1、绝密启用前 2010 年普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷) 数学 (文史类) 数学试题卷（文史类）共 4 页。满分 150 分。考试时间 l20 分钟。 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分在每小题给出的四个备选项中只 有一项是符合题目要求的 （ 1） 4 (1)x+ 的展开式中 2 x 的系数为 （ A） 4 （ B） 6 （ C） 10 （ D） 20 （ 2）在等差数列 n a 中， 19 10aa+=，则 5 a 的值为 （ A） 5 （ B） 6 （ C） 8 （ D） 10 （ 3）若向量 (3, )am= ， (2, 1)b=， 0ab=null ，
2、则实数 m的值为 （ A） 3 2 （ B） 3 2 （ C） 2 （ D） 6 （ 4）函数 16 4 x y =的值域是 （ A） 0, )+ （ B） 0,4 （ C） 0,4) （ D） (0,4) （ 5）某单位有职工 750 人，其中青年职工 350 人，中年职工 250 人，老年职工 150 人，为 了了解该单位职工的健康情况， 用分层抽样的方法从中抽取样本 . 若样本中的青年职 工为 7 人，则样本容量为 （ A） 7 （ B） 15 （ C） 25 （ D） 35 （ 6）下列函数中，周期为 ，且在 , 42 上为减函数的是 （ A） sin(2 ) 2 yx =+ （ B）
3、 cos(2 ) 2 yx = + （ C） sin( ) 2 yx =+ （ D） cos( ) 2 yx =+ （ 7）设变量 ,x y满足约束条件 0, 0, 220, x xy xy 则 32zxy= 的最大值为 （ A） 0 （ B） 2 （ C） 4 （ D） 6 （ 8）若直线 yxb=与曲线 2cos, sin x y =+ = （ 0,2 ) ）有两个不同的公共点，则实数 b的取值范围为 （ A） (2 2,1) （ B） 2 2,2 2+ （ C） (,2 2)(2 2,) + +U （ D） (2 2,2 2)+ （ 9）到两互相垂直的异面直线的距离相等的点 （ A）只有
4、 1 个 （ B）恰有 3 个 （ C）恰有 4 个 （ D）有无穷多个 （ 10）某单位拟安排 6 位员工在今年 6 月 14 日至 16 日（端午节假期）值班，每天安排 2 人，每人值班 1 天；若 6 位员工中的甲不值 14 日，乙不值 16 日，则不同的安排方法 共有 （ A） 30 种 （ B） 36 种 （ C） 42 种 （ D） 48 种 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分把答案填写在答题卡相应位置上 （ 11）设 |10, | 0Axx Bxx=+= ，则函数 2 41tt y t + = 的最小值为 _ . （ 13）已知过抛物线 2 4y x=
5、的焦点 F 的直线交该抛物线于 A、 B 两点， 2AF = ，则 BF =_ _ . （ 14）加工某一零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的 次品 率分别为 1 70 、 1 69 、 1 68 ，且各道工序互不影响，则 加工出来的零件的次品率为 _ . （ 15）如题（ 15）图，图中的实线是由三段圆弧连接而成的一条 封闭曲线 C ， 各段弧所在的圆经过同一点 P（点 P 不在 C 上）且半径相等 . 设第 i 段弧所对的圆心角为 (1,2,3) i i = ，则 23 2311 cos cos sin sin 33 33 + =_ . 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分解
6、答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 （ 16） （本小题满分 13 分， （）小问 6 分， （）小问 7 分 . ） 已知 n a 是首项为 19，公差为 -2 的等差数列， n S 为 n a 的前 n项和 . （）求通项 n a 及 n S ； （）设 nn ba 是首项为 1，公比为 3 的等比数列，求数列 n b 的通项公式及其前 n 项和 n T . （ 17） （本小题满分 13 分， （）小问 6 分， （）小问 7 分 . ） 在甲、乙等 6 个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目集中 安排在一起 . 若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序（序号为 1,2
7、， 6） ， 求： （）甲、乙两单位的演出序号均为偶数的概率； （）甲、乙两单位的演出序号不相邻的概率 . （ 18） （本小题满分 13 分） ， （）小问 5 分， （）小问 8 分） 设 ABC 的内角 A、 B、 C 的对边长分别为 a、 b、 c,且 3 2 b +3 2 c -3 2 a =4 2 bc . ( ) 求 sinA 的值； ( )求 2sin( )sin( ) 44 1cos2 ABC A + 的值 . (19) (本小题满分 12 分 ), ( )小问 5 分， ( )小问 7 分 .) 已知函数 32 ()f xaxxbx=+(其中常数 a,b R), () ()
8、 ()gx fx f x= + 是奇函数 . ( )求 ()f x 的表达式 ; ( )讨论 ()gx的单调性，并求 ()gx在区间上的最大值和最小值 . （ 20） （本小题满分 12 分， （）小问 5 分， （）小问 7 分 . ） 如题（ 20）图，四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD为矩 形， PA底面 ABCD， 2PA AB=，点 E 是棱 PB 的中点 . （）证明： AE 平面 PBC ； （）若 1AD= ，求二面角 B EC D 的平面角的余弦 值 . （ 21） （本小题满分 12 分， （）小问 5 分， （）小问 7 分 . ） 已知以原点 O为中心， (5,0
9、)F 为右焦点的双曲 线 C 的离心率 5 2 e= . （）求双曲线 C 的标准方程及其渐近线方程； （）如题（ 21）图，已知过点 11 (, )M xy的直线 1 l ： 11 44xx yy+ = 与过点 22 (, )Nx y （其中 21 x x ）的直线 2 l ： 22 44xx yy+ = 的交点 E 在双曲线 C 上，直线 MN 与双 曲线的两条渐近线分别交于 G 、 H 两点，求 OG OH uuur uuur null 的值 . 参考答案 1-10 BADCB ACDDC 二填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分把答案填写在答题卡相应位置上 （ 11）
10、解析： |1 |0 |1 0 xx xx x x = Q ，当且仅当 1t = 时， min 2y = （ 13）解析：由抛物线的定义可知 1 2AF AA KF= = ABx 轴 故 AF = BF =2 （ 14）解析：加工出来的零件的次品的对立事件为零件是正品，由对立事件公式得 加工出来的零件的次品率 69 68 67 3 1 70 69 68 70 p = = （ 15）解析： 23 23 12311 cos cos sin sin cos 33 33 3 + = 又 123 2 +=，所以 123 1 cos 32 + + = 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分解答应写出文
11、字说明、证明过程或演算步骤 （ 16）解： （ I）因为 n a 是首项为 ,19 1 =a 公差 2=d 的等差数列， 所以 ,212)1(219 += nna n 2 )1( 19 + += nn nS （ II）由题意 ,3 1+ = n nn ab 所以 , 1+ = n n bb . 2 13 20 )331( 2 1 += += n n nn nn ST L （ 17） 解：考虑甲、乙两个单位的排列，甲、乙两单位可能排列在 6 个位置中的任两个，有 30 2 6 =A 种等可能的结果。 （ I）设 A 表示“甲、乙的演出序号均为偶数” 则 A 包含的结果有 6 2 3 =A 种，
12、故所求概率为 . 5 1 30 6 )( =AP （ II）设 B 表示“甲、乙两单位的演出序号不相邻” 则 B 表示甲、乙两单位序号相邻， B 包含的结果有 10!25 = 种。 从而 . 3 2 30 10 1)(1)( = BPBP （ 18）解： （ I）由余弦定理得 , 3 22 2 cos 222 = + = bc acb A 又 . 3 1 cos1sin,0 2 = AAA 故 （ II）原式 A AA 2cos1 ) 4 sin() 4 sin(2 + = A AA 2 sin2 ) 4 sin() 4 sin(2 + = A AAAA 2 sin2 )cos 2 2 sin
13、 2 2 )(cos 2 2 sin 2 2 (2 + = . 2 7 sin2 cossin 2 22 = = A AA （ 19） 解： （）由题意得 .23)( 2 bxaxxf += 因此 )(.)2()13()()()( 22 xgbxbxaaxxfxfxg 因为函数+=+= 是奇函数， 所以 ,),()( xxgxg 即对任意实数= 有 ,)2()13()(2()(13()( 2223 bxbxaaxbxbxaxa +=+ 从而 的解析表达式为因此解得 )(,0, 3 1 ,0,013 xfbaba =+ . 3 1 )( 23 xxxf += （） 由 （） 知 2,0)(,2)
14、(,2 3 1 )( 1 22 =+=+= xxgxxgxxxg 解得令所以 ， ),2,2,()(,0)(,22,2 2 += 在区间从而时或则当 xgxgxxx 上是减函数； 当 ,22 时 xg 从而 )(xg 在区间 2,2 上是增函数。 由前面讨论知， ,2,2,12,1)( 时取得能在上的最大值与最小值只在区间 =xxg 而 . 3 4 )2(, 3 24 )2(, 3 5 )1( = ggg 因此 上的最大值为在区间 2,1)(xg 3 24 )2( =g ，最小值为 . 3 4 )2( =g （ 20） （ I）证明：如答（ 20）图 1，由 PA底面 ABCD，得 PA AB
15、，由 PA=AB 知 PAB 为等腰直角三角形，又点 E 是棱 PB 的中点，故 AE PB 由题意知 BC AB，又 AB 是 PB 在面 ABCD 内的射影， 由垂线定理得 BC PB，从而 PC平面 PAB， 因 AE BP， AE BC，所以 AE平面 PBC。 （ II）解：由（ I）知 BC平面 PAB，又 AD/BC， 得 AD平面 PAB，故 AD AE。 在 PABRt 中， PA=AB= 2 ， .1 2 1 2 1 22 =+= ABPAPBAE 从而在 2.2, 22 =+= CDBCBECECBERt 又中 ， 所以 CED 为等边三角形， 取 CE 的中点 F，连接
16、 DF，则 .CEDF 因 BE=BC=1，且 BC BE，则 EBC 为等腰直角三角形，连接 BF，则 BF CE， 所以 BFD 为所求的二面角的平面角。 连接 BD，在 RFD 中， .3, 2 2 2 1 , 2 6 3 sin 22 =+= CDBCBDCEBFCDDF 所以 . 3 3 2 cos 222 = + = BFDF BDBFDF BFD 故二面角 B EC D 的平面角的余弦值为 . 3 3 解法二： （ I）如答（ 20）图 2，以 A 为坐标原点，射线 AB、 AD、 AP 分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴正 半轴，建立空间直角坐标系 A xyz. 设 D（ 0，
17、 a， 0） ，则 )0,2(),0,0,2( aCB ) 2 2 ,0, 2 2 (),2,0,0( EP . 于是 )0,0(), 2 2 ,0, 2 2 ( aBCAE = )2,2( = aPC 则 0,0 = PCAEBCAE ，所以 AE平面 PBC. （ II）解：设平面 BEC 的法向量为 n，由（ I）知， AE平面 BEC， 故可取 ) 2 2 ,0, 2 2 ( 1 = EAn 设平面 DEC 的法向量 ),( 2222 zyxn = ，则 0 2 =DCn ， .0 2 =DEn 由 | AD =1，得 )0,1,2(),0,1,0( CD 从而 ), 2 2 ,1,
18、2 2 (),0,0,2( = DEDC 故 =+ = 0 2 2 2 2 ,0 222 2 zyx x 所以 .2,0 222 yzx = 可取 )2,1,0(,1 22 = ny 则 从而 . 3 3 | ,cos 21 21 21 = = nn nn nn 所以二面角 B EC D 的平面角的余弦值为 . 3 3 （ 21） （本题 12 分） 解： （ I）设 C 的标准方程是 )0,0(1 2 2 2 2 = ba b y a x ， 则由题意 . 2 5 ,5 = a c ec 因此 ,1,2 22 = acba C 的标准方程为 .1 4 2 2 = y x C 的渐近线方程为
19、.0202, 2 1 =+= yxyxxy 和即 （ II）解法一：如图（ 21）图，由题意点 ),( EE yxE 在直线 44: 11 =+ yyxxl 和 44: 122 =+ yyxxl 上，因此有 EEE xxyyxx 211 ,44 =+ 44 2 =+ E yy 故点 M、 N 均在直线 44 =+ yyxx EE 上，因此直线 MN 的方程为 .44 =+ yyxx EE 设 G、 H 分别是直线 MN 与渐近线 02 = yx 及 02 =+ yx 的交点， 由方程组 =+ =+ = =+ ,02 ,44 02 ,44 yx yyxx yx yyxx EEEE 及 解得 .
20、2 2 2 4 , 2 2 , 2 4 = = + = + = EE N EE N EE C EE C yx y yx x yx y yx x 故 EEEEEEEE yxyxyxyx OGOG 2 2 2 2 2 4 2 4 + + = . 4 12 22 EE yx = 因为点 E 在双曲线 .44,1 4 222 2 = EE yxy x 有上 所以 .3 4 12 22 = = EE yx OHOG 解法二：设 ),( EE yxE ，由方程组得 =+ =+ ,44 ,44 22 11 yyxx yyxx 解得 , )(4 1221 21 1221 12 yxyx xx y yxyx yy x EE = = 故直线 MN 的方程为 ).( 4 11 xx y x yy E E = 注意到 ,44 11 =+ EE yyxx 因此直线 MN 的方程为 44 =+ yyxx EE ， 下同解法一 .
