1、2015 年 黑 龙 江 省 牡 丹 江 市 中 考 真 题 数 学一 、 选 择 题 (每 小 题 3 分 ， 满 分 30分 )1.下 列 图 形 中 既 是 轴 对 称 图 形 又 是 中 心 对 称 图 形 的 是 ( )A.B. C.D.解 析 ： A、 既 是 轴 对 称 图 形 ， 又 是 中 心 对 称 图 形 ， 故 A 正 确 ；B、 不 是 轴 对 称 图 形 ， 是 中 心 对 称 图 形 ， 故 B 错 误 ；C、 是 轴 对 称 图 形 ， 不 是 中 心 对 称 图 形 ， 故 C 错 误 ；D、 是 轴 对 称 图 形 ， 不 是 中 心 对 称 图 形 ， 故
2、 D 错 误 .答 案 ： A 2. 函 数 y= 2x 中 ， 自 变 量 x的 取 值 范 围 是 ( )A.x 0B.x 0C.x 0D.x 0解 析 ： 根 据 被 开 方 数 大 于 等 于 0 列 式 求 解 即 可 .由 题 意 得 ， x 0.答 案 ： B.3.下 列 计 算 正 确 的 是 ( )A.2a 3b=5abB.a 3 a4=a12C.(-3a2b)2=6a4b2D.a5 a3+a2=2a2解 析 ： A、 单 项 式 乘 单 项 式 系 数 乘 系 数 ， 同 底 数 的 幂 相 乘 ， 故 A 错 误 ；B、 同 底 数 幂 的 乘 法 底 数 不 变 指 数
3、 相 加 ， 故 B 错 误 ； C、 积 的 乘 方 等 于 乘 方 的 积 ， 故 C 错 误 ；D、 同 底 数 幂 的 除 法 底 数 不 变 指 数 相 减 ， 故 D 正 确 .答 案 ： D4.抛 物 线 y=3x2+2x-1向 上 平 移 4 个 单 位 长 度 后 的 函 数 解 析 式 为 ( )A.y=3x2+2x-5B.y=3x2+2x-4C.y=3x 2+2x+3D.y=3x2+2x+4解 析 ： 抛 物 线 y=3x2+2x-1向 上 平 移 4 个 单 位 长 度 的 函 数 解 析 式 为 y=3x2+2x-1+4=3x2+2x+3.答 案 ： C5.学 校 组
4、 织 校 外 实 践 活 动 ， 安 排 给 九 年 级 三 辆 车 ， 小 明 与 小 红 都 可 以 从 这 三 辆 车 中 任 选 一 辆搭 乘 ， 小 明 与 小 红 同 车 的 概 率 是 ( )A. 19B. 16C. 13 D. 12解 析 ： 用 A， B， C 分 别 表 示 给 九 年 级 的 三 辆 车 ， 画 树 状 图 得 ： 共 有 9 种 等 可 能 的 结 果 ， 小 明 与 小 红 同 车 的 有 3 种 情 况 ， 小 明 与 小 红 同 车 的 概 率 是 ：3 19 3 .答 案 ： C 6.在 同 一 直 角 坐 标 系 中 ， 函 数 y=-ax 与
5、 y=ax+1(a 0)的 图 象 可 能 是 ( )A. B.C. D.解 析 ： a 0， a 0 或 a 0.当 a 0 时 ， 直 线 经 过 第 一 、 二 、 三 象 限 ， 双 曲 线 经 过 第 二 、 四 象 限 ，当 a 0 时 ， 直 线 经 过 第 一 、 二 、 四 象 限 ， 双 曲 线 经 过 第 一 、 三 象 限 .A、 图 中 直 线 经 过 直 线 经 过 第 一 、 二 、 四 象 限 ， 双 曲 线 经 过 第 二 、 四 象 限 ， 故 A 选 项 错 误 ；B、 图 中 直 线 经 过 第 第 一 、 二 、 三 象 限 ， 双 曲 线 经 过 第
6、 二 、 四 象 限 ， 故 B 选 项 正 确 ；C、 图 中 直 线 经 过 第 二 、 三 、 四 象 限 ， 故 C 选 项 错 误 ；D、 图 中 直 线 经 过 第 一 、 二 、 三 象 限 ， 双 曲 线 经 过 第 一 、 三 象 限 ， 故 D 选 项 错 误 .答 案 ： B7.如 图 ， ABD 的 三 个 顶 点 在 O 上 ， AB 是 直 径 ， 点 C 在 O 上 ， 且 ABD=52 ， 则 BCD等 于 ( ) A.32B.38C.52D.66解 析 ： AB是 O 的 直 径 ， ADB=90 ， ABD=52 ， A=90 - ABD=38 . BCD=
7、 A=38 .答 案 ： B8.在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 点 P(x， 0)是 x 轴 上 一 动 点 ， 它 与 坐 标 原 点 O的 距 离 为 y， 则 y 关 于 x 的 函 数 图 象 大 致 是 ( )A. B.C.D. 解 析 ： 根 据 x 轴 上 的 点 到 原 点 的 距 离 是 点 的 横 坐 标 的 绝 对 值 ， x 0 时 ， y=-x， x 0时 ， y=x.答 案 ： A9.在 ABC中 ， AB=12 2 ， AC=13， cos B= 22 ， 则 BC 边 长 为 ( )A.7B.8C.8或 17D.7或 17解 析 ： cos B= 22
8、， B=45 ， 当 ABC为 钝 角 三 角 形 时 ， 如 图 1， AB=12 2 ， B=45 ， AD=BD=12， AC=13， 由 勾 股 定 理 得 CD=5， BC=BD-CD=12-5=7；当 ABC为 锐 角 三 角 形 时 ， 如 图 2， BC=BD+CD=12+5=17.答 案 ： D.10.如 图 ， 在 ABC 中 ， AB=BC， ABC=90 ， BM 是 AC 边 中 线 ， 点 D， E 分 别 在 边 AC 和 BC上 ， DB=DE， EF AC于 点 F， 以 下 结 论 ： (1) DBM= CDE；(2)S BDE S 四 边 形 BMFE；(
9、3)CD EN=BN BD；(4)AC=2DF.其 中 正 确 结 论 的 个 数 是 ( )A.1B.2C.3D.4解 析 ： (1)设 EDC=x， 则 DEF=90 -x， DBE= DEB= EDC+ C=x+45 ， BD=DE， DBM= DBE- MBE=45 +x-45 =x. DBM= CDE， 故 (1)正 确 ； (2)在 Rt BDM 和 Rt DEF中 ， DBM CDEDMB DFEBD DE ， Rt BDM Rt DEF. S BDM=S DEF. S BDM-S DMN=S DEF-S DMN， 即 S DBN=S 四 边 形 MNEF. S DBN+S BN
10、E=S 四 边 形 MNEF+S BNE， S BDE=S 四 边 形 BMFE， 故 (2)错 误 ；(3) BNE= DBM+ BDN， BDM= BDE+ EDF， EDF= DBM， BNE= BDM.又 C= NBE=45 DBC NEB. CD BNBD EN ， CD EN=BN BD； 故 (3)正 确 ；(4) Rt BDM Rt DEF， BM=DF， B=90 ， M是 AC的 中 点 ， BM= 12 AC. DF= 12 AC， 故 (4)正 确 .答 案 ： C.二 、 填 空 题 (每 小 题 3 分 ， 满 分 30分 )11.位 于 我 国 东 海 的 台 湾
11、 岛 是 我 国 第 一 大 岛 ， 面 积 约 36000 平 方 千 米 ， 数 36000 用 科 学 记 数法 表 示 为 .解 析 ： 首 先 统 一 单 位 ， 再 利 用 科 学 记 数 法 的 表 示 形 式 为 a 10 n的 形 式 ， 其 中 1 |a| 10， n为 整 数 .确 定 n 的 值 时 ， 要 看 把 原 数 变 成 a 时 ， 小 数 点 移 动 了 多 少 位 ， n 的 绝 对 值 与 小 数 点移 动 的 位 数 相 同 .当 原 数 绝 对 值 1时 ， n 是 正 数 ； 当 原 数 的 绝 对 值 1时 ， n 是 负 数 .用 科 学 记
12、数 法 表 示 为 3.6 104.答 案 ： 3.6 104.12.如 图 ， 四 边 形 ABCD的 对 角 线 相 交 于 点 O， AO=CO， 请 添 加 一 个 条 件 (只 添 一 个 即可 )， 使 四 边 形 ABCD是 平 行 四 边 形 . 解 析 ： 根 据 题 目 条 件 结 合 平 行 四 边 形 的 判 定 方 法 ： 对 角 线 互 相 平 分 的 四 边 形 是 平 行 四 边 形 分别 进 行 分 析 即 可 . AO=CO， BO=DO， 四 边 形 ABCD 是 平 行 四 边 形 .答 案 ： BO=DO.13.由 一 些 大 小 相 同 的 小 正
13、方 体 搭 成 的 几 何 体 的 主 视 图 和 俯 视 图 ， 如 图 所 示 ， 则 搭 成 该 几 何体 的 小 正 方 体 最 多 是 个 .解 析 ： 根 据 题 意 得 ： 则 搭 成 该 几 何 体 的 小 正 方 体 最 多 是 1+1+1+2+2=7(个 ).答 案 ： 7.14.某 商 品 每 件 标 价 为 150元 ， 若 按 标 价 打 8 折 后 ， 再 降 价 10元 销 售 ， 仍 获 利 10%， 则 该 商品 每 件 的 进 价 为 元 .解 析 ： 设 该 商 品 每 件 的 进 价 为 x 元 ， 则 150 80%-10-x=x 10%， 解 得 x
14、=100.即 该 商 品 每 件 的 进 价 为 100元 .答 案 ： 100. 15.如 图 ， AB是 O 的 直 径 ， 弦 CD AB于 点 E， 若 AB=8， CD=6， 则 BE= .解 析 ： 如 图 ， 连 接 OC. 弦 CD AB于 点 E， CD=6， CE=ED= 12 CD=3. 在 Rt OEC中 ， OEC=90 ， CE=3， OC=4， OE= 2 24 3 = 7 ， BE=OB-OE=4- 7 .答 案 ： 4- 7 .16.一 组 数 据 1， 4， 6， x的 中 位 数 和 平 均 数 相 等 ， 则 x 的 值 是 .解 析 ： 根 据 题 意
15、 得 ， 1 4 6 1 44 2x 或 1 4 6 44 2x x 或 1 4 6 4 64 2x ，解 得 x=-1 或 3 或 9.答 案 ： -1 或 3 或 9. 17.抛 物 线 y=ax2+bx+2 经 过 点 (-2， 3)， 则 3b-6a= .解 析 ： 把 点 (-2， 3)代 入 y=ax2+bx+2 得 ： 4a-2b+2=3， 2b-4a=-1，32 (2b-4a)=-1 32 ， 3b-6a=- 32 ，答 案 ： - 32 .18.一 列 单 项 式 ： -x 2， 3x3， -5x4， 7x5， ， 按 此 规 律 排 列 ， 则 第 7个 单 项 式 为 .
16、解 析 ： 第 7 个 单 项 式 的 系 数 为 -(2 7-1)=-13， x的 指 数 为 8， 所 以 ， 第 7个 单 项 式 为 -13x8.答 案 ： -13x8.19.如 图 ， ABO 中 ， AB OB， AB= 3 ， OB=1， 把 ABO 绕 点 O旋 转 120 后 ， 得 到 A1B1O，则 点 A 1的 坐 标 为 . 解 析 ： 在 Rt OAB中 ， AB= 3 ， OB=1， OA= 2 2OB AB =2， A=30 ， AOB=60 ，当 ABO 绕 点 O 逆 时 针 旋 转 120 后 ， 点 A 的 对 应 点 A 落 在 x 轴 的 负 半 轴
17、 上 ， 如 图 ， OA=OA=2， 此 时 A 的 坐 标 为 (-2， 0)；当 ABO绕 点 O 顺 时 针 旋 转 120 后 ， 点 A 的 对 应 点 A1落 在 第 三 象 限 ， 如 图 ， 则 OA1=OA=2， AOA1=120 ， 作 OA1 y轴 于 C， COA1=30 ，在 Rt COA1中 ， CA1= 12 OA1=1， OC= 3 CA1= 3 ， A1(1， - 3 )，综 上 所 述 ， A1的 坐 标 为 (-2， 0)或 (1， - 3 ).答 案 ： (-2， 0)或 (1， - 3 ).20. 矩 形 纸 片 ABCD， AB=9， BC=6，
18、在 矩 形 边 上 有 一 点 P， 且 DP=3.将 矩 形 纸 片 折 叠 ， 使 点 B与 点 P重 合 ， 折 痕 所 在 直 线 交 矩 形 两 边 于 点 E， F， 则 EF长 为 .解 析 ： 如 图 1， 当 点 P 在 CD 上 时 ， PD=3， CD=AB=9， CP=6， EF垂 直 平 分 PB， 四 边 形 PFBE 是 正 方 形 ， EF过 点 C， EF=6 2 ，如 图 2， 当 点 P在 AD上 时 ， 过 E 作 EQ AB于 Q， PD=3， AD=6， AP=3， PB= 2 2 2 23 9AP AB =3 10 ， EF 垂 直 平 分 PB，
19、 1= 2， A= EQF， ABP EFQ， EF EQPB AB ， 693 10EF ， EF=2 10 .综 上 所 述 ： EF 长 为 6 2 或 2 10 .答 案 ： 6 2 或 2 10 .三 、 解 答 题 (满 分 60分 ) 21.先 化 简 ： 24 4 41 1x x xx x x （ ） ， 其 中 的 x选 一 个 适 当 的 数 代 入 求 值 .解 析 ： 原 式 括 号 中 两 项 通 分 并 利 用 同 分 母 分 式 的 减 法 法 则 计 算 ， 同 时 利 用 除 法 法 则 变 形 ， 约分 得 到 最 简 结 果 ， 把 x=-1代 入 计 算
20、 即 可 求 出 值 .答 案 ： 原 式 = 1 41x x xx 212xx = 2 21x xx 212xx = 22xx ，当 x=-1时 ， 原 式 =- 13 .22.如 图 ， 抛 物 线 y=x 2+bx+c 经 过 点 A(-1， 0)， B(3， 0).请 解 答 下 列 问 题 ： (1)求 抛 物 线 的 解 析 式 ； (2)点 E(2， m)在 抛 物 线 上 ， 抛 物 线 的 对 称 轴 与 x 轴 交 于 点 H， 点 F 是 AE中 点 ， 连 接 FH， 求线 段 FH的 长 .注 ： 抛 物 线 y=ax2+bx+c(a 0)的 对 称 轴 是 x= 2
21、ba .解 析 ： (1)由 于 抛 物 线 y=x2+bx+c 经 过 A(-1， 0)， B(3， 0)两 点 ， 根 据 待 定 系 数 法 可 求 抛 物线 的 解 析 式 ；(2)先 得 到 点 E(2， -3)， 根 据 勾 股 定 理 可 求 BE， 再 根 据 直 角 三 角 形 的 性 质 可 求 线 段 HF 的 长 ；答 案 ： (1) 抛 物 线 y=x2+bx+c 经 过 点 A(-1， 0)， B(3， 0)， 1 09 3 0b cb c ， ， 解 得 ： 23bc ， 抛 物 线 的 解 析 式 为 ： y=x 2-2x-3.(2) 点 E(2， m)在 抛
22、物 线 上 ， m=4-4-3=-3， E(2， -3)， BE= 2 23 2 0 3 10 ， 点 F是 AE中 点 ， 抛 物 线 的 对 称 轴 与 x 轴 交 于 点 H， 即 H为 AB的 中 点 ， FH 是 三 角 形 ABE的 中 位 线 ， FH= 12 BE= 12 10 = 102 .23.在 ABC中 ， AB=AC=4， BAC=30 ， 以 AC为 一 边 作 等 边 ACD， 连 接 BD.请 画 出 图 形 ，并 直 接 写 出 BCD的 面 积 . 解 析 ： 根 据 题 意 画 出 图 形 ， 进 而 利 用 勾 股 定 理 以 及 锐 角 三 角 函 数
23、 关 系 求 出 BC的 长 ， 进 而 求出 答 案 .答 案 ： 如 图 所 示 ： 过 点 D作 DE BC延 长 线 于 点 E， AB=AC=4， BAC=30 ， 以 AC 为 一 边 作 等 边 ACD， BAD=90 ， ABC= ACB=75 ， AB=AD=DC=4， ABD= ADB=45 ， DBE=30 ， DCE=45 ， DB=4 2 ， 则 DE=EC=2 2 ， BE=BDcos30 =2 6 ， 则 BC=BE-EC=2 6 -2 2 ，则 BCD的 面 积 为 ： 12 2 2 (2 6 -2 2 )=4 3 -4.如 图 所 示 ： 过 点 D 作 DE
24、 BC 延 长 线 于 点 E， BAC=30 ， ACD是 等 边 三 角 形 ， DAB=30 ， AB 垂 直 平 分 DC， DBA= ABC=75 ， BD=BC， DBE=30 ， DE= 12 BD， 由 (1)得 ： BCD的 面 积 为 ： 12 12 (2 6 -2 2 )(2 6 -2 2 )=8-4 3 .24.为 倡 导 “ 低 碳 出 行 ” ， 环 保 部 门 对 某 城 市 居 民 日 常 出 行 使 用 交 通 方 式 的 情 况 进 行 了 问 卷 调查 ， 将 调 查 结 果 整 理 后 ， 绘 制 了 如 下 不 完 整 的 统 计 图 ， 其 中 “
25、骑 自 行 车 、 电 动 车 ” 所 在 扇 形的 圆 心 角 是 162 . 请 根 据 以 上 信 息 解 答 下 列 问 题 ：(1)本 次 调 查 共 收 回 多 少 张 问 卷 ？(2)补 全 条 形 统 计 图 ， 在 扇 形 统 计 图 中 ， “ 其 他 ” 对 应 扇 形 的 圆 心 角 是 度 ；(3)若 该 城 市 有 32 万 居 民 ， 通 过 计 算 估 计 该 城 市 日 常 出 行 “ 骑 自 行 车 、 电 动 车 ” 和 “ 坐 公 交车 ” 的 共 有 多 少 人 ？解 析 ： (1)根 据 坐 公 交 车 的 人 数 是 80 人 ， 占 总 人 数
26、的 40%， 即 可 求 得 总 人 数 ；(2)先 算 出 骑 自 行 车 、 电 动 车 和 开 私 家 车 所 占 的 比 例 ， 然 后 求 其 他 所 占 的 圆 心 角 的 度 数 ， 补全 条 形 统 计 图 ；(3)求 出 “ 骑 自 行 车 、 电 动 车 ” 和 “ 坐 公 交 车 ” 所 占 的 百 分 比 ， 计 算 即 可 .答 案 ： (1)本 次 调 查 的 学 生 数 是 ： 80 40%=200(人 )， 即 本 次 调 查 共 收 回 200张 问 卷 ；(2) 25 180 8 =12.5%，162 360=45%， 200 45%=90， 1-40%-4
27、5%-12.5%=2.5%， 200 2.5%=5， 360 2.5%=9 ， 如 图 . (3)32万 (40%+45%)=27.2 万 .25.甲 、 乙 两 车 从 A 地 出 发 沿 同 一 路 线 驶 向 B 地 ， 甲 车 先 出 发 匀 速 驶 向 B 地 .40 分 钟 后 ， 乙车 出 发 ， 匀 速 行 驶 一 段 时 间 后 ， 在 途 中 的 货 站 装 货 耗 时 半 小 时 ， 由 于 满 载 货 物 ， 为 了 行 驶 安全 ， 速 度 减 少 了 50 千 米 /时 ， 结 果 与 甲 车 同 时 到 达 B 地 .甲 乙 两 车 距 A 地 的 路 程 y(千
28、 米 )与乙 车 行 驶 时 间 x(小 时 )之 间 的 函 数 图 象 如 图 所 示 .请 结 合 图 象 信 息 解 答 下 列 问 题 ： (1)直 接 写 出 a 的 值 ， 并 求 甲 车 的 速 度 ；(2)求 图 中 线 段 EF 所 表 示 的 y与 x的 函 数 关 系 式 ， 并 直 接 写 出 自 变 量 x的 取 值 范 围 ；(3)乙 车 出 发 多 少 小 时 与 甲 车 相 距 15 千 米 ？ 直 接 写 出 答 案 .解 析 ： (1)由 乙 在 途 中 的 货 站 装 货 耗 时 半 小 时 易 得 a=4.5， 甲 从 A到 B 共 用 了 ( 23
29、+7)小 时 ，然 后 利 用 速 度 公 式 计 算 甲 的 速 度 ；(2)设 乙 开 始 的 速 度 为 v 千 米 /小 时 ， 利 用 乙 两 段 时 间 内 的 路 程 和 为 460 列 方 程4v+(7-4.5)(v-50)=460， 解 得 v=90(千 米 /小 时 )， 计 算 出 4v=360， 则 可 得 到 D(4， 360)， E(4.5，360)， 然 后 利 用 待 定 系 数 法 求 出 线 段 EF 所 表 示 的 y与 x的 函 数 关 系 式 为 y=40 x+180(4.5 x 7)；(3)先 计 算 60 23 =40， 则 可 得 到 C(0，
30、40)， 再 利 用 待 定 系 数 法 求 出 直 线 CF 的 解 析 式 为y=60 x+40， 和 直 线 OD 的 解 析 式 为 y=90 x(0 x 4)， 然 后 利 用 函 数 值 相 差 15 列 方 程 ： 当 60 x+40-90 x=15， 解 得 x= 56 ； 当 90 x-(60 x+40)=15， 解 得 x=116 ； 当 40 x+180-(60 x+40)=15， 解 得 x= 234 .答 案 ： (1)a=4.5，甲 车 的 速 度 = 4602 73 =60(千 米 /小 时 )；(2)设 乙 开 始 的 速 度 为 v 千 米 /小 时 ，则 4
31、v+(7-4.5)(v-50)=460， 解 得 v=90(千 米 /小 时 )， 4v=360，则 D(4， 360)， E(4.5， 360)，设 直 线 EF 的 解 析 式 为 y=kx+b，把 E(4.5， 360)， F(7， 460)代 入 得 4.5 3607 460k bk b ， 解 得 40180.kb ， 所 以 线 段 EF所 表 示 的 y 与 x 的 函 数 关 系 式 为 y=40 x+180(4.5 x 7)；(3)甲 车 前 40 分 钟 的 路 程 为 60 23 =40千 米 ， 则 C(0， 40)，设 直 线 CF 的 解 析 式 为 y=mx+n，
32、把 C(0， 40)， F(7， 460)代 入 得 407 460nm n ， ， 解 得 6040mn ，所 以 直 线 CF的 解 析 式 为 y=60 x+40，易 得 直 线 OD的 解 析 式 为 y=90 x(0 x 4)，设 甲 乙 两 车 中 途 相 遇 点 为 G， 由 60 x+40=90 x， 解 得 x= 43 小 时 ， 即 乙 车 出 发 43 小 时 后 ， 甲 乙两 车 相 遇 ， 当 乙 车 在 CG段 时 ， 由 60 x+40-90 x=15， 解 得 x= 56 ， 介 于 0 43 小 时 之 间 ， 符 合 题 意 ；当 乙 车 在 GD段 时 ，
33、 由 90 x-(60 x+40)=15， 解 得 x=116 ， 介 于 43 4 小 时 之 间 ， 符 合 题 意 ；当 乙 车 在 DE段 时 ， 由 360-(60 x+40)=15， 解 得 x= 6112 ， 不 介 于 4 4.5 之 间 ， 不 符 合 题 意 ；当 乙 车 在 EF段 时 ， 由 40 x+180-(60 x+40)=15， 解 得 x= 254 ， 介 于 4.5 7 之 间 ， 符 合 题 意 .所 以 乙 车 出 发 56 小 时 或 116 小 时 或 254 小 时 ， 乙 与 甲 车 相 距 15千 米 .26.已 知 四 边 形 ABCD 是
34、正 方 形 ， 等 腰 直 角 AEF 的 直 角 顶 点 E 在 直 线 BC 上 (不 与 点 B， C 重合 )， FM AD， 交 射 线 AD于 点 M. (1)当 点 E 在 边 BC 上 ， 点 M 在 边 AD的 延 长 线 上 时 ， 如 图 ， 求 证 ： AB+BE=AM；(提 示 ： 延 长 MF， 交 边 BC的 延 长 线 于 点 H.)(2)当 点 E 在 边 CB的 延 长 线 上 ， 点 M在 边 AD 上 时 ， 如 图 ； 当 点 E 在 边 BC 的 延 长 线 上 ， 点M在 边 AD 上 时 ， 如 图 .请 分 别 写 出 线 段 AB， BE，
35、AM之 间 的 数 量 关 系 ， 不 需 要 证 明 ；(3)在 (1)， (2)的 条 件 下 ， 若 BE= 3 ， AFM=15 ， 则 AM= .解 析 ： (1)首 先 利 用 等 腰 直 角 三 角 形 的 性 质 和 正 方 形 的 性 质 得 AE=EF， ABE= EHF=90 ，利 用 全 等 三 角 形 的 判 定 定 理 证 明 ABE EHF， 再 利 用 全 等 三 角 形 的 性 质 定 理 可 得 结 论 ；(2)同 (1)首 先 证 明 ABE EHF， 再 利 用 全 等 三 角 形 的 性 质 定 理 可 得 结 论 ；(3)利 用 分 类 讨 论 的
36、思 想 ， 首 先 由 AFM=15 ， 易 得 EFH， 由 ABE EHF， 根 据 全 等 三 角形 的 性 质 易 得 AEB， 利 用 锐 角 三 角 函 数 易 得 AB， 利 用 (1)(2)的 结 论 ， 易 得 AM.答 案 ： (1)如 图 ， 延 长 MF， 交 边 BC的 延 长 线 于 点 H， 四 边 形 ABCD 是 正 方 形 ， FM AD， ABE=90 ， EHF=90 ， 四 边 形 ABHM 为 矩 形 ， AM=BH=BE+EH， AEF为 等 腰 直 角 三 角 形 ， AE=AF， AEB+ FEH=90 ， EFH+ FEH=90 ， AEB=
37、 EFH，在 ABE与 EHF中 ， 90ABE EHFAEB EFHAE EF ， ABE EHF(AAS)， AB=EH， AM=BH=BE+EH， AM=BE+AB， 即 AB+BE=AM.(2)如 图 ， AEB+ FEH=90 ， AEB+ EAB=90 ， FEH= EAB，在 ABE与 EHF中 ， ABE EHFEAB FEHAE FE ， ABE EHF(AAS)， AB=EH=EB+AM；如 图 ， BAE+ AEB=90 ， AEB+ HEF=90 ， BAE= HEF，在 ABE与 EHF中 ， ABE EHFBAE HEFAE FE ， ABE EHF(AAS)， A
38、B=EH， BE=BH+EH=AM+AB.(3)如 图 ， AFM=15 ， AFE=45 ， EFM=60 ， EFH=120 ，在 EFH中 ， FHE=90 ， EFH=120 ， 此 情 况 不 存 在 ；如 图 ， AFM=15 ， AFE=45 ， EFH=60 ， ABE EHF， EAB= EFH=60 ， BE= 3 ， AB=BE tan60 = 3 3 =3， AB=EB+AM， AM=AB-EB=3- 3 ；如 图 ， AFM=15 ， AFE=45 ， EFH=45 -15 =30 ， AEB=30 ， BE= 3 ， AB=BE tan30 = 3 33 =1， B
39、E=AM+AB， AM=BE-AB= 3 -1，故 答 案 为 ： 3- 3 或 3 -1.27.夏 季 来 临 ， 商 场 准 备 购 进 甲 、 乙 两 种 空 调 .已 知 甲 种 空 调 每 台 进 价 比 乙 种 空 调 多 500元 ，用 40000 元 购 进 甲 种 空 调 的 数 量 与 用 30000元 购 进 乙 种 空 调 的 数 量 相 同 .请 解 答 下 列 问 题 ：(1)求 甲 、 乙 两 种 空 调 每 台 的 进 价 ；(2)若 甲 种 空 调 每 台 售 价 2500元 ， 乙 种 空 调 每 台 售 价 1800元 ， 商 场 欲 同 时 购 进 两
40、种 空 调 20台 ， 且 全 部 售 出 ， 请 写 出 所 获 利 润 y(元 )与 甲 种 空 调 x(台 )之 间 的 函 数 关 系 式 ；(3)在 (2)的 条 件 下 ， 若 商 场 计 划 用 不 超 过 36000 元 购 进 空 调 ， 且 甲 种 空 调 至 少 购 进 10台 ， 并 将 所 获 得 的 最 大 利 润 全 部 用 于 为 某 敬 老 院 购 买 1100元 /台 的 A 型 按 摩 器 和 700 元 /台 的 B型 按 摩 器 .直 接 写 出 购 买 按 摩 器 的 方 案 .解 析 ： (1)设 乙 种 空 调 每 台 进 价 为 x 元 ， 则
41、 甲 种 空 调 每 台 进 价 为 (x+500)元 ， 根 据 用 40000元 购 进 甲 种 空 调 的 数 量 与 用 30000元 购 进 乙 种 空 调 的 数 量 相 同 列 出 方 程 ， 求 出 方 程 的 解 即 可得 到 结 果 ；(2)根 据 甲 种 空 调 x 台 ， 得 到 乙 中 空 调 (20-x)台 ， 由 售 价 -进 价 =利 润 表 示 出 y 与 x 的 函 数 解析 式 即 可 ；(3)设 购 买 甲 种 空 调 n台 ， 则 购 买 乙 种 空 调 (20-n)台 ， 根 据 商 场 计 划 用 不 超 过 36000 元 购 进空 调 ， 且
42、甲 种 空 调 至 少 购 进 10台 ， 求 出 n 的 范 围 ， 求 出 最 大 利 润 ， 即 可 确 定 出 购 买 方 案 .答 案 ： (1)设 乙 种 空 调 每 台 进 价 为 x 元 ， 则 甲 种 空 调 每 台 进 价 为 (x+500)元 ，根 据 题 意 得 ： 40000 30000500 x x ，去 分 母 得 ： 40000 x=30000 x+15000000， 解 得 ： x=1500，经 检 验 x=1500 是 分 式 方 程 的 解 ， 且 x+500=2000，则 甲 、 乙 两 种 空 调 每 台 进 价 分 别 为 2000元 ， 1500元
43、 ；(2)根 据 题 意 得 ： y=(2500-2000)x+(1800-1500)(20-x)=200 x+6000；(3)设 购 买 甲 种 空 调 n 台 ， 则 购 买 乙 种 空 调 (20-n)台 ，根 据 题 意 得 ： 2000n+1500(20-n) 36000， 且 n 10，解 得 ： 10 n 12，当 n=12时 ， 最 大 利 润 为 8400元 ，设 购 买 A 型 按 摩 器 a台 ， 购 买 B 型 按 摩 器 b台 ， 则 1100a+700b=8400，有 两 种 购 买 方 案 ： A 型 0 台 ， B 型 12台 ； A型 7台 ， B 型 1 台
44、 .28. 如 图 ， 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， ABC的 顶 点 A 在 x轴 负 半 轴 上 ， 顶 点 C 在 x 轴 正 半 轴 上 ，顶 点 B在 第 一 象 限 ， 过 点 B 作 BD y 轴 于 点 D， 线 段 OA， OC 的 长 是 一 元 二 次 方 程 x 2-12x+36=0的 两 根 ， BC=4 5 ， BAC=45 . (1)求 点 A， C 的 坐 标 ；(2)反 比 例 函 数 y= kx 的 图 象 经 过 点 B， 求 k 的 值 ；(3)在 y 轴 上 是 否 存 在 点 P， 使 以 P， B， D 为 顶 点 的 三 角 形 与 以
45、 P， O， A 为 顶 点 的 三 角 形 相似 ？ 若 存 在 ， 请 写 出 满 足 条 件 的 点 P的 个 数 ， 并 直 接 写 出 其 中 两 个 点 P 的 坐 标 ； 若 不 存 在 ，请 说 明 理 由 .解 析 ： (1)解 一 元 二 次 方 程 x2-12x+36=0， 求 出 两 根 即 可 得 到 点 A， C 的 坐 标 ；(2)过 点 B 作 BE AC， 垂 足 为 E， 由 BAC=45 可 知 AE=BE， 设 BE=x， 用 勾 股 定 理 可 得CE= 280 x ， 根 据 AE+CE=OA+OC， 解 方 程 求 出 BE， 再 由 AE-OA=
46、OE， 即 可 求 出 点 B的 坐 标 ，然 后 求 出 k的 值 ；(3)分 类 讨 论 ， 根 据 相 似 三 角 形 对 应 边 成 比 例 求 出 点 P 的 坐 标 .答 案 ： (1)解 一 元 二 次 方 程 x 2-12x+36=0， 解 得 ： x1=x2=6， OA=OC=6， A(-6， 0)， C(6， 0)；(2)如 图 1， 过 点 B 作 BE AC， 垂 足 为 E， BAC=45 ， AE=BE，设 BE=x， BC=4 5 ， CE= 280 x ， AE+CE=OA+OC， x+ 280 x =12， 整 理 得 ： x2-12x+32=0，解 得 ：
47、x1=4(不 合 题 意 舍 去 )， x2=8， BE=8， OE=8-6=2， B(2， 8)， 把 B(2， 8)代 入 y= kx ， 得 k=16.(3)存 在 .如 图 2， 若 点 P在 OD上 ， 若 PDB AOP， 则 OA OPDP DB ， 即 68 2OPOP 解 得 ： OP=2或 OP=6 P(0， 2)或 P(0， 6)；如 图 3， 若 点 P在 OD上 方 ， PDB AOP， 则 PD DBPO OA ， 即 8 26OPOP ， 解 得 ： OP=12， P(0， 12)；如 图 4， 若 点 P在 OD上 方 ， BDP AOP， 则 PD DBOA OP ， 即 8 26OP OP ，解 得 ： OP=4+2 7 或 OP=4-2 7 (不 合 题 意 舍 去 )， P(0， 4+2 7 )；如 图 5， 若 点 P在 y轴 负 半 轴 ， PDB AOP， 则 PD DBOA OP ， 即 8 26OP OP ， 解 得 ： OP=-4+2 7 或 -4-2 7 ， 则 P点 坐 标 为 (0， -2 7 -4)或 (0， 4+2 7 )(不 合 题 意 舍 去 ). 点 P的 坐 标 为 ： (0， 2)或 (0， 6)或 (0， 12)或 (0， 4+2 7 )或 (0， -2 7 -4).
