1、2017年 安 徽 省 淮 北 市 高 考 一 模 数 学 理一 、 选 择 题 ： 本 大 题 共 12 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 60 分 .在 每 个 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只有 一 项 是 符 合 题 目 要 求 的 .1.已 知 集 合 P=(- ， 0 (3， + )， Q=0， 1， 2， 3， 则 (RP) Q=( )A.0， 1B.0， 1， 2C.1， 2， 3D.x|0 x 3解 析 ： 根 据 补 集 与 交 集 的 定 义 ， 写 出 对 应 的 结 果 即 可 .答 案 ： C. 2.复 数 z=1 i i 的 共 轭 复 数 的
2、 模 为 ( )A. 12B. 22C.1D.2解 析 ： 直 接 利 用 复 数 代 数 形 式 的 乘 除 运 算 化 简 ， 结 合 |z |=|z|求 解 .答 案 ： B. 3.已 知 x， y 满 足 线 性 约 束 条 件 35y xx yy ， 若 z=x+4y 的 最 大 值 与 最 小 值 之 差 为 5， 则 实 数 的 值 为 ( )A.3B. 73C. 32D.1解 析 ： 作 出 不 等 式 对 应 的 平 面 区 域 ， 利 用 线 性 规 划 的 知 识 ， 通 过 平 移 即 可 求 z 的 最 大 值 和 最小 值 .建 立 方 程 关 系 进 行 求 解
3、即 可 .答 案 ： A. 4.函 数 f(x)=|x|+ ax (其 中 a R)的 图 象 不 可 能 是 ( ) A.B.C. D.解 析 ： 分 三 种 情 况 讨 论 ， 根 据 函 数 的 单 调 性 和 基 本 不 等 式 即 可 判 断 .答 案 ： C.5.已 知 三 个 数 1， a， 9 成 等 比 数 列 ， 则 圆 锥 曲 线 2 22x ya =1的 离 心 率 为 ( )A. 33B. 5 C. 5 或 102D. 33 或 102解 析 ： 由 已 知 求 得 a值 ， 然 后 分 类 讨 论 求 得 圆 锥 曲 线 2 22x ya =1的 离 心 率 .答
4、案 ： D. 6.在 ABC中 ， A= 3 ， BC=4 3 ， 则 ABC的 周 长 为 ( )A.4 3 +8 3 sin(B+ 6 )B.4 3 +8sin(B+ 3 )C.4 3 +8 3 cos(B+ 6 )D.4 3 +8cos(B+ 3 )解 析 ： 由 正 弦 定 理 可 得 4 3sin sin sin 32AB AC BCC B A =8， 利 用 三 角 函 数 恒 等 变 换 的 应 用 ， 三 角 形 内 角 和 定 理 ， 化 简 即 可 得 解 .答 案 ： A.7.下 列 说 法 正 确 的 是 ( )(1)已 知 等 比 数 列 an， 则 “ 数 列 an
5、单 调 递 增 ” 是 “ 数 列 an的 公 比 q 1” 的 充 分 不 必 要 条件 ；(2)二 项 式 (2x+ 1x ) 5的 展 开 式 按 一 定 次 序 排 列 ， 则 无 理 项 互 不 相 邻 的 概 率 是 15 ；(3)已 知 S= 1 220 14 x dx ， 则 S= 16 ；(4)为 了 解 1000名 学 生 的 学 习 情 况 ， 采 用 系 统 抽 样 的 方 法 ， 从 中 抽 取 容 量 为 40的 样 本 ， 则分 段 的 间 隔 为 40.A.(1)(2)B.(2)(3)C.(1)(3)D.(2)(4)解 析 ： (1)等 比 数 列 an单 调
6、递 增 时 公 比 q 1 且 首 项 a 1 0， 或 公 比 0 q 1 且 首 项 a1 0； (2)根 据 二 项 式 (2x+ 1x )5的 展 开 式 的 通 项 公 式 可 得 展 开 式 中 无 理 项 项 数 ， 再 用 古 典 概型 概 率 计 算 公 式 可 求 ； (3)S= 1 220 14 x dx 表 示 圆 x2+y2= 14 (y 0， 0 x 12 )的 圆 的 面 积 ；(4)1000 40=25.答 案 ： B.8.执 行 如 图 的 程 序 框 图 ， 则 输 出 S的 值 为 ( ) A. tan 2017 tan1949 67tan1 B. tan
7、 2016 tan1949 67tan1 C. tan 2017 tan1949 68tan1 D. tan 2016 tan1949 68tan1 解 析 ： 执 行 程 序 框 图 ， 得 出 S的 算 式 ， 再 利 用 两 角 差 的 正 切 公 式 计 算 S的 值 即 可 .答 案 ： C.9.如 图 是 某 空 间 几 何 体 的 三 视 图 其 中 主 视 图 、 侧 视 图 、 俯 视 图 依 次 为 直 角 三 角 形 、 直 角 梯 形 、等 边 三 角 形 ， 则 该 几 何 体 的 体 积 ( ) A. 33B. 32C. 2 33D. 3解 析 ： 如 图 所 示
8、， 该 几 何 体 为 四 棱 锥 ， 其 中 侧 面 ACBD 底 面 PAB.侧 面 ACBD为 直 角 梯 形 ， PA AB.答 案 ： D.10.若 函 数 f(x)在 其 图 象 上 存 在 不 同 的 两 点 A(x 1， y1)， B(x2， y2)， 其 坐 标 满 足 条 件 ： |x1x2+y1y2|-2 2 2 21 1 2 2x y x y 的 最 大 值 为 0， 则 称 f(x)为 “ 柯 西 函 数 ” ，则 下 列 函 数 ： f(x)=x+ 1x (x 0)； f(x)=lnx(0 x 3)； f(x)=2sinx； f(x)= 22 8x .其 中 为 “
9、 柯 西 函 数 ” 的 个 数 为 ( )A.1B.2 C.3D.4解 析 ： 由 柯 西 不 等 式 得 ： 对 任 意 实 数 x1， y1， x2， y2， |x1x2+y1y2|- 2 2 2 21 1 2 2x y x y 0恒 成 立 (当 且 仅 当 存 在 实 数 k， 使 得 x1=kx2， y1=ky2取 等 号 )， 若 函 数 f(x)在 其 图 象 上 存 在 不同 的 两 点 A(x1， y1)， B(x2， y2)， 其 坐 标 满 足 条 件 ： |x1x2+y1y2|- 2 2 2 21 1 2 2x y x y 的 最大 值 为 0， 则 函 数 f(x)
10、在 其 图 象 上 存 在 不 同 的 两 点 A(x 1， y1)， B(x2， y2)， 使 得 OA、 OB 共线 ， 即 存 在 点 A、 B 与 点 O 共 线 ， 逐 一 判 定 即 可 .答 案 ： C.11.已 知 直 线 l1与 圆 心 为 C的 圆 (x-1)2+(y-2)2=4相 交 于 不 同 的 A， B 两 点 ， 对 平 面 内 任 意 点Q都 有 ( )1QC QA QB ， R， 又 点 P为 直 线 l2： 3x+4y+4=0 上 的 动 点 ， 则 PA PB 的 最 小 值 为 ( )A.21B.9C.5D.0 解 析 ： 由 ( )1QC QA QB
11、， R， 得 三 点 A、 B、 C 共 线 ， 由 向 量 的 线 性 运 算 的BA PA PB ， 2 2 22 2PC PA PB BA PA PB PA PB ，2 2 24 2PC PA PB PA PB . - 得 2 2 21 44PA PB PC BA PC ， 求 出 PC范 围 即 可 .答 案 ： C. 12.已 知 定 义 在 (0， + )的 函 数 f(x)， 其 导 函 数 为 f (x)， 满 足 ： f(x) 0且 2 3 f xxx f x 总 成 立 ， 则 下 列 不 等 式 成 立 的 是 ( )A.e2e+3f(e) e2 3f( )B.e2e+3
12、f( ) e2 3f(e)C.e2e+3f( ) e2 3f(e)D.e2e+3f(e) e2 3f( )解 析 ： 令 g(x)=e 2xx3f(x)， g (x)=e2xx2(2x+3)f(x)+xf (x) 0， g(x)=e2xx3f(x)在 (0，+ )上 单 调 递 增 g(e) g( )， 即 可 得 到 .答 案 ： A.二 、 填 空 题 ： 本 大 题 共 4小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 20 分 .13.已 知 实 数 a， b 均 大 于 0， 且 2 21 1 a ba b 2m-4 总 成 立 ， 则 实 数 m 的 取 值 范 围 是_.解 析 ： 求
13、得 2 21 1 a ba b 的 最 小 值 ， 可 得 2m-4 2 2 ， 即 可 得 到 m 的 范 围 . 答 案 ： (- ， 2+ 2 .14.设 随 机 变 量 服 从 正 态 分 布 N(2， 9)， 若 P( c+1)=P( c-1)， 则 c=_.解 析 ： 画 正 态 曲 线 图 ， 由 对 称 性 得 c-1与 c+1的 中 点 是 2， 由 中 点 坐 标 公 式 得 到 c 的 值 .答 案 ： 2.15.函 数 f(x)=2sinx+2cosx-sin2x+1， x - 512 ， 3 )的 值 域 是 _.解 析 ： 根 据 题 意 ， 令 t=sinx+co
14、sx， 用 t表 示 出 sin2x， 求 出 函 数 y=f(t)的 解 析 式 ， 根 据 x的 取 值 范 围 ， 再 求 出 t 的 取 值 范 围 ， 从 而 求 出 f(t)值 域 . 答 案 ： 3 22 ， 3.16.等 差 数 列 an的 前 n项 和 为 Sn， 数 列 bn是 等 比 数 列 ， 且 满 足 a1=3， b1=1， b2+S2=10， a5-2b2=a3，数 列 nnab 的 前 n 项 和 Tn， 若 Tn M 对 一 切 正 整 数 n都 成 立 ， 则 M的 最 小 值 为 _.解 析 ： 利 用 等 差 数 列 与 等 比 数 列 的 通 项 公
15、式 分 别 求 出 a n以 及 bn和 nnab 的 通 项 公 式 ， 利用 错 位 相 减 法 进 行 求 和 ， 利 用 不 等 式 恒 成 立 进 行 求 解 即 可 .答 案 ： 10.三 、 解 答 题 ： 本 大 题 共 5小 题 ， 共 70 分 .解 答 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 .17.在 ABC 中 ， 设 边 a， b， c 所 对 的 角 为 A， B， C， 且 A， B， C 都 不 是 直 角 ，(bc-8)cosA+accosB=a 2-b2.( )若 b+c=5， 求 b， c 的 值 ；( )若 a= 5 ， 求
16、 ABC面 积 的 最 大 值 .解 析 ： ( )由 已 知 利 用 余 弦 定 理 化 简 已 知 等 式 可 得 b2+c2-a2-8 2 2 22b c abc =0， 又 ABC不 是 直 角 三 角 形 ， 解 得 bc=4， 又 b+c=5， 联 立 即 可 解 得 b， c 的 值 .( )由 余 弦 定 理 ， 基 本 不 等 式 可 得 5=b 2+c2-2bccosA 2bc-2bccosA=8-8cosA， 解 得 cosA 38 ，可 求 sinA 558 ， 利 用 三 角 形 面 积 公 式 即 可 得 解 三 角 形 面 积 的 最 大 值 .答 案 ： ( )
17、 (bc-8) 2 2 22b c abc 2 2 22a c bac =a2-b2， 2 2 22b c a -8 2 2 22b c abc + 2 2 22a c b =a 2-b2， b2+c2-a2-8 2 2 22b c abc =0， ABC不 是 直 角 三 角 形 ， bc=4，又 b+c=5， 解 得 14bc 或 41bc .( ) a= 5 ， 由 余 弦 定 理 可 得 5=b 2+c2-2bccosA 2bc-2bccosA=8-8cosA， cosA 38 ， sinA 558 ， 所 以 S ABC= 12 bcsinA 554 . ABC面 积 的 最 大 值
18、 是 554 ， 当 cosA= 38 时 取 到 .18.为 调 查 了 解 某 省 属 师 范 大 学 师 范 类 毕 业 生 参 加 工 作 后 ， 从 事 的 工 作 与 教 育 是 否 有 关 的 情况 ， 该 校 随 机 调 查 了 该 校 80 位 性 别 不 同 的 2016年 师 范 类 毕 业 大 学 生 ， 得 到 具 体 数 据 如 表 ： ( )能 否 在 犯 错 误 的 概 率 不 超 过 5%的 前 提 下 ， 认 为 “ 师 范 类 毕 业 生 从 事 与 教 育 有 关 的 工 作与 性 别 有 关 ” ？参 考 公 式 ： k2= 2n ad bca b c
19、 d a c b d (n=a+b+c+d).附 表 ：( )求 这 80位 师 范 类 毕 业 生 从 事 与 教 育 有 关 工 作 的 频 率 ；( )以 ( )中 的 频 率 作 为 概 率 .该 校 近 几 年 毕 业 的 2000名 师 范 类 大 学 生 中 随 机 选 取 4 名 ， 记这 4 名 毕 业 生 从 事 与 教 育 有 关 的 人 数 为 X， 求 X的 数 学 期 望 E(X).解 析 ： ( )利 用 k 2计 算 公 式 即 可 得 出 .( )由 图 表 知 这 80 位 师 范 类 毕 业 生 从 事 与 教 育 有 关 工 作 的 频 率 .( )由
20、题 意 知 X服 从 B(4， 1316 )， 即 可 得 出 E(X).答 案 ： ( )由 题 意 得 k2= 280 30 5 35 10 8040 40 6 1 39( )5 5 3.841.故 不 能 在 犯 错 误 的 概 率 不 超 过 5%的 前 提 下 ， 认 为 “ 师 范 类 毕 业 生 从 事 与 教 育 有 关 的 工 作 与性 别 有 关 ”( )由 图 表 知 这 80 位 师 范 类 毕 业 生 从 事 与 教 育 有 关 工 作 的 频 率 p= 65 1380 16 .( )由 题 意 知 X服 从 B(4， 1316 )， 则 EX=np=4 1316 =
21、134 . 19.正 三 棱 柱 ABC-A1B1C1底 边 长 为 2， E， F 分 别 为 BB1， AB的 中 点 . ( )已 知 M为 线 段 B1A1上 的 点 ， 且 B1A1=4B1M， 求 证 ： EM 面 A1FC；( )若 二 面 角 E-A1C-F所 成 角 的 余 弦 值 为 2 77 ， 求 AA1的 值 .解 析 ： ( )取 B1A1中 点 为 N， 连 结 BN， 推 导 出 BN A1F， 从 而 EM BN， 进 而 EM A1F， 由 此能 证 明 EM 面 A1FC.( )以 F 为 坐 标 原 点 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 ， 设 AA1
22、=a， 利 用 向 量 法 能 求 出 结 果 .答 案 ： ( )取 B 1A1中 点 为 N， 连 结 BN，则 BN A1F， 又 B1A1=4B1M，则 EM BN， 所 以 EM A1F，因 为 EM面 A1FC， A1F面 A1FC，故 EM 面 A1FC.( )如 图 ， 以 F为 坐 标 原 点 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 ， 设 AA1=a. 则 F(0， 0， 0)， A1(-1， 0， a)， E(1， 0， 2a )， C(0， 3 ， 0)， EC=(-1， 3 ， - 2a )， FC=(0，3 ， 0)， 1AE=(2， 0， -a2)， 1AC=(1，
23、3 ， -a)，设 平 面 A1CF法 向 量 为 m =(x， y， z)， 设 平 面 A1CE法 向 量 为 n =(x， y， z).则 1 3 03 0AC m x y azFC m y ， 取 z=1， 得 m =(a， 0， 1)，11 3 02 02AC n x y azaAE n x y ， 取 x=a， 得 n =(a， 3 a， 4)；设 二 面 角 E-A 1C-F的 平 面 角 为 ， 二 面 角 E-A1C-F所 成 角 的 余 弦 值 为 2 77 ， cos =cos m ， n = 22 24 2 771 4 16aa a ，整 理 ， 得 a 2= 43 ，
24、 a= 2 33 ，故 当 二 面 角 E-A1C-F所 成 角 的 余 弦 值 为 2 77 时 ， AA1的 值 为 2 33 .20.已 知 椭 圆 C 1： 2 22 2x ya b =1(a b 0)的 离 心 率 e= 32 ， 且 过 点 (2， 3 )， 直 线 l1： y=kx+m(m 0)与 圆 C2： (x-1)2+y2=1相 切 且 与 椭 圆 C1交 于 A， B两 点 .( )求 椭 圆 C 1的 方 程 ；( )过 原 点 O 作 l1的 平 行 线 l2交 椭 圆 于 C， D 两 点 ， 设 |AB|= |CD|， 求 的 最 小 值 .解 析 ： ( )由
25、题 意 列 关 于 a， b， c 的 方 程 组 ， 求 解 方 程 组 得 a， b， c 的 值 ， 则 椭 圆 方 程 可 求 ；( )联 立 直 线 l1的 方 程 与 椭 圆 方 程 ， 化 为 关 于 x 的 一 元 二 次 方 程 ， 利 用 弦 长 公 式 求 得 AB 的长 度 ， 联 立 直 线 l2的 方 程 与 椭 圆 方 程 ， 求 出 CD 的 长 度 ， 结 合 |AB|= |CD|利 用 换 元 法 求 解 的 最 小 值 .答 案 ： ( )由 题 意 得 2 324 3 14ce aa ， 解 得 a=4， b=2，故 C1： 2 216 4x y =1；
26、( )联 立 2 2 116 4y kx mx y ，化 简 得 (1+4k 2)x2+8kmx+4(m2-4)=0， 0恒 成 立 ，设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 1 2 221 2 281 44 41 4 kmx x kmx x k ， 得 |x1-x2|= 2 224 16 41 4k mk ， |AB|= 21 k 2 224 16 41 4k mk ， 把 l2： y=kx代 入 C1： 2 216 4x y =1， 得 x2= 2161 4k ， |CD|= 21 k 281 4k ， = 2 2 2 2 222 24 16 4 11 14 42 241 4 1
27、1 4 22AB k m m mCD kk mm =4 24 2 21 1 14 42 1 2 1 1 32 4m m mm 63 ， 当 m= 2 ， k=- 24 ， 取 最 小 值 63 .21.已 知 函 数 发 f(x)=(x+1)lnx-ax+2.( )当 a=1时 ， 求 在 x=1处 的 切 线 方 程 ；( )若 函 数 f(x)在 定 义 域 上 具 有 单 调 性 ， 求 实 数 a 的 取 值 范 围 ；( )求 证 ： 1 1 1 1 1 ln 13 5 7 2 1 2 nn ， n N*.解 析 ： ( )求 出 函 数 的 导 数 ， 计 算 f(1)， f (1
28、)， 求 出 切 线 方 程 即 可 ； ( )求 出 函 数 的 导 数 ， 通 过 讨 论 函 数 递 减 和 函 数 递 增 ， 从 而 求 出 a的 范 围 即 可 ；( )令 a=2， 得 ： lnx 2 11xx 在 (1， + )上 总 成 立 ， 令 x= 1nn ， 得 ln 1nn 12 11 1nnnn ，化 简 得 ： ln(n+1)-lnn 22 1n ， 对 x 取 值 ， 累 加 即 可 .答 案 ： ( )当 a=1时 ， f(x)=(x+1)lnx-x+2， (x 0)，f (x)=lnx+ 1x ， f (1)=1， f(1)=1，所 以 求 在 x=1处
29、的 切 线 方 程 为 ： y=x. ( )f (x)=lnx+ 1x +1-a， (x 0).(i)函 数 f(x)在 定 义 域 上 单 调 递 减 时 ，即 a lnx+ 1xx 时 ， 令 g(x)=lnx+ 1xx ，当 x ea时 ， g (x) 0， 不 成 立 ；(ii)函 数 f(x)在 定 义 域 上 单 调 递 增 时 ， a lnx+ 1xx ；令 g(x)=lnx+ 1xx ，则 g (x)= 21xx ， x 0；则 函 数 g(x)在 (0， 1)上 单 调 递 减 ， 在 (1， + )上 单 调 递 增 ； 所 以 g(x) 2， 故 a 2.( )由 (ii
30、)得 当 a=2时 f(x)在 (1， + )上 单 调 递 增 ，由 f(x) f(1)， x 1 得 (x+1)lnx-2x+2 0，即 lnx 2 11xx 在 (1， + )上 总 成 立 ，令 x= 1nn 得 ln 1nn 12 11 1nnnn ，化 简 得 ： ln(n+1)-lnn 22 1n ， 所 以 ln2-ln1 22 1 ， ln3-ln2 25 1 ， ， ln(n+1)-lnn 22 1n ，累 加 得 ln(n+1)-ln1 2 2 23 5 2 1n ，即 1 1 1 1 1 ln 13 5 7 2 1 2 nn ， n N*命 题 得 证 . 选 做 题2
31、2.以 平 面 直 角 坐 标 系 的 原 点 为 极 点 ， 以 x 轴 的 正 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系 .设 曲 线 C 的 参 数方 程 为 2cos3 sinxy ( 是 参 数 )， 直 线 l 的 极 坐 标 方 程 为 cos( + 6 )=2 3 .( )求 直 线 l 的 直 角 坐 标 方 程 和 曲 线 C的 普 通 方 程 ；( )设 点 P为 曲 线 C上 任 意 一 点 ， 求 点 P 到 直 线 l 的 距 离 的 最 大 值 .解 析 ： ( )利 用 极 坐 标 和 直 角 坐 标 的 互 化 公 式 把 直 线 l 的 极 坐 标 方 程
32、 化 为 直 角 坐 标 方 程 .利用 同 角 三 角 函 数 的 基 本 关 系 消 去 ， 把 曲 线 C 的 参 数 方 程 化 为 直 角 坐 标 方 程 .( )设 点 P(2cos ， 3 sin )， 求 得 点 P 到 直 线 l 的 距 离 d= | ( ) |15 cos 4 32 ， tan = 12 ， 由 此 求 得 d的 最 大 值 .答 案 ： ( ) 直 线 l的 极 坐 标 方 程 为 cos( + 6 )=2 3 ， 即 ( 32 cos - 12 sin )=2 3 ，即 3 x-y-4 3 =0.曲 线 C的 参 数 方 程 为 2cos3 sinxy
33、 ( 是 参 数 )， 利 用 同 角 三 角 函 数 的 基 本 关 系 消 去 ，可 得 2 24 3x y =1. ( )设 点 P(2cos ， 3 sin )为 曲 线 C 上 任 意 一 点 ，则 点 P到 直 线 l的 距 离d= 2 3 cos 3sin 4 3| |3 1 = 2 5 515 cos sin 4 35 5| |2( ) =| ( ) |15 cos 4 32 ， 其 中 ， cos = 2 55 ， sin = 55 ， 即 tan = 12 ，故 当 cos( + )=-1时 ， d 取 得 最 大 值 为 15 4 32 . 23.已 知 函 数 f(x)
34、=|x+a|+|x-2|( )当 a=-3时 ， 求 不 等 式 f(x) 3 的 解 集 ；( )若 f(x) |x-4|的 解 集 包 含 1， 2， 求 a 的 取 值 范 围 . 解 析 ： ( )不 等 式 等 价 于 23 2 3x x x ， 或 2 33 2 3xx x ， 或 33 2 3xx x ，求 出 每 个 不 等 式 组 的 解 集 ， 再 取 并 集 即 得 所 求 .( )原 命 题 等 价 于 -2-x a 2-x在 1， 2上 恒 成 立 ， 由 此 求 得 求 a的 取 值 范 围 .答 案 ： ( )当 a=-3 时 ， f(x) 3 即 |x-3|+|
35、x-2| 3， 即 23 2 3x x x ， 或 2 33 2 3xx x ， 或 33 2 3xx x .解 可 得 x 1， 解 可 得 x ， 解 可 得 x 4.把 、 、 的 解 集 取 并 集 可 得 不 等 式 的 解 集 为 x|x 1或 x 4.( )原 命 题 即 f(x) |x-4|在 1， 2上 恒 成 立 ， 等 价 于 |x+a|+2-x 4-x在 1， 2上 恒 成 立 ， 等 价 于 |x+a| 2， 等 价 于 -2 x+a 2， -2-x a 2-x在 1， 2上 恒 成 立 .故 当 1 x 2 时 ， -2-x 的 最 大 值 为 -2-1=-3， 2-x的 最 小 值 为 0，故 a 的 取 值 范 围 为 -3， 0.
