1、2017年 湖 南 省 株 洲 市 中 考 数 学一 、 选 择 题 (每 小 题 3 分 , 满 分 30分 )1.计 算 a2 a4的 结 果 为 ( )A.a2B.a 4C.a6D.a8解 析 : 原 式 =a2+4=a6.答 案 : C.2.如 图 示 , 数 轴 上 点 A 所 表 示 的 数 的 绝 对 值 为 ( ) A.2B. 2C. 2D.以 上 均 不 对解 析 : 由 数 轴 可 得 ,点 A 表 示 的 数 是 2, | 2|=2.答 案 : A.3.如 图 示 直 线 l 1, l2 ABC被 直 线 l3所 截 , 且 l1 l2, 则 =( )A.41B.49C.
2、51D.59 解 析 : l1 l2, =49 .答 案 : B.4.已 知 实 数 a, b 满 足 a+1 b+1, 则 下 列 选 项 错 误 的 为 ( )A.a bB.a+2 b+2C. a bD.2a 3b 解 析 : 由 不 等 式 的 性 质 得 a b, a+2 b+2, a b.答 案 : D.5.如 图 , 在 ABC中 , BAC=x , B=2x , C=3x , 则 BAD=( )A.145B.150 C.155D.160解 析 : 在 ABC中 , B+ C+ BAC=180 , BAC=x , B=2x , C=3x , 6x=180, x=30, BAD= B
3、+ C=5x=150 .答 案 : B.6.下 列 圆 的 内 接 正 多 边 形 中 , 一 条 边 所 对 的 圆 心 角 最 大 的 图 形 是 ( ) A.正 三 角 形B.正 方 形C.正 五 边 形 D.正 六 边 形解 析 : 正 三 角 形 一 条 边 所 对 的 圆 心 角 是 360 3=120 ,正 方 形 一 条 边 所 对 的 圆 心 角 是 360 4=90 ,正 五 边 形 一 条 边 所 对 的 圆 心 角 是 360 5=72 ,正 六 边 形 一 条 边 所 对 的 圆 心 角 是 360 6=60 , 一 条 边 所 对 的 圆 心 角 最 大 的 图 形
4、 是 正 三 角 形 .答 案 : A.7.株 洲 市 展 览 馆 某 天 四 个 时 间 段 进 出 馆 人 数 统 计 如 下 , 则 馆 内 人 数 变 化 最 大 时 间 段 为 ( ) 9: 00 10: 00 10: 00 11:00 14: 00 15:00 15: 00 16:00进 馆 人 数 50 24 55 32出 馆 人 数 30 65 28 45A.9: 00 10: 00B.10: 00 11: 00C.14: 00 15: 00D.15: 00 16: 00 解 析 : 由 统 计 表 可 得 : 10: 00 11: 00, 进 馆 24人 , 出 馆 65人
5、, 差 之 最 大 .答 案 : B.8.三 名 初 三 学 生 坐 在 仅 有 的 三 个 座 位 上 , 起 身 后 重 新 就 坐 , 恰 好 有 两 名 同 学 没 有 坐 回 原 座 位的 概 率 为 ( )A.19B.16C.14 D.12解 析 : 画 树 状 图 为 : (用 A、 B、 C 表 示 三 位 同 学 , 用 a、 b、 c 表 示 他 们 原 来 的 座 位 ) 共 有 6种 等 可 能 的 结 果 数 , 其 中 恰 好 有 两 名 同 学 没 有 坐 回 原 座 位 的 结 果 数 为 3,所 以 恰 好 有 两 名 同 学 没 有 坐 回 原 座 位 的
6、概 率 =3 1=6 2.答 案 : D.9.如 图 , 点 E、 F、 G、 H 分 别 为 四 边 形 ABCD的 四 边 AB、 BC、 CD、 DA 的 中 点 , 则 关 于 四 边 形EFGH, 下 列 说 法 正 确 的 为 ( ) A.一 定 不 是 平 行 四 边 形B.一 定 不 是 中 心 对 称 图 形C.可 能 是 轴 对 称 图 形D.当 AC=BD时 它 是 矩 形解 析 : 连 接 AC, BD, 点 E、 F、 G、 H 分 别 为 四 边 形 ABCD的 四 边 AB、 BC、 CD、 DA 的 中 点 , EF=HG=12 AC, EH=FG=12 BD,
7、 四 边 形 EFGH 是 平 行 四 边 形 , 四 边 形 EFGH 一 定 是 中 心 对 称 图 形 ,当 AC BD 时 , EFG=90 , 此 时 四 边 形 EFGH是 矩 形 ,当 AC=BD 时 , EF=FG=GH=HE, 此 时 四 边 形 EFGH是 菱 形 , 四 边 形 EFGH 可 能 是 轴 对 称 图 形 . 答 案 : C.10.如 图 示 , 若 ABC内 一 点 P 满 足 PAC= PBA= PCB, 则 点 P 为 ABC的 布 洛 卡 点 .三 角 形的 布 洛 卡 点 (Brocard point)是 法 国 数 学 家 和 数 学 教 育 家
8、 克 洛 尔 (A.L.Crelle 1780 1855)于 1816年 首 次 发 现 , 但 他 的 发 现 并 未 被 当 时 的 人 们 所 注 意 , 1875 年 , 布 洛 卡 点 被 一 个 数 学爱 好 者 法 国 军 官 布 洛 卡 (Brocard 1845 1922)重 新 发 现 , 并 用 他 的 名 字 命 名 .问 题 : 已 知 在等 腰 直 角 三 角 形 DEF中 , EDF=90 , 若 点 Q 为 DEF的 布 洛 卡 点 , DQ=1, 则 EQ+FQ=( ) A.5B.4C.3 2D.2 2解 析 : 如 图 , 在 等 腰 直 角 三 角 形 D
9、EF中 , EDF=90 , DE=DF, 1= 2= 3, 1+ QEF= 3+ DFQ=45 , QEF= DFQ, 2= 3, DQF FQE, 1= = = 2DQ FQ DFFQ QE EF , DQ=1, FQ= 2, EQ=2, EQ+FQ=2+ 2. 答 案 : D二 、 填 空 题 (每 小 题 3 分 , 满 分 24分 )11.如 图 示 在 ABC中 B=_. 解 析 : C=90 , B=90 A=90 65 =25 .答 案 : 25 .12.分 解 因 式 : m3 mn2=_.解 析 : m 3 mn2,=m(m2 n2),=m(m+n)(m n).答 案 :
10、m(m+n)(m n)13.分 式 方 程 4 1 02x x 的 解 为 _.解 析 : 去 分 母 , 得 4x+8 x=0,移 项 、 合 并 同 类 项 , 得 3x= 8, 方 程 两 边 同 时 除 以 3, 得 x= 83.经 检 验 , x= 83是 原 方 程 的 解 .答 案 : x= 83.14.已 知 “ x的 3倍 大 于 5, 且 x 的 一 半 与 1的 差 不 大 于 2” , 则 x的 取 值 范 围 是 _. 解 析 : 依 题 意 有 3 51 1 22xx ,解 得 53 x 6.故 x 的 取 值 范 围 是 53 x 6.答 案 : 53 x 6.1
11、5.如 图 , 已 知 AM为 O 的 直 径 , 直 线 BC经 过 点 M, 且 AB=AC, BAM= CAM, 线 段 AB和 AC分 别 交 O于 点 D、 E, BMD=40 , 则 EOM=_. 解 析 : 连 接 EM, AB=AC, BAM= CAM, AM BC, AM 为 O的 直 径 , ADM= AEM=90 , AME= AMD=90 BMD=50 EAM=40 , EOM=2 EAM=80 .答 案 : 80 .16.如 图 示 直 线 3 3y x 与 x轴 、 y轴 分 别 交 于 点 A、 B, 当 直 线 绕 着 点 A按 顺 时 针 方 向旋 转 到 与
12、 x轴 首 次 重 合 时 , 点 B 运 动 的 路 径 的 长 度 为 _. 解 析 : 当 y=0时 , 3 3=0 x , 解 得 x= 1, 则 A( 1, 0),当 x=0时 , 3 3= 3y x , 则 B(0, 3),在 Rt OAB中 , 3tan 31BAO , BAO=60 , AB= 221 3 =2, 当 直 线 绕 着 点 A 按 顺 时 针 方 向 旋 转 到 与 x 轴 首 次 重 合 时 , 点 B 运 动 的 路 径 的 长 度=60 2 2180 3 . 答 案 : 23 .17.如 图 所 示 是 一 块 含 30 , 60 , 90 的 直 角 三
13、角 板 , 直 角 顶 点 O 位 于 坐 标 原 点 , 斜 边 AB垂 直 于 x 轴 , 顶 点 A 在 函 数 11 ky x (x 0)的 图 象 上 , 顶 点 B 在 函 数 22 ky x (x 0)的 图 象上 , ABO=30 , 则 12kk =_. 解 析 : 如 图 , Rt AOB中 , B=30 , AOB=90 , OAC=60 , AB OC, ACO=90 , AOC=30 ,设 AC=a, 则 OA=2a, OC= 3a, A( 3a, a), A 在 函 数 11 ky x (x 0)的 图 象 上 , 21 3 3k a a a , Rt BOC中 ,
14、 OB=2OC=2 3a, 2 2 3BC OB OC a , B( 3a, 3a), B 在 函 数 22 ky x (x 0)的 图 象 上 , 22 3 3- 3 3k a a a , 12 1= 3kk . 答 案 : 13 .18.如 图 示 二 次 函 数 y=ax2+bx+c 的 对 称 轴 在 y 轴 的 右 侧 , 其 图 象 与 x轴 交 于 点 A( 1, 0)与点 C(x2, 0), 且 与 y轴 交 于 点 B(0, 2), 小 强 得 到 以 下 结 论 : 0 a 2; 1 b 0; c= 1; 当 |a|=|b|时 x 2 1; 以 上 结 论 中 正 确 结
15、论 的 序 号 为 _. 解 析 : 由 A( 1, 0), B(0, 2), 得 b=a 2, 开 口 向 上 , a 0; 对 称 轴 在 y 轴 右 侧 , 2ba 0, 22a a 0, a 2 0, a 2; 0 a 2; 正 确 ; 抛 物 线 与 y 轴 交 于 点 B(0, 2), c= 2, 故 错 误 ; 抛 物 线 图 象 与 x 轴 交 于 点 A( 1, 0), a b 2=0, 无 法 得 到 0 a 2; 1 b 0, 故 错 误 ; |a|=|b|, 二 次 函 数 y=ax 2+bx+c的 对 称 轴 在 y轴 的 右 侧 , 二 次 函 数 y=ax2+bx
16、+c 的 对 称 轴 为 y=12 , x2=2 5 1, 故 正 确 .答 案 : .三 、 解 答 题 (本 大 题 共 有 8 个 小 题 , 满 分 66分 )19.计 算 : 8+2017 0 ( 1) 4sin45 .解 析 : 根 据 立 方 根 的 定 义 、 零 指 数 幂 及 特 殊 角 的 三 角 函 数 值 求 得 各 项 的 值 , 再 计 算 即 可 . 答 案 : 8+20170 ( 1) 4sin45= 22 2 1 1 4 2 =2 2 1 2 2 = 1.20.化 简 求 值 : 2y yx yx x y , 其 中 x=2, y= 3. 解 析 : 原 式
17、 括 号 中 两 项 通 分 并 利 用 同 分 母 分 式 的 减 法 法 则 计 算 , 约 分 后 计 算 得 到 最 简 结 果 ,把 x 与 y 的 值 代 入 计 算 即 可 求 出 值 .答 案 : 原 式 = 2x y x y y x yy xy yyx x y x x x ,当 x=2, y= 3时 , 原 式 = 32 .21.某 次 世 界 魔 方 大 赛 吸 引 世 界 各 地 共 600名 魔 方 爱 好 者 参 加 , 本 次 大 赛 首 轮 进 行 3 3阶 魔方 赛 , 组 委 会 随 机 将 爱 好 者 平 均 分 到 20 个 区 域 , 每 个 区 域 3
18、0名 同 时 进 行 比 赛 , 完 成 时 间 小 于 8秒 的 爱 好 者 进 入 下 一 轮 角 逐 ; 如 图 是 3 3阶 魔 方 赛 A区 域 30名 爱 好 者 完 成 时 间 统 计 图 ,求 : A 区 域 3 3 阶 魔 方 爱 好 者 进 入 下 一 轮 角 逐 的 人 数 的 比 例 (结 果 用 最 简 分 数 表 示 ). 若 3 3 阶 魔 方 赛 各 个 区 域 的 情 况 大 体 一 致 , 则 根 据 A区 域 的 统 计 结 果 估 计 在 3 3阶 魔 方赛 后 进 入 下 一 轮 角 逐 的 人 数 . 若 3 3 阶 魔 方 赛 A区 域 爱 好 者
19、 完 成 时 间 的 平 均 值 为 8.8秒 , 求 该 项 目 赛 该 区 域 完 成 时 间为 8 秒 的 爱 好 者 的 概 率 (结 果 用 最 简 分 数 表 示 ). 解 析 : 由 图 知 1 人 6 秒 , 3 人 7 秒 , 小 于 8 秒 的 爱 好 者 共 有 4人 , 进 入 下 一 轮 角 逐 的 人 数比 例 为 4: 30; 因 为 其 他 赛 区 情 况 大 致 一 致 , 所 以 进 入 下 一 轮 的 人 数 为 : 600 A 区 进 入 下 一 轮 角 逐 的 人数 比 例 ; 由 完 成 时 间 的 平 均 值 和 A 区 30 人 , 得 到 关
20、于 a、 b 的 二 元 一 次 方 程 组 , 求 出 a、 b, 得 到完 成 时 间 8秒 的 爱 好 者 的 概 率 .答 案 : A区 小 于 8秒 的 共 有 3+1=4(人 )所 以 A区 进 入 下 一 轮 角 逐 的 人 数 比 例 为 : 4 230 15 ; 估 计 进 入 下 一 轮 角 逐 的 人 数 为 600 215=80(人 ); 因 为 A 区 域 爱 好 者 完 成 时 间 的 平 均 值 为 8.8秒 ,所 以 (1 6+3 7+a 8+b 9+10 10) 30=8.8化 简 , 得 8a+9b=137又 1+3+a+b+10=30, 即 a+b=16所
21、 以 8 9 13716a ba b 解 得 a=7, b=9 所 以 该 区 完 成 时 间 为 8 秒 的 爱 好 者 的 概 率 为 730.22.如 图 示 , 正 方 形 ABCD 的 顶 点 A 在 等 腰 直 角 三 角 形 DEF的 斜 边 EF 上 , EF 与 BC 相 交 于 点 G,连 接 CF. 求 证 : DAE DCF; 求 证 : ABG CFG.解 析 : 由 正 方 形 ABCD与 等 腰 直 角 三 角 形 DEF, 得 到 两 对 边 相 等 , 一 对 直 角 相 等 , 利 用 SAS 即 可 得 证 ; 由 第 一 问 的 全 等 三 角 形 的
22、对 应 角 相 等 , 根 据 等 量 代 换 得 到 BAG= BCF, 再 由 对 顶 角 相 等 ,利 用 两 对 角 相 等 的 三 角 形 相 似 即 可 得 证 .答 案 : 正 方 形 ABCD, 等 腰 直 角 三 角 形 EDF, ADC= EDF=90 , AD=CD, DE=DF, ADE+ ADF= ADF+ CDF, ADE= CDF,在 ADE和 CDF中 ,DE DFADE CDFDA DC , ADE CDF; 延 长 BA 到 M, 交 ED于 点 M, ADE CDF, EAD= FCD, 即 EAM+ MAD= BCD+ BCF, MAD= BCD=90
23、, EAM= BCF, EAM= BAG, BAG= BCF, AGB= CGF, ABG CFG. 23.如 图 示 一 架 水 平 飞 行 的 无 人 机 AB 的 尾 端 点 A测 得 正 前 方 的 桥 的 左 端 点 P的俯 角 为 其 中 tan =2 3, 无 人 机 的 飞 行 高 度 AH为 500 3米 , 桥 的 长 度 为 1255米 . 求 点 H 到 桥 左 端 点 P 的 距 离 ; 若 无 人 机 前 端 点 B测 得 正 前 方 的 桥 的 右 端 点 Q的 俯 角 为 30 , 求 这 架 无 人 机 的 长 度 AB. 解 析 : 在 Rt AHP中 ,
24、由 tan APH=tan = AHHP , 即 可 解 决 问 题 ; 设 BC HQ 于 C.在 Rt BCQ 中 , 求 出 CQ= tan30BC =1500 米 , 由 PQ=1255 米 , 可 得 CP=245米 , 再 根 据 AB=HC=PH PC计 算 即 可 ;答 案 : 在 Rt AHP中 , AH=500 3,由 tan APH=tan = 500 3 2 3AHHP PH , 可 得 PH=250米 . 点 H到 桥 左 端 点 P的 距 离 为 250米 . 设 BC HQ于 C.在 Rt BCQ中 , BC=AH=500 3, BQC=30 , CQ= tan3
25、0BC =1500米 , PQ=1255米 , CP=245 米 , HP=250 米 , AB=HC=250 245=5米 .答 : 这 架 无 人 机 的 长 度 AB为 5 米 . 24.如 图 所 示 , Rt PAB 的 直 角 顶 点 P(3, 4)在 函 数 ky x (x 0)的 图 象 上 , 顶 点 A、 B 在 函数 ty x (x 0, 0 t k)的 图 象 上 , PA x 轴 , 连 接 OP, OA, 记 OPA 的 面 积 为 S OPA, PAB的 面 积 为 S PAB, 设 w=S OPA S PAB. 求 k的 值 以 及 w 关 于 t的 表 达 式
26、 ; 若 用 w max和 wmin分 别 表 示 函 数 w 的 最 大 值 和 最 小 值 , 令 T=wmax+a2 a, 其 中 a 为 实 数 , 求 Tmin.解 析 : (1) 由 点 P 的 坐 标 表 示 出 点 A 、 点 B 的 坐 标 , 从 而 得1 1 42 3 432PAB t tS PA PB , 再 根 据 反 比 例 系 数 k 的 几 何 意 义 知 S OPA=S OPC SOAC=6 12 t, 由 w=S OPA S PAB可 得 答 案 ;(2)将 (1)中 所 得 解 析 式 配 方 求 得 wmax=32 , 代 入 T=wmax+a2 a 配
27、 方 即 可 得 出 答 案 .答 案 : (1) 点 P(3, 4), 在 ty x 中 , 当 x=3 时 , y=3t , 即 点 A(3, 3t ), 当 y=4时 , x=4t , 即 点 B(4t , 4),则 1 1 42 3 432PAB t tS PA PB ,如 图 , 延 长 PA 交 x 轴 于 点 C, 则 PC x 轴 ,又 1 1 13 4 62 2 2OPA OPC OACS S S t t , 21 1 1 16 4 32 2 3 4 24 2t tw t t t ;(2) 221 1 1 3624 2 24 2w t t t , w max=32 ,则 22
28、 2max 3 1 52 2 4T w a a a a a , 当 a=12 时 , Tmin=54 .25.如 图 示 AB为 O 的 一 条 弦 , 点 C为 劣 弧 AB的 中 点 , E 为 优 弧 AB 上 一 点 , 点 F在 AE的 延长 线 上 , 且 BE=EF, 线 段 CE 交 弦 AB于 点 D. 求 证 : CE BF; 若 BD=2, 且 EA: EB: EC=3: 1: , 求 BCD的 面 积 (注 : 根 据 圆 的 对 称 性 可 知 OC AB). 解 析 : 连 接 AC, BE, 由 等 腰 三 角 形 的 性 质 和 三 角 形 的 外 角 性 质
29、得 出 F=12 AEB, 由 圆 周角 定 理 得 出 AEC= BEC, 证 出 AEC= F, 即 可 得 出 结 论 ; 证 明 ADE CBE, 得 出 35ADCB , 证 明 CBE CDB, 得 出 BD BECB CE , 求 出 CB=2 5,得 出 AD=6, AB=8, 由 垂 径 定 理 得 出 OC AB, AG=BG= 12 AB=4, 由 勾 股 定 理 求 出CG= 2 2CB BG =2, 即 可 得 出 BCD的 面 积 .答 案 : 证 明 : 连 接 AC, BE, 作 直 线 OC, 如 图 所 示 : BE=EF, F= EBF; AEB= EBF
30、+ F, F=12 AEB, C 是 的 中 点 , AC BC , AEC= BEC, AEB= AEC+ BEC, AEC=12 AEB, AEC= F, CE BF; 解 : DAE= DCB, AED= CEB, ADE CBE, AD AECB CE , 即 35ADCB , CBD= CEB, BCD= ECB, CBE CDB, BD BECB CE , 即 2 15CB , CB=2 5, AD=6, AB=8, 点 C为 劣 弧 AB的 中 点 , OC AB, AG=BG=12 AB=4, CG= 2 2CB BG =2, BCD的 面 积 =1 1 2 2 22 2BD
31、CG . 26.已 知 二 次 函 数 y= x2+bx+c+1, 当 b=1时 , 求 这 个 二 次 函 数 的 对 称 轴 的 方 程 ; 若 c=14 b2 2b, 问 : b 为 何 值 时 , 二 次 函 数 的 图 象 与 x 轴 相 切 ? 若 二 次 函 数 的 图 象 与 x 轴 交 于 点 A(x1, 0), B(x2, 0), 且 x1 x2, 与 y 轴 的 正 半 轴 交 于 点M, 以 AB为 直 径 的 半 圆 恰 好 过 点 M, 二 次 函 数 的 对 称 轴 l 与 x 轴 、 直 线 BM、 直 线 AM 分 别 交于 点 D、 E、 F, 且 满 足
32、13DEEF , 求 二 次 函 数 的 表 达 式 . 解 析 : 二 次 函 数 y= x2+bx+c+1的 对 称 轴 为 2bx , 即 可 得 出 答 案 ; 二 次 函 数 y= x2+bx+c+1 的 顶 点 坐 标 为 ( 24 1,2 4c bb ), y由 二 次 函 数 的 图 象 与 x 轴 相切 且 c=14 b 2 2b, 得 出 方 程 组 224 1 041 24c bc b b , 求 出 b 即 可 ; 由 圆 周 角 定 理 得 出 AMB=90 , 证 出 OMA= OBM, 得 出 OAM OMB, 得 出 OM2=OA OB,由 二 次 函 数 的
33、图 象 与 x 轴 的 交 点 和 根 与 系 数 关 系 得 出 OA= x1, OB=x2, x1+x2, =b, x1 x2=(c+1), 得 出 方 程 (c+1) 2=c+1, 得 出 c=0, OM=1, 证 明 BDE BOM, AOM ADF, 得 出DE BDOM OB , OM OADF AD , 得 出 OB=4OA, 即 x2= 4x1, 由 x1 x2= (c+1)= 1, 得 出 方 程组 1 22 114x xx x , 解 方 程 组 求 出 b 的 值 即 可 .答 案 : 二 次 函 数 y= x 2+bx+c+1的 对 称 轴 为 2bx ,当 b=1时
34、, 12 2b , 当 b=1时 , 求 这 个 二 次 函 数 的 对 称 轴 的 方 程 为 x=12 . 二 次 函 数 y= x 2+bx+c+1 的 顶 点 坐 标 为 ( 24 1,2 4c bb ), 二 次 函 数 的 图 象 与 x 轴 相 切 且 c=14 b2 2b, 224 1 041 24c bc b b , 解 得 : b=2+ 2或 b=2 2, b 为 2+ 2或 2 2时 , 二 次 函 数 的 图 象 与 x轴 相 切 . AB是 半 圆 的 直 径 , AMB=90 , OAM+ OBM=90 , AOM= MOB=90 , OAM+ OMA=90 , O
35、MA= OBM, OAM OMB, OM OAOB OM , OM2=OA OB, 二 次 函 数 的 图 象 与 x 轴 交 于 点 A(x 1, 0), B(x2, 0), OA= x1, OB=x2, x1+x2, =b, x1 x2= (c+1), OM=c+1, (c+1)2=c+1,解 得 : c=0或 c= 1(舍 去 ), c=0, OM=1, 二 次 函 数 的 对 称 轴 l 与 x 轴 、 直 线 BM、 直 线 AM分 别 交 于 点 D、 E、 F, 且 满 足 13DEEF , AD=BD, DF=4DE, DF OM, BDE BOM, AOM ADF, DE BDOM OB , OM OADF AD , DE= BDOB , DF= ADOA , 4AD BDOA OB , OB=4OA, 即 x 2= 4x1, x1 x2= (c+1)= 1, 1 22 114x xx x , 解 得 : 12 122xx , 1 322 2b , 二 次 函 数 的 表 达 式 为 2 3 12y x x .