1、2009 年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷） 数 学（理工农医科） 第卷 本试卷共 12小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 参考公式： 如果事件 AB， 互斥，那么 球的表面积公式 2 4SR= ()()()PA B PA PB+= + 其中 R表示球的半径 如果事件 AB， 相互独立，那么 球的体积公式 3 4 3 VR= ( ) () ()PAB PAPB=nullnull 其中 R表示球的半径 一、选择题： 1. 设集合 2 |5, |4210,Sxx Txx x=+则 ST=I . |7 5xx . |3 5xx . |5
2、3xx . |7 5xx .已知函数 2 2 log ( 2 ) () 4 (2 2 axx fx x x x + = 。则“ ab ”是“ acbd ”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知双曲线 22 2 1( 0) 2 xy b b =的左右焦点分别为 12 ,FF，其一条渐近线方程为 yx= ， 点 0 (3, )Py在该双曲线上，则 12 PF PF uuur uuuur = A. -12 B. -2 C. 0 D. 4 8. 如图，在半径为 3 的球面上有 ,ABC三点， 90 ,ABC BA BC = =， 球心 O
3、到平面 ABC的距离是 32 2 ，则 B C、 两点的球面距离是 A. 3 B. C. 4 3 D.2 9. 已知直线 1 :4 3 6 0lxy +=和直线 2 :1lx= ，抛物线 2 4y x= 上一动点 P 到直线 1 l 和 直线 2 l 的距离之和的最小值是 A.2 B.3 C. 11 5 D. 37 16 10. 某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用 A 原料3吨、B 原料 2吨；生产 每吨乙产品要用 A 原料1 吨、B 原料3 吨。销售每吨甲产品可获得利润 5万元，每吨乙 产品可获得利润 3 万元，该企业在一个生产周期内消耗 A 原料不超过 13 吨，B 原料不
4、超过 18 吨，那么该企业可获得最大利润是 A. 12 万元 B. 20 万元 C. 25 万元 D. 27 万元 11. 3 位男生和 3 位女生共 6 位同学站成一排，若男生甲不站两端，3 位女生中有且只有两 位女生相邻，则不同排法的种数是 A. 360 B. 228 C. 216 D. 96 12. 已知函数 ()f x 是定义在实数集 R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数 x 都有 (1)(1)()xfx xfx+=+ ，则 5 () 2 ff 的值是 A.0 B. 1 2 C.1 D. 5 2 第卷 考生注意事项： 请用 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上书写
5、作答无效 二、填空题：本大题共4 小题，每小题 4分，共16 分把答案填在题中横线上 13. 6 1 (2 ) 2 x x 的展开式的常数项是 （用数字作答） 14.若 22 1 :5Ox y+=与 22 2 :( ) 20( )Oxm y mR+= 相交于 A、B两点，且两圆在点 A 处的切线互相垂直，则线段 AB 的长度是 15. 如图，已知正三棱柱 111 ABC ABC 的各条棱长都相等， M 是 侧棱 1 CC 的中点，则异面直线 1 AB BM和 所成的角的大小 是 。 16设 V 是已知平面 M 上所有向量的集合，对于映射 :,f VVaV，记 a的象为 ()f a 。若映射 :
6、f VV 满足：对所有 ,ab V 及任意 实数 , 都有 ()()()f ab fa fb += + ，则 f 称为平面 M 上的线性变换。现有 下列命题： 设 f 是平面 M 上的线性变换，则 (0) 0f = 对 ,()2aV fa a=设 ，则 f 是平面 M 上的线性变换； 若 e是平面 M 上的单位向量，对 aV ，设 ()f aae= ，则 f 是平面 M 上的线性 变换； 设 f 是平面 M 上的线性变换， ,ab V ，若 ,ab共线，则 (), ()f afb也共线。 其中真命题是 （写出所有真命题的序号） 三、解答题：本大题共6 小题，共74 分解答应写出文字说明、证明过
7、程或演算步骤 17. （本小题满分 12 分） 在 ABCnull 中， ,A B 为锐角，角 ,A BC所对应的边分别为 ,abc，且 310 cos2 ,sin 51 AB= （I）求 A B+ 的值； （II）若 21ab= ，求 ,abc的值。 18. （本小题满分 12 分） 为振兴旅游业，四川省 2009 年面向国内发行总量为 2000 万张的熊猫优惠卡，向省外人 士发行的是熊猫金卡（简称金卡） ，向省内人士发行的是熊猫银卡（简称银卡） 。某旅游公司 组织了一个有 36 名游客的旅游团到四川名胜旅游，其中 3 4 是省外游客，其余是省内游客。 在省外游客中有 1 3 持金卡，在省内
8、游客中有 2 3 持银卡。 （I）在该团中随机采访 3 名游客，求恰有 1 人持金卡且持银卡者少于 2人的概率； （II）在该团的省内游客中随机采访 3 名游客，设其中持银卡人数为随机变量 ，求 的分布列及数学期望 E 。 19（本小题满分 12 分） 如图，正方形 ABCD所在平面与平面四边形 ABEF 所在平面互相垂直， ABE 是等腰直角三角形， ,45AB AE FA FE AEF = （I）求证： EFBCE平面 ； （II）设线段 CD 的中点为 P ，在直线 AE 上是否存在一点 M ，使得 /PM BCE平面 ？若存在，请指出点 M 的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理
9、由； （III）求二面角 FBDA的大小。 20（本小题满分 12 分） 已知椭圆 22 2 1( 0) xy ab ab +=的左右焦点分别为 12 ,FF，离心率 2 2 e= ，右准线方 程为 2x= 。 （I）求椭圆的标准方程； （II）过点 1 F 的直线 l与该椭圆交于 ,M N 两点，且 22 226 3 FM FN+= uuuur uuuur ，求直线 l的 方程。 21. （本小题满分 12 分） 已知 0, 1aa且 函数 () log(1 ) x a f xa=。 （I）求函数 ()f x 的定义域，并判断 ()f x 的单调性； （II）若 () * ,lim ; fn
10、 n n a nN aa + + 求 （III）当 ae= （ e为自然对数的底数）时，设 () 2 () (1 )( 1) fx hx e x m= +，若函数 ()hx的极值存在，求实数 m的取值范围以及函数 ()hx的极值。 22. （本小题满分 14 分） 设数列 n a 的前 n 项和为 n S ，对任意的正整数 n ，都有 51 nn aS= + 成立，记 * 4 () 1 n n n a bnN a + = 。 （I）求数列 n b 的通项公式； （II）记 * 221 () nnn cbb nN = ，设数列 n c 的前 n项和为 n T ，求证：对任意正整数 n，都有 3
11、2 n T ； （III）设数列 n b 的前 n项和为 n R 。已知正实数 满足：对任意正整数 , n nR n 恒 成立，求 的最小值。 数学（理工农医类）参考答案 一、 选择题：本体考察基本概念和基本运算。每小题 5分，满分 60 分。 （1） C （2） B (3) A (4) D (5) D (6) B (7) C (8) B (9) A （10）D (11) B (12) A 二、填空题：本题考查基础知识和基本运算。每小题4 分，满分16 分。 （13） -20 （14）4 （15） 90 o （16） 三、解答题 （17）本小题主要考查同角三角函数间的关系，两角和差的三角函数、
12、二倍角公式、正弦 定理等基础知识及基本运算能力。 解： （） AQ 、 B为锐角， 10 sin 10 B = ， 2 310 cos 1 sin 10 BB = = 又 2 3 cos2 1 2sin 5 AA= = ， 5 sin 5 A = ， 2 25 cos 1 sin 5 AA= = ， 25 310 5 10 2 cos( ) cos cos sin sin 5105102 AB A B A B += = = 0 AB+ 当 01a 时， ()f x 的定义域是 0（，） ， ln () log 11 xx a aa a fx e = g 当 01a时， (0, )x+，因为 1
13、0, 0 xx aa ，故 () 0fx 时， (,0)x ，因为 10, 0 xx aa ，故 () 0fx 0,因为n 是正整数，故 0a1. 所以 () 11 lim lim fn n nn nn aa aa aaa = + 6 分 （） 2 )( 1)(0) x hx e x m x=+ ， 故 ()hx 无极值 当 01m时， () 0hx = 有两个实根 12 1, 1x mx m= = + 当 x 变化时， ()hx 、 ()hx的变化情况如下表所示： x 1 (,)x 1 x 12 (, )x x 2 x 2 (,0)x ()hx + 0 - 0 + ()hx 极大值 极小值
14、()hx 的极大值为 1 2(1) m em + ， ()hx的极小值为 1 2(1) m em + 当 1m 时， () 0hx = 在定义域内有一个实根， 1x m= 同上可得 ()hx的极大值为 1 2(1) m em + 综上所述， 0+m（， ） 时，函数 ()hx有极值； 当 01m时 ()hx 的极大值为 1 2(1) m em + ， ()hx 的极小值为 1 2(1) m em + 当 1m 时， ()hx的极大值为 1 2(1) m em + （22）本小题主要考查数列、不等式等基础知识、考查化归思想、分类整合思想，以及推理 论证、分析与解决问题的能力。 解： （）当 1n
15、= 时， 11 1 1 51, 4 aa a=+= 又 11 51, 5 1 nnn n aaa a + =+ = +Q 111 1 5, 4 nnn n n aaa a a + = =即 数列 n a 成等比数列，其首项 1 1 4 a = ，公比是 1 4 q = 1 () 4 n n a = 1 4( ) 4 1 1( ) 4 n n n b + = .3分 （）由（）知 5 4 (4) 1 n n b =+ 221221 5 5 25 16 4 1 4 1 (16 1)(16 4) n nnn nn nn cbb = = + = + = 22 25 16 25 16 25 (16 )
16、3 16 4) (16 ) 16 nn nn nn = + 又 12 1 13 4 3, , 33 bb c= 当 1 3 1 2 nT=时， 当 23 4111 225( ) 3161616 n n nT+K时， 1 2 2 11 1 ( ) 4 16 16 25 1 3 1 16 1 4693 16 25 .7 1 3482 1 16 n =+ + = 41n 41, 4 1 n nR n n 即（ ） 对一切大于 1 的奇数n 恒成立 4, 4 1n 否则，（ ） 只对满足 1 4 n 的正奇数 n 成立，矛盾。 另一方面，当 4 = 时，对一切的正整数 n 都有 4 n R n 恒成立
17、 事实上，对任意的正整数 k，有 21 2 21 2 55 8 (4) 1 (4) 1 nn kk bb +=+ + 520 8 (16) 1 (16) 4 kk =+ + 15 16 40 88 (16 1)(16 4) k kk = + 当 n 为偶数时，设 * 2( )nmmN= 则 12 34 212 ()()( ) nmm R bb bb b b =+ +K 84mn= 当 n 为奇数时，设 * 21( )nmmN= 则 12 34 2322 21 ()()( ) nmm R bb bb b b b =+ + +K 8( 1) 4 8 4 4mmn+= = 对一切的正整数 n，都有 4 n R n 综上所述，正实数 的最小值为 414分
