1、2005 年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷） 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择）题两部分，满分 150 分 .考试用时 120 分钟 . 第卷（选择题，共 60 分） 参考公式： 如果事件 A、 B 互斥，那么 球的表面积公式 P(A+B)=P(A)+P(B) 2 4 RS = 如果事件 A、 B 相互独立，那么 P(AB)=P(A)P(B) 其中 R 表示球的半径 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 球的体积公式 P，那么 n 次独立重复试验中恰好发生 k 3 3 4 RV = 球 次的概率 knkk nn PPCkP = )1()( 其中 R 表示球的半径 一、选择题：本大题
2、共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 . 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的 . 1复数 .1 1 1 + + = i i z 在复平面内， z 所对应的点在 （ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 2极限 )(lim 0 xf xx 存在是函数 )(xf 在点 0 xx = 处连续的 （ ） A充分而不必要的条件 B必要而不充分的条件 C充要条件 D既不充分也不必要的条件 3设袋中有 80 个红球， 20 个白球，若从袋中任取 10 个球，则其中恰有 6 个红球的概率为 （ ） A 10 100 6 10 4 80 C CC B 10 100 4 1
3、0 6 80 C CC C 10 100 6 20 4 80 C CC D 10 100 4 20 6 80 C CC 4已知 m、 n 是两条不重合的直线，、是三个两两不重合的平面，给出下列四个命 题：若 /, 则 mm ； 若 /, 则 ； 若 /,/, 则nmnm ； 若 m、 n 是异面直线， /,/,/, 则nnmm 其中真命题是 （ ） A和 B和 C和 D和 5函数 1ln( 2 += xxy 的反函数是 （ ） A 2 xx ee y + = B 2 xx ee y + = C 2 xx ee y = D 2 xx ee y = 6若 0 1 1 log 2 2 + + a a
4、 a ，则 a的取值范围是 （ ） A ), 2 1 ( + B ),1( + C )1, 2 1 ( D ) 2 1 ,0( 7在 R 上定义运算 ).1(: yxyx = 若不等式 1)()( + axax 对任意实数 x成立， 则 （ ） A 11 a B 20 a C 2 3 2 1 a D 2 1 2 3 a 8若钝角三角形三内角的度数成等差数列，且最大边长与最小边长的比值为 m，则 m 的范 围是 （ ） A （ 1， 2） B （ 2， +） C 3， + ) D （ 3， +） 9若直线 02 =+ cyx 按向量 )1,1( =a 平移后与圆 5 22 =+ yx 相切，则
5、c 的值为（ ） A 8 或 2 B 6 或 4 C 4 或 6 D 2 或 8 10已知 )(xfy = 是定义在 R 上的单调函数，实数 21 xx ， , 1 ,1 21 + + = xx a + + = 1 12 xx ，若 |)()(|)()(| 21 ffxfxf ，则 （ ） A 0 B 0= C 10 + ，则该函数的图象是 （ ） A B C D 第卷（非选择题 共 90 分） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分 . 13 n xx )2( 2 1 2 1 的展开式中常数项是 . 14如图，正方体的棱长为 1， C、 D 分别是两条棱的中点， A、
6、B、 M 是顶点，那么点 M 到截面 ABCD 的距离是 . 15用 1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8 组成没有重复数字的八位数，要求 1 和 2 相邻， 3 与 4 相邻， 5与 6 相邻，而 7 与 8 不 相邻，这样的八位数共有 个 .（用数字作答） 16 是正实数，设 )(cos)(| += xxfS 是奇函数 ，若对每个实数 a， )1,( + aaS 的元素 不超过 2 个，且有 a使 )1,( + aaS 含 2 个元素，则 的取值范围是 . 三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分 .解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 . 17 （本小题满分 12 分） 已
7、知三棱锥 P ABC 中， E、 F 分别是 AC、 AB 的中点， ABC， PEF 都是正三角形， PF AB. （）证明 PC平面 PAB； （）求二面角 P AB C 的平面角的余弦值； （）若点 P、 A、 B、 C 在一个表面积为 12的 球面上，求 ABC 的边长 . 18 （本小题满分 12 分） 如图，在直径为 1 的圆 O 中，作一关于圆心对称、 邻边互相垂直的十字形，其中 .0 xy （）将十字形的面积表示为 的函数； （） 为何值时，十字形的面积最大？最大面积是多少？ 19 （本小题满分 12 分） 已知函数 ).1( 1 3 )( + + = x x x xf 设数列
8、 n a 满足 )(,1 11 nn afaa = + ，数列 n b 满足 ).(|,3| * 21 NnbbbSab nnnn += null （）用数学归纳法证明 1 2 )13( n n n b ； （）证明 . 3 32 =+ ba b y a x 的左、右焦点分别是 F 1 （ c， 0） 、 F 2 （ c， 0） ， Q 是椭圆外的动点， 满足 .2| 1 aQF = 点 P 是线段 F 1 Q 与该椭圆的交点，点 T 在线段 F 2 Q 上，并且满足 .0|,0 22 = TFTFPT （）设 x为点 P 的横坐标，证明 x a c aPF +=| 1 ； （）求点 T 的轨
9、迹 C 的方程； （）试问：在点 T 的轨迹 C 上，是否存在点 M， 使 F 1 MF 2 的面积 S= . 2 b 若存在，求 F 1 MF 2 的正切值；若不存在，请说明理由 . 22 （本小题满分 12 分） 函数 )(xfy = 在区间（ 0， +）内可导，导函数 )(xf 是减函数，且 .0)( xf 设 mkxyx +=+ ),0( 0 是曲线 )(xfy = 在点（ )(, 00 xfx ）得的切线方程，并设函数 .)( mkxxg += （）用 0 x 、 )( 0 xf 、 )( 0 xf 表示 m； （）证明：当 )()(,),0( 0 xfxgx + 时 ； （）若关于
10、 x的不等式 ),0 2 3 1 3 2 2 + 在xbaxx 上恒成立，其中 a、 b 为实数， 求 b 的取值范围及 a 与 b 所满足的关系 . 2005 年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷） 数学参考答案与评分标准 说明： 一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法 与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则。 二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度， 可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答 有较严重的错误，就
11、不再给分。 三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分。 一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题 5 分，满分 60 分 . 1.B 2.B 3.D 4.D 5.C 6.C 7.C 8.B 9.A 10.A 11.B 12.A 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算。每小题 4 分，满分 16 分。 13 160 14 3 2 15 576 16 2,( 三、解答题 17本小题主要考查空间中的线面关系，三棱锥、球的有关概念及解三角形等基础知识，考 查空间想象能力及运用方程解未知量的基本方法，满分 12 分 . （）证明： 连
12、结 CF. ., 2 1 2 1 PCAPACBCEFPE = ., PCFABABPFABCF 平面 ., PABPCABPCPCFPC 平面平面 4 分 （）解法一： , CFABPFAB PFC 为所求二面角的平面角 . 设 AB=a，则 AB=a，则 aCF a EFPF 2 3 , 2 = . 3 3 2 3 2 cos = a a PFC 8 分 解法二：设 P 在平面 ABC 内的射影为 O. PAF PABPAE , .PAC 得 PA=PB=PC. 于是 O 是 ABC 的中心 . PFO 为所求二面角的平面角 . 设 AB=a，则 . 2 3 3 1 , 2 aOF a P
13、F = . 3 3 cos = PF OF PFO 8 分 （）解法一：设 PA=x，球半径为 R. , PBPAPABPC 平面 124.23 2 = RRx ， ABCxR = .2.3 得 的边长为 22 . 12 分 解法二：延长 PO 交球面于 D，那么 PD 是球的直径 . 连结 OA、 AD，可知 PAD 为直角三角形 . 设 AB=x，球半径为 R. , 2 3 3 2 , 6 6 tan.32,124 2 xOAxPFOOFPOPDR = 22.22). 6 6 32( 6 6 ) 3 3 ( 2 的边长为于是 ABCxxxx = . 12 分 18本小题主要考查根据图形建立
14、函数关系、三角函数公式、用反三角函数表示角以及解和 三角函数有关的极值问题等基础知识，考查综合运用三角函数知识的能力 . 满分 12 分 . （）解：设 S 为十字形的面积，则 2 2 xxyS = ). 24 (coscossin2 2 = 4 分 （）解法一： , 2 1 )2sin( 2 5 2 1 2cos 2 1 2sincoscossin2 2 = S 其中 . 5 52 arccos= 8 分 当 S, 2 2,1)2sin( 时即 = 最大 . 10 分 所以，当 S, 5 52 arccos 2 1 4 时+= 最大 . S 的最大值为 . 2 15 12 分 解法二： 因为
15、 ,coscossin2 2 =S 所以 cossin2sin2cos2 22 +=S .2sin2cos2 += 8 分 令 S =0，即 ,02sin2cos2 =+ 可解得 )2arctan( 2 1 2 += 10 分 所以，当 )2arctan( 2 1 2 += 时， S 最大， S 的最大值为 . 2 15 12 分 19本小题主要考查数列、等比数列、不等式等基本知识，考查运用数学归纳法解决有关问题的能力，满 分 12 分。 （）证明：当 .1 1 2 1)(,0 + += x xfx 时 因为 a 1 =1， 所以 *).(1 Nna n 2 分 下面用数学归纳法证明不等式 .
16、 2 )13( 1 n n n b （ 1）当 n=1 时， b 1 = 13 ，不等式成立， （ 2）假设当 n=k 时，不等式成立，即 . 2 )13( 1 k k k b 那么 k k kk a a ab + = + 1 |3|)13( |3| 11 6 分 . 2 )13( 2 13 1 k k k b + 所以，当 n=k+1 时，不等也成立。 根据（ 1）和（ 2） ，可知不等式对任意 n N*都成立。 8 分 （）证明：由（）知， . 2 )13( 1 n n n b 所以 1 2 21 2 )13( 2 )13( )13( + += n n nn bbbS nullnull 2
17、 13 1 ) 2 13 (1 )13( = n 10 分 .3 3 2 2 13 1 1 )13( = 故对任意 .3 3 2 , + acx a c aax 知 ，所以 .| 1 x a c aPF += 3 分 证法二：设点 P 的坐标为 ).,( yx 记 ,|,| 2211 rPFrPF = 则 .)(,)( 22 2 22 1 ycxrycxr +=+= 由 .|,4,2 11 2 2 2 121 x a c arPFcxrrarr +=+ 得 证法三：设点 P 的坐标为 ).,( yx 椭圆的左准线方程为 .0=+ x a c a 由椭圆第二定义得 a c c a x PF =
18、+ | | 2 1 ，即 .| 2 1 x a c a c a x a c PF +=+= 由 0, + acx a c aax 知 ，所以 .| 1 x a c aPF += 3 分 （）解法一：设点 T 的坐标为 ).,( yx 当 0| =PT 时，点（ a， 0）和点（ a， 0）在轨迹上 . 当 | 0|0| 2 TFPT 且 时，由 0| 2 = TFPT ，得 2 TFPT . 又 | 2 PFPQ = ，所以 T 为线段 F 2 Q 的中点 . 在 QF 1 F 2 中， aQFOT = | 2 1 | 1 ，所以有 . 222 ayx =+ 综上所述，点 T 的轨迹 C 的方
19、程是 . 222 ayx =+ 7 分 解法二：设点 T 的坐标为 ).,( yx 当 0| =PT 时，点（ a， 0）和点（ a， 0）在轨迹上 . 当 | 0|0| 2 TFPT 且 时，由 0 2 =TFPT ，得 2 TFPT . 又 | 2 PFPQ = ，所以 T 为线段 F 2 Q 的中点 . 设点 Q 的坐标为（ yx , ） ，则 = + = . 2 , 2 y y cx x 因此 = = .2 ,2 yy cxx 由 aQF 2| 1 = 得 .4)( 222 aycx =+ 将代入，可得 . 222 ayx =+ 综上所述，点 T 的轨迹 C 的方程是 . 222 ay
20、x =+ 7 分 （）解法一： C 上存在点 M（ 00 , yx ）使 S= 2 b 的充要条件是 = =+ .|2 2 1 , 2 0 22 0 2 0 byc ayx 由得 ay | 0 ，由得 .| 2 0 c b y 所以，当 c b a 2 时，存在点 M，使 S= 2 b ； 当 c b a 2 时，不存在满足条件的点 M. 11 分 当 c b a 2 时， ),(),( 002001 yxcMFyxcMF = ， 由 2222 0 22 021 bcaycxMFMF =+= ， 212121 cos| MFFMFMFMFMF = ， 2 2121 sin| 2 1 bMFFM
21、FMFS = ，得 .2tan 21 = MFF 解法二： C 上存在点 M（ 00 , yx ）使 S= 2 b 的充要条件是 = =+ .|2 2 1 , 2 0 22 0 2 0 byc ayx 由得 .| 2 0 c b y 上式代入得 .0)( 22 2 4 22 0 += c b a c b a c b ax 于是，当 c b a 2 时，存在点 M，使 S= 2 b ； 当 c b a 2 时，不存在满足条件的点 M. 11 分 当 c b a 2 时，记 cx y kk cx y kk MFMF = + = 0 0 2 0 0 1 21 , ， 由 ,2| 21 aFF 知 x
22、hxx 时 ； 当 0)(, 0 a 是不等式成立的必要条件，以下讨论设此条件成立 . 0)1(,1 22 + baxxbaxx 即 对任意 ),0 +x 成立的充要条件是 .)1(2 2 1 ba 另一方面，由于 3 2 2 3 )( xxf = 满足前述题设中关于函数 )(xfy = 的条件，利用（ II）的结果可知， 3 2 2 3 xbax =+ 的充要条件是：过点（ 0， b ）与曲线 3 2 2 3 xy = 相切的直线的斜率大于 a ，该切线的方程为 .)2( 2 1 bxby += 于是 3 2 2 3 xbax + 的充要条件是 .)2( 2 1 ba 10 分 综上，不等式
23、 3 2 2 2 3 1 xbaxx + 对任意 ),0 +x 成立的充要条件是 .)1(2)2( 2 1 2 1 bab 显然，存在 a、 b 使式成立的充要条件是：不等式 .)1(2)2( 2 1 2 1 bb 有解、解不等式得 . 4 22 4 22 + b 因此，式即为 b 的取值范围，式即为实数在 a 与 b 所满足的关系 . 12 分 （）解法二： 0,10 ab 是不等式成立的必要条件，以下讨论设此条件成立 . 0)1(,1 22 + baxxbaxx 即 对任意 ),0 +x 成立的充要条件是 .)1(2 2 1 ba 8 分 令 3 2 2 3 )( xbaxx += ，于是
24、 3 2 2 3 xbax + 对任意 ),0 +x 成立的充要条件是 .0)( x 由 .0)( 3 3 1 = axxax 得 当 3 0 ax 时 ;0)( ax 时， 0)( x ， 所以， 当 3 = ax 时， )(x 取最小值 .因此 0)( x 成立的充要条件是 0)( 3 a ，即 .)2( 2 1 ba 10 分 综上，不等式 3 2 2 2 3 1 xbaxx + 对任意 ),0 +x 成立的充要条件是 .)1(2)2( 2 1 2 1 bab 显然，存在 a、 b 使式成立的充要条件是：不等式 2 1 2 1 )1(2)2( bb 有解、解不等式得 . 4 22 4 22 + b 因此，式即为 b 的取值范围，式即为实数在 a 与 b 所满足的关系 . 12 分
