1、2016 年 广 东 省 中 山 市 华 侨 中 学 高 考 模 拟 试 卷 数 学 文一 、 选 择 题 ： 本 大 题 共 12小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只 有 一 项 是 符合 题 目 要 求 的 .1.设 集 合 M=x|x2=x， N=x|lgx 0， 则 M N=( )A.0， 1B.(0， 1C.0， 1)D.(- ， 1解 析 ： 求 解 一 元 二 次 方 程 化 简 M， 求 解 对 数 不 等 式 化 简 N， 然 后 利 用 并 集 运 算 得 答 案 .由 M=x|x 2=x=0， 1，N=x|lgx 0=
2、(0， 1，得 M N=0， 1 (0， 1=0， 1.答 案 ： A.2.给 定 函 数 12y x ， 12 1y log x ， y=|x-1|， y=2x+1， 其 中 在 区 间 (0， 1)上 单 调递 减 的 函 数 序 号 是 ( )A. B. C. D. 解 析 ： 本 题 所 给 的 四 个 函 数 分 别 是 幂 函 数 型 ， 对 数 函 数 型 ， 指 数 函 数 型 ， 含 绝 对 值 函 数 型 ，在 解 答 时 需 要 熟 悉 这 些 函 数 类 型 的 图 象 和 性 质 ； 12y x 是 幂 函 数 ， 其 在 (0， + )上 即 第 一 象 限 内 为
3、 增 函 数 ， 故 此 项 不 符 合 要 求 ； 中 的 函 数 是 由 函 数 12 1y log x 向 左 平 移 1 个 单 位 长 度 得 到 的 ， 因 为 原 函 数 在 (0， + )内 为 减 函 数 ， 故 此 项 符 合 要 求 ； 中 的 函 数 图 象 是 由 函 数 y=x-1的 图 象 保 留 x轴 上 方 ， 下 方 图 象 翻 折 到 x 轴 上 方 而 得 到 的 ，故 由 其 图 象 可 知 该 项 符 合 要 求 ； 中 的 函 数 图 象 为 指 数 函 数 ， 因 其 底 数 大 于 1， 故 其 在 R上 单 调 递 增 ， 不 合 题 意 .
4、答 案 ： B. 3.设 a， b R， 则 “ (a-b)3b2 0” 是 “ a b” 的 ( )A.充 分 不 必 要 条 件B.必 要 不 充 分 条 件C.充 要 条 件D.既 不 充 分 也 不 必 要 条 件解 析 ： 根 据 不 等 式 之 间 的 关 系 ， 利 用 充 分 条 件 和 必 要 条 件 的 定 义 进 行 判 断 即 可 .(a-b)3b2 0与 a b， b 0， 显 然 (a-b)3b2 0a b， 反 之 不 成 立 ， 即 “ (a-b)3b2 0” 是 “ a b” 的 充 分 不 必 要 条 件 .答 案 ： A.4.设 变 量 x， y 满 足
5、约 束 条 件 112 4x yx yx y ， 则 目 标 函 数 z=3x+y的 最 小 值 为 ( )A.11B.3C.2D.133解 析 ： 作 出 不 等 式 对 应 的 平 面 区 域 如 图 ， 由 z=3x+y， 得 y=-3x+z，平 移 直 线 y=-3x+z， 由 图 象 可 知 当 直 线 y=-3x+z， 经 过 点 A 时 ， 直 线 y=-3x+z的 截 距 最 小 ，此 时 z最 小 .由 12 4x yx y ， 解 得 53 23xy ， 即 A( 53 ， 23 )，此 时 z的 最 小 值 为 5 2 133 3 3 3z .答 案 ： D5.一 个 袋
6、 子 中 有 号 码 为 1、 2、 3、 4、 5 大 小 相 同 的 5个 小 球 ， 现 从 袋 中 任 意 取 出 一 个 球 ， 取 出 后 不 放 回 ， 然 后 再 从 袋 中 任 取 一 个 球 ， 则 第 一 次 取 得 号 码 为 奇 数 ， 第 二 次 取 得 号 码 为 偶 数球 的 概 率 为 ( )A. 35 B. 45C. 320D. 310解 析 ： 1、 2、 3、 4、 5 大 小 相 同 的 5 个 小 球 ， 从 袋 中 任 取 一 个 球 ， 则 第 一 次 取 得 号 码 为 奇 数的 概 率 为 35 ，第 二 次 取 得 号 码 为 偶 数 球
7、的 概 率 为 2 14 2 ，故 第 一 次 取 得 号 码 为 奇 数 ， 第 二 次 取 得 号 码 为 偶 数 球 的 概 率 为 3 1 35 2 10 . 答 案 ： D.6.一 空 间 几 何 体 的 三 视 图 如 图 所 示 ， 该 几 何 体 的 体 积 为 12 583 ， 则 正 视 图 与 侧 视 图 中 x的 值 为 ( ) A.5B.4C.3D.2解 析 ： 由 三 视 图 知 ，该 空 间 几 何 体 为 圆 柱 及 四 棱 锥 ，且 圆 柱 底 面 半 径 为 2， 高 为 x，四 棱 锥 底 面 为 正 方 形 ， 边 长 为 2 2 ， 高 为 2 23
8、2 5 ，故 体 积 为 21 84 52 52 123 3x （ ） ，故 x=3. 答 案 ： C. 7.一 个 样 本 容 量 为 10 的 样 本 数 据 ， 它 们 组 成 一 个 公 差 不 为 0 的 等 差 数 列 an， 若 a3=8， 且a1， a3， a7成 等 比 数 列 ， 则 此 样 本 的 平 均 数 和 中 位 数 分 别 是 ( )A.13， 12B.13， 13C.12， 13D.13， 14解 析 ： 设 公 差 为 d， 由 a3=8， 且 a1， a3， a7成 等 比 数 列 ， 可 得 64=(8-2d)(8+4d)=64+16d-8d2，即 ，
9、0=16d-8d 2， 又 公 差 不 为 0， 解 得 d=2此 数 列 的 各 项 分 别 为 4， 6， 8， 10， 12， 14， 16， 18， 20， 22，故 样 本 的 中 位 数 是 13， 平 均 数 是 13.答 案 ： B8.曲 线 y=e-2x+1在 点 (0， 2)处 的 切 线 与 直 线 y=0 和 y=x围 成 的 三 角 形 的 面 积 为 ( )A. 13B. 12C. 23 D.1解 析 ： 根 据 导 数 的 几 何 意 义 求 出 函 数 f(x)在 x=0处 的 导 数 ， 从 而 求 出 切 线 的 斜 率 ， 再 用 点斜 式 写 出 切 线
10、 方 程 ， 化 成 一 般 式 ， 然 后 求 出 与 y 轴 和 直 线 y=x的 交 点 ， 根 据 三 角 形 的 面 积 公式 求 出 所 求 即 可 . y=e-2x+1， y=(-2)e-2x. y|x=0=(-2)e-2x|x=0=-2 曲 线 y=e-2x+1在 点 (0， 2)处 的 切 线 方 程 为 y-2=-2(x-0)即 2x+y-2=0令 y=0解 得 x=1， 令 y=x解 得 x=y= 23 . 切 线 与 直 线 y=0和 y=x围 成 的 三 角 形 的 面 积 为 1 2 112 3 3 .答 案 ： A 9.已 知 双 曲 线 2 22 2 1x ya
11、 b (a 0， b 0)与 抛 物 线 y2=8x有 一 个 公 共 的 焦 点 F， 且 两 曲 线 的 一个 交 点 为 P， 若 |PF|=5， 则 双 曲 线 的 渐 近 线 方 程 为 ( )A.x 3 y=0B. 3 x y=0C.x 2y=0D.2x y=0 解 析 ： 由 于 双 曲 线 2 22 2 1x ya b (a 0， b 0)与 抛 物 线 y2=8x 有 一 个 公 共 的 焦 点 F， 且 抛 物 线y2=8x 的 焦 点 坐 标 (2， 0)，故 双 曲 线 的 半 焦 距 c=2， 又 |PF|=5， 设 P(m， n)，由 抛 物 线 的 定 义 知 |
12、PF|=m+2， m+2=5， m=3， 点 P的 坐 标 (3， 24 ). 2 22 2 49 24 1a ba b ， 解 得 ： 22 13ab ， 则 双 曲 线 的 渐 近 线 方 程 为 3 0 x y .答 案 ： B.10.若 x表 示 不 超 过 x 的 最 大 整 数 ， 执 行 如 图 所 示 的 程 序 框 图 ， 则 输 出 的 S值 为 ( ) A.4B.5C.7D.9解 析 ： 根 据 题 意 ， 模 拟 程 序 框 图 的 运 行 过 程 ， 求 出 该 程 序 运 行 后 输 出 的 S 的 值 .模 拟 程 序 框 图 的 运 行 过 程 ， 如 下 ；S
13、=0， n=0， S=0+ 0 =0， 0 4， 否 ；n=1， S=0+ 1 =1， 1 4， 否 ；n=2， S=1+ 2 =2， 2 4， 否 ； n=3， S=2+ 3 =3， 3 4， 否 ； n=4， S=3+ 4 =5， 4 4， 否 ；n=5， S=5+ 5 =7， 5 4， 是 ；输 出 S=7.答 案 ： C.11.已 知 S， A， B， C 是 球 O 表 面 上 的 点 ， SA 平 面 ABC， AB BC， SA=AB=1， BC 2 ， 则 球O的 表 面 积 等 于 ( ) A.4B.3C.2D.解 析 ： 已 知 S， A， B， C 是 球 O 表 面 上
14、 的 点 ， OA=OB=OC=OS.又 SA 平 面 ABC， AB BC， SA=AB=1， BC 2 ， 球 O的 直 径 为 2R=SC=2， R=1， 表 面 积 为 4 R 2=4 .答 案 ： A.12.若 函 数 sinxf x x ， 并 且 23 3a b ， 则 下 列 各 结 论 中 正 确 的 是 ( )A. 2a bf a f ab f B. 2a bf ab f f b C. 2a bf ab f f a D. 2a bf b f f ab 解 析 ： 由 导 数 可 判 断 sinxf x x 在 3( 23 ) , 上 是 减 函 数 ， 再 由 基 本 不
15、等 式 可 判 断 出2a bab ， 从 而 由 函 数 的 单 调 性 比 较 函 数 值 的 大 小 即 可 . sinxf x x ， 2xcosx sinxf x x ，当 x 2( 3 ， 时 ， 可 判 断 xcosx-sinx是 减 函 数 ，故 321 03 2xcosx sinx ， 当 x 3( 23 ) , 时 ， xcosx-sinx 0；故 sinxf x x 在 3( 23 ) , 是 减 函 数 ，而 由 23 3a b 知 2a ba ab b ，故 2a bf a f ab f ， 2a bf b f f ab .答 案 ： D. 二 、 填 空 题 ： 本
16、 大 概 题 共 4 小 题 ， 每 小 题 5分 .13.数 列 an的 首 项 为 3， bn为 等 差 数 列 且 bn=an+1-an(n N*).若 b3=-2， b10=12， 则 a8= .解 析 ： 先 利 用 等 差 数 列 的 通 项 公 式 分 别 表 示 出 b3和 b10， 即 b3=b1+2d -2， b10=b1+9d 12， 即11 2 29 12b db d ， 解 得 1 62bd . b n=an+1-an， b1+b2+ +bn=an+1-a1， a8=b1+b2+ +b7+3= 6 6 72 +3=3.答 案 ： 314.已 知 向 量 a (x-1，
17、 2)， b (4， y)， 若 a b ， 则 16 x+4y的 最 小 值 为 .解 析 ： 根 据 向 量 垂 直 的 充 要 条 件 ： 数 量 积 为 0， 得 到 x， y满 足 的 等 式 ： a b ， a (x-1， 2)， b (4， y) 4(x-1)+2y=0即 4x+2y=4 4 2 4 2 416 4 2 2 2 2 2 2 8x y x y x y .当 且 仅 当 24x=22y即 4x=2y=2时 取 等 号 . 16x+4y的 最 小 值 为 8.答 案 ： 815.已 知 直 线 2xy 与 双 曲 线 2 22 2 1x ya b (a 0， b 0)交
18、 于 两 点 ， 则 该 双 曲 线 的 离 心 率 的 取值 范 围 是 . 解 析 ： 把 直 线 2xy 代 入 双 曲 线 2 22 2 1x ya b (a 0， b 0)，并 整 理 ， 得 2 22 2 244 a bx b a ， 直 线 2xy 与 双 曲 线 2 22 2 1x ya b (a 0， b 0)交 于 两 点 ， 4b 2 a2， 即 22 4ab ， 2 22 2 2 2 54 4a ac a b a ， 52c a ， 52ce a . 该 双 曲 线 的 离 心 率 的 取 值 范 围 ( 52 ， + ).答 案 ： ( 52 ， + ).16.如 图
19、 甲 ， 在 ABC中 ， AB AC， AD BC， D为 .垂 足 ， 则 AB2=BD BC， 该 结 论 称 为 射 影 定理 .如 图 乙 ， 在 三 棱 锥 A-BCD中 ， AD 平 面 ABC， AO 平 面 BCD， O为 垂 足 ， 且 O 在 BCD内 ，类 比 射 影 定 理 ， 探 究 S ABC、 S BCO、 S BCD这 三 者 之 间 满 足 的 关 系 是 . 解 析 ： 结 论 ： S ABC2 S BCO S BCD.证 明 如 下在 BCD内 ， 延 长 DO交 BC于 E， 连 接 AE， AD 平 面 ABC， BC 平 面 ABC， BC AD，
20、同 理 可 得 ： BC AO AD、 AO 是 平 面 AOD内 的 相 交 直 线 ， BC 平 面 AOD AE、 DE平 面 AOD AE BC 且 DE BC AED中 ， EA AD， AO DE 根 据 题 中 的 已 知 结 论 ， 得 AE2=EO ED两 边 都 乘 以 ( 12 BC) 2， 得 2( ) (1 1 1 2 2 ) ( )2BC AE BC EO BC ED AE、 EO、 ED 分 别 是 ABC、 BCO、 BCD的 边 BC 的 高 线 S ABC= 12 BC AE， S BCO = 12 BC EO， S BCD= 12 BC ED所 以 有 S
21、 ABC2 S BCO S BCD， 结 论 成 立 .答 案 ： S ABC2 S BCO S BCD.三 .解 答 题 ： 解 答 应 写 出 文 字 说 明 ， 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 .17.已 知 向 量 m =(sinx， -1)， n =(cosx， 3). ( )当 m n 时 ， 求 3 2sinx cosxsinx cosx 的 值 .解 析 ： ( )由 m n ， 可 得 13tanx ， 再 由 13 2 3 2sinx cosx tanxsinx cosx tanx ， 运 算 求 得 结 果 . 答 案 ： ( )由 m n ， 可 得 3sinx=-
22、cosx， 于 是 13tanx . 1 11 2313 2 3 2 93 23sinx cosx tanxsinx cosx tanx .( )已 知 在 锐 角 ABC 中 ， a， b， c 分 别 为 角 A， B， C 的 对 边 ， 3 c=2asin(A+B)， 函 数 f x m n m ， 求 ( )8f B 的 取 值 范 围 . 解 析 ： ( )在 ABC中 ， 由 3 c=2asin(A+B)利 用 正 弦 定 理 求 得 sinA 32 ， 可 解 得 A= 3 .由 ABC 为 锐 角 三 角 形 ， 得 6 2B ， 利 用 两 个 向 量 的 数 量 积 公
23、式 求 得 函 数 22 32 4 2f x sin x .由 此 可 得 2( ) 2 328 2f B sin B ， 再 根 据 B的 范 围 求 出sin2B的 范 围 ， 即 可 求 得 ( )8f B 的 取 值 范 围 .答 案 ： ( ) 在 ABC中 ， A+B= -C， 于 是 sin(A+B)=sinC，由 3 c=2asin(A+B)利 用 正 弦 定 理 得 ： 3 sinC=2sinAsinC， sinA 32 ， 可 解 得 A= 3 .又 ABC为 锐 角 三 角 形 ， 于 是 6 2B ， 函 数 22( ) 2)1(f x m n m sinx cosx
24、sinx sin x sinxcosx ， ，21 2 2 32 22 2 22 4cos x sin x sin x . 3 32 28 82 2( ) ( ) 2 24 2 2f B sin B sin B . 由 6 2B 得 23 B ， 0 sin2B 1 ， 得 2 222 223 3 32 2sin B ， 即 ( )8f B 的 取 值 范 围 23 3 2( 2 2 ， .18.某 班 同 学 利 用 寒 假 在 5个 居 民 小 区 内 选 择 两 个 小 区 逐 户 进 行 一 次 “ 低 碳 生 活 习 惯 ” 的 调查 ， 以 计 算 每 户 的 碳 月 排 放 量
25、.若 月 排 放 量 符 合 低 碳 标 准 的 称 为 “ 低 碳 族 ” ， 否 则 称 为 “ 非 低碳 族 ” .若 小 区 内 有 至 少 75%的 住 户 属 于 “ 低 碳 族 ” ， 则 称 这 个 小 区 为 “ 低 碳 小 区 ” ， 否 则 称为 “ 非 低 碳 小 区 ” .已 知 备 选 的 5 个 居 民 小 区 中 有 三 个 非 低 碳 小 区 ， 两 个 低 碳 小 区 . ( )求 所 选 的 两 个 小 区 恰 有 一 个 为 “ 非 低 碳 小 区 ” 的 概 率 .解 析 ： ( )从 5 个 小 区 中 任 选 两 个 小 区 ， 列 出 所 有 可
26、 能 的 结 果 ， 然 后 找 出 选 出 的 两 个 小 区 恰有 一 个 为 非 低 碳 小 区 的 基 本 事 件 ， 根 据 古 典 概 型 的 概 率 公 式 解 之 即 可 .答 案 ： ( )设 三 个 “ 非 低 碳 小 区 ” 为 A， B， C， 两 个 “ 低 碳 小 区 ” 为 m， n，用 (x， y)表 示 选 定 的 两 个 小 区 ， x， y A， B， C， m， n，则 从 5个 小 区 中 任 选 两 个 小 区 ， 所 有 可 能 的 结 果 有 10 个 ， 它 们 是 (A， B)， (A， C)， (A， m)，(A， n)， (B， C)，
27、(B， m)， (B， n)， (C， m)， (C， n)， (m， n).用 D 表 示 ： “ 选 出 的 两 个 小 区 恰 有 一 个 为 非 低 碳 小 区 ” 这 一 事 件 ， 则 D 中 的 结 果 有 6 个 ， 它们 是 ： (A， m)， (A， n)， (B， m)， (B， n)， (C， m)， (C， n).故 所 求 概 率 为 6 310 5P D . ( )假 定 选 择 的 “ 非 低 碳 小 区 ” 为 小 区 A， 调 查 显 示 其 “ 低 碳 族 ” 的 比 例 为 12 ， 数 据 如 图 1所 示 ， 经 过 同 学 们 的 大 力 宣 传
28、， 三 个 月 后 ， 又 进 行 了 一 次 调 查 ， 数 据 如 图 2 所 示 ， 问 这 时 小区 A 是 否 达 到 “ 低 碳 小 区 ” 的 标 准 ？解 析 ： ( )根 据 图 1 可 知 月 碳 排 放 量 不 超 过 300千 克 的 成 为 “ 低 碳 族 ” ， 由 图 2 可 求 出 三 个月 后 的 低 碳 族 的 比 例 ， 从 而 可 判 定 三 个 月 后 小 区 A 是 否 达 到 了 “ 低 碳 小 区 ” 标 准 .答 案 ： ( )由 图 1 可 知 月 碳 排 放 量 不 超 过 300千 克 的 成 为 “ 低 碳 族 ” .由 图 2可 知
29、， 三 个 月 后 的 低 碳 族 的 比 例 为 0.07+0.23+0.46=0.76 0.75，所 以 三 个 月 后 小 区 A达 到 了 “ 低 碳 小 区 ” 标 准 .19.如 图 ， 在 四 棱 锥 P-ABCD中 ， 底 面 ABCD为 矩 形 ， PD 底 面 ABCD， E是 AB上 一 点 .已 知 PD= 2 ， CD=4， AD= 3 .( )若 ADE= 6 ， 求 证 ： CE 平 面 PDE. 解 析 ： ( )在 Rt DAE 中 ， 求 出 BE=3.在 Rt EBC中 ， 求 出 CEB= 6 .证 明 CE DE.PD CE.即 可 证 明 CE 平
30、面 PDE.答 案 ： ( )在 Rt DAE中 ， AD= 3 ， ADE= 6 ， 333 1AE AD tan ADE .又 AB=CD=4， BE=3.在 Rt EBC中 ， BC=AD= 3 ， 33BCtan CEB BE ， 6CEB .又 3AED ， 2DEC ， 即 CE DE. PD 底 面 ABCD， CE 底 面 ABCD， PD CE. CE 平 面 PDE.( )当 点 A到 平 面 PDE的 距 离 为 2 217 时 ， 求 三 棱 锥 A-PDE 的 侧 面 积 .解 析 ： ( )证 明 平 面 PDE 平 面 ABCD.过 A 作 AF DE于 F， 求
31、 出 AF.证 明 BA 平 面 PAD， BA PA.然 后 求 出 三 棱 锥 A-PDE 的 侧 面 积 326 5S 侧 .答 案 ： ( ) PD 底 面 ABCD， PD平 面 PDE， 平 面 PDE 平 面 ABCD. 如 图 ， 过 A作 AF DE于 F， AF 平 面 PDE， AF 就 是 点 A 到 平 面 PDE的 距 离 ， 即 2 217AF .在 Rt DAE中 ， 由 AD AE=AF DE， 得22 213 37AE AE ， 解 得 AE=2. 1 1 32 622 2APDS PD AD ，1 1 3 2 32 2ADES AD AE ， BA AD，
32、 BA PD， BA 平 面 PAD， PA平 面 PAD， BA PA.在 Rt PAE中 ， AE=2， 2 2 2 53PA PD AD ， 1 1 22 52 5APES PA AE . 三 棱 锥 A-PDE的 侧 面 积 326 5S 侧 .20.已 知 F 1， F2是 椭 圆 2 22 2 1x ya b (a b 0)的 左 、 右 焦 点 ， A 是 椭 圆 上 位 于 第 一 象 限 内 的 一点 ， 2 1 2 0AF FF ， 若 椭 圆 的 离 心 率 等 于 22 .( )求 直 线 AO 的 方 程 (O为 坐 标 原 点 ).解 析 ： ( )根 据 椭 圆
33、的 离 心 率 e= 22 ， 即 c 22 a， 可 得 b 2 12 a2， 因 此 设 椭 圆 方 程 为x2+2y2=a2.再 设 点 A(x0， y0)， 因 为 向 量 2AF、 1 2FF 的 数 量 积 为 0， 得 到 AF2、 F1F2互 相 垂 直 ， 所 以 x0=c， 将 A(c， y0)， 代 入 椭 圆 方 程 ， 化 简 可 得 y0 12 a， 得 到 A 的 坐 标 ， 从 而 得 到 直 线AO的 斜 率 为 22 ， 最 后 根 据 直 线 AO过 原 点 ， 得 直 线 AO 的 方 程 为 y= 22 x.答 案 ： ( ) 2 1 2 0AF FF
34、 ， AF2 F1F2，又 椭 圆 的 离 心 率 22ce a ， c 22 a， 可 得 b 2 12 a2，设 椭 圆 方 程 为 x2+2y2=a2， 设 A(x0， y0)， 由 AF2 F1F2， 得 x0=c A(c， y0)， 代 入 椭 圆 方 程 ， 化 简 可 得 y0 12 a(舍 负 ) 22 2a aA ， ， 可 得 直 线 AO的 斜 率 K OA 22因 为 直 线 AO过 原 点 ， 故 直 线 AO 的 方 程 为 22y x( )直 线 AO交 椭 圆 于 点 B， 若 ABF 2的 面 积 等 于 4 2 ， 求 椭 圆 的 方 程 .解 析 ： (
35、)连 接 AF1， BF1， AF2， BF2， 由 椭 圆 的 对 称 性 可 知 ： S ABF1=S ABF2=S AF1F2， 可 用 AF1F2的 面 积 列 式 ， 解 之 得 a2=16， c2= 12 a2=8， 所 以 b2=a2-c2=8， 最 终 得 到 椭 圆 方 程 为 2 2 116 8x y .答 案 ： ( )连 接 AF1， BF1， AF2， BF2，由 椭 圆 的 对 称 性 可 知 ： S ABF1=S ABF2=S AF1F2， 1 2 1 2 42 2AF F AS c y ， 即 12 24ac 又 22c a 22 44 2a ， 解 之 得 a
36、 2=16， c2= 12 a2=8， b2=a2-c2=8， 故 椭 圆 方 程 为 2 2 116 8x y 21.已 知 函 数 3 21 23 2af x x x x (a R).( )当 a=3时 ， 求 函 数 f(x)的 单 调 区 间 .解 析 ： ( )先 求 当 a=3 时 函 数 的 导 数 f (x)， 并 将 其 因 式 分 解 ， 便 于 解 不 等 式 ， 再 由 f (x) 0， 得 函 数 的 单 调 增 区 间 ， 由 f (x) 0， 得 函 数 的 单 调 减 区 间 .答 案 ： ( )当 a=3时 ， 3 21 3 23 2f x x x x ， 得
37、 f(x)=-x2+3x-2.因 为 f(x)=-x 2+3x-2=-(x-1)(x-2)，所 以 当 1 x 2时 ， f(x) 0， 函 数 f(x)单 调 递 增 ；当 x 1 或 x 2时 ， f(x) 0， 函 数 f(x)单 调 递 减 .所 以 函 数 f(x)的 单 调 递 增 区 间 为 (1， 2)， 单 调 递 减 区 间 为 (- ， 1)和 (2， + ).( )若 对 于 任 意 x 1， + )都 有 f (x) 2(a-1)成 立 ， 求 实 数 a的 取 值 范 围 .解 析 ： ( )方 法 1： 由 3 21 23 2af x x x x ， 得 f(x)
38、=-x 2+ax-2， 原 问 题 转 化 为 ： 对于 任 意 x 1， + )都 有 x2-ax+2a 0 成 立 ， 令 h(x)=x2-ax+2a， 结 合 二 次 函 数 的 性 质 得 到 关于 a 的 不 等 关 系 ， 从 而 求 出 实 数 a的 取 值 范 围 .方 法 2： 由 3 21 23 2af x x x x ， 得 f(x)=-x2+ax-2， 问 题 转 化 为 ， 对 于 任 意 x 1，+ )都 有 f(x)max 2(a-1).下 面 利 用 导 数 工 具 研 究 其 单 调 性 和 最 大 值 ， 即 可 得 出 实 数 a的取 值 范 围 .答 案
39、 ： ( )方 法 1： 由 3 21 23 2af x x x x ， 得 f(x)=-x 2+ax-2，因 为 对 于 任 意 x 1， + )都 有 f(x) 2(a-1)成 立 ，即 对 于 任 意 x 1， + )都 有 -x2+ax-2 2(a-1)成 立 ，即 对 于 任 意 x 1， + )都 有 x2-ax+2a 0成 立 ，令 h(x)=x2-ax+2a，要 使 对 任 意 x 1， + )都 有 h(x) 0成 立 ，必 须 满 足 0或 012 1 0ah . 即 a2-8a 0或 2 8 0121 0a aa a .所 以 实 数 a的 取 值 范 围 为 (-1，
40、8).方 法 2： 由 3 21 23 2af x x x x ， 得 f(x)=-x2+ax-2，因 为 对 于 任 意 x 1， + )都 有 f(x) 2(a-1)成 立 ，所 以 问 题 转 化 为 ， 对 于 任 意 x 1， + )都 有 f(x) max 2(a-1). 因 为 2 2 22 4a af x x ， 其 图 象 开 口 向 下 ， 对 称 轴 为 2ax . 2a 1时 ， 即 a 2 时 ， f(x)在 1， + )上 单 调 递 减 ，所 以 f(x)max=f(1)=a-3，由 a-3 2(a-1)， 得 a -1， 此 时 -1 a 2. 当 2a 1 时
41、 ， 即 a 2时 ， f(x)在 1， 2a 上 单 调 递 增 ， 在 ( 2a ， + )上 单 调 递 减 ，所 以 2 22 4max a af x f ，由 2 24a 2(a-1)， 得 0 a 8， 此 时 2 a 8. 综 上 可 得 ， 实 数 a 的 取 值 范 围 为 (-1， 8).( )若 过 点 (0， 13 )可 作 函 数 y=f(x)图 象 的 三 条 不 同 切 线 ， 求 实 数 a 的 取 值 范 围 .解 析 ： ( )先 将 过 点 (0， 13 )可 作 曲 线 y=f(x)的 三 条 切 线 转 化 为 ： 方 程 3 22 1 1 03 2
42、3t at 有 三 个 不 同 的 实 数 解 ， 下 面 利 用 导 数 研 究 函 数 g(x)的 零 点 ， 从 而 求 得 a的 范 围 .答 案 ： ( )设 点 P(t， 3 21 23 2at t t )是 函 数 y=f(x)图 象 上 的 切 点 ，则 过 点 P 的 切 线 的 斜 率 为 k=f(t)=-t 2+at-2，所 以 过 点 P的 切 线 方 程 为 3 2 21 2 23 2ay t t t t at x t .因 为 点 (0， 13 )在 切 线 上 ，所 以 3 2 21 1 2 2 03 3 2at t t t at t ，即 3 22 1 1 03
43、 2 3t at .若 过 点 (0， 13 )可 作 函 数 y=f(x)图 象 的 三 条 不 同 切 线 ，则 方 程 3 22 1 1 03 2 3t at 有 三 个 不 同 的 实 数 解 . 令 3 22 1 13 2 3g t t at ， 则 函 数 y=g(t)与 t 轴 有 三 个 不 同 的 交 点 .令 g(t)=2t2-at=0， 解 得 t=0或 t 2a .因 为 10 3g ， 31 12 24 3ag a ， 所 以 必 须 31 1 02 24 3ag a ， 即 a 2.所 以 实 数 a的 取 值 范 围 为 (2， + ).请 考 生 在 第 22、
44、 23、 24题 中 任 选 一 题 作 答 ， 如 果 多 做 ， 则 安 所 做 的 第 一 题 计 分 .作 答 时 请 写清 题 号 .选 修 4-1： 几 何 证 明 选 讲 22.如 图 ， ABC 是 直 角 三 角 形 ， ABC=90 ， 以 AB 为 直 径 的 圆 O 交 AC 于 点 E， 点 D 是 BC边 的 中 点 ， 连 接 OD 交 圆 O 于 点 M. ( )求 证 ： O、 B、 D、 E 四 点 共 圆 .解 析 ： ( )连 接 BE、 OE， 由 直 径 所 对 的 圆 周 角 为 直 角 ， 得 到 BE EC， 从 而 得 出 DE=BD= 12
45、 BC，由 此 证 出 ODE ODB， 得 OED= OBD=90 ， 利 用 圆 内 接 四 边 形 形 的 判 定 定 理 得 到 O、 B、D、 E 四 点 共 圆 .答 案 ： ( )连 接 BE、 OE， 则 AB为 圆 0 的 直 径 ， AEB=90 ， 得 BE EC，又 D是 BC的 中 点 ， ED 是 Rt BEC的 中 线 ， 可 得 DE=BD.又 OE=OB， OD=OD， ODE ODB.可 得 OED= OBD=90 ，因 此 ， O、 B、 D、 E 四 点 共 圆 .( )求 证 ： 2DE 2=DM AC+DM AB.解 析 ： ( )延 长 DO 交
46、圆 O 于 点 H， 由 ( )的 结 论 证 出 DE 为 圆 O的 切 线 ， 从 而 得 出 DE2=DM DH，再 将 DH分 解 为 DO+OH， 并 利 用 OH= 12 AB 和 DO= 12 AC， 化 简 即 可 得 到 等 式 2DE2=DM AC+DM AB成 立 .答 案 ： ( )延 长 DO 交 圆 O 于 点 H， DE OE， OE 是 半 径 ， DE 为 圆 O 的 切 线 .可 得 DE2=DM DH=DM (DO+OH)=DM DO+DM OH. OH= 12 AB， OD为 ABC的 中 位 线 ， 得 DO= 12 AC， DE2 DM ( 12 A
47、C)+DM ( 12 AB)， 化 简 得 2DE2=DM AC+DM AB.选 修 4-4： 坐 标 系 与 参 数 方 程 23.在 直 角 坐 标 系 xOy 中 ， 直 线 l的 参 数 方 程 为 5 23 22 2x ty t (t为 参 数 )， 在 极 坐 标 系 (与 直 角 坐 标 系 xOy取 相 同 的 长 度 单 位 ， 且 以 原 点 O为 极 点 ， 以 x 轴 正 半 轴 为 极 轴 )中 ， 圆 C 的方 程 为 2 5 sin .( )求 圆 C的 圆 心 到 直 线 l 的 距 离 .解 析 ： ( )圆 C 的 极 坐 标 方 程 两 边 同 乘 ， 根
48、 据 极 坐 标 公 式 进 行 化 简 就 可 求 出 直 角 坐 标 方 程 ，最 后 再 利 用 三 角 函 数 公 式 化 成 参 数 方 程 .答 案 ： ( )由 2 5 sin ， 可 得 2 2 52 0 x y y ， 即 圆 C的 方 程 为 22 55x y .由 5 23 22 2x ty t 可 得 直 线 l 的 方 程 为 5 3 0 x y . 所 以 ， 圆 C的 圆 心 到 直 线 l 的 距 离 为 0 35 5 22 3 2 .( )设 圆 C与 直 线 l交 于 点 A、 B.若 点 P 的 坐 标 为 (3， 5 )， 求 |PA|+|PB|.解 析 ： ( )将 直 线 l 的 参 数 方 程 代 入 圆 C 的 直 角 坐 标 方 程 ， 得 即 t2-3 2 t+4 0， 根 据 两 交点 A， B 所 对 应 的 参 数 分 别 为 t 1， t2， 利 用 根 与 系 数 的 关 系 结 合 参 数 的 几 何 意 义 即 得 . 答 案 ： (
