1、2018年 黑 龙 江 省 大 庆 市 中 考 真 题 数 学一 、 选 择 题 (本 大 题 共 10小 题 ， 每 小 题 3 分 ， 共 30 分 )1. 2cos60 =( )A.1B. 3C. 2D. 12 解 析 ： 直 接 利 用 特 殊 角 的 三 角 函 数 值 进 而 计 算 得 出 答 案 .2cos60 =2 12 =1.答 案 ： A2.一 种 花 粉 颗 粒 直 径 约 为 0.0000065 米 ， 数 字 0.0000065用 科 学 记 数 法 表 示 为 ( )A.0.65 10-5B.65 10 -7C.6.5 10-6D.6.5 10-5解 析 ： 绝
2、对 值 小 于 1 的 正 数 也 可 以 利 用 科 学 记 数 法 表 示 ， 一 般 形 式 为 a 10-n， 与 较 大 数 的科 学 记 数 法 不 同 的 是 其 所 使 用 的 是 负 指 数 幂 ， 指 数 由 原 数 左 边 起 第 一 个 不 为 零 的 数 字 前 面 的0的 个 数 所 决 定 .数 字 0.0000065用 科 学 记 数 法 表 示 为 6.5 10-6.答 案 ： C3.已 知 两 个 有 理 数 a， b， 如 果 ab 0 且 a+b 0， 那 么 ( )A.a 0， b 0B.a 0， b 0 C.a、 b同 号D.a、 b异 号 ， 且
3、正 数 的 绝 对 值 较 大解 析 ： 先 由 有 理 数 的 乘 法 法 则 ， 判 断 出 a， b 异 号 ， 再 用 有 理 数 加 法 法 则 即 可 得 出 结 论 . ab 0， a， b异 号 ， a+b 0， 正 数 的 绝 对 值 较 大 .答 案 ： D4.一 个 正 n边 形 的 每 一 个 外 角 都 是 36 ， 则 n=( )A.7B.8 C.9D.10解 析 ： 由 多 边 形 的 外 角 和 为 360 结 合 每 个 外 角 的 度 数 ， 即 可 求 出 n 值 ， 此 题 得 解 . 一 个 正 n边 形 的 每 一 个 外 角 都 是 36 ， n=
4、360 36 =10.答 案 ： D5.某 商 品 打 七 折 后 价 格 为 a 元 ， 则 原 价 为 ( )A.a元B.107 a元C.30%a元 D. 710 a元解 析 ： 直 接 利 用 打 折 的 意 义 表 示 出 价 格 进 而 得 出 答 案 .设 该 商 品 原 价 为 ： x元 ， 某 商 品 打 七 折 后 价 格 为 a 元 ， 原 价 为 ： 0.7x=a，则 x=107 a(元 ).答 案 ： B6.将 正 方 体 的 表 面 沿 某 些 棱 剪 开 ， 展 成 如 图 所 示 的 平 面 图 形 ， 则 原 正 方 体 中 与 “ 创 ” 字 所 在的 面 相
5、 对 的 面 上 标 的 字 是 ( ) A.庆B.力C.大D.魅解 析 ： 正 方 体 的 表 面 展 开 图 ， 相 对 的 面 之 间 一 定 相 隔 一 个 正 方 形 ，“ 建 ” 与 “ 力 ” 是 相 对 面 ，“ 创 ” 与 “ 庆 ” 是 相 对 面 ，“ 魅 ” 与 “ 大 ” 是 相 对 面 .答 案 ： A7.在 同 一 直 角 坐 标 系 中 ， 函 数 ky x 和 y=kx-3的 图 象 大 致 是 ( ) A.B. C.D.解 析 ： 根 据 一 次 函 数 和 反 比 例 函 数 的 特 点 ， k 0， 所 以 分 k 0 和 k 0两 种 情 况 讨 论
6、. 当 k 0 时 ， y=kx-3 与 y轴 的 交 点 在 负 半 轴 ， 过 一 、 三 、 四 象 限 ， 反 比 例 函 数 的 图 象 在 第一 、 三 象 限 ； 当 k 0 时 ， y=kx-3 与 y轴 的 交 点 在 负 半 轴 ， 过 二 、 三 、 四 象 限 ， 反 比 例 函 数 的 图 象 在 第二 、 四 象 限 . 答 案 ： B8.已 知 一 组 数 据 ： 92， 94， 98， 91， 95的 中 位 数 为 a， 方 差 为 b， 则 a+b=( )A.98B.99C.100D.102解 析 ： 数 据 ： 92， 94， 98， 91， 95从 小
7、到 大 排 列 为 91， 92， 94， 95， 98， 处 于 中 间 位 置 的数 是 94，则 该 组 数 据 的 中 位 数 是 94， 即 a=94，该 组 数 据 的 平 均 数 为 15 92+94+98+91+95=94， 其 方 差 为 15 (92-94)2+(94-94)2+(98-94)2+(91-94)2+(95-94)2=6， 所 以 b=6，所 以 a+b=94+6=100. 答 案 ： C9.如 图 ， B= C=90 ， M 是 BC 的 中 点 ， DM平 分 ADC， 且 ADC=110 ， 则 MAB=( )A.30B.35C.45 D.60解 析 ：
8、 作 MN AD于 N， B= C=90 ， AB CD， DAB=180 - ADC=70 ， DM 平 分 ADC， MN AD， MC CD， MN=MC， M 是 BC 的 中 点 ， MC=MB， MN=MB， 又 MN AD， MB AB， MAB= 12 DAB=35 .答 案 ： B10.如 图 ， 二 次 函 数 y=ax 2+bx+c的 图 象 经 过 点 A(-1， 0)、 点 B(3， 0)、 点 C(4， y1)， 若 点 D(x2，y2)是 抛 物 线 上 任 意 一 点 ， 有 下 列 结 论 ： 二 次 函 数 y=ax2+bx+c 的 最 小 值 为 -4a；
9、 若 -1 x2 4， 则 0 y2 5a； 若 y2 y1， 则 x2 4； 一 元 二 次 方 程 cx2+bx+a=0 的 两 个 根 为 -1和 13 其 中 正 确 结 论 的 个 数 是 ( ) A.1B.2C.3D.4解 析 ： 抛 物 线 解 析 式 为 y=a(x+1)(x-3)，即 y=ax2-2ax-3a， y=a(x-1)2-4a， 当 x=1时 ， 二 次 函 数 有 最 小 值 -4a， 所 以 正 确 ；当 x=4时 ， y=a 5 1=5a， 当 -1 x2 4， 则 -4a y 2 5a， 所 以 错 误 ； 点 C(1， 5a)关 于 直 线 x=1的 对
10、称 点 为 (-2， -5a)， 当 y2 y1， 则 x2 4 或 x2 -2， 所 以 错 误 ； b=-2a， c=-3a， 方 程 cx2+bx+a=0化 为 -3ax2-2ax+a=0，整 理 得 3x2+2x-1=0， 解 得 x1=-1， x2=13 ， 所 以 正 确 .故 正 确 的 有 2 个 .答 案 ： B二 、 填 空 题 (本 大 题 共 8 小 题 ， 每 小 题 3 分 ， 共 24 分 )11.已 知 圆 柱 的 底 面 积 为 60cm 2， 高 为 4cm， 则 这 个 圆 柱 体 积 为 cm3.解 析 ： 根 据 圆 柱 体 积 =底 面 积 高 ，
11、即 可 求 出 结 论 .V=Sh=60 4=240(cm3).答 案 ： 24012.函 数 y= 3x 的 自 变 量 x 取 值 范 围 是 .解 析 ： 根 据 二 次 根 式 的 性 质 ， 被 开 方 数 大 于 等 于 0 可 知 ： 3-x 0， 解 得 x 的 范 围 .根 据 题 意 得 ： 3-x 0，解 得 ： x 3.答 案 ： x 3 13.在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 点 A 的 坐 标 为 (a， 3)， 点 B 的 坐 标 是 (4， b)， 若 点 A 与 点 B 关 于原 点 O对 称 ， 则 ab= . 解 析 ： 直 接 利 用 关 于 原
12、点 对 称 点 的 性 质 得 出 a， b 的 值 ， 进 而 得 出 答 案 . 点 A的 坐 标 为 (a， 3)， 点 B的 坐 标 是 (4， b)， 点 A与 点 B 关 于 原 点 O对 称 ， a=-4， b=-3，则 ab=12.答 案 ： 1214.在 ABC中 ， C=90 ， AB=10， 且 AC=6， 则 这 个 三 角 形 的 内 切 圆 半 径 为 .解 析 ： C=90 ， AB=10， AC=6， 2 210 6 8 BC ， 这 个 三 角 形 的 内 切 圆 半 径 6 8 10 22 .答 案 ： 2 15.若 2x=5， 2y=3， 则 22x+y=
13、 .解 析 ： 直 接 利 用 同 底 数 幂 的 乘 法 运 算 法 则 以 及 幂 的 乘 方 运 算 法 则 将 原 式 变 形 进 而 得 出 答 案 . 2x=5， 2y=3， 22x+y=(2x)2 2y=52 3=75.答 案 ： 7516.已 知 3 41 2 1 2 x A Bx x x x ， 则 实 数 A= .解 析 ： 2 1 21 2 1 2 1 2 1 2 A x B x A B x A BA Bx x x x x x x x ， 3 41 2 1 2 x A Bx x x x ， 32 4 A BA B ，解 得 ： 12 AB .答 案 ： 117.如 图 ，
14、 在 Rt ABC 中 ， ACB=90 ， AC=BC=2， 将 Rt ABC 绕 点 A 逆 时 针 旋 转 30 后 得到 Rt ADE， 点 B 经 过 的 路 径 为 弧 BD， 则 图 中 阴 影 部 分 的 面 积 为 . 解 析 ： ACB=90 ， AC=BC=2， 2 2 22 AB AC BC ， 230 2 2 2360 3 扇 形 ABDS .又 Rt ABC绕 A 点 逆 时 针 旋 转 30 后 得 到 Rt ADE， Rt ADE Rt ACB， S 阴 影 部 分 =S ADE+S 扇 形 ABD-S ABC=S 扇 形 ABD= 23 .答 案 ： 2318
15、.已 知 直 线 y=kx(k 0)经 过 点 (12， -5)， 将 直 线 向 上 平 移 m(m 0)个 单 位 ， 若 平 移 后 得 到的 直 线 与 半 径 为 6 的 O相 交 (点 O为 坐 标 原 点 )， 则 m 的 取 值 范 围 为 . 解 析 ： 把 点 (12， -5)代 入 直 线 y=kx得 ，-5=12k， k= 512 ；由 y= 512 x 平 移 平 移 m(m 0)个 单 位 后 得 到 的 直 线 l 所 对 应 的 函 数 关 系 式 为 y= 512 x+m(m 0)，设 直 线 l 与 x 轴 、 y轴 分 别 交 于 点 A、 B， (如 下
16、 图 所 示 )当 x=0时 ， y=m； 当 y=0 时 ， x=125 m， A(125 m， 0)， B(0， m)， 即 OA=125 m， OB=m； 在 Rt OAB中 ，2 2 2 2144 1325 5 AB OA OB m m m，过 点 O作 OD AB于 D， 1 12 2 V g gABOS OD AB OA OB， 13 551 12 2 12 gOD ， m 0， 解 得 OD= 512 ，由 直 线 与 圆 的 位 置 关 系 可 知 512 m 6， 解 得 m 725 . 答 案 ： m 725三 、 解 答 题 (本 大 题 共 10小 题 ， 共 66 分
17、 )19.求 值 ： 2018 31 2 81 .解 析 ： 直 接 利 用 立 方 根 的 性 质 以 及 绝 对 值 的 性 质 分 别 化 简 得 出 答 案 .答 案 ： 原 式 21 2 1 2 2 .20.解 方 程 ： 1 13 xx x . 解 析 ： 方 程 两 边 都 乘 以 x(x+3)得 出 方 程 x-1+2x=2， 求 出 方 程 的 解 ， 再 代 入 x(x+3)进 行 检 验即 可 .答 案 ： 两 边 都 乘 以 x(x+3)， 得 ： x2-(x+3)=x(x+3)，解 得 ： x= 34 ，检 验 ： 当 x= 34 时 ， x(x+3)= 2716 0
18、，所 以 分 式 方 程 的 解 为 x= 34 .21.已 知 ： x 2-y2=12， x+y=3， 求 2x2-2xy的 值 .解 析 ： 先 求 出 x-y=4， 进 而 求 出 2x=7， 而 2x2-2xy=2x(x-y)， 代 入 即 可 得 出 结 论 .答 案 ： x2-y2=12， (x+y)(x-y)=12， x+y=3 ， x-y=4 ，1 + 得 ， 2x=7， 2x 2-2xy=2x(x-y)=7 4=28. 22.如 图 ， 一 艘 轮 船 位 于 灯 塔 P 的 北 偏 东 60 方 向 ， 与 灯 塔 P 的 距 离 为 80 海 里 的 A 处 ， 它沿 正
19、 南 方 向 航 行 一 段 时 间 后 ， 到 达 位 于 灯 塔 P 的 南 偏 东 45 方 向 的 B 处 ， 求 此 时 轮 船 所 在的 B 处 与 灯 塔 P的 距 离 .(参 考 数 据 ： 6 2.449， 结 果 保 留 整 数 ) 解 析 ： 过 点 P 作 PC AB， 则 在 Rt APC中 易 得 PC的 长 ， 再 在 直 角 BPC中 求 出 PB.答 案 ： 作 PC AB于 C 点 ， APC=30 ， BPC=45 AP=80(海 里 ). 在 Rt APC中 ， cos APC= PCPA ， PC=PA cos APC=40 3 (海 里 ).在 Rt
20、 PCB中 ， cos BPC= PCPB ， 40 3 40 6 98cos cos45 PCPB BPC (海 里 ).答 ： 此 时 轮 船 所 在 的 B 处 与 灯 塔 P的 距 离 是 98 海 里 .23.九 年 级 一 班 开 展 了 “ 读 一 本 好 书 ” 的 活 动 ， 班 委 会 对 学 生 阅 读 书 籍 的 情 况 进 行 了 问 卷 调查 ， 问 卷 设 置 了 “ 小 说 ” “ 戏 剧 ” “ 散 文 ” “ 其 他 ” 四 个 选 项 ， 每 位 同 学 仅 选 一 项 ， 根 据 调 查 结 果 绘 制 了 如 下 不 定 整 的 频 数 分 布 表 和
21、 扇 形 统 计 图 . 根 据 图 表 提 供 的 信 息 ， 解 答 下 列 问 题 ：(1)直 接 写 出 a， b， m 的 值 .解 析 ： (1)先 根 据 戏 剧 的 人 数 及 其 所 占 百 分 比 可 得 总 人 数 ， 再 用 总 人 数 乘 以 散 文 的 百 分 比 求得 其 人 数 ， 根 据 各 类 别 人 数 之 和 等 于 总 人 数 求 得 其 他 类 别 的 人 数 ， 最 后 用 其 他 人 数 除 以 总 人数 求 得 m 的 值 .答 案 ： (1) 被 调 查 的 学 生 总 人 数 为 4 10%=40 人 ， 散 文 的 人 数 a=40 20
22、%=8， 其 他 的 人 数 b=40-(16+4+8)=12，则 其 他 人 数 所 占 百 分 比 m%=1240 100%=30%， 即 m=30.(2)在 调 查 问 卷 中 ， 甲 、 乙 、 丙 、 丁 四 位 同 学 选 择 了 “ 戏 剧 ” 类 ， 现 从 以 上 四 位 同 学 中 任 意选 出 2名 同 学 参 加 学 校 的 戏 剧 兴 趣 小 组 ， 请 用 列 表 法 或 画 树 状 图 的 方 法 ， 求 选 取 的 2 人 恰 好 乙 和 丙 的 概 率 .解 析 ： (2)画 树 状 图 得 出 所 有 等 可 能 的 情 况 数 ， 找 出 恰 好 是 丙
23、与 乙 的 情 况 ， 即 可 确 定 出 所 求概 率 .答 案 ： (2)画 树 状 图 ， 如 图 所 示 ：所 有 等 可 能 的 情 况 有 12 种 ， 其 中 恰 好 是 丙 与 乙 的 情 况 有 2 种 ，所 以 选 取 的 2 人 恰 好 乙 和 丙 的 概 率 为 212 16 . 24.如 图 ， 在 Rt ABC中 ， ACB=90 ， D、 E 分 别 是 AB、 AC 的 中 点 ， 连 接 CD， 过 E 作 EFDC交 BC的 延 长 线 于 F. (1)证 明 ： 四 边 形 CDEF是 平 行 四 边 形 .解 析 ： (1)由 三 角 形 中 位 线 定
24、 理 推 知 ED FC， 2DE=BC， 然 后 结 合 已 知 条 件 “ EF DC” ， 利 用两 组 对 边 相 互 平 行 得 到 四 边 形 DCFE为 平 行 四 边 形 .答 案 ： (1)证 明 ： D、 E分 别 是 AB、 AC的 中 点 ， F 是 BC 延 长 线 上 的 一 点 ， ED 是 Rt ABC的 中 位 线 ， ED FC， BC=2DE，又 EF DC， 四 边 形 CDEF 是 平 行 四 边 形 .(2)若 四 边 形 CDEF的 周 长 是 25cm， AC 的 长 为 5cm， 求 线 段 AB的 长 度 .解 析 ： (2)根 据 在 直
25、角 三 角 形 中 ， 斜 边 上 的 中 线 等 于 斜 边 的 一 半 得 到 AB=2DC， 即 可 得 出 四 边形 DCFE的 周 长 =AB+BC， 故 BC=25-AB， 然 后 根 据 勾 股 定 理 即 可 求 得 ；答 案 ： (2) 四 边 形 CDEF是 平 行 四 边 形 ； DC=EF， DC 是 Rt ABC斜 边 AB上 的 中 线 ， AB=2DC， 四 边 形 DCFE 的 周 长 =AB+BC， 四 边 形 DCFE 的 周 长 为 25cm， AC的 长 5cm， BC=25-AB， 在 Rt ABC中 ， ACB=90 ， AB 2=BC2+AC2，
26、即 AB2=(25-AB)2+52，解 得 ， AB=13cm.25.某 学 校 计 划 购 买 排 球 、 篮 球 ， 已 知 购 买 1 个 排 球 与 1 个 篮 球 的 总 费 用 为 180元 ； 3 个 排球 与 2个 篮 球 的 总 费 用 为 420元 .(1)求 购 买 1 个 排 球 、 1 个 篮 球 的 费 用 分 别 是 多 少 元 ？解 析 ： (1)根 据 购 买 1 个 排 球 与 1 个 篮 球 的 总 费 用 为 180 元 ； 3 个 排 球 与 2 个 篮 球 的 总 费 用为 420元 列 出 方 程 组 ， 解 方 程 组 即 可 .答 案 ： (1
27、)设 每 个 排 球 的 价 格 是 x 元 ， 每 个 篮 球 的 价 格 是 y 元 ，根 据 题 意 得 ： 1803 2 420 x yx y ， 解 得 ： 60120 xy ， 所 以 每 个 排 球 的 价 格 是 60元 ， 每 个 篮 球 的 价 格 是 120元 .(2)若 该 学 校 计 划 购 买 此 类 排 球 和 篮 球 共 60 个 ， 并 且 篮 球 的 数 量 不 超 过 排 球 数 量 的 2倍 .求至 少 需 要 购 买 多 少 个 排 球 ？ 并 求 出 购 买 排 球 、 篮 球 总 费 用 的 最 大 值 ？解 析 ： (2)根 据 购 买 排 球
28、和 篮 球 共 60个 ， 篮 球 的 数 量 不 超 过 排 球 数 量 的 2 倍 列 出 不 等 式 ， 解不 等 式 即 可 .答 案 ： (2)设 购 买 排 球 m 个 ， 则 购 买 篮 球 (60-m)个 .根 据 题 意 得 ： 60-m 2m，解 得 m 20，又 排 球 的 单 价 小 于 蓝 球 的 单 价 ， m=20时 ， 购 买 排 球 、 篮 球 总 费 用 的 最 大购 买 排 球 、 篮 球 总 费 用 的 最 大 值 =20 60+40 120=6000元 . 26.如 图 ， A(4， 3)是 反 比 例 函 数 ky x 在 第 一 象 限 图 象 上
29、 一 点 ， 连 接 OA， 过 A 作 AB x 轴 ，截 取 AB=OA(B在 A 右 侧 )， 连 接 OB， 交 反 比 例 函 数 ky x 的 图 象 于 点 P. (1)求 反 比 例 函 数 ky x 的 表 达 式 .解 析 ： (1)将 点 A 的 坐 标 代 入 解 析 式 求 解 可 得 .答 案 ： (1)将 点 A(4， 3)代 入 ky x ， 得 ： k=12，则 反 比 例 函 数 解 析 式 为 12y x .(2)求 点 B 的 坐 标 .解 析 ： (2)利 用 勾 股 定 理 求 得 AB=OA=5， 由 AB x轴 即 可 得 点 B的 坐 标 .答
30、 案 ： (2)如 图 ， 过 点 A 作 AC x 轴 于 点 C， 则 OC=4、 AC=3， 2 24 3 5 OA ， AB x 轴 ， 且 AB=OA=5， 点 B的 坐 标 为 (9， 3).(3)求 OAP的 面 积 .解 析 ： (3)先 根 据 点 B坐 标 得 出 OB 所 在 直 线 解 析 式 ， 从 而 求 得 直 线 与 双 曲 线 交 点 P 的 坐 标 ，再 利 用 割 补 法 求 解 可 得 .答 案 ： (3) 点 B 坐 标 为 (9， 3)， OB 所 在 直 线 解 析 式 为 13y x，1213 y xy x ， 解 得 62xy 或 62 xy
31、点 P在 第 一 象 限 ， 所 以 点 P坐 标 为 (6， 2)，过 点 P作 PD x轴 ， 延 长 DP 交 AB于 点 E，则 点 E坐 标 为 (6， 3)， AE=2、 PE=1、 PD=2，则 OAP的 面 积 1 1 12 22 6 3 6 2 2 2 1 5 VOAPS .27.如 图 ， AB 是 O 的 直 径 ， 点 E 为 线 段 OB上 一 点 (不 与 O， B 重 合 )， 作 EC OB， 交 O于点 C， 作 直 径 CD， 过 点 C的 切 线 交 DB 的 延 长 线 于 点 P， 作 AF PC于 点 F， 连 接 CB. (1)求 证 ： AC平
32、分 FAB. 解 析 ： (1)根 据 等 角 的 余 角 相 等 证 明 即 可 .答 案 ： (1)证 明 ： AB是 直 径 ， ACB=90 ， BCP+ ACF=90 ， ACE+ BCE=90 ， BCP= BCE， ACF= ACE， 即 AC 平 分 FAB.(2)求 证 ： BC 2=CE CP.解 析 ： (2)只 要 证 明 CBE CPB， 可 得 CB CECP CB 解 决 问 题 .答 案 ： (2)证 明 ： OC=OB， OCB= OBC， PF 是 O的 切 线 ， CE AB， OCP= CEB=90 ， PCB+ OCB=90 ， BCE+ OBC=90
33、 ， BCE= BCP， CD 是 直 径 ， CBD= CBP=90 ， CBE CPB， CB CECP CB ， BC2=CE CP.(3)当 AB=4 3 且 34CFCP 时 ， 求 劣 弧 BD的 长 度 .解 析 ： (3)作 BM PF 于 M.则 CE=CM=CF， 设 CE=CM=CF=3a， PC=4a， PM=a， 利 用 相 似 三 角 形 的性 质 求 出 BM， 求 出 tan BCM的 值 即 可 解 决 问 题 .答 案 ： (3)作 BM PF于 M. 则 CE=CM=CF， 设 CE=CM=CF=3a， PC=4a， PM=a， MCB+ P=90 ， P
34、+ PBM=90 ， MCB= PBM， CD 是 直 径 ， BM PC， CMB= BMP=90 ， BMC PMB， BM CMPM BM ， BM 2=CM PM=3a2， BM= 3 a， tan 33 BMBCM CM ， BCM=30 ， OCB= OBC= BOC=60 ， BOD=120 BD的 长 为 120 2 3 4 3180 3 g g .28.如 图 ， 抛 物 线 y=x 2+bx+c 与 x轴 交 于 A、 B 两 点 ， B 点 坐 标 为 (4， 0)， 与 y 轴 交 于 点 C(0，4). (1)求 抛 物 线 的 解 析 式 .解 析 ： (1)利 用
35、 待 定 系 数 法 求 抛 物 线 的 解 析 式 .答 案 ： (1)把 B(4， 0)， C(0， 4)代 入 y=x2+bx+c， 得16 4 04 b cc ， 解 得 54 bc ， 抛 物 线 的 解 析 式 为 y=x2-5x+4.(2)点 P 在 x轴 下 方 的 抛 物 线 上 ， 过 点 P 的 直 线 y=x+m 与 直 线 BC交 于 点 E， 与 y 轴 交 于 点 F，求 PE+EF 的 最 大 值 .解 析 ： (2)易 得 BC的 解 析 式 为 y=-x+4， 先 证 明 ECF为 等 腰 直 角 三 角 形 ， 作 PH y轴 于 H， PG y 轴 交
36、BC 于 G， 如 图 1， 则 EPG 为 等 腰 直 角 三 角 形 ， PE= 22 PG， 设 P(t， t2-4t+3)(1 t 3)， 则 G(t， -t+3)， 接 着 利 用 t 表 示 PF、 PE， 所 以 PE+EF=2PE+PF= 2 52 2 t t，然 后 利 用 二 次 函 数 的 性 质 解 决 问 题 .答 案 ： (2)易 得 BC 的 解 析 式 为 y=-x+4， 直 线 y=x+m 与 直 线 y=x平 行 ， 直 线 y=-x+4 与 直 线 y=x+m 垂 直 ， CEF=90 ， ECF为 等 腰 直 角 三 角 形 ，作 PH y 轴 于 H，
37、 PG y 轴 交 BC 于 G， 如 图 1， EPG为 等 腰 直 角 三 角 形 ， PE= 22 PG，设 P(t， t2-5t+4)(1 t 4)， 则 G(t， -t+4)， 2 2 PF PH t， PG=-t+4-(t2-5t+4)=-t2+4t， 22 2 22 22 PE PG t t， 2 PE EF PE PE PF PE PF 22 2 5 25 22 4 2 2 2 5 2 2 2 4 t t t t t t ， 当 t= 52 时 ， PE+EF的 最 大 值 为 25 24 .(3)点 D 为 抛 物 线 对 称 轴 上 一 点 . 当 BCD是 以 BC 为
38、直 角 边 的 直 角 三 角 形 时 ， 直 接 写 出 点 D 的 坐 标 . 若 BCD是 锐 角 三 角 形 ， 直 接 写 出 点 D 的 纵 坐 标 n的 取 值 范 围 .解 析 ： (3) 如 图 2， 抛 物 线 的 对 称 轴 为 直 线 x=-点 D的 纵 坐 标 的 取 值 范 围 . 由 于 BCD 是 以 BC 为 斜 边 的 直 角 三 角 形 有 4+(y-3) 2+1+y2=18， 解 得 1 4 312y ，2 4 312y ， 得 到 此 时 D 点 坐 标 为 ( 52 ， 4 312 )或 ( 52 ， 4 312 )， 然 后 结 合 图 形 可确
39、定 BCD是 锐 角 三 角 形 时 点 D 的 纵 坐 标 的 取 值 范 围 .答 案 ： (3) 如 图 2， 抛 物 线 的 对 称 轴 为 直 线 x= 52 ，设 D( 52 ， y)， 则 BC 2=42+42=32， 2 22 5 42 DC y ， 22 2 2954 2 4 BD y y ， 当 BCD是 以 BC为 直 角 边 ， BD为 斜 边 的 直 角 三 角 形 时 ， BC2+DC2=BD2，即 2 2 294532 42 y y ， 解 得 y=5， 此 时 D 点 坐 标 为 ( 52 ， 132 )；当 BCD是 以 BC为 直 角 边 ， CD为 斜 边
40、 的 直 角 三 角 形 时 ， BC2+DB2=DC2，即 2 22 532 4294 y y ， 解 得 y=-1， 此 时 D 点 坐 标 为 ( 52 ， 32 )；综 上 所 述 ， 符 合 条 件 的 点 D 的 坐 标 是 ( 52 ， 132 )或 ( 52 ， 32 ). 当 BCD是 以 BC 为 斜 边 的 直 角 三 角 形 时 ， DC 2+DB2=BC2，即 2 2 25 4 322 94 y y ， 解 得 y1= 4 312 ， y2= 4 312 ，此 时 D点 坐 标 为 ( 52 ， 4 312 )或 ( 52 ， 4 312 )，所 以 BCD 是 锐 角 三 角 形 ， 点 D 的 纵 坐 标 的 取 值 范 围 为 4 312 y 132 或 32 y4 312 .
