1、第 1 页 共 11 页 2005 年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷） 文科数学 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分 第 I 卷 1 至 2 页，第卷 3 至 4 页，共 150 分 第I卷 注意事项 ： 1答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上，考生要认真核对答 题卡粘贴 的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致 2第卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，第卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题 卷上作答，答案无效 3考试结束，临考员将试题卷、答题
2、卡一并收回 参考公式： 如果事件 A、 B 互斥，那么 球的表面积公式 P(A+B)=P(A)+P(B) 2 4 RS = 如果事件 A、 B 相互独立，那么 其中 R 表示球的半径 P(AB)=P(A)P(B) 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 球的体积公式 P，那么 n 次独立重复试验中恰好发生 k 3 3 4 RV = 次的概率 knkk nn PPCkP = )1()( 其中 R 表示球的半径 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的 1设集合 = ABAZxxxI 则,2,1,2,2,1,3| （ B）
3、= （ ） A 1 B 1， 2 C 2 D 0， 1， 2 2已知 = cos,3 2 tan 则 （ ） A 5 4 B 5 4 C 15 4 D 5 3 3 123 )( xx + 的展开式中，含 x 的正整数次幂的项共有 （ ） A 4 项 B 3 项 C 2 项 D 1 项 I 第 2 页 共 11 页 4函数 )34(log 1 )( 2 2 + = xx xf 的定义域为 （ ） A （ 1， 2）（ 2， 3） B ),3()1,( + C （ 1， 3） D 1， 3 5设函数 )(|,3sin|3sin)( xfxxxf 则+= 为 （ ） A周期函数，最小正周期为 3 2
4、 B周期函数，最小正周期为 3 C周期函数，数小正周期为 2 D非周期函数 6已知向量 的夹角为与则若 cacbacba , 2 5 )(,5|),4,2(),2,1( =+= （ ） A 30 B 60 C 120 D 150 7将 9 个（含甲、乙）平均分成三组，甲、乙分在同一组，则不同分组方法的种数为（ ） A 70 B 140 C 280 D 840 8在 ABC 中，设命题 , sinsinsin : A c C b B a p = 命题 q: ABC 是等边三角形，那么命题 p 是命 题 q 的 （ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分又不必要条件 9
5、矩形 ABCD 中， AB=4， BC=3，沿 AC 将矩形 ABCD 折成一个直二面角 B AC D，则四面体 ABCD 的外接球的体积为 （ ） A 12 125 B 9 125 C 6 125 D 3 125 10已知实数 a、 b 满足等式 ,) 3 1 () 2 1 ( ba = 下列五个关系式： 0ba ab0 0ab ba+ . 15如图，在三棱锥 P ABC 中， PA=PB=PC=BC， 且 2 =BAC ，则 PA 与底面 ABC 所成角为 . 16以下同个关于圆锥曲线的命题中 设 A、 B 为两个定点， k 为非零常数， kPBPA = | ，则动点 P 的轨迹为双曲线；
6、 过定圆 C 上一定点 A 作圆的动点弦 AB， O 为坐标原点，若 ),( 2 1 OBOAOP += 则动点 P 的 轨迹为椭圆； 方程 0252 2 =+ xx 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率； 双曲线 1 35 1 925 2 222 =+= y xyx 与椭圆 有相同的焦点 . 其中真命题的序号为 （写出所有真命题的序号） 三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 . 17 （本小题满分 12 分） 已知函数 bax x xf + = 2 )( （ a， b 为常数）且方程 f(x) x+12=0 有两个实根为 x 1 =3, x 2
7、 =4. （ 1）求函数 f(x)的解析式； （ 2）设 k1，解关于 x 的不等式； x kxk xf + 2 )1( )( . 第 4 页 共 11 页 18 （本小题满分 12 分） 已知向量 baxf xx b xx a =+=+= )(), 42 tan(), 42 sin(2(), 42 tan(, 2 cos2( 令 . 求函数 f(x)的最大值，最小正周期，并写出 f(x)在 0， 上的单调区间 . 19 （本小题满分 12 分） A、 B 两位同学各有五张卡片，现以投掷均匀硬币的形式进行游戏，当出现正面朝上时 A 赢得 B 一张卡片，否则 B 赢得 A 一张卡片，如果某人已赢
8、得所有卡片，则游戏终止 .求掷硬币的次数不 大于 7 次时游戏终止的概率 . 第 5 页 共 11 页 20 （本小题满分 12 分） 如图，在长方体 ABCD A 1 B 1 C 1 D 1 ，中， AD=AA 1 =1， AB=2，点 E 在棱 AB 上移动 . （ 1）证明： D 1 E A 1 D; （ 2）当 E 为 AB 的中点时，求点 E 到面 ACD 1 的距离； （ 3） AE 等于何值时，二面角 D 1 EC D 的大小为 4 . 21 （本小题满分 12 分） 如图， M 是抛物线上 y 2 =x 上的一点，动弦 ME、 MF 分别交 x 轴于 A、 B 两点，且 MA=
9、MB. （ 1）若 M 为定点，证明：直线 EF 的斜率为定值； （ 2）若 M 为动点，且 EMF=90，求 EMF 的重心 G 的轨迹方程 . 22 （本小题满分 14 分） 第 6 页 共 11 页 已知数列 a n 的前 n 项和 S n 满足 S n S n 2 =3 , 2 3 ,1),3() 2 1 ( 21 1 = SSn n 且 求数列 a n 的 通项公式 . 2005 年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷） 文科数学参考答案 一、选择题 1 D 2 B 3 B 4 A 5 A 6 C 7 A 8 C 9 C 10 B 11 D 12 A 二、填空题 13 2 2 14
10、2 3 15 3 16 三、解答题 17解： （ 1）将 0124,3 2 21 =+ + = x bax x xx 分别代入方程 得 ).2( 2 )(, 2 1 8 4 16 9 3 9 2 = = = = + = + x x x xf b a ba ba 所以解得 （ 2）不等式即为 0 2 )1( , 2 )1( 2 22 + + kxxx 当 1k= xxxk 解集为不等式为时 ),()2,1(,2 + kxk 解集为时当 . 18解： ) 42 tan() 42 tan() 42 sin( 2 cos22)( += xxxx baxf 1 2 cos2 2 cos 2 sin2 2
11、 tan1 1 2 tan 2 tan1 2 tan1 ) 2 cos 2 2 2 sin 2 2 ( 2 cos22 2 += + + += xxx x x x x xxx 第 7 页 共 11 页 xx cossin += = ) 4 sin(2 +x . 所以 2)( 的最大值为xf ，最小正周期为 4 ,0)(,2 在xf 上单调增加， 4 ,0 上单调减少 . 19解： （ 1）设 表示游戏终止时掷硬币的次数， 设正面出现的次数为 m，反面出现的次数为 n，则 =+ = 71 5| nm nm ，可得： .7,5: ;7,6,11,6;5,5,00,5 的取值为所以 时或当时或当 =
12、 nmnmnmnm . 64 9 64 5 32 2 ) 2 1 (2) 2 1 (2)7()5()7( 71 5 5 =+=+=+= CPPP 20解法（一） （ 1）证明： AE平面 AA 1 DD 1 ， A 1 D AD 1 ， D 1 E A 1 D （ 2）设点 E 到面 ACD 1 的距离为 h，在 ACD 1 中， AC=CD 1 = 5 ， AD 1 = 2 ， 故 . 2 1 , 2 3 1 = ACECAD SS 而 . 3 1 , 2 3 1 2 1 , 3 1 3 1 11 1 = = hh hSDDSV CADAECAECD （ 3）过 D 作 DH CE 于 H，
13、连 D 1 H、 DE，则 D 1 H CE， DHD 1 为二面角 D 1 EC D 的平面角 . 设 AE=x，则 BE=2 x ,1, .1, 4 , 2 11 xEHDHERtxDEADERt DHDHDDHDRt =+= = 中在中在 中在 . 4 ,32 .32543 .54,3 1 2 2 的大小为二面角时 中在中在 DECDAE xxxx xxCECBERtCHDHCRt = =+=+ += 解法（二） ：以 D 为坐标原点，直线 DA， DC， DD 1 分别为 x,y,z 轴，建立空间直角坐标系，设 AE=x， 则 A 1 （ 1， 0， 1） ， D 1 （ 0， 0，
14、1） ， E（ 1， x， 0） ， A（ 1， 0， 0） C（ 0， 2， 0） （ 1） .,0)1,1(),1,0,1(, 1111 EDDAxEDDA = 所以因为 即 DA 1 D 1 E. 第 8 页 共 11 页 （ 2）因为 E 为 AB 的中点，则 )0,2,1(),1,1,1(),0,1,1( 1 = ACEDE 从而 . =+ =+ = = = 0 02 ,0 0 ),().1,0,1( 1 11 ca ba ADn ACn cbanACDAD 也即则的法向量为设平面 , )2,1,2(, 2 = = = n ca ba 从而得 ，所以点 E 到平面 AD 1 C 的距
15、离为 . 3 1 3 212 | | 1 = + = = n nED h （ 3）设平面 D 1 EC 的法向量 ),( cban = ， ),1,0,0(),1,2,0(),0,2,1( 11 = DDCDxCE 由 =+ = = = .0)2( 02 ,0 ,0 1 xba cb CEn CDn 令 b=1, c=2,a=2 x， ).2,1,2( xn = 依题意 . 2 2 5)2( 2 2 2 | | 4 cos 2 1 1 = + = = xDDn DDn 32 1 +=x （不合，舍去） ， .32 2 =x AE= 32 时，二面角 D 1 EC D 的大小为 4 . 21解：
16、 （ 1）设 M（ y 2 0 ,y 0 ） ，直线 ME 的斜率为 k(l0) 则直线 MF 的斜率为 k， ).( 2 00 yxkyyME = 的方程为直线 = = xy yxkyy 2 2 00 )( 由 消 0)1( 00 2 =+ kyyykyx得 2 2 00 )1( , 1 k ky x k ky y FF = =解得 ).( 2 1 4 2 )1()1( 11 0 2 0 2 2 0 2 2 0 00 定值 y k ky k k ky k ky k ky k ky xx yy k FE FE EF = = + + = = 第 9 页 共 11 页 所以直线 EF 的斜率为定值
17、 （ 2） ,1,45,90 = kMABEMF 所以时当 nullnull ).( 2 00 yxkyyME = 的方程为直线 ).1,)1(, 0 2 0 2 2 00 yyE xy yxyy = = 得由 同理可得 ).1(,)1( 0 2 0 yyF + 设重心 G（ x, y） ，则有 = + = + = + = + = + = 33 )1()1( 3 3 32 3 )1()1( 3 0000 2 0 2 0 2 0 2 0 yyyyxxx x yyyyxxx x FEM FEM ). 3 2 ( 27 2 9 1 2 0 = xxyy 得消去参数 22解：方法一：先考虑偶数项有：
18、1212 222 ) 2 1 (3) 2 1 (3 = nn nn SS 3232 4222 ) 2 1 (3) 2 1 (3 = nn nn SS .) 2 1 (3) 2 1 (2 33 24 =SS ).1() 2 1 (2 ) 4 1 ( 2 1 2 1 4 4 1 1 ) 4 1 ( 2 1 2 1 3 2 1 ) 2 1 () 2 1 () 2 1 (3 ) 2 1 () 2 1 () 2 1 (3 12 33212 33212 22 += = = += += n SS n n n nn nn n null null 同理考虑奇数项有： .) 2 1 (3) 2 1 (3 22 1
19、212 nn nn SS = 2222 3212 ) 2 1 (3) 2 1 (3 = nn nn SS .) 2 1 (3) 2 1 (3 22 13 =SS 第 10 页 共 11 页 .1 ).1() 2 1 (34) 2 1 (2() 2 1 (2 ).1() 2 1 (34) 2 1 (2() 2 1 (2 ).1() 2 1 (2) 2 1 () 2 1 () 2 1 (3 11 12122 1222 2122 21212 22222 112 = +=+= =+= =+= + + Sa nSSa nSSa nSS nnn nnn nnn nnn nnn n null 综合可得 +
20、= .,) 2 1 (34 ,) 2 1 (34 1 1 为偶数 为奇数 n n a n n n 方法二：因为 ),3() 2 1 (3 1 112 =+= naaaaSS n nnnnnn 所以 两边同乘以 n )1( ，可得： .) 2 1 (3) 2 1 ()1(3)1()1( 11 1 1 = nnn n n n n aa 令 ).3() 2 1 (3,)1( 1 1 = nbbab n nnn n n 所以 ,) 2 1 (3 1 1 = n nn bb ,) 2 1 (3 2 21 = n nn bb ,) 2 1 (3 2 23 =bb 2 1 1 ) 2 1 ( 4 1 4 1 3) 2 1 () 2 1 () 2 1 (3 2 2 221 2 =+= n nn n bbb null ).3() 2 1 (3 2 3 1 2 += nb n 第 11 页 共 11 页 + = += +=+= = = .,) 2 1 (34 ,) 2 1 (34 ) 2 1 ()1(3)1(4)1( ).1() 2 1 (34) 2 1 (3 2 3 2 5 . 2 5 )1(,1)1( , 2 5 1 2 3 ,1 1 3 1 11 2 2 21 1 1 12211 为偶数 为奇数 又 n n ba nb abab SSaSa n n nnn n n n nn n
