通项公式、等比数列的通项公式、错位相减法 已知长方体 中，底面 为正方形， 面 ， ，点 在棱 上，且 （ ）试在棱 上确定一点 ，使得直线 平面 ，并证明； （ ）若动点 在底面 内，且 ，请说明点 的轨迹，并探求长度的最小值 答案：（ ）详见；（ ）点 在平面 内的轨迹是以 为圆心，半径等于
18、 2的四分之一圆弧，且 长度的最小值为 试题分析：（ ）先利用证明四边形 为平行四边形证明 从而证明直线 平面 ，或者可以以 平面 为已知条件出发，利用直线与平面平行的性质定理得到 ，进而确定点 的位置；（ ）先确定四边形 的形状以及各边的长度，然后再根据 以及点 为定点这一条件确定点 的轨迹，在计算 的过程中，可以利用 平面 以及 从而得到 平面 ，于是得到 ，进而可以由勾股定理 ，从而将问题转化为当 取到最小值时， 取到最小值 . 试题：（ ）取 的四等分点 ，使得 ，则有 平面 . 证明如下： 1分 因为 且 ， 所以四边形 为平行四边形，则 ， 2分 因为 平面 ， 平面 ，所以 平面
19、 4分 （ ）因为 ,所以点 在平面 内的轨迹是以 为圆心，半径等于 2的四分之一圆弧 6分 因为 ， 面 ，所以 面 ， 7分 故 8分 所以当 的长度取最小值时， 的长度最小，此时点 为线段 和四分之一圆弧的交点， 10分 即 ， 所以 即 长度的最小值为 12分 考点：直线与平面平行、勾股定理、点到圆上一点距离的最值 已知 是中心在坐标原点 的椭圆 的一个焦点，且椭圆 的离心率为 （ ）求椭圆 的方程； （ ）设： 、 为椭圆 上不同的点，直线 的斜率为 ；是满足 （ ）的点，且直线 的斜率为 求 的值； 若 的坐标为 ，求实数 的取值范围 答案：（ ） ；（ ） ； 实数 的取值范围是
20、. 试题分析：（ ）先根据题中的已知条件以及 、 、 三者之间的关系求出 、 的值，从而确定椭圆 的方程；（ ） 解法一是利用斜率公式先将 、利用点 和 的坐标进行表示，然后借助点差法求出 的值；解法二是将直线 的方程假设出来，借助韦达定理与 这一条件确定与 之间的关系，进而从相关等式中求出 的值； 先确定直线 的斜率，然后假设直线 的方程为 ，利用韦达定理确定 与 之间的等量关系，再利用直线 与椭圆 有两个不同的公共点结合 确定实数 的取值范围，进而得到实数 的取值范围 . 试题：（ ）依题意，可设椭圆 的方程为 （ ）， 1分 由 ， ，得 ， 由 ，可得 ， 3分 故椭圆 的方程为 4分
21、 （ ）解法一： 由 、 且 存在，得 ， 5分 由 ， 且 存在，得 ， 则 . 6分 ， 在椭圆上， ， ， 7分 两式相减得 ， ， 8分 若 的坐标为 ，则 ，由 可得 . 设直线 （ ）， 由 得 ， 9分 所以 . ， ， . 10分 又由 ，解得 ， 11分 且 12分 解法二： 设直线 （ ）， 若 ，则 定义域为 的函数 ，其导函数为 若对 ，均有，则称函数 为 上的梦想函数 （ ）已知函数 ，试判断 是否为其定义域上的梦想函数，并说明理由； （ ）已知函数 （ ， ）为其定义域上的梦想函数，求 的取值范围； （ ）已知函数 （ ， ）为其定义域上的梦想函数，求 的最大整数值
22、 答案：（ ）详见；（ ） 的取值范围是 ；（ ） 的最大整数值为 试题分析：（ ）根据题中 “梦想函数 ”的定义判断函数 是否为 “梦想函数 ”；（ ）根据 “梦想函数 ”的定义结合参数分离法将问题转化 型的恒成立问题，等价转化为 去处理，但需定义域的开闭对参数 的取值范围的影响；（ ）根据 “梦想函数 ”的定义结合参数分离法转化为恒成立问题处理，在转化的过程中，若两边同时除以 ，注意对 的取值符号分正负以及 进行讨论，从而得出参数 的取值范围，进而确定 的最大整数值 . 试题：（ ）函数 不是其定义域上的梦想函数 1分 理由如下： 定义域 ， ， 2分 存在 ，使 ，故函数 不是其定义域 上的梦想函数 4分 （ ） ， ，若函数 在 上为梦想函数， 则 在 上恒成立， 5分 即 在 上恒成立， 因为 在 内的值域为 ， 7分 所以 8分 （ ） ，由题意 在 恒成立， 故 ，即 在 上恒成立 当 时， 显然成立； 9分 当 时，由 可得 对任意恒成立 . 令 ，则 ， 10分 令 ， 则 当 时，因为 ，所以 在 单调递减； 当 时，因为 ，所以 在 单调递增 ， ， 当 时， 的值均为负数 . ， ， 当 时， 有且只有一个零点 ，且 . 11分 当 时， ，所以 ，可得 在 单调递减； 当
