1、2005 年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷） 数学（文史类） 本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分，第 I 卷 1至 2 页，第 II 卷 3 至 9 页，共 150 分。考试时间 120 分钟。考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。 第 I 卷（选择题共 40 分） 注意事项： 1答第 I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。 2每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后， 再选涂其他答案标号。不能答在试卷上。 一、本大题共 8 小题每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题
2、目要求的一项 . （ 1）设集合 M=x| x1， P=x| x 2 1，则下列关系中正确的是 （ A） M P （ B） PM （ C） MP （ D） M PR= （ 2）为了得到函数 3 21 x y =的图象，只需把函数 2 x y = 上所有点 （ A）向右平移 3 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度 （ B）向左平移 3 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度 （ C）向右平移 3 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度 （ D）向左平移 3 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度 （ 3） “ m= 2 1 ”是“直线 (m+2)x+3my+1=0 与直线 (m 2)x+(m
3、+2)y 3=0 相互垂直”的 （ A）充分必要条件 （ B）充分而不必要条件 （ C）必要而不充分条件 （ D）既不充分也不必要条件 （ 4）若 |1,|2,abcab=+ nullnullnullnullnull ，且 ca nullnull ，则向量 a null 与 b null 的夹角为 （ A） 30 （ B） 60 （ C） 120 （ D） 150 （ 5）从原点向圆 x 2 y 2 12y 27=0 作两条切线，则这两条切线的夹角的大小为 （ A） 6 （ B） 3 （ C） 2 （ D） 3 2 （ 6）对任意的锐角 ，下列不等关系中正确的是 第 2 页 共 8 页 （ A
4、） sin(+)sin+sin （ B） sin(+)cos+cos （ C） cos(+)sin sin （ D） cos(+)0； 12 1 2 () () () 22 x xfxfx f + 0）与直线 l 2 ： y kx 之间的阴影 区域（不含边界）记为 W，其左半部分记为 W 1 ，右半部分记为 第 4 页 共 8 页 W 2 （ I）分别用不等式组表示 W 1 和 W 2 ； （ II）若区域 W 中的动点 P(x， y)到 l 1 ， l 2 的距离之积等于 d 2 ，求点 P 的轨迹 C 的方程； （ III）设不过原点 O 的直线 l 与（ II）中的曲线 C 相交于 M
5、1 ， M 2 两点，且与 l 1 ， l 2 分别交于 M 3 ， M 4 两 点求证 OM 1 M 2 的重心与 OM 3 M 4 的重心重合 第 5 页 共 8 页 2005 年普通高等学校招生全国统一考试数学 （文史类） （北京卷）参考答案 一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分） （ 1） C （ 2） A （ 3） B （ 4） C （ 5） B （ 6） D （ 7） C （ 8） B 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分） （ 9） x= 1； (1, 0) （ 10） 20 （ 11） 1, 2) (2, + ) （ 12） 2
6、（ 13） （ 14） 65； 20 三、解答题（本大题共 6 小题，共 80 分） （ 15） （共 12 分） 解： （ I） tan 2 =2, 2 2tan 22 4 2 tan 14 3 1tan 2 = ; 所以 tan tan tan 1 4 tan( ) 41ta 1tan tan 4 + + += = = 4 1 1 3 4 7 1 3 + = + ； （ II）由 (I), tan = 3 4 , 所以 6sin cos 3sin 2cos + = 6tan 1 3tan 2 + = 4 6( ) 1 7 3 4 6 3( ) 2 3 + = . （ 16） （共 14 分
7、） （ I）直三棱柱 ABC A 1 B 1 C 1 ，底面三边长 AC=3， BC=4AB=5， AC BC，且 BC 1 在平面 ABC 内的射影为 BC， AC BC 1 ； （ II）设 CB 1 与 C 1 B 的交点为 E，连结 DE， D是 AB 的中点， E 是 BC 1 的中点， DE/AC 1 ， DE平面 CDB 1 ， AC 1 平面 CDB 1 ， AC 1 / 平面 CDB 1 ； （ III） DE/AC 1 ， CED 为 AC 1 与 B 1 C 所成的 角， 第 6 页 共 8 页 在 CED 中， ED= 2 1 AC 1 = 2 5 ， CD= 2 1
8、AB= 2 5 ， CE= 2 1 CB 1 =2 2 ， 822 cos 5 5 22 2 2 CED= = ， 异面直线 AC 1 与 B 1 C 所成角的余弦值 22 5 . （ 17） （共 13 分） 解： （ I）由 a 1 =1， 1 1 3 nn aS + = ， n=1， 2， 3，得 211 111 333 aSa=， 32 12 11 4 () 33 9 aS aa=+=， 43 123 11 16 () 33 27 aS aaa=+=， 由 11 11 () 33 nn nn n aa SS a + = = （ n 2） ，得 1 4 3 nn aa + = （ n 2
9、） ， 又 a 2 = 3 1 ，所以 a n = 2 14 () 33 n (n 2), 数列 a n 的通项公式为 2 11 14 () 2 33 n n n a n = = ； 第 7 页 共 8 页 （ II ）由（ I ）可知 24 2 , n aa anull 是首项为 3 1 ，公比为 2 4 () 3 项数为 n 的等比数列， 246 2n aaa a+null = 2 2 2 4 1() 134 3 ( ) 1 4 373 1() 3 n n = . （ 18） （共 13 分） 解： （ I）甲恰好击中目标的 2 次的概率为 23 3 13 () 28 C = （ II）乙
10、至少击中目标 2 次的概率为 22 33 33 21 2 20 () () () 33 3 27 CC+ =； （ III）设乙恰好比甲多击中目标 2 次为事件 A，乙恰击中目标 2 次且甲恰击中目标 0 次为事件 B 1 ，乙恰 击中目标 3 次且甲恰击中目标 1 次为事件 B 2 ，则 A B 1 B 2 ， B 1 ， B 2 为互斥事件 22 03 3313 123 3 3 21 1 2 1 () ( ) ( ) () () () () 33 2 3 2 PA PB PB C C C C=+= + = 111 18 9 6 + = . 所以，乙恰好比甲多击中目标 2 次的概率为 1 6
11、 . （ 19） （共 14 分） 解： （ I） f (x) 3x 2 6x 9令 f (x)0，解得 x3， 所以函数 f(x)的单调递减区间为（， 1） ， （ 3，） （ II）因为 f( 2) 8 12 18 a=2 a， f(2) 8 12 18 a 22 a， 所以 f(2)f( 2)因为在（ 1， 3）上 f (x)0，所以 f(x)在 1, 2上单调递增，又由于 f(x)在 2， 1上单调递减，因此 f(2)和 f( 1)分别是 f(x)在区间 2， 2上的最大值和最小值，于是有 22 a 20，解得 a 2 故 f(x)= x 3 3x 2 9x 2，因此 f( 1) 1
12、3 9 2 7， 即函数 f(x)在区间 2， 2上的最小值为 7 （ 20） （共 14 分） 解： （ I） W 1 =(x, y)| kxy kx, x0， W 2 =(x, y)| kxy0， （ II）直线 l 1 ： kx y 0，直线 l 2 ： kx y 0，由题意得 2 22 | 11 kx y kx y d kk + = + , 即 22 2 2 2 | 1 kx y d k = + ， 由 P(x, y) W，知 k 2 x 2 y 2 0， 第 8 页 共 8 页 所以 22 2 2 2 1 kx y d k = + ，即 22 2 2 2 (1) 0kx y k d
13、+ =, 所以动点 P 的轨迹 C 的方程为 22 2 2 2 (1) 0kx y k d + =； （ III）当直线 l 与 x 轴垂直时，可设直线 l 的方程为 x a（ a 0） 由于直线 l，曲线 C 关于 x 轴对称，且 l 1 与 l 2 关于 x 轴对称，于是 M 1 M 2 ， M 3 M 4 的中点坐标都为（ a， 0） ，所以 OM 1 M 2 ， OM 3 M 4 的重心坐标都 为（ 3 2 a， 0） ，即它们的重心重合， 当直线 l 1 与 x 轴不垂直时，设直线 l 的方程为 y=mx+n（ n 0） 由 22 2 2 2 (1) 0kx y k d ymxn +
14、 = =+ ，得 222 2222 ()2 0kmx mnxnkdd = 由直线 l 与曲线 C 有两个不同交点，可知 k 2 m 2 0 且 = 2222222 (2 ) 4( ) ( )mn k m n k d d+0 设 M 1 ， M 2 的坐标分别为 (x 1 , y 1 )， (x 2 , y 2 )， 则 12 22 2mn xx km += , 12 12 ()2y ymxx n+= +, 设 M 3 ， M 4 的坐标分别为 (x 3 , y 3 )， (x 4 , y 4 )， 由及 ykx y kx ymxn ymxn = = =+ =+ 得 34 , nn xx km km = + 从而 34 1222 2mn x xxx km += =+ ， 所以 y 3 +y 4 =m(x 3 +x 4 )+2n m(x 1 +x 2 )+2n y 1 +y 2 , 于是 OM 1 M 2 的重心与 OM 3 M 4 的重心也重合
