1、2013届湖南省五市十校高三第一次联合检测理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 已知全集 ，集合 ， ，则集合（ ） A B C D 答案： D 试题分析：因为 ， ，所以 ，所以。 考点：集合的运算。 点评：直接考查集合的运算，属于基础题型。 对于函数 和 ，其定义域为 .若对于任意的 ，总有则称 可被 置换，那么下列给出的函数中能置换的是 （ ） A B C D 答案： B 试题分析：对于 A. ，当 x=16时， ，所以不能置换； 对于 B. ，所以，因此可以置换； C. ，当 x=2时， 所以不能置换； D. ，当 x=4时， ，所以不能置换。 考点：函数的综合应用；基本不等式； 点评
2、：本题考查根据所给的新定义来验证函数是否满足定义中的规则，是函数知识的综合应用题，综合性较强，做题时要注意运用所学知识灵活进行证明要说明不能置换，只需举出反例即可。 已知函数 是定义在 上的单调函数，且对任意的正数 都有若数列 的前 项和为 ，且满足则 为（ ） A B C D 答案： D 试题分析：因为对任意的正数 x， y都有 又 ，所以 f（ sn+2） =f（ 3） +f（ an） =f（ 3 an）， 因为函数 f（ x）是定义在（ 0， +）上的单调函数， 所以 sn+2=3an 当 n=1时， s1+2=a1+2=3a1，解得 an=1； 当 n2时， sn-1+2=3an-1
3、- 得： an=3an-3an-1 即 ，所以数列 an是一个以 1为首项，以 为公比的等比数列，所以= 。 考点：数列与函数的综合应用；数列通项公式的求法。 点评：本题以抽象函数为载体考查了等比数列通项公式的求法，其中根据已知得到 f（ sn+2） =f（ 3） +f（ an） =f（ 3 an）是解答的关键。 在斜三角形 ABC中， ，且 ，则的值为 （ ） A B C D 答案： A 试题分析：因为在斜三角形 ABC中， 即 ， 两边同除 cosBcosC可得 tanB+tanC=- ，又 ，所以 所以 tan（ B+C） = 。 考点：三角函数的恒等变换及化简求值。 点评：熟练掌握三角
4、形内的隐含条件：；。 已知函数 ，满足 ，则 的值为（ ） A B C D 1 答案： C 试题分析：当 a3时，因为 ，所以 ； 当 a3 时，因为 ，所以 ，此时不满足 a3 时，舍去。 所以 a=7。所以 。 考点：分段函数。 点评：有关分段函数求值的问题，要分段讨论进行求值。属于基础题型。 下列命题中是假命题的是（ ） A ,使 ; B 函数 都不是偶函数 C ,使 是幂函数 ,且在 上递减 D 函数 有零点 . 答案： B 试题分析： A ,使 为真命题，当 时成立； B 函数 都不是偶函数，为假命题。当，函数 是偶函数； C ,使 是幂函数 ,且在 上递减，为真命题，当 m=2时就
5、满足； D 函数 有零点，为真命题。令恒成立，所以函数 f(t)有零点，即函数 有零点。 考点：命题真假的判断。 点评：要说明一个命题为假命题，只需举出反例即可。 平面向量 与 的夹角为 ， = 2, | | = 1，则 | +2 |= （ ） A B 2 C 4 D 10 答案： B 试题分析：因为 | +2 |2= ，所以 | +2 |=2 。 考点：平面向量的数量积；向量的简单性质。 点评：熟记数量积的一条性质：向量的平方就等于其模的平方。 已知 为等差数列， ，则 等于（ ） A 10 B 20 C 40 D 80 答案： C 试题分析：因为 ，所以 ，所以 。 考点：等差数列的性质；
6、等差数列的通项公式。 点评：本题主要考查了等差数列的性质的简单应用，属于基础试题。 填空题 已知函数 时，只有一个实根；当 （ 0， 4）时， 有 3个相异实根， 现给出下列四个命题： 和 有一个相同的实根； 和 有一个相同的实根； 的任一实根大于 的任一实根； 的任一实根小于 的任一实根 . 其中正确命题的序号是 答案： (1),(2),(4) 试题分析：由题意 y=f（ x）图象应为先增后减再增，极大值为 4，极小值为0 f（ x） -k=0的根的问题可转化为 f（ x） =k，即 y=k和 y=f（ x）图象交点个数问题。根据下图可知答案：为： 。 考点：函数的极值与单调性；函数的零点。
7、 点评：本题主要考查方程根的问题，方程根的问题 对应函数的零点问题 两个函数图象的交点问题，常用为数形结合求解 设向量 ， ，定义一种向量积 ，已知， ，点 在 的图像上运动。 是函数图像上的点，且满足 （其中 O为坐标原点），则函数的值域是 答案： 试题分析：设 P ， Q ，由题意易知：，所以 ，即点 Q的轨迹方程为 ，所以函数 的值域是 。 考点：向量的运算；函数 的值域；轨迹方程的求法。 点评：本题是创新题型，给出新定义，让我们直接根据新定义来做题，考查了我们的理解能力。本题实质上考查的是轨迹方程的求法。求曲线的轨迹方程是几何的基本问题之一。本题主要考查利用 “相关点法 ”求曲线的轨迹
8、方程。相关点法：用动点 Q的坐标 x， y表示相关点 P的坐标 x0、 y0，然后代入点 P的坐标（ x0， y0）所满足的曲线方程，整理化简便得到动点 Q轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做相关点法 已知 且 ，则 答案： 试题分析：因为 且 ，所以 ， 所以。 考点：对数的运算；三角函数式求值；和差公式。 点评：我们要熟记对数的运算法则，对数的运算法则易记错，我们一定要记准！ 执行下图所示的程序框图，输出结果是 _ 答案： 试题分析： 第一次循环： = ， ，不满足条件 ，再次循环； 第二次循环： = ， ，不满足条件 ，再次循环； 第三次循环： = ， ，不满足条件 ，再次循环； 第 n次
9、循环： = ， ， 当 ，结束循环，此时 =。 考点：程序框图；裂项法求数列的前 n项和。 点评：在做循环结构程序框图的有关问题时，如果循环次数不是太多，我们可以一一列出。若循环次数较多，我们需要寻找规律。 等于 答案： 试题分析： 。 考点：定积分；微积分定理。 点评：直接考查定积分的求法，属于基础题型。 函数 的定义域为 答案： 试题分析：由 ，所以函数的定义域为 。 考点：函数定义域的求法；对数函数的单调性。 点评：求函数的定义域需要从以下几个方面入手：（ 1）分母不为零 ；（ 2）偶次根式的被开方数非负；（ 3）对数中的真数部分大于 0；（ 4）指数、对数的底数大于 0，且不等于 1
10、； （ 5） y=tanx中 xk+/2； y=cotx中 xk等； ( 6 )中 。 设复数 满足 ， 为虚数单位，则 答案： 试题分析：因为 ，所以 。 考点：复数的运算。 点评：此题也可以这样做：因为 ，所以两边同乘以 ，得。 解答题 (本小题满分 12分 ) 已知向量 ， ，函数 （ ）求 的单调递增区间； （ ）在 中， 分别是角 的对边，且 ， ， ，且 ，求 的值 答案：（ ） ；（ ） ， 。 试题分析：（ ） （ 3分） 由 ， 得 （ 5分） 所以 的单调增区间是 （ 6分） （ 2） 是三角形内角， 即： （ 7分） 即： （ 9分） 将 代入可得： ，解之得： , （
11、11分） , ， （ 12分） 考点：平面向量的数量积；函数 的单调区间；二倍角公式；余弦定理。 点评：（ 1）求三角函数的最值、周期、单调区间时，通常利用公式把三角函数化为 的形式。（ 2）求函数 的单调区间时，一定要注意 的正负。 （本小题满分 12分） 已知函数 （ ）， （ ）求函数 的最小值； （ ）已知 ， ：关于 的不等式 对任意 恒成立； ：函数 是增函数若 “ 或 ”为真， “ 且 ”为假，求实数 的取值范围 答案：（ ） 1；（ ） 。 试题分析：（ ） （ 4 分） （ ） （ 8分） 由于 （ 10分） 故实数 的取值范围是 （ 12分） 考点：分段函数最值的求法；恒成
12、立的问题；复合命题真假的判断。 点评：（ 1）分段函数的最值，要分段求，最后在进行比较；（ 2）解决恒成立问题常用变量分离法，变量分离法主要通过两个基本思想解决恒成立问题， 思路 1： 在 上恒成立 ；思路 2: 在 上恒成立 。 (本小题满分 12分 ) 已知二次函数 , 满足 且 的最小值是（ ）求 的式；（ ）设函数 ，若函数 在区间上是单调函数，求实数 的取值范围。 答案：（ ） ；（ ） 。 试题分析：（ ）设 ,又 ,故 （ 5分） （ ） （ 8分） （ 12分） 考点：二次函数的式及性质；利用导数研究函数的单调性。 点评：本题主要考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，函数式的
13、求法，是二次函数图象和性质及导数的综合应用，难度不大 (本小题满分 13分 ) 某商场根据调查，估计家电商品从年初（ 1月）开始的 个月内累计的需求量（百件）为 （ 1）求第 个月的需求量 的表达式 . （ 2）若第 个月的销售量满足 （单位：百件），每件利润 元，求该商场销售该商品，求第几个月的月利润达到最大值？最大是多少？ 答案：（ 1） ；（ 2）当第 6 个月利润最大，是 30000元。 试题分析：（ 1） （ 4分） （ 2）设该商场第 个月的月利润为 元，则 （ 5分） （ 8分） （ 12分） 当第 6个月利润最大，是 30000元 （ 13分） 考点：函数的实际应用题；利用导数
14、研究函数的单调性。 点评：（ 1）在做第一问时，不要忘记对 的讨论。求 f(x)的式，类似于已知数列的 前 n项和 。（ 2）本题考查函数模型的建立及解决实际问题的能力，同时也考查学生的计算能力，属于中档题型。（ 3）在做第二问时，一定要注意单位。 (本小题满分 13分 ) 已知数列 的相邻两项 是关于 的方程 的两根，且 （ 1）求证：数列 是等比数列； （ 2）求数列 的前 项和 ； （ 3）设函数 若 对任意的 都成立，求 的取值范围。 答案：（ 1） an+an+1=2n 。 （ 2） ；（ 3） t1。 试题分析：（ 1） an+an+1=2n （ 3分） （ 2） Sn=a1+a2
15、+a n （ 6分） （ 3） bn=an an+1 当 n为奇数时 （ 9分） 当 n为偶数时 （ 12分） 综上所述， t的取值范围为 t1 （ 13分） 考点：等比数列的定义；数列通项公式的求法；数列前 n项和的求法。 点评：若已知递推公式为 的形式求通项公式常用累加法。 注： 若 是关于 n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和 ; 若 是关于 n的二次函数，累加后可分组求和 ; 是关于 n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和 ; 是关于 n的分式函数，累加后可裂项求和。 (本小题满分 13分 ) 已知函数 （ 1）判断 的单调性； （ 2）记 若函数 有两个零点 ，求证答案：（ 1
16、） 在 递增； （ 2）由（ 1）可知 ，由题意： ， ，两式相减得： ，即有， 又因为 ，所以 （ 9分） 现考察 ，令 ，设，则 ，所以 在 递增，所以 ， （ 11分） 即 ，又因为 ， 所以 试题分析：（ 1） 原函数定义域为 ， ， （ 2分） 记 ， （ 3分） 当 时， ， 在 递减， 当 时， ， 在 递增， ，即当 , 在 递增（ 6分） （ 2）由（ 1）可知 ，由题意： ， ，两式相减得： ，即有， 又因为 ，所以 （ 9分） 现考察 ，令 ，设，则 ，所以 在 递增，所以 ， （ 11分） 即 ，又因为 ， 所以 （ 13分） 考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值。 点评：（ 1）判断函数的单调性，一定要先求函数的定义域。（ 2）本题主要考查导数知识的运用以及函数的单调性，考查学生分析问题、解决问题的能力，有一定的难度
