1、2015年课时同步练习（浙教版）九年级上 3.3圆心角2（带解析） 填空题 如图，以 Rt ABC的直角顶点 C为圆心， CB为半径作圆交 AB于 D，若 A=36，则弧 BD= 度 答案： 试题分析：连接 CD，由 C=90 A=36，根据互余求得 B=90-36=54，又根据等腰三角形的性质得到 CDB= B=54，再根据三角形的内角和定理得到 DCB=180-54-54=72，最后根据圆心角的度数等于它所对的弧的度数得到即可弧 BD的度数 解：连接 CD，如图， C=90 A=36， B=90-36=54， 又 CB=CD， CDB= B=54， DCB=180-54-54=72， 弧
2、BD的度数 =72 故答案：为 72 点评：本题考查了在同圆或等圆中，如果两个圆心角以及它们对应的两条弧、两条弦中有一组量相等，则另外两组量也对应相等也考查了三角形的内角和定理以及圆心角的度数等于它所对的弧的度数 一条弦把圆分成 1： 5两部分，则这条弦所对的圆周角的度数是 答案： 或 150 试题分析：根据题意画出图形，得出两种情况，求出两段弧的度数，即可求 出答案： 解： 连接 OA、 OB， 一条弦 AB把圆分成 1： 5两部分，如图， 弧 ACB的度数是 360=60，弧 ACB的度数是 360-60=300， AOB=60， ACB= AOB=30， ACB=180-30=150，
3、故答案：为： 30或 150 点评：本题考查了圆周角定理的应用，注意：在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半 如图， P为半圆直径 AB上一动点， C 为半圆中点， D为弧 AC 的三等分点，若 AB=2，则 PC+PD的最短距离为 答案： 试题分析：要求 PC+PD的最小值，应先确定点 P的位置作点 C关于 AB的对称点 E，连接 DE交 AB于点 P，则 P即是所求作的点，且 PC+PD=DE根据作法知： CE是直径，弧 CD的度数是 30，即 CED=30，根据三角函数即可求出 PC+PD的最小值 解：设点 C关于 AB的对称点为 E，连接 DE交 AB于 P，则
4、此时 PC+PD的值最小，且 PC+PD=PE+PD=DE 连接 OC、 OE； C为半圆中点， D为弧 AC的三等分点， 弧 CD的度数为 30， CDE=90； AB=2， CE=2； DE=EC cos CED= ， 即 PC+PD的最小值为 故答案：为： 点评：此题主要考查了轴对称 -最短路线问题，难点是确定点 P的位置：找点 C或点 D关于 AB的对称点，再连接其中一点的对称点和另一点，和 AB的交点P就是所求作的位置再根据弧的度数和圆心角的度数相等发现一个含 30角的直角三角形 如图，已知 O中， ， C=65，则 A= 度 答案： 试题分析：由等弧所对的弦相等证得 AB=AC，则
5、 “等边对等角 ”： B= C=65，所以在 ABC中，由三角形内角和定理易求 A=50 解：如图， ， AB=AC， B= C=65， A=180- B- C=50 故答案：是： 50 点评：本题考查了三角形内角和定理，圆心角、弧、弦的关系在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等 直径 12cm的圆中，弦 AB把圆分成 1： 5两部分， C为圆上一点， BCA= 度 答案： 或 150 试题分析：由题意知，弦 AB把圆分成了一条优弧和一条劣弧，点 C可能在优弧上，也可能在劣弧上，因此应分两种情况进行讨论 解： 弦 AB把圆分成 1：
6、5两部分， 劣弧 AB的度数为 ， 故优弧 ACB的度数为 300， ACB=30， ADB=150 故应填 30或 150 点评：本题主要是渗透分类思想，培养学生的严密性思维和解题方法：确定图形 -分析图形 -数形结合 -解决问题 如图， O中 =2 ， BOC=74，则 OAB= 度 答案： .5 试题分析：根据已知可求得 AOB的度数，由已知可得到 OAB是等腰三角形，根据三角形内角和定理即可求解 解： O中 =2 ， BOC=74 AOB= BOC=37 OB=OA OAB= ABO= =71.5 点评：本题利用了三角形内角和定理，等边对等角，圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对
7、的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半 如图， AB， AC， BC是 O的三条弦， OD AB， OE BC， OF AC，且OD=OE=OF，则弧 AC=弧 =弧 ， ABC= ， ABC是 三角形 答案：弧 AC=弧 AB=弧 BC， ABC=60，等边三角形 试题分析：由垂径定理得 BE=EC， BD=AD；若连接 OB、 OC、 OA，则可证得 OCE OBE OBD，再得 ABC是等边三角形，然后运用圆周角定理可解 解：连接 OB， OC， OA OD AB， OE BC， 由垂径定理知， BE=EC， BD=AD， OB=OC， OCE OBE OBD， BE=EC=BD=
8、AD， 同理， AD=AF=CF=CE， AB=BC=AC，即 ABC是等边三角形， ABC=60，弧 AC=弧 AB=弧 BC 点评：本题利用了垂径定理，全等三角形的判定和性质，圆周角定理求解 半径为 R的圆中，有一弦恰好等于半径，则弦所对的圆心角为 答案： 试题分析：由于等于半径，得到等边三角形，然后根据等边三角形的性质求解 解：如图， AB=OA=OB， 所以 ABC为等边三角形， 所以 AOB=60 故答案：为 60 点评：本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等 如图所示，在 O中，点 C是 的
9、中点， A=60，则 BOC为 度 答案： 试题分析：由于 A=60，易证得 AOB是等边三角形，得 AOB=60，进而可由圆心角、弧的关系求得 BOC的度数 解： AOB中， OA=OB， A=60， AOB是等边三角形，则 AOB=60； 点 C是 的中点， BOC= AOB=30 点评：此题主要考查的是圆心角、弧的关系，即：等弧对等角 如下图，弦 CD、 FE的延长线交于圆外点 P，割线 PAB经过圆心，请你结合现有图形，添加一个适当的条件： ，使结论 1= 2能成立 答案： COP EOP 试题分析：本题答案：有多种，根据三角形全等原理可填 AC=AE或 BD=BF，也可根据在 “同圆
10、或等圆中，同弧或等弧所对的弦相等 ”和三角形全等原 理，填CD=FE或弧 CD与弧 EF相等 解：使 1= 2能成立，则应有 COP EOP，或 PDB PFB，故可添加AC=AE或 BD=BF当 AC=AE时， 根据圆周角定理知， AOC= AOE， OC=OE， PO=PO， COP EOP， 1= 2 点评：本题答案：不唯一，根据圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半求解 圆被一弦分成的两条弧的比是 1： 2，这弦所对的圆周角的度数是 答案： 或 120 试题分析：做题时首先知道劣弧所对的圆心角是所求 解： 圆被一弦分成的两条弧的比是 1：
11、 2， 劣弧对应的圆心角为 120，优弧所对的圆心角为 240 圆周角分别为 60或 120 点评：本题主要考查圆心角与弧之间的关系，不是很难 弦 AB把圆分成 1： 3两部分，则 AB所对的劣弧等于 度， AB所对的优弧等于 度 答案：、 270 试题分析：根据在同圆或等圆中弧所对圆心角的度数等于此弧的度数求解 解： 弦 AB把圆分成 1： 3两部分， AB所对的劣弧所对的圆心角 = 360=90度， AB所对的劣弧等于 90度； AB所对的优弧所对的圆心角 =360-90=270度， AB所对的优弧等于 270度 故答案：为： 90、 270 点评：本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，即在同
12、圆或等圆中弧所对圆心角的度数等于此弧的度数 如图， AB是 O的直径，弦 CD与 AB交于点 E， 的度数是 72， BCD=68，则 AED的度数为 答案： 试题分析：先根据 AB是 O的直径， 的度数是 72得出 的度数，由圆心角、弧、弦的关系可求出 ABC的度数，根据三角形内角和定理可求出 CEB的度数，再根据对顶角相等即可 得出结论 解： AB是 O的直径， 的度数是 72， =180-72=108， ABC= = 108=54， BCD=68， CEB=180- BCD- ABC=180-68-54=58 故答案：为： 58 点评：本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，熟知在同圆和等圆中
13、，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等是解答此题的关键 如图， AB是 O的直径， BC， CD， DA是 O的弦，且 BC=CD=DA，则 BCD= 答案： 试题分析：由已知可得，弦 BC、 CD、 DA三等分半圆，从而不难求得 BCD的度数 解：连接 OC、 OD， BC=CD=DA， = = ， 弦 BC、 CD、 DA三等分半圆， 弦 BC和 CD和 DA对的圆心角均为 60， BCD= （ 180+60） =120 故答案：是： 120 点评：本题利用了弧、弦与圆心角的关系求解，注意半圆对的圆心角为 180 如图， AB是 O的直径， AB=10cm， M是半圆 AB的一个三等分
14、点， N是半圆 AB的一个六等分点， P是直径 AB上一动点，连接 MP、 NP，则 MP+NP的最小值是 cm 答 案： 试题分析：作 N关于 AB的对称点 N，连接 MN交 AB于点 P，则点 P即为所求的点，再根据 M是半圆 AB的一个三等分点， N是半圆 AB的一个六等分点可求出 MON的值，再由勾股定理即可求出 MN的长 解：作 N 关于 AB的对称点 N，连接 MN交 AB于点 P，则点 P即为所求的点， M是半圆 AB的一个三等分点， N是半圆 AB的一个六等分点， MOB= =60， BON= =30， MON=90， AB=10cm， OM=ON=5cm， MN= = =5
15、cm，即 MP+NP的最小值是 cm 故答案：为： 5 点评：本题考查的是最短路线问题及圆心角、弧、弦的关系，根据 M是半圆AB的一个三等分点， N是半圆 AB的一个六等分点，求出 MON=90是解答此题的关键 （ 2007 白云区二模）如图，在 O中， = ， A=30，则 B= 答案： 试题分析：根据等弧所对的弦相等求得 AB=AC，从而判定 ABC是等腰三角形；然后根据等腰三角形的两个底角 B= C；最后由三角形的内角和定理求角 B的度数即可 解： 在 O中， = ， AB=AC， ABC是等腰三角形， B= C； 又 A=30， B= =75（三角形内角和定理） 故答案：是： 75 点
16、评：本题综合考查了圆心角、弧、弦的关系，以及等腰三角形的性质解题的关键是根据等弧对等弦推知 ABC是等腰三角形 如图，已知： AB是 O的直径，点 C、 D是弧 BE上的三等分点， AOE=60，则弧 DE= 度 答案：度 试题分析：先利用平角定义求出 BOE=180- AOE=120，再用 “同弧或等弧所对的圆心角相等 ”即可得解 解： AOE=60， BOE=180- AOE=120， 点 C、 D是弧 BE上的三等分点， EOD= BOE=40， 弧 DE的度数是 40度 点评：本题利用了邻补角的概念和圆心角、弧的关系：同弧或等弧所对的圆心角相等 （ 2006 昭阳区二模）如图， P（
17、x， y）是以坐标原点为圆心、 5为半径的圆周上的点，若 x、 y都是整数，则这样的点共有 个 答案：个 试题分析：因为 P（ x， y）是以坐标原点为圆心、 5为半径的圆周上的点，根据题意， x2+y2=25，若 x、 y都是整数，其实质就是求方程的整数解 解： P（ x， y）是以坐标原点为圆心、 5为半径的圆周上的点， 即圆周上的任意一点到原点的距离为 5， 由题意得： =5，即 x2+y2=25， 又 x、 y都是整数， 方程的整数解分别是： x=0， y=5； x=3， y=4； x=4， y=3； x=5， y=0； x=-3， y=4； x=-4， y=3； x=-5， y=0；
18、 x=-3， y=-4； x=-4， y=-3； x=0， y=-5； x=3， y=-4； x=4， y=-3 共 12对，所以点的坐标有 12个 分别是：（ 0， 5）；（ 3， 4）；（ 4， 3）；（ 5， 0）；（ -3， 4）；（ -4， 3）；（ -5， 0）；（ -3， -4）；（ -4， -3）；（ 0， -5）；（ 3， -4）；（ 4， -3） 点评：本题结合圆和直角三角形的知识，考查了二元二次方程的整数解和点的坐标问题 如图， AB是 O的直径， AC是弦， D是 AC弧的中点，若 BAC=30，则 DCA= 答案： 试题分析：根据直径所对的圆周角是直角，得 ACB=9
19、0，从而求得 B的度数，再根据圆内接四边形的对角互补，得到 D的度数，根据等弧对等弦及等边对等角即可得到则 DAC= DCA，根据内角和公式即可求得其度数 解：连接 BC AB是半圆 O的直径， ACB=90； BAC=30， B=60， D=120； D是弧 AC的中点， DA=DC， DCA= DAC=（ 180-120） 2=30 点评：此题综合运用了圆周角定理的推论、圆内接四边形的性质、等弧对等弦以及等边对等角的知识 已知半径为 5的 O中，弦 AB=5 ，弦 AC=5，则 BAC的度数是 答案： 试题分析：易得 OAC， OAB度数，那么 BAC的度数应为所求的角的和或差 解：如图，
20、连接 OC， OA， OB OC=OA=AC=5， OAC是等边三角形， CAO=60， OA=OB=5， AB=5 ， OA2+OB2=50=AB2， OAB是等腰直角三角形， OAB=45， 点 C的位置有两种情况，如左图时， BAC= CAO+ OAB=60+45=105； 如右图时， BAC= CAO- OAB=60-45=15 点评：本题利用了等边三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理求解 解答题 如图，在 O中， AD=BC （ 1）比较 与 的长度，并证明你的结论； （ 2）求证： DE=BE 答案：见 试题分析：（ 1）由 AD=BC可得出 = ，进而可得到 = ； （ 2）由（
21、 1）的结论可得出 AB=CD，根据全等三角形的判定定理可得出 ADE CBE，故 DE=BE，进而可求出答案： 证明：（ 1） AD=BC， = ， = ； （ 2） = ， AB=CD， 在 ADE与 CBE中， DAB= BCD， AD=BC， ADC= ABC， ADE CBE， DE=BE， AB=CD， DE=BE 点评：本题考查的是圆心角、弧、弦的关系及全等三角形的判定与性质、圆周角定理，涉及面较广，难易适中 如图，点 A、 B、 C、 D在 O上， AB与 OC、 OD分别相交于 E、 F，AE=BF，说明 AC=BD的理由 答案：见 试题分析：利用圆的性质证得 AOE BOF
22、，进而利用全等三角形的性质得到 AOC= BOD，利用相等的圆心角所对的弦相等证明 AC=BD即可 解： OA=OB（同圆的半径相等）， （ 1分） A= B（等角对等边） （ 1分） 在 AOE和 BOF中， ， （ 1分） AOE BOF（ SAS） （ 1分） AOC= BOD（全等三角形对应角相等） （ 1分） AC=BD（同圆中，相等的圆心角所对的弧相等） （ 1分） 点评： 本题考查了圆心角、弦、弧之间的关系及全等三角形的判定及性质，利用全等三角形证得两圆心角相等是解决本题的关键，题目中体现了转化的数学思想 已知：如图， AB、 CD是 O的两条弦， AB=CD 求证： OBA=
23、ODC 答案：见 试题分析：过点 O 分别作 OE AB于点 E， OF CD于点 F先由圆心角、弧、弦的关系，得出 OE=OF，再根据 HL证明 Rt BOE Rt DOF，进而得出 OBA= ODC 证明：过点 O分别作 OE AB于点 E， OF CD于点 F AB=CD， OE=OF 又 BO=DO， Rt BOE Rt DOF（ HL）， OBA= ODC 点评：本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等，本题还可以运用全等证明 已知：如图， C， D是以 AB为直径的 O上的两点，且 OD
24、BC求证：AD=DC 答案：见 试题分析：连结 OC，根据平行线的性质得到 1= B， 2= 3，而 B= 3，所以 1= 2，则根据圆心角、弧、弦的关系即可得到结论 证明：连结 OC，如图， OD BC， 1= B， 2= 3， 又 OB=OC， B= 3， 1= 2， AD=DC 点评：本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等 如图，在 O中，弦 AB与弦 CD相交于点 E，且 AB=CD 求证： BE=DE 答案：见 试题分析：先连接 BC、 AD，由 AB=CD可知 = ，故可得出 = ，故可得出
25、 BC=AD，由全等三角形的判定定理可得出 BEC DEA，根据三角形的对应边相等即可得出结论 证明：先连接 BC、 AD， AB=CD， = ， = ， BC=AD， 在 BEC与 DEA中， ， BEC DEA（ ASA）， BE=DE 点评：本题考查的是圆心角、弧、弦的关系及全等三角形的判定与性质，根据题意构造出全等三角形是解答此题的关键 如图，在 O中， 与 相等， OD BC， OE AC，垂足分别为 D、 E，且 OD=OE，那么 ABC是什么三角形，为什么？ 答案：等边三角形 试题分析：根据圆心角、弧、弦的关系由 = 得到 AB=BC，再由 OD BC，OE AC，根据垂径定理和
26、垂直的定义得到 CE= AC， CD= BC， ODC= OEC=90利用三角形全等的判定方法可得到 Rt ODC Rt OEC（ HL），则 CD=CE，于是有 BC=AC，则 AB=AC=CB，即可得到 ABC为等边三角形 解： ABC为等边三角形理由如下： 连 OC， = ， AB=BC， OD BC， OE AC， CE= AC， CD= BC， ODC= OEC=90 在 Rt ODC和 Rt OEC中， ， Rt ODC Rt OEC（ HL） CD=CE， BC=AC， AB=AC=CB， ABC为等边三角形 点评：本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中两个圆心角、两条弧
27、、两条弦中有一组量相等，那么其余各组量也分别相等也考查了垂径定理和等边三角形的判定 如图，已知 AB是 O的直径弦 AC OD，求证：弧 BD=弧 CD 答案：见 试题分析：欲证弧 BD=弧 CD，只需证明它们所对的圆心角相等，即 BOD= COD 证明：如图，连接 OC OA=OC， OAC= ACO AC OD， OAC= BOD DOC= ACO BOD= COD 弧 BD=弧 CD 点评：本题考查了平行线的性质，圆心角、弧、弦间的关系要探讨两弧的关系，根据等弧对等圆心角可以转化为探讨所对的圆心角的关系，根据等弧所对的圆周角相等，可以再进一步转化为探讨所对的圆周角的关系 如图， AB是
28、O的直径，点 C、 D在圆上，且 = （ 1）求证： AC OD （ 2）若 AOD=110，求 的度数 答案：（ 1）见（ 2） 40 试题分析：（ 1）如图，连接 AD由圆心角、弧、弦间的关系，圆周角定理推知同位角 CAB= DOB=2 DAB，则易证得结论； （ 2）由邻补角的定义、圆心角、弧、弦的关系求得 COD= DOB=70，则 AOC= AOD- COD=110-70=40 （ 1）证明：如图，连接 AD = ， =2 CAB=2 DAB 又 DOB=2 DAB， CAB= DOB， AC OD； （ 2）解：如图，连接 OC AOD=110， DOB=70 又 = ， COD=
29、 DOB=70， AOC= AOD- COD=110-70=40， =40 点评：本题考查了圆心角、弧、弦间的 关系三者关系可理解为：在同圆或等圆中， 圆心角相等， 所对的弧相等， 所对的弦相等，三项 “知一推二 ”，一项相等，其余二项皆相等这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合 如图，已知 AD是 O 的直径， AD垂直于弦 BC，垂足为点 E AB=AC 吗？为什么？ 答案： AB=AC 试题分析：由 AD是 O的直径， AD垂直于弦 BC，根据垂径定理即可得，则可证得 AB=AC 解： AB=AC 理由： AD BC， AD是 O的直径，（已知） ，（
30、垂直于弦的直径平分弦所对的弧） （ 4分） AB=AC（在同圆中，如果弧相等，那么弧所对的弦也相等） 点评：此题考查了垂径定理此题比较简单，解题的关键是注意数形结合思想的应用 如图四边形 ABCD是 O的内接四边形， AB是 O的直径，若再增加一个条件，就可使四边形 ABCD成为等腰梯形，你所增加的条件是（只写出一个条件，图中不再增加其他的字母和线段（给出证明） 答案： = 试题分析：此题是开放题，只要给出的条件能使 AB CD，且 AD=BC、ABCD即可 解：添加的条件为 = ； 证明： 四边形 ABCD是圆的内接四边形， A+ C=180； = ， = ； A= B； B+ C=180； AB CD； ， AD=BC； 又 AB CD， 四边形 ABCD是等腰梯形 点评：此题主要考查了圆心角、弧、弦的关系以及等腰梯形的判定；在证梯形的过程中，不要遗漏证梯形上下底不相等的步骤
