1、2016 年 江 苏 省 扬 州 市 中 考 真 题 数 学一 、 选 择 题 (本 大 题 共 有 8 小 题 ， 每 题 3 分 ， 共 2 4 分 )1 .与 -2 的 乘 积 为 1 的 数 是 ( )A.2B.-2C.12D. 12解 析 ： 1 (-2 )= 12 . 答 案 ： D.2 .函 数 1y x 中 ， 自 变 量 x 的 取 值 范 围 是 ( )A.x 1B.x 1C.x 1D.x 1解 析 ： 由 题 意 得 ， x-1 0 ，解 得 x 1 .故 选 B.3 .下 列 运 算 正 确 的 是 ( ) A.3 x2 -x2 =3B.a a3 =a3C.a6 a3
2、=a2D.(a2 )3 =a6解 析 ： A、 原 式 =(3 -1 )x2 =2 x2 ， 故 本 选 项 错 误 ；B、 原 式 =a1 +3 =a4 ， 故 本 选 项 错 误 ；C、 原 式 =a6 -3 =a3 ， 故 本 选 项 错 误 ；D、 原 式 =a2 3 =a6 ， 故 本 选 项 正 确 .答 案 ： D.4 .下 列 选 项 中 ， 不 是 如 图 所 示 几 何 体 的 主 视 图 、 左 视 图 、 俯 视 图 之 一 的 是 ( ) A.B.C.D. 解 析 ： 几 何 体 的 主 视 图 为 选 项 D， 俯 视 图 为 选 项 B， 左 视 图 为 选 项
3、C.答 案 ： A.5 .剪 纸 是 扬 州 的 非 物 质 文 化 遗 产 之 一 ， 下 列 剪 纸 作 品 中 是 中 心 对 称 图 形 的 是 ( )A. B.C. D.解 析 ： A、 不 是 中 心 对 称 图 形 ， 故 错 误 ；B、 不 是 中 心 对 称 图 形 ， 故 错 误 ；C、 是 中 心 对 称 图 形 ， 故 正 确 ；D、 不 是 中 心 对 称 图 形 ， 故 错 误 ；答 案 ： C.6 .某 社 区 青 年 志 愿 者 小 分 队 年 龄 情 况 如 下 表 所 示 ：年 龄 (岁 ) 1 8 1 9 2 0 2 1 2 2人 数 2 5 2 2 1则
4、 这 1 2 名 队 员 年 龄 的 众 数 、 中 位 数 分 别 是 ( )A.2 ， 2 0 岁 B.2 ， 1 9 岁C.1 9 岁 ， 2 0 岁D.1 9 岁 ， 1 9 岁解 析 ： 把 这 些 数 从 小 到 大 排 列 ， 最 中 间 的 数 是 第 6 、 7 个 数 的 平 均 数 ，则 这 1 2 名 队 员 年 龄 的 中 位 数 是 19 19 192 (岁 )；1 9 岁 的 人 数 最 多 ， 有 5 个 ， 则 众 数 是 1 9 岁 .答 案 ： D.7 .已 知 2 72 19 9M a N a a ， (a 为 任 意 实 数 )， 则 M、 N 的 大
5、 小 关 系 为 ( )A.M NB.M=N C.M ND.不 能 确 定解 析 ： 2 72 19 9M a N a a ， (a 为 任 意 实 数 )， 22 31 1 42N M a a a ， N M， 即 M N.答 案 ： A8 .如 图 ， 矩 形 纸 片 ABCD 中 ， AB=4 ， BC=6 .将 该 矩 形 纸 片 剪 去 3 个 等 腰 直 角 三 角 形 ， 所 有 剪 法中 剩 余 部 分 面 积 的 最 小 值 是 ( ) A.6B.3C.2 .5D.2解 析 ： 如 图 以 BC 为 边 作 等 腰 直 角 三 角 形 EBC， 延 长 BE 交 AD 于 F
6、， 得 ABF 是 等 腰 直 角 三角 形 ，作 EG CD 于 G， 得 EGC 是 等 腰 直 角 三 角 形 ， 在 矩 形 ABCD 中 剪 去 ABF， BCE， ECG 得 到 四 边 形 EFDG， 此 时 剩 余 部 分 面 积 的 最 小=4 6 4 4 3 61 1 12 2 .52 3 3 2 .答 案 ： C.二 、 填 空 题 (本 大 题 共 有 1 0 小 题 ， 每 题 3 分 ， 共 3 0 分 )9 .2 0 1 5 年 9 月 3 日 在 北 京 举 行 的 中 国 人 民 抗 日 战 争 暨 世 界 反 法 西 斯 战 争 胜 利 7 0 周 年 阅
7、兵 活动 中 ， 1 2 0 0 0 名 将 士 接 受 了 党 和 人 民 的 检 阅 ， 将 1 2 0 0 0 用 科 学 记 数 法 表 示 为 .解 析 ： 1 2 0 0 0 =1 .2 1 0 4 ，答 案 ： 1 .2 1 0 4 .1 0 .如 图 所 示 的 六 边 形 广 场 由 若 干 个 大 小 完 全 相 同 的 黑 色 和 白 色 正 三 角 形 组 成 ， 一 只 小 鸟 在广 场 上 随 机 停 留 ， 刚 好 落 在 黑 色 三 角 形 区 域 的 概 率 为 .解 析 ： 黑 色 三 角 形 的 面 积 占 总 面 积 的 26 13 ， 刚 好 落 在
8、黑 色 三 角 形 区 域 的 概 率 为 13 ；答 案 ： 13 . 1 1 .当 a=2 0 1 6 时 ， 分 式 2 42aa 的 值 是 .解 析 ： 2 2 24 22 2a aa aa a ，把 a=2 0 1 6 代 入 得 ：原 式 =2 0 1 6 +2 =2 0 1 8 .答 案 ： 2 0 1 8 .1 2 .以 方 程 组 2 21y xy x 的 解 为 坐 标 的 点 (x， y)在 第 象 限 . 解 析 ： 2 21y xy x ， - 得 ， 3 x+1 =0 ， 解 得 x= 13 ，把 x 的 值 代 入 得 ， 1 213 3y ， 点 (x， y)
9、的 坐 标 为 ： ( 1 23 3 ， )， 此 点 在 第 二 象 限 .答 案 ： 二 .1 3 .若 多 边 形 的 每 一 个 内 角 均 为 1 3 5 ， 则 这 个 多 边 形 的 边 数 为 .解 析 ： 所 有 内 角 都 是 1 3 5 ， 每 一 个 外 角 的 度 数 是 1 8 0 -1 3 5 =4 5 ， 多 边 形 的 外 角 和 为 3 6 0 ， 3 6 0 4 5 =8 ，即 这 个 多 边 形 是 八 边 形 .答 案 ： 8 .1 4 .如 图 ， 把 一 块 三 角 板 的 6 0 角 的 顶 点 放 在 直 尺 的 一 边 上 ， 若 1 =2
10、2 ， 则 1 = .解 析 ： AB CD， 3 = 2 ， 1 =2 2 ， 1 =2 3 ， 3 3 +6 0 =1 8 0 ， 3 =4 0 ， 1 =8 0 ，答 案 ： 8 0 .1 5 .如 图 ， 菱 形 ABCD 的 对 角 线 AC、 BD 相 交 于 点 O， E 为 AD 的 中 点 ， 若 OE=3 ， 则 菱 形 ABCD的 周 长 为 . 解 析 ： 四 边 形 ABCD 为 菱 形 ， AC BD， AB=BC=CD=DA， AOD 为 直 角 三 角 形 . OE=3 ， 且 点 E 为 线 段 AD 的 中 点 ， AD=2 OE=6 .C 菱 形 ABCD
11、=4 AD=4 6 =2 4 .答 案 ： 2 4 .1 6 .如 图 ， O 是 ABC 的 外 接 圆 ， 直 径 AD=4 ， ABC= DAC， 则 AC 长 为 . 解 析 ： 连 接 CD， 如 图 所 示 ： B= DAC， ， AC=CD， AD 为 直 径 ， ACD=9 0 ，在 Rt ACD 中 ， AD=6 ， 2 22 2 4 2 2AC CD AD ，答 案 ： 2 2. 1 7 .如 图 ， 点 A 在 函 数 4y x (x 0 )的 图 象 上 ， 且 OA=4 ， 过 点 A 作 AB x 轴 于 点 B， 则 ABO的 周 长 为 .解 析 ： 点 A 在
12、 函 数 4y x (x 0 )的 图 象 上 ， 设 点 A 的 坐 标 为 (n， 4n )(n 0 ). 在 Rt ABO 中 ， ABO=9 0 ， OA=4 ， OA2 =AB2 +OB2 ，又 AB OB= 4n n=4 ， (AB+OB)2 =AB2 +OB2 +2 AB OB=4 2 +2 4 =2 4 ， AB+OB=2 6 ， 或 AB+OB= 2 6 (舍 去 ). C ABO=AB+OB+OA=2 6 +4 .答 案 ： 2 6 +4 . 1 8 .某 电 商 销 售 一 款 夏 季 时 装 ， 进 价 4 0 元 /件 ， 售 价 1 1 0 元 /件 ， 每 天 销
13、 售 2 0 件 ， 每 销 售 一件 需 缴 纳 电 商 平 台 推 广 费 用 a 元 (a 0 ).未 来 3 0 天 ， 这 款 时 装 将 开 展 “ 每 天 降 价 1 元 ” 的 夏令 促 销 活 动 ， 即 从 第 1 天 起 每 天 的 单 价 均 比 前 一 天 降 1 元 .通 过 市 场 调 研 发 现 ， 该 时 装 单 价每 降 1 元 ， 每 天 销 量 增 加 4 件 .在 这 3 0 天 内 ， 要 使 每 天 缴 纳 电 商 平 台 推 广 费 用 后 的 利 润 随 天数 t(t 为 正 整 数 )的 增 大 而 增 大 ， a 的 取 值 范 围 应 为
14、 .解 析 ： 设 未 来 3 0 天 每 天 获 得 的 利 润 为 y，y=(1 1 0 -4 0 -t)(2 0 +4 t)-(2 0 +4 t)a化 简 ， 得y=-4 t2 +(2 6 0 -4 a)t+1 4 0 0 -2 0 a每 天 缴 纳 电 商 平 台 推 广 费 用 后 的 利 润 随 天 数 t(t 为 正 整 数 )的 增 大 而 增 大 ， 260 4 29.52 4 a ， 解 得 ， a 6 ，又 a 0 ，即 a 的 取 值 范 围 是 ： 0 a 6 .答 案 ： 0 a 6三 、 解 答 题 (共 1 0 小 题 ， 满 分 9 6 分 )1 9 .计 算
15、 .(1 )计 算 ： 1 2 12 6 303 cos （ ） ；(2 )先 化 简 ， 再 求 值 ： (a+b)(a-b)-(a-2 b) 2 ， 其 中 a=2 ， b=-1 .解 析 ： (1 )本 题 涉 及 负 整 数 指 数 幂 、 二 次 根 式 化 简 、 特 殊 角 的 三 角 函 数 值 3 个 考 点 .在 计 算 时 ，需 要 针 对 每 个 考 点 分 别 进 行 计 算 ， 然 后 根 据 实 数 的 运 算 法 则 求 得 计 算 结 果 ；(2 )根 据 完 全 平 方 公 式 和 平 方 差 公 式 化 简 ， 然 后 把 a、 b 的 值 代 入 计 算
16、 .答 案 ： (1 ) 1 2 12 6 303 cos （ ）= 329 2 3 6 =9 2 3 3 3 =9 + 3； (2 )(a+b)(a-b)-(a-2 b)2=a2 -b2 -a2 +4 ab-4 b2=4 ab-5 b2 ，当 a=2 ， b=-1 时 ， 原 式 =4 2 (-1 )-5 1 =-1 3 .2 0 .解 不 等 式 组 2 2 41 13x xxx ， 并 写 出 该 不 等 式 组 的 最 大 整 数 解 . 解 析 ： 先 解 不 等 式 ， 去 括 号 ， 移 项 ， 系 数 化 为 1 ， 再 解 不 等 式 ， 取 分 母 ， 移 项 ， 然 后
17、找出 不 等 式 组 的 解 集 .答 案 ： 2 2 41 13x xxx 解 不 等 式 得 ， x -2 ，解 不 等 式 得 ， x 1 ， 不 等 式 组 的 解 集 为 -2 x 1 . 不 等 式 组 的 最 大 整 数 解 为 x=0 .2 1 .从 今 年 起 ， 我 市 生 物 和 地 理 会 考 实 施 改 革 ， 考 试 结 果 以 等 级 形 式 呈 现 ， 分 A、 B、 C、 D四 个 等 级 .某 校 八 年 级 为 了 迎 接 会 考 ， 进 行 了 一 次 模 拟 考 试 ， 随 机 抽 取 部 分 学 生 的 生 物 成 绩 进 行 统 计 ， 绘 制 成
18、 如 下 两 幅 不 完 整 的 统 计 图 .(1 )这 次 抽 样 调 查 共 抽 取 了 名 学 生 的 生 物 成 绩 .扇 形 统 计 图 中 ， D 等 级 所 对 应 的 扇 形 圆 心角 度 数 为 ； (2 )将 条 形 统 计 图 补 充 完 整 ；(3 )如 果 该 校 八 年 级 共 有 6 0 0 名 学 生 ， 请 估 计 这 次 模 拟 考 试 有 多 少 名 学 生 的 生 物 成 绩 等 级 为D？解 析 ： (1 )根 据 A 等 级 的 人 数 及 所 占 的 比 例 即 可 得 出 总 人 数 ， 进 而 可 得 出 扇 形 统 计 图 中 D 级所 在
19、 的 扇 形 的 圆 心 角 .(2 )根 据 D 等 级 的 人 数 =总 数 -A 等 级 的 人 数 -B 等 级 的 人 数 -C 等 级 的 人 数 可 补 全 图 形 .(3 )先 求 出 等 级 为 D 人 数 所 占 的 百 分 比 ， 然 后 即 可 求 出 大 概 的 等 级 为 D 的 人 数 .答 案 ： (1 )1 5 3 0 %=5 0 (名 )，5 0 -1 5 -2 2 -8 =5 (名 )，3 6 0 550 =3 6 .答 ： 这 次 抽 样 调 查 共 抽 取 了 5 0 名 学 生 的 生 物 成 绩 .扇 形 统 计 图 中 ， D 等 级 所 对 应
20、 的 扇 形 圆 心角 度 数 为 3 6 . 故 答 案 为 ： 5 0 ， 3 6 ；(2 )5 0 -1 5 -2 2 -8 =5 (名 )，如 图 所 示 ： (3 )6 0 0 550 =6 0 (名 ).答 ： 这 次 模 拟 考 试 有 6 0 名 学 生 的 生 物 成 绩 等 级 为 D.2 2 .小 明 、 小 刚 和 小 红 打 算 各 自 随 机 选 择 本 周 日 的 上 午 或 下 午 去 扬 州 马 可 波 罗 花 世 界 游 玩 .(1 )小 明 和 小 刚 都 在 本 周 日 上 午 去 游 玩 的 概 率 为 ；(2 )求 他 们 三 人 在 同 一 个 半
21、 天 去 游 玩 的 概 率 .解 析 ： (1 )根 据 题 意 ， 画 树 状 图 列 出 三 人 随 机 选 择 上 午 或 下 午 去 游 玩 的 所 有 等 可 能 结 果 ， 找到 小 明 和 小 刚 都 在 本 周 日 上 午 去 游 玩 的 结 果 ， 根 据 概 率 公 式 计 算 可 得 ；(2 )由 (1 )中 树 状 图 ， 找 到 三 人 在 同 一 个 半 天 去 游 玩 的 结 果 ， 根 据 概 率 公 式 计 算 可 得 .答 案 ： (1 )根 据 题 意 ， 画 树 状 图 如 图 ， 由 树 状 图 可 知 ， 三 人 随 机 选 择 本 周 日 的 上
22、 午 或 下 午 去 游 玩 共 有 8 种 等 可 能 结 果 ，其 中 小 明 和 小 刚 都 在 本 周 日 上 午 去 游 玩 的 结 果 有 (上 ， 上 ， 上 )、 (上 ， 上 ， 下 )2 种 ， 小 明 和 小 刚 都 在 本 周 日 上 午 去 游 玩 的 概 率 为 2 18 4 ；(2 )由 (1 )中 树 状 图 可 知 ， 他 们 三 人 在 同 一 个 半 天 去 游 玩 的 结 果 有 (上 ， 上 ， 上 )、 (下 ， 下 ， 下 )这 2 种 ， 他 们 三 人 在 同 一 个 半 天 去 游 玩 的 概 率 为 2 18 4 ；答 ： 他 们 三 人
23、在 同 一 个 半 天 去 游 玩 的 概 率 是 14 . 2 3 .如 图 ， AC 为 矩 形 ABCD 的 对 角 线 ， 将 边 AB 沿 AE 折 叠 ， 使 点 B 落 在 AC 上 的 点 M 处 ， 将边 CD 沿 CF 折 叠 ， 使 点 D 落 在 AC 上 的 点 N 处 .(1 )求 证 ： 四 边 形 AECF 是 平 行 四 边 形 ；(2 )若 AB=6 ， AC=1 0 ， 求 四 边 形 AECF 的 面 积 .解 析 ： (1 )首 先 由 矩 形 的 性 质 和 折 叠 的 性 质 证 得 AB=CD， AD BC， ANF=9 0 ， CME=9 0
24、，易 得 AN=CM， 可 得 ANF CME(ASA)， 由 平 行 四 边 形 的 判 定 定 理 可 得 结 论 ； (2 )由 AB=6 ， AC=1 0 ， 可 得 BC=8 ， 设 CE=x， 则 EM=8 -x， CM=1 0 -6 =4 ， 在 Rt CEM 中 ， 利 用 勾股 定 理 可 解 得 x， 由 平 行 四 边 形 的 面 积 公 式 可 得 结 果 .答 案 ： (1 )证 明 ： 折 叠 ， AM=AB， CN=CD， FNC= D=9 0 ， AME= B=9 0 ， ANF=9 0 ， CME=9 0 ， 四 边 形 ABCD 为 矩 形 ， AB=CD，
25、 AD BC， AM=CN， AM-MN=CN-MN，即 AN=CM，在 ANF 和 CME 中 ，FAN EMCAN CMANF CME ， ANF CME(ASA)， AF=CE，又 AF CE， 四 边 形 AECF 是 平 行 四 边 形 ；(2 )解 ： AB=6 ， AC=1 0 ， BC=8 ，设 CE=x， 则 EM=8 -x， CM=1 0 -6 =4 ，在 Rt CEM 中 ，(8 -x) 2 +4 2 =x2 ，解 得 ： x=5 ， 四 边 形 AECF 的 面 积 的 面 积 为 ： EC AB=5 6 =3 0 .2 4 .动 车 的 开 通 为 扬 州 市 民 的
26、 出 行 带 来 了 方 便 .从 扬 州 到 合 肥 ， 路 程 为 3 6 0 km， 某 趟 动 车 的 平均 速 度 比 普 通 列 车 快 5 0 %， 所 需 时 间 比 普 通 列 车 少 1 小 时 ， 求 该 趟 动 车 的 平 均 速 度 .解 析 ： 设 普 通 列 车 的 速 度 为 为 xkm/h， 动 车 的 平 均 速 度 为 1 .5 xkm/h， 根 据 走 过 相 同 的 路 程3 6 0 km， 坐 动 车 所 用 的 时 间 比 坐 普 通 列 车 所 用 的 时 间 少 1 小 时 ， 列 方 程 求 解 . 答 案 ： 设 普 通 列 车 的 速 度
27、 为 为 xkm/h， 动 车 的 平 均 速 度 为 1 .5 xkm/h，由 题 意 得 ， 360 360 11.5x x ，解 得 ： x=1 2 0 ，经 检 验 ， x=1 2 0 是 原 分 式 方 程 的 解 ， 且 符 合 题 意 .答 ： 该 趟 动 车 的 平 均 速 度 为 1 2 0 km/h.2 5 .如 图 1 ， ABC 和 DEF 中 ， AB=AC， DE=DF， A= D. (1 )求 证 ： BC EFAB DE ；(2 )由 (1 )中 的 结 论 可 知 ， 等 腰 三 角 形 ABC 中 ， 当 顶 角 A 的 大 小 确 定 时 ， 它 的 对
28、边 (即 底 边 BC)与 邻 边 ( 即 腰 AB 或 AC) 的 比 值 也 就 确 定 ， 我 们 把 这 个 比 值 记 作 T(A) ， 即( )( )A BCT A ABA 的 底（ ） 的 腰对 边 边邻 边 ， 如 T(6 0 )=1 . 理 解 巩 固 ： T(9 0 )= ， T(1 2 0 )= ， 若 是 等 腰 三 角 形 的 顶 角 ， 则 T( )的 取 值 范围 是 ； 学 以 致 用 ： 如 图 2 ， 圆 锥 的 母 线 长 为 9 ， 底 面 直 径 PQ=8 ， 一 只 蚂 蚁 从 点 P 沿 着 圆 锥 的 侧 面爬 行 到 点 Q， 求 蚂 蚁 爬
29、行 的 最 短 路 径 长 (精 确 到 0 .1 ).(参 考 数 据 ： T(1 6 0 ) 1 .9 7 ， T(8 0 ) 1 .2 9 ， T(4 0 ) 0 .6 8 )解 析 ： (1 )证 明 ABC DEF， 根 据 相 似 三 角 形 的 性 质 解 答 即 可 ； (2 ) 根 据 等 腰 直 角 三 角 形 的 性 质 和 等 腰 三 角 形 的 性 质 进 行 计 算 即 可 ； 根 据 圆 锥 的 侧 面 展 开 图 的 知 识 和 扇 形 的 弧 长 公 式 计 算 ， 得 到 扇 形 的 圆 心 角 ， 根 据 T(A)的 定义 解 答 即 可 .答 案 ： (
30、1 ) AB=AC， DE=DF， ACABDE DF ，又 A= D， ABC DEF， BC EFAB DE ；(2 ) 如 图 1 ， A=9 0 ， AB=AC， 则 = 2BCAB ， T(9 0 )= 2 ，如 图 2 ， A=9 0 ， AB=AC，作 AD BC 于 D，则 B=6 0 ， BD= 32 AB， BC= 3AB， T(1 2 0 )= 3； AB-AC BC AB+AC， 0 T( ) 2 ，故 答 案 为 ： 2 ； 3； 0 T( ) 2 ； 圆 锥 的 底 面 直 径 PQ=8 ， 圆 锥 的 底 面 周 长 为 8 ， 即 侧 面 展 开 图 扇 形 的
31、 弧 长 为 8 ，设 扇 形 的 圆 心 角 为 n ， 则 9 8180n ，解 得 ， n=1 6 0 ， T(8 0 ) 1 .2 9 ， 蚂 蚁 爬 行 的 最 短 路 径 长 为 1 .2 9 9 1 1 .6 .2 6 .如 图 1 ， 以 ABC 的 边 AB 为 直 径 的 O 交 边 BC 于 点 E， 过 点 E 作 O 的 切 线 交 AC 于 点 D，且 ED AC. (1 )试 判 断 ABC 的 形 状 ， 并 说 明 理 由 ；(2 )如 图 2 ， 若 线 段 AB、 DE 的 延 长 线 交 于 点 F， C=7 5 ， CD=2 - 3 ， 求 O 的 半
32、 径 和 BF的 长 .解 析 ： (1 )连 接 OE， 根 据 切 线 性 质 得 OE DE， 与 已 知 中 的 ED AC 得 平 行 ， 由 此 得 1 = C，再 根 据 同 圆 的 半 径 相 等 得 1 = B， 可 得 出 三 角 形 为 等 腰 三 角 形 ；(2 )通 过 作 辅 助 线 构 建 矩 形 OGDE， 再 设 与 半 径 有 关 系 的 边 OG=x， 通 过 AB=AC 列 等 量 关 系 式 ，可 求 得 结 论 .答 案 ： (1 ) ABC 是 等 腰 三 角 形 ， 理 由 是 ：如 图 1 ， 连 接 OE， DE 是 O 的 切 线 ， OE
33、 DE， ED AC， AC OE， 1 = C， OB=OE， 1 = B， B= C， ABC 是 等 腰 三 角 形 ；(2 )如 图 2 ， 过 点 O 作 OG AC， 垂 足 为 G， 则 得 四 边 形 OGDE 是 矩 形 ， ABC 是 等 腰 三 角 形 ， B= C=7 5 ， A=1 8 0 -7 5 -7 5 =3 0 ，设 OG=x， 则 OA=OB=OE=2 x， AG= 3x， DG=0 E=2 x，根 据 AC=AB 得 ： 4 3 2 2 3x x x ，x=1 ， 0 E=OB=2 ，在 直 角 OEF 中 ， EOF= A=3 0 ， 4230 23 3
34、 32 30OEcos OFOF cos ， ， BF= 4 3 23 ， O 的 半 径 为 2 .2 7 .已 知 正 方 形 ABCD 的 边 长 为 4 ， 一 个 以 点 A 为 顶 点 的 4 5 角 绕 点 A 旋 转 ， 角 的 两 边 分 别与 边 BC、 DC 的 延 长 线 交 于 点 E、 F， 连 接 EF.设 CE=a， CF=b. (1 )如 图 1 ， 当 EAF 被 对 角 线 AC 平 分 时 ， 求 a、 b 的 值 ；(2 )当 AEF 是 直 角 三 角 形 时 ， 求 a、 b 的 值 ；(3 )如 图 3 ， 探 索 EAF 绕 点 A 旋 转 的
35、 过 程 中 a、 b 满 足 的 关 系 式 ， 并 说 明 理 由 .解 析 ： (1 )当 EAF 被 对 角 线 AC 平 分 时 ， 易 证 ACF ACE， 因 此 CF=CE， 即 a=b.(2 )分 两 种 情 况 进 行 计 算 ， 先 用 勾 股 定 理 得 出 CF2 =8 (CE+4 ) ， 再 用 相 似 三 角 形 得 出4 CF=CE(CE+4 ) ， 两 式 联 立 解 方 程 组 即 可 ；(3 )先 判 断 出 AFC+ CAF=4 5 ， 再 判 断 出 AFC+ AEC=4 5 ， 从 而 求 出 AEC， 而 ACF= ACE=1 3 5 ， 得 到
36、ACF ECA， 即 可 . 答 案 ： (1 ) 四 边 形 ABCD 是 正 方 形 ， ACF= DCD=9 0 ， AC 是 正 方 形 ABCD 的 对 角 线 ， ACB= ACD=4 5 ， ACF= ACE， EAF 被 对 角 线 AC 平 分 ， CAF= CAE，在 ACF 和 ACE 中 ，ACF ACEAC ACCAF CAE ， ACF ACE， CE=CE， CE=a， CF=b， a=b， ACF ACE， AEF= AFE， EAF=4 5 ， AEF= AFE=6 7 .5 ， CE=CF， ECF=9 0 ， AEC= AFC=2 2 .5 ， CAF=
37、CAE=2 2 .5 ， CAE= CEA， CE=AC=4 2 ， 即 ： a=b=4 2 ；(2 )当 AEF 是 直 角 三 角 形 时 ， 当 AEF=9 0 时 ， EAF=4 5 ， AFE=4 5 ， AEF 是 等 腰 直 角 三 角 形 ， AF2 =2 FE2 =2 (CE2 +CF2 )，AF2 =2 (AD2 +BE2 )， 2 (CE 2 +CF2 )=2 (AD2 +BE2 )， CE2 +CF2 =AD2 +BE2 ， CE2 +CF2 =1 6 +(4 +CE)2 ， CF2 =8 (CE+4 ) AEB+ BEF=9 0 ， AEB+ BAE=9 0 ， BE
38、F= BAE， ABE ECF， AB BECE CF ， 44 CECE CF ， 4 CF=CE(CE+4 ) ，联 立 得 ， CE=4 ， CF=8 a=4 ， b=8 ， 当 AFE=9 0 时 ，同 的 方 法 得 ， CF=4 ， CE=8 ， a=8 ， b=4 .(3 )ab=3 2 ，理 由 ： 如 图 ， BAG+ AGB=9 0 ， AFC+ CGF=9 0 ， AGB= CGF， BAG= AFC， BAC=4 5 ， BAG+ CAF=4 5 ， AFC+ CAF=4 5 ， AFC+ AEC=1 8 0 -( CFE+ CEF)- EAF=1 8 0 -9 0 -
39、4 5 =4 5 ， CAF= AEC， ACF= ACE=1 3 5 ， ACF ECA， AC CFEC AC ， EC CF=AC 2 =2 AB2 =3 2 ab=3 2 .2 8 .如 图 1 ， 二 次 函 数 y=ax2 +bx 的 图 象 过 点 A(-1 ， 3 )， 顶 点 B 的 横 坐 标 为 1 . (1 )求 这 个 二 次 函 数 的 表 达 式 ； (2 )点 P 在 该 二 次 函 数 的 图 象 上 ， 点 Q 在 x 轴 上 ， 若 以 A、 B、 P、 Q 为 顶 点 的 四 边 形 是 平 行 四边 形 ， 求 点 P 的 坐 标 ；(3 )如 图 3
40、 ， 一 次 函 数 y=kx(k 0 )的 图 象 与 该 二 次 函 数 的 图 象 交 于 O、 C 两 点 ， 点 T 为 该 二 次函 数 图 象 上 位 于 直 线 OC 下 方 的 动 点 ， 过 点 T 作 直 线 TM OC， 垂 足 为 点 M， 且 M 在 线 段OC 上 (不 与 O、 C 重 合 )， 过 点 T 作 直 线 TN y 轴 交 OC 于 点 N.若 在 点 T 运 动 的 过 程 中 ， 2ONOM为 常 数 ， 试 确 定 k 的 值 .解 析 ： (1 )利 用 待 定 系 数 法 即 可 解 决 问 题 .(2 ) 当 AB 为 对 角 线 时
41、， 根 据 中 点 坐 标 公 式 ， 列 出 方 程 组 解 决 问 题 . 当 AB 为 边 时 ， 根 据 中点 坐 标 公 式 列 出 方 程 组 解 决 问 题 .(3 )设 T(m， m 2 -2 m)， 由 TM OC， 可 以 设 直 线 TM为 y=- 1k x+b， 则 m2 -2 m=- 1k m+b， b=m2 -2 m+ mk ，求 出 点 M、 N 坐 标 ， 求 出 OM、 ON， 根 据 2ONOM 列 出 等 式 ， 即 可 解 决 问 题 .答 案 ： (1 ) 二 次 函 数 y=ax2 +bx 的 图 象 过 点 A(-1 ， 3 )， 顶 点 B 的
42、横 坐 标 为 1 ，则 有 3 12a bba 解 得 1 2ab - 二 次 函 数 y=x 2 -2 x，(2 )由 (1 )得 ， B(1 ， -1 )， A(-1 ， 3 )， 直 线 AB 解 析 式 为 y=-2 x+1 ， AB=2 5，设 点 Q(m， 0 )， P(n， n2 -2 n) 以 A、 B、 P、 Q 为 顶 点 的 四 边 形 是 平 行 四 边 形 ， 当 AB 为 对 角 线 时 ， 根 据 中 点 坐 标 公 式 得 ， 则 有 2 02 2 12m nn n ， 解 得 1 31 3mn - 或1 31 3mn - P(1 + 3， 2 )和 (1 -
43、 3， 2 )(舍 ) 当 AB 为 边 时 ， 根 据 中 点 坐 标 公 式 得 2 1 12 22 1 32 2n mn n 解 得 3 51 5mn 或 3 51 5mn P(1 + 5， 4 )或 (1 - 5， 4 )(舍 ).故 答 案 为 P(1 + 3， 2 )或 P(1 + 5， 4 ).(3 )设 T(m， m 2 -2 m)， TM OC， 可 以 设 直 线 TM 为 y=- 1k x+b， 则 m2 -2 m=- 1k m+b， b=m2 -2 m+ mk ，由 21 2y kx my x m mk k 解 得 2 22 22 12 1m k mk mx kk m k mk my k ， 2 22 2 221 2 11k m k mk mOM x y ON m kk ， ， 2 22 1 12 1m k kONOM mk k ， k=12 时 ， 2 5 54ONOM . 当 k=12 时 ， 点 T 运 动 的 过 程 中 ， 2ONOM 为 常 数 .
