1、2015届北京市平谷区九年级上学期期末考试数学试卷与答案（带解析） 选择题 在 Rt ABC中， C=90， A=30，则 的值是 A B C D 答案： A 试题分析：根据特殊角的三角函数值可知， sin30= ，故选 A. 考点：特殊角的三角函数值 . 点评：本题主要考查了特殊角的三角函数值的计算，关键是熟练掌握特殊角的三角函数值 . 如图反映的过程是：矩形 中，动点 从点 出发，依次沿对角线 、边 、边 运动至点 停止，设点 的运动路程为 ， 则矩形的周长是 A 6 B 12 C 14 D 15 答案： C 试题分析：结合图象可知，当 P点在 AC上， ABP的面积 y逐渐增大，当点P在
2、 CD上， ABP的面积不变，由此可得 AC=5， CD=4，则由勾股定理可知AD=3，所以矩形 ABCD的周长为： 2（ 3+4） =14 考点：动点问题的函数图象；矩形的性质 . 点评：本题考查的是动点问题的函数图象，解答本题的关键是根据矩形中三角形 ABP的面积和函数图象，求出 AC和 CD的长 若关于 的二次函数 的图象与 x轴仅有一个公共点，则 k的取值范围是 A B C D 答案： D 试题分析：令 y=0，则 kx2+2x-1=0 由题意可得 k0且 =4+4k=0，解得，故选 D. 考点：抛物线与 x轴的交点 点评：本题主要考查了抛物线与 x轴的交点解答本题的关键是熟练掌握二次
3、函数图象与 x轴仅有一个公共点即 =0且二次项系数不为 0. 如图，在 ABC中， BC=4，以点 A为圆心， 2为半径的 A与 BC相切于点 D，交 AB于点 E，交 AC于点 F，且 EAF=80，则图中阴影部分的面积为 A 4 BC D 答案： C 试题分析：连结 AD，根据切线的性质可得 AD BC，则 S ABC= AD BC，利用 S 阴影部分 =S ABC-S 扇形 AEF和扇形的面积公式计算即可 考点：切线的性质；扇形面积公式 点评：本题主要考查了切线的性质和扇形面积公式关键是熟练掌握圆的切线垂直于过切点的半径 在一个不透明的口袋中装有 5 个完全相同的小球，把它们分别标号为
4、1， 2，3， 4， 5，从中随机摸出一个小球，其标号为偶数的概率为 A B C D 答案： B 试题分析：直接利用概率公式求解即可共有 5种情况，其标号为偶数的有 2种情况，故标号为偶数的概率为： . 考点：概率公式 . 点评：本题考查了概率公式的应用关键是熟练掌握概率公式：概率 =所求情况数与总情况数之比 如图，已知 A、 B、 C三点在 O上， A=50，则 BOC的度数为 A 50 B 25 C 75 D 100 答案： D 试题分析：根据圆周角定理求解即可 A=50， BOC=2 A=100故选 D 考点：圆周角定理 . 点评：本题主要考查了圆周角定理的运用关键是熟练掌握圆周角定理的
5、内容 . 在 Rt ABC中， C=90， AC=4， BC=3，则 是 A B C D 答案： A 试题 分析：根据题意画出图形，由勾股定理求出 AB的长，再根据三角函数的定义解答即可 考点：锐角三角函数的定义 . 点评：本题考查锐角三角函数的定义 .关键是熟练掌握在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边 将抛物线 向下平移 3个单位，则得到的抛物线式为 A B C D 答案： B 试题分析：根据向下平移，纵坐标相减，即可得到答案： 考点：二次函数的图象与几何变换 . 点评：本题考查了二次函数的图象与几何变换，关键是熟练掌握向下平移 |a|个单位长度纵坐标要
6、减 |a| 填空题 阅读下面材料： 如图 1，在 ABC中， D是 BC边上的点（不与点 B、 C重合），连结 AD （ 1）当点 D是 BC边上的中点时， S ABD： S ABC= ； （ 2）如图 2，在 ABC中，点 O是线段 AD上一点（不与点 A、 D重合），且AD=nOD，连结 BO、 CO，求 S BOC： S ABC的值（用含 n的代数式表示）； （ 3）如图 3， O是线段 AD上一点（不与点 A、 D重合），连结 BO并延长交AC于点 F，连结 CO并延长交 AB于点 E，补全图形并直接写出的值 答案：解：（ 1） S ABD： S ABC= 1： 2 ； （ 2）如图，
7、作 OM BC于 M，作 AN BC于 N， OM AN OMD AND AD=nOD； ， （ 3） 试题分析：（ 1）根据三角形的中线的性质解答即可；（ 2）作 OM BC于 M，作 AN BC于 N，由 OM AN 可得 OMD AND；根据相似三角形的性质可得比例式，再根据三角形的面积公式即可得出答案：；（ 3）根据题意补全图形，即可得出结论 . 考点：相似三角形的判定与性质；三角形的中线的性质 . 点评：本题主要考查了相似三角形的判定与性质，三角形的中线的性质 .解答本题的关键是根据题意作出辅助线 . （ 1）如图 1， ACB和 DCE均为等边三角形，点 A， D， E在同一直线上
8、，连接 BE AEB的度数为 ； 线段 AD， BE之间的数量关系为 ； （ 2）如图 2， ACB和 DCE均为等腰直角三角形， ACB= DCE=90，点A， D， E在同一直线上， CM为 DCE中 DE边上的高，连接 BE，请判断 AEB的度数及线段 CM， AE， BE之间的数量关系，并说明理由； （ 3）如图 3，在正方形 ABCD中， CD= ，若点 P满足 PD=1，且 BPD=90，请求出点 A到 BP的距离 答案：解：（ 1） 60 AD=BE （ 2） AEB=90， AE=BE+2CM 理由：如图 2， ACB和 DCE均为等腰直角三角形， CA=CB， CD=CE，
9、ACB= DCE=90 ACD= BCE 在 ACD和 BCE中， ACD BCE AD=BE， ADC= BEC DCE为等腰直角三角形， CDE= CED=45 点 A， D， E在同一直线上， ADC=135 BEC=135 AEB= BEC- CED=90 CD=CE， CM DE， DM=ME DCE=90， DM=ME=CM AE=AD+DE=BE+2CM （ 3） PD=1， 点 P在以点 D为圆心， 1为半径的圆上 BPD=90， 点 P在以 BD为直径的圆上 点 P是这两圆的交点 当点 P在如图 3 所示位置时， 连接 PD、 PB、 PA，作 AH BP于 H， 过点 A作
10、 AE AP，交 BP于点 E，如图 3 四边形 ABCD是正方形， ADB=45， CD= ， BD=2 DP=1， BP= A、 P、 D、 B四点共圆， APB= ADB=45 PAE是等腰直角三角形 又 BAD是等腰直角三角形， AH BP， 由（ 2）中的结论可得： BP=2AH+PD AH= 当点 P在如图 3 所示位置时， 连接 PD、 PB、 PA，作 AH BP于 H， 过点 A作 AE AP，交 PB的延长线于点 E，如图 3 同理可得： BP=2AH-PD AH= 综上所述：点 A到 BP的距离为 或 试题分析：（ 1）根据已知条件易证 ACD BCE，可得 AD=BE，
11、 ADC= BEC由点 A， D， E在同一直线上可求出 ADC，从 而可求 AEB的度数（ 2）仿照（ 1）中的解法可求出 AEB的度数，证出 AD=BE；由 DCE为等腰直角三角形及 CM为 DCE中 DE边上的高可得 CM=DM=ME，即可证出 AE=2CH+BE（ 3）由 PD=1可得：点 P在以点 D为圆心， 1为半径的圆上；由 BPD=90可得：点 P在以 BD为直径的圆上显然，点 P是这两个圆的交点，由于两圆有两个交点，故需对两个位置分别进行讨论添加适当的辅助线，借助（ 2）中的结论即可解决问题 考点：圆的综合题；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；等边三角形的性质；直角三
12、角 形斜边上的中线的性质；正方形的性质；圆周角定理 点评：本题是圆的综合题，主要考查了等边三角形的性质、正方形的性质、等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、圆周角定理、三角形全等的判定与性质，解答本题的关键是根据题意添加适当的辅助线，学生还要熟练掌握数形结合思想、分类讨论思想的综合运用 在直角坐标系中，我们把横、纵坐标都为整数的点叫做整点设坐标轴的单位长度为 1cm，整点 P从原点 O出发，作向上或向右运动，速度为1cm/s当整点 P从原点出发 1秒时，可到达整点（ 1,0）或（ 0,1）；当整点 P从原点出发 2秒时，可到达整点（ 2,0）、（ 0,2）或 ；当整点 P从原
13、点出发 4秒时，可以得到的整点的个数为 个当整点 P从原点出发 n秒时，可到达整点（ x,y），则 x、 y和 n的关系为 答案：（ 1,1）； 5； x+y=n. 试题分析：根据题中所示的规律可得，点的个数比时间数多 1，横纵坐标的和等于时间，据此即可得出答案： . 考点：图形变化的规律 . 点评：本题主要考查了图形变化的规律，根据题中规律得到点的横纵坐标的和等于时间是解题的关键 请写出一条经过原点的抛物线式 答案： y=x² 试题分析：已知抛物 线的一般形式是： y=ax2+bx+c，可以先确定二次项系数，一次项系数，把原点的坐标代入可得常数项，即可确定函数式假设函数式是：y=x2
14、+c把（ 0， 0）代入得到： c=0即二次函数式是 y=x2. 考点：待定系数法求二次函数式 点评：本题主要考查了待定系数法求二次函数式解答本题的关键是熟练掌握抛物线的一般形式 . 如图，路灯距离地面 8米，身高 1.6米的小明站在距离灯的底部（点 O） 20米的 A处，则小明的影子 AM长为 米 答案： 试题分析：根据题意可得： ABM OCM，利用相似三角形的相似比即可得出小明的影长 考点：相似三角形的应用 点评：本题主要考查了相似三角形的应用 .解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的对应边成比例 在函数 中，自变量 的取值范围是 答案： x 试题分析：根据二次根式的性质，被开方数大于等于
15、 0，列不等式 2x-10，解得 x 考点：函数自变量的取值范围；二次根式有意义的条件 点评：本题主要考查函数自变量的取值范围；二次根式有意义的条件解答本题的关键熟练掌握二次根式的被开方数是非负数 . 计算题 计算： 答案：解： 试题分析：根据 tan30= ， ， ， ，代入计算，即可得出答案： . 考点：实数的混合运算 . 点评：本题主要考查了实数的混合运算，解答本题的关键是熟练掌握特殊角的三角函数值，任何不等于零的零次幂都为 0.学生还要熟练掌握二次根式的化简 . 解答题 已知平面直角坐标系中两定点 、 ，抛物线过点 A， B，与 y交于 C点，点 P（ m， n）为抛物线上一点 （ 1
16、）求抛物线的式和点 C的坐标； （ 2）当 APB为钝角时，求 m的取值范围； （ 3）当 PAB= ABC时，求点 P的坐标 答案：解：（ 1） 抛物线 过点 A， B， ，解得： ， 抛物线的式为： . C （ 2）以 AB为直径作圆 M，与 y轴交于点 P.则抛物线在圆内的部分，能使 APB为钝角， M（ ， 0）， M的半径 = P是抛物线与 y轴的交点， OP=2， MP= P在 M上， 由抛物线的对称性可知， ， 当 -1 m 0或 3 m 4时， APB为钝角 （ 3）在 Rt OBC中， . 第一种情况：过 A作 AP BC，交抛物线于点 P . PAB= ABC. 过 P作
17、PQ AB于 Q， . P（ m， n） , PQ=n， AQ=m+1 . . 解得 第二种情况：点 P关于 x轴的对称点的坐标为 直线 AP的式为 解得 试题分析：（ 1）将 A点， B点坐标代入式，即可求出式，可得 C 点坐标；（ 2）以 AB为直径作圆 M，与 y轴交于点 P.因为 AB为直径，所以当抛物线上的点P在 C的内部时，满足 APB为钝角，根据题意可证得 P在 M上，由抛物线的对称性可知， ，可得 -1 m 0，或 3 m 4；（ 3）根据题意分两种情况进行讨论，即可得出答案： . 考点：二次函数综合题 点评：本题是二次函数的综合题，解答本题的关键是熟练掌握待定系数法求二次函数
18、式，学生还要熟练掌握数形结合思想、分类讨论思想的综合应用 .本题综合性强，有一定的难度 . 我们将使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点值，此时的点称为函数的零点例如，对于函数 ，令 ，可得 ，我们就说 1是函数的零点值，点 是函数 的零点 已知二次函数 （ 1）若函数有两个不重合的零点时，求 k的取值范围； （ 2）若函数的两个零点都是整数点，求整数 k的值； （ 3）当 k0时，在（ 2）的条件下，函数的两个零点分别是点 A， B（点 A在点 B的左侧），将二次函数的图象在点 A， B间的部分（含点 A和点 B）向左平移 个单位后得到的图象记为 ，同时将直线 向上平移 个单位请结合图象回
19、答：当平移后的直线与图象 有公共点时，求 的取值范围 答案：解 :（ 1） 二次函数有两个不重合的零点 当 且 时，二次函数有两个不重合的零点 （ 2）解方程得： , 或 函数的两个零点都是整数， 是整数， 是整数 （ 3） k0， ， 函数的两个零点分别是 A， B（点 A在点 B的左侧）， ， 平移后的点为 ， 平移后的式为 解得 ， 解得 试题分析：（ 1）根据题意可知 0且 ，解得即可；（ 2）令 y=0，解方程得 或 ，根据题意可知 是整数，即可得出 k值；（ 3）由 k0，可得 ，即可得出两函数式，得出 A， B两点坐标，表示出平移后的点为 ，和平移后的式 列式，解得 n值，即可得
20、出范围 . 考点：二次函数综合题 点评：本题是二次函数的综合题，解答本题的关键是熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系，是各地中考的热点和难点 . 如图，一次函数的图象与 轴、 轴分别相交 于 A、 B两点，且与反比例函数的图象在第二象限交于点 C如果点 A的坐标为 ， OA=2OB，点 B是AC的中点 （ 1）求点 C的坐标； （ 2）求一次函数和反比例函数的式 答案：解： 作 CD 轴于 D， CD BO OA=2OB， OB=2 点 B是 AC的中点， O是 AD的中点 OD=OA=4， CD=2OB=4 点 C的坐标为 设反比例函数的式为 ， 所求反比例函数的式为 设一次函数为 ， A（
21、 4,0）， C ， 解得： 所求一次函数的式为 试题分析：（ 1）作 CD 轴于 D，可得 CD BO根据点 A的坐标为（ 4，0）， OA=2OB，求出 B点坐标，根据点 B是 AC的中点，可知 O是 AD的中点即可得到点 C的坐标；（ 2）设反比例函数式为 ，代入 C点坐标，解得即可；设一次函数的式 y=kx+b，将点 A、点 C的坐标代入，运用待定系数法即可求出一次函数的式 考点：反比例函数与一次函数的交点问题 点评：本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解答本题的关键是熟练掌握运用待定系数法确定函数的式 如图， BC为 O的直径，以 BC为直角边作 Rt ABC， ACB=9
22、0，斜边AB与 O 交于点 D，过点 D作 O 的切线 DE交 AC 于点 E， DG BC 于点 F，交 O于点 G （ 1）求证： AE=CE； （ 2）若 AD=4， AE= ，求 DG的长 答案：（ 1）证明：连结 CD， 20题图 BC为 O的直径， ACB=90， AC是 O的切线 . 又 DE与 O相切， ED=EC 1= 3. BC为 O的直径， BDC=90. 1+ 2= 3+ A=90, A= 2. ED=EA. AE=CE. （ 2）解： AE= , AC=2AE= 在 Rt ACD中， 3+ 4= 3+ A=90, A= 4. DG BC于点 F， DG=2DF= 试题
23、分析：（ 1）连结 CD，根据切线的判定可得 AC是 O的切线，根据切线长定理可得 ED=EC ，可得 1= 3，由 BC 为 O 的直径，可得 BDC=90，可推出 A= 2.，可得 ED=EA，据此即可得出结论；（ 2）由（ 1）可求出 AC的值，根据勾股定理可得 CD的值，可得 ，根据 DG BC，可得 DG=2DF，计算即可得出答案： . 考点：圆周角定理；切线长定理；切线 的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；解直角三角形；垂径定理 . 点评：本题主要考查了圆周角定理，切线长定理，切线的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，解直角三角形，垂径定理 .解答本题的关键是熟练掌握基本定理的综
24、合运用 . 如图，点 P是菱形 ABCD的对角线 BD上一点，连结 AP、 CP，延长 CP交AD于 E，交 BA的延长线于 F （ 1）求证： DCP= DAP； （ 2）若 AB=2， DP:PB=1:2，且 PA BF，求对角线 BD的长 答案：（ 1）证明： 四边形 ABCD是菱形， CD=AD， CDP= ADP DP=DP， CDP ADP DCP= DAP （ 2）解： CD BA， CDP FPB CD=BA， BA=AF PA BF， PB=PF PBA= PFA PCD= PDC PD =PC=PA BD=BP+PD ， 在 Rt ABP中， ， AB=2， ， 试题分析：
25、（ 1）根据菱形的对角线平分一组对角可得 BDC= BDA，利用“边角边 ”证明 APD 和 CPD 全等，再根据全等三角形的对应边相等证明即可；（ 2）由 CD BA， 可得 CDP FPB，解直角三角形求出 PB，再求出 PD，根据 BD=BP+PD计算即可 考点：菱形的性质；相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质 . 点评：本题主要考查了菱形的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，全等三角形的判定与性质 .解答本题的关键是熟练掌握基本性质 如图，抛物线经过点 A、 B、 C （ 1）求此抛物线的式； （ 2）若抛物线和 x轴的另一个交点为 D，求 ODC的面积 答案：解：（
26、 1）由题意知 ， ， 设抛物线的式为 把 代入，解得 a=1 （ 2） 对称轴 x=1， 点 D的坐标为 试题分析：（ 1）由题意可知顶点 ，设出二次函数的顶点式，把 A点坐标代入，即可得解； （ 2）根据式即可得出对称轴，根据对称性得出 D点坐标，即可求出 ODC的面积 考点：待定系数法求二次函数式；抛物线与 x轴的交点 点评：本题主要考查了利用待定系数法求二次函数式，抛物线与 x轴的交点问题，以及三角形的面积公式，解题的关键是熟练掌握待定系数法求二次函数式 . 如图，已知 AB为 O的直径， CD是弦，且 AB CD于点 E连接 AC、OC、 BC （ 1）求证： ACO= BCD （
27、2）若 BE=3， CD=8，求 O的直径 答案：证明：（ 1） AB为 O的直径， CD是弦，且 AB CD于 E， CE=ED， BCD= BAC. OA=OC, OAC= OCA . ACO= BCD. （ 2） CD=8， CE=ED=4， 在 Rt BCE中， . AB为 O的直径， ACB= BEC=90. B= B， CBE ABC 答： O的直径为 试题分析：（ 1）根据垂径定理得出 ，根据圆周角定理得出 BCD= CAB，根据等腰三角形的性质得出 CAB= ACO，即可得出答案：；（ 2）根据垂径定理求出 CE，根据勾股定理求出 BC，证出 BCE和 BCA相似，即可得出比例
28、式，代入计算即可求出答案： 考点：垂径定理；勾股定理；等腰三角形性质；相似三角形的性质和判定 . 点评：本题主要考查了相似三角形的性质和判定，圆周角定理，垂径定理，等腰三角形性质，勾股定理等知识点的应用，解答本题的关键是培养学生综合运用定理进行推理和计算的能力 我区某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种在自然光照且温度为 18 的条件下生长 最快的新品种如图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度 y（ ）随时间 x （小时）变化的函数图象，其中 BC段是双曲线 的一部分请根据图中信息解答下列问题： （ 1）恒温系统在这天保持大棚内温度 18 的时间有 小时； （ 2）
29、求 k的值； （ 3）当 x=16时，大棚内的温度约为 度 答案：解：（ 1）恒温系统在这天保持大棚温度 18 的时间为 18-2=10小时 （ 2） 点 B（ 12， 18）在双曲线 上， 18= ， k=216. （ 3）当 x=16时， ， 所以当 x=16时，大棚内的温度约为 13.5度 试题分析：（ 1）根据图象直接得出大棚温度 18 的时间为 12-2=10（小时）；（ 2）利用待定系数法求反比例函数式即可；（ 3）将 x=16代入函数式求出 y的值即可 考点：反比例函数的应用；一次函数的应用 . 点评：本题主要考查了反比例函数的应用，一次函数的应用 .解答本题的关键是根据题意求出
30、反比例函数式 如图，小明要测量河内小岛 B到河边公路 AD的距离，在 A点测得，在 C点测得 ，又测得 米，求小岛 B到公路AD的距离 答案：解：过 B作 BE AD于 E ， ， BC = AC=50（米） 在 Rt BCE中， （米） 答：小岛 B到公路 AD的距离是 米 . 试题分析：作 BE AD于点 E，由题意可得 AC=BC在 Rt BCE中，利用sin BCE即可求得 BE的长，即小岛 B到公路 AD的距离 考点：解直角三角形的应用 -方向角问题 点评：本题主要考查了解直角三角形的应用 -方向角问题解答本题的关键是学生要熟练掌握：三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和；等角对等
31、边；一个角的正弦值等于这个角所在的直角三角形中对边与斜边之比 已知：如图， D是 AC上一点， DE AB， B= DAE （ 1）求证： ABC DAE； （ 2）若 AB=8， AD=6， AE=4，求 BC的长 答案：（ 1）证明： DE AB， ADE= CAB B= DAE， ABC DAE （ 2） ABC DAE. AB=8， AD=6， AE=4， 试题分析：（ 1）根据有两组对角分别相等的两个三角形相似证明即可（ 2）根据相似三角形的对应边成比例即可得出关于 AE的比例式，计算即可求出 AE的长 考点：相似三角形的判定与性质 点评：本题主要考查相似三角形的判定与性质解答本题的关键 是熟练掌握相似三角形的判定与性质 .学生还要熟练掌握数形结合思想的应用 .
