1、2007 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 本试卷分第卷 （选择题） 和第卷 （非选择题） 两部分 第卷 1 至 2 页 第 卷 3 至 4 页考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 第卷 注意事项： 1答题前，考生在答题卡上务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考 证号填写清楚，并贴好条形码请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目 2每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效 3本卷共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的 参
2、考公式： 如果事件 A B， 互斥，那么 球的表面积公式 ()()()PA B PA PB+= + 2 4SR= 如果事件 A B， 相互独立，那么 其中 R 表示球的半径 ( ) () ()PAB PA PB=ii 球的体积公式 如果事件 A在一次试验中发生的概率是 p ，那么 3 4 3 VR= n次独立重复试验中事件 A恰好发生 k 次的概率 其中 R 表示球的半径 () (1 ) ( 012 ) kk nk nn Pk Cp p k n =， ， ， ， 一、选择题 （ 1） 是第四象限角， 5 tan 12 = ，则 sin =（ ） A 1 5 B 1 5 C 5 13 D 5 1
3、3 （ 2）设 a是实数，且 1i 1i 2 a + + + 是实数，则 a =（ ） A 1 2 B 1 C 3 2 D 2 （ 3）已知向量 (56)=，a ， (6 5)= ，b ，则 a 与 b （ ） A垂直 B不垂直也不平行 C平行且同向 D平行且反向 （ 4）已知双曲线的离心率为 2 ，焦点是 (40) ， ， (4 0)， ，则双曲线方程为（ ） A 22 1 412 xy = B 22 1 12 4 xy = C 22 1 10 6 xy = D 22 1 610 xy = （ 5）设 abR， ，集合 10 b aba b a += ， ， ，则 ba =（ ） A 1 B
4、 1 C 2 D 2 （ 6）下面给出的四个点中，到直线 10 xy +=的距离为 2 2 ，且位于 10 10 xy xy + ， 表示 的平面区域内的点是（ ） A (1 1)， B (11) ， C (1 1) ， D (1 1)， （ 7）如图，正四棱柱 111 1 ABCD ABC D 中， 1 2AA AB= ，则异面直线 1 AB与 1 AD 所成角的余弦值为（ ） A 1 5 B 2 5 C 3 5 D 4 5 （ 8）设 1a ，函数 () log a f xx= 在区间 2aa， 上的最大值与最小值之差为 1 2 ，则 a = （ ） A 2 B 2 C 22 D 4 （
5、9） ()f x ， ()gx是定义在 R 上的函数， () () ()hx f x gx= + ，则“ ()f x ， ()gx均为偶 函数”是“ ()hx为偶函数”的（ ） A充要条件 B充分而不必要的条件 C必要而不充分的条件 D既不充分也不必要的条件 （ 10） 2 1 n x x 的展开式中，常数项为 15，则 n=（ ） A 3 B 4 C 5 D 6 （ 11）抛物线 2 4y x= 的焦点为 F ，准线为 l，经过 F 且斜率为 3 的直线与抛物线在 x轴 上方的部分相交于点 A， AKl ，垂足为 K ，则 AKF 的面积是（ ） A 4 B 33 C 43 D 8 （ 12
6、）函数 22 () cos 2cos 2 x fx x= 的一个单调增区间是（ ） A 2 33 ， B 62 ， C 0 3 ， D 66 ， 第卷 注意事项： A B 1 B 1 A 1 D 1 C C D 1答题前，考生先在答题卡上用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证 号填写清楚，然后贴好条形码请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目 2第卷共 2 页，请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作 答，在试题卷上作答无效 3本卷共 10 题，共 90 分 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在横线上 （ 13）从班委会
7、 5 名成员中选出 3 名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中 甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有 种 （用数字作答） （ 14）函数 ()yfx= 的图像与函数 3 log ( 0)yxx= 的图像关于直线 yx= 对称，则 ()f x = （ 15）等比数列 n a 的前 n 项和为 n S ，已知 1 S ， 2 2S ， 3 3S 成等差数列，则 n a 的公比 为 （ 16）一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上已知正三棱柱的底面 边长为 2，则该三角形的斜边长为 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
8、 （ 17） （本小题满分 10 分） 设锐角三角形 ABC 的内角 A BC， 的对边分别为 abc， ， 2sinabA= （）求 B 的大小； （）求 cos sinA C+ 的取值范围 （ 18） （本小题满分 12 分） 某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数 的分布列为 1 2 3 4 5 P 0.4 0.2 0.2 0.1 0.1 商场经销一件该商品，采用 1 期付款，其利润为 200 元；分 2 期或 3 期付款，其利润为 250 元；分 4 期或 5 期付款，其利润为 300 元 表示经销一件该商品的利润 （）求事件 A： “购买该商品的 3 位顾客中，至少有
9、 1 位采用 1 期付款”的概率 ()PA； （）求 的分布列及期望 E （ 19） （本小题满分 12 分） 四棱锥 SABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形，侧面 SBC 底面 ABCD 已知 45ABC = null ， 2AB = ， 22BC = ， 3SA SB= （）证明 SA BC ； （）求直线 SD与平面 SAB 所成角的大小 D B C A S （ 20） （本小题满分 12 分） 设函数 () e e x x fx = （）证明： ()f x 的导数 () 2fx ； （）若对所有 0 x 都有 ()f xax ，求 a的取值范围 （ 21） （本小题满分 12 分
10、） 已知椭圆 22 1 32 xy +=的左、右焦点分别为 1 F ， 2 F 过 1 F 的直线交椭圆于 B D， 两点，过 2 F 的直线交椭圆于 A C， 两点，且 ACBD ，垂足为 P （）设 P 点的坐标为 00 ()x y， ，证明： 22 00 1 32 xy + ； （）求四边形 ABCD的面积的最小值 （ 22） （本小题满分 12 分） 已知数列 n a 中 1 2a = ， 1 (2 1)( 2) nn aa + =+， 123n= ， ， （）求 n a 的通项公式； （）若数列 n b 中 1 2b = ， 1 34 23 n n n b b b + + = + ，
11、 123n= ， ， ， 证明： 43 2 nn ba ， 2263 B = 2 336 A +， 所以 13 sin 232 A + 由此有 33 3sin 3 232 A + 时， () e e 2 0 xx gx a a =+ ， 故 ()gx在 (0 )+， 上为增函数， 所以， 0 x 时， () (0)gx g ，即 ()f xax （）若 2a ，方程 () 0gx = 的正根为 2 1 4 ln 2 aa x + = ， 此时，若 1 (0 )x x ， ，则 () 0gx ，故 ()gx在该区间为减函数 所以， 1 (0 )x x ， 时， () (0) 0gx g=，即 (
12、)f xax ，与题设 ()f xax 相矛盾 综上，满足条件的 a的取值范围是 ( 2， （ 21）证明： （）椭圆的半焦距 321c =， 由 AC BD 知点 P 在以线段 12 FF 为直径的圆上，故 22 00 1xy+ = ， 所以， 2222 0002 1 1 32 222 yxyx += （） （）当 BD的斜率 k 存在且 0k 时， BD的方程为 (1)ykx= + ，代入椭圆方程 22 1 32 xy +=，并化简得 2222 (3 2) 6 3 6 0kxkxk+= 设 11 ()B xy， ， 22 ()Dx y， ，则 2 12 2 6 32 k xx k += +
13、 ， 2 12 2 36 32 k xx k = + 2 222 12 22 12 2 43( 1) 1(1)()4 32 k BD k x x k x x x x k + =+ = + + = + ii ； B 1 F O 2 F P D A y x C 因为 AC 与 BC 相交于点 P ，且 AC 的斜率为 1 k ， 所以， 22 2 2 1 43 1 43( 1) 1 23 32 kk AC k k + + = + + 四边形 ABCD的面积 22 22 222 22 1 24( 1) ( 1) 96 2(32(3 5 (3 2) (2 3) 2 kk SBDAC kk kk +24
14、+ = = + + + i 当 2 1k = 时，上式取等号 （）当 BD的斜率 0k = 或斜率不存在时，四边形 ABCD的面积 4S = 综上，四边形 ABCD的面积的最小值为 96 25 （ 22）解： （）由题设： 1 (2 1)( 2) nn aa + =+ (2 1)( 2) (2 1)(2 2) n a=+ (2 1)( 2) 2 n a=+， 1 2(21)( 2) nn aa + = 所以，数列 2 n a 是首项为 22 ，公比为 21 的等比数列， 22(21) n n a = ， 即 n a 的通项公式为 2(2 1) 1 n n a =+ ， 123n= ， ， （）用数学归纳法证明 （）当 1n= 时，因 22 ， 11 2ba= = ，所以 11 2 ba ，结论成立 （）假设当 nk= 时，结论成立，即 43 2 kk ba ， 也即 43 02 3 kk ba + ， 又 11 322 23 22 3 k b = + + ， 所以 1 (3 2 2)( 2) 2 23 k k k b b b + = + 2 (3 2 2) ( 2) k b 4 43 (2 1)( 2) k a 41 2 k a + = 也就是说，当 1nk=+时，结论成立 根据（）和（）知 43 2 nn ba ， 123n= ， ，
