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2016年北京市丰台区高考一模数学理及答案解析.docx

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2016年北京市丰台区高考一模数学理及答案解析.docx

2、|-2 x -1，答案： C.2. 在下列函数中，是偶函数，且在 (0， + )内单调递增的是 ( )A.y=2|x|B.y 21xC.y=|lgx|D.y=cosx解析： A.y=2 |x|，显然该函数为偶函数； x (0， + )时， y=2x为增函数，该选项正确；B.y 21x ， x (0， + )时， y=x2为增函数； x 增大时， 21x 减小，即 y 减小；该函数在 (0， + )上为减函数，该选项错误；C.y=|lgx|的定义域

3、为 (0， + )，不关于原点对称，不是偶函数，该选项错误；D.y=cosx在 (0， + )上没有单调性，该选项错误 .答案： A.3. 对高速公路某段上汽车行驶速度进行抽样调查，画出如图频率分布直方图 .根据直方图估计在此路段上汽车行驶速度的众数和行驶速度超过 80km/h的概率 ( ) A.75， 0.25B.80， 0.35C.77.5， 0.25 D.77.5， 0.35解析：由频率分布

4、直方图，得在此路段上汽车行驶速度的众数为 77.5，行驶速度超过 80km/h的概率：p=(0.05+0.02) 5=0.35. 估计在此路段上汽车行驶速度的众数为 77.5，行驶速度超过 80km/h的概率为 0.35.答案： D.4. 若数列 a n满足 an+1 2an(an 0， n N*)，且 a2与 a4的等差中项是 5，则 a1+a2+ +an等于( )A.2nB.2n-1C.2n-1D.2n-1-1解析：数列 an满足 an+1 2an(a

5、n 0， n N*)，可知数列是等比数列，公比为： 2，a 2与 a4的等差中项是 5，可得 a2(1+q2)=10，解得 a2=2， a1=1.a1+a2+ +an=1 21 2n =2n-1.答案： B.5. 已知直线 m， n 和平面，若 n ，则 “ m ” 是 “ n m” 的 ( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析： n ，若 “ m ” ，则 “ n m” .反之不成立，可能 m . n

6、，则 “ m ” 是 “ n m” 的充分不必要条件 . 答案： A.6. 有三对师徒共 6 个人，站成一排照相，每对师徒相邻的站法共有 ( )A.72B.54C.48D.8解析：用分步原理：第一步：把每一对师徒看成一整体，共有 3 2=6种方法；第二步：每对师徒都有两种站法共有 2 2 2=8种；总的方法为 6 8=48种 .答案： C. 7. 如图，已知三棱锥 P-ABC的底面是等腰直角三

7、角形，且 ACB=90 ，侧面 PAB 底面 ABC，AB=PA=PB=4.则这个三棱锥的三视图中标注的尺寸 x， y， z 分别是 ( ) A.2 3， 2 2， 2B.4， 2， 2 2C.2 3， 2， 2D.2 3， 2， 2 2解析：三棱锥 P-ABC 的底面是等腰直角三角形，且 ACB=90 ，侧面 PAB 底面 ABC， AB=PA=PB=4； x 是等边 PAB边 AB 上的高， x=4sin60 =2 3，y是边 AB 的一半， y=12 AB=2， z是等腰直角

8、ABC 斜边 AB 上的中线， z=12 AB=2； x， y， z分别是 2 3， 2， 2.答案： C.8. 经济学家在研究供求关系时，一般用纵轴表示产品价格 (自变量 )，而用横轴来表示产品数量 (因变量 ).某类产品的市场供求关系在不受外界因素 (如政府限制最高价格等 )的影响下，市场会自发调解供求关系：当产品价格 P 1低于均衡价格 P0时，需求量大于供应量，价格会上

9、升为 P2；当产品价格 P2高于均衡价格 P0时，供应量大于需求量，价格又会下降，价格如此波动下去，产品价格将会逐渐靠进均衡价格 P0.能正确表示上述供求关系的图形是 ( )A. B.C. D.解析：当产品价格 P1低于均衡价格 P0时，需求量大于供应量，排除 B、 C；且价格较低时，供应增长较快，价格较高时，供应增长慢，故排除 A.答案： D.二、填空

10、题共 6 小题，每小题 5 分，共 30分 .9. 已知双曲线 2 22 2x ya b 1(a 0， b 0)的一条渐近线为 y 3x，那么双曲线的离心率为_.解析：双曲线 x2 a2 -y2 b2 =1(a 0， b 0)的一条渐近线方程为 y=b a x，由题意可得 ba = 3，即为 b= 3a， c= 2 2a b =2a，可得 e= ca =2.答案： 2.10. 如图， BC为 O 的直径，且 BC=6，延长 CB 与 O 在点 D 处的切线交于点 A

11、，若 AD=4，则 AB=_. 解析：设 AB=x，则 AC=AB+BC=x+6，根据切割线定理， AD2=AB AC， 16=x(x+6)，即 x2+6x-16=0，解得 x=2，或 x=-8(舍去 ).答案： 2.11. 在 ABC中角 A， B， C的对边分别是 a， b， c，若 3bsinA=ccosA+acosC，则 sinA=_.解析：在 ABC中， 3bsinA=ccosA+acosC，由正弦定理可得： 3sinBsinA=sinCcosA+sinAcosC， 3sinBsinA=sin(A+C)=sinB

12、， sinB 0， sinA=13. 答案： 13.12. 在梯形 ABCD中， AB CD， AB=2CD， E 为 BC中点，若 AE x AB +y AD ，则 x+y=_.解析：由题意作图如右图， AB CD， AB=2CD， DC =12 AB ， E 为 BC 中点， AE =12 ( AC + AB )=12 ( AD +DC + AB )=12 ( AD +12 AB + AB )=12 AD+34 AB ，又 AE x AB +y AD ， x=12 ， y=34 ，故 x+y=54 . 答案： 54 .13. 已知 x， y

13、满足 0 .xy xx y k (k为常数 )，若 z=x+2y最大值为 8，则 k=_.解析：画出满足条件的平面区域，如图示：由 y xx y k ，解得 A( 2k ， 2k )，将 z=x+2y 转化为： y=-12 x+2z ，显然直线过 A( 2k ， 2k )时， z 最大，z的最大值是： 2k +k=8，解得： k=163 .答案： 163 . 14. 已知函数 f(x) 1 1 ( )( )1x xx x . 若 f(x) f(x+1)，则 x的取值范围是 _.

14、解析：先画出 f(x)的图象，如实线部分，再把函数 f(x)的图象向左平移一个单位得到 f(x+1)的图象，如虚线部分，若 f(x) f(x+1)，由图象可知 0 x 1，故 x 的取值范围为 (0， 1.答案： (0， 1.三、解答题共 6 小题，共 80分 .解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 .15. 已知函数 f(x) cosx(cosx+ 3sinx).( )求 f(x)的最小正周期；( )当 x 0， 2 时

15、，求函数 f(x)的单调递减区间 .解析： ( )有条件利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性，求得结论 . ( )令 2k + 2 2x+ 6 2k +32 ， k Z，求得 x 的范围，可得函数的单调减区间，再结合 x 0， 2 ，得出结论 .答案： ( ) f(x) 3 sinxcosx+cos2xf(x) 32 sin2x+ 1 2 2cos x f(x) ( 32 sin2x+1 2 2cos x )， f(x) sin(2x+

16、 6 )+12 ，故 T 2| | 22 ，即 f(x)的最小正周期为 . ( )令 2k + 2 2x+ 6 2k +32 ， k Z，求得 k + 6 x k +23 ，即 f(x)的递减区间为： k + 6 ， k +23 ， k Z.再结合 x 0， 2 ，由 0， 2 k + 6 ， k +23 = 6 ， + 2 ， k Z，所以 f(x)的递减区间为 6 ， 2 .16. 从某病毒爆发的疫区返回本市若干人，为了迅速甄别是否有人感染病毒，对这些人抽血，并

17、将血样分成 4组，每组血样混合在一起进行化验 .( )若这些人中有 1人感染了病毒 . 求恰好化验 2次时，能够查出含有病毒血样组的概率；设确定出含有病毒血样组的化验次数为 X，求 E(X).( )如果这些人中有 2 人携带病毒，设确定出全部含有病毒血样组的次数 Y 的均值 E(Y)，请指出 ( ) 中 E(X)与 E(Y)的大小关系 .(只写结论，不需说明理由 )解析

18、： ( ) 由已知能求出恰好化验 2次时，就能够查出含有病毒血样的组的概率 . 确定出含有病毒血样组的次数为 X，则 X 的可能取值为 1， 2， 3，分别求出相应的概率，由此能求出 X 的分布列和 E(X).( )由题意得 E(X) E(Y).答案： ( ) 恰好化验 2次时，就能够查出含有病毒血样的组为事件 A，由题意得 P(A)=34 41=3 1 .恰好化验 2次时，就能够查出含

19、有病毒血样的组的概率为 14 . 确定出含有病毒血样组的次数为 X，则 X的可能取值为 1， 2， 3，P(X=1)=14 ， P(X=2)=34 41=3 1 ，P(X=3)=3 1 1 3 2 11 =4 3 2 4 123 2 .则 X 的分布列为：所以： E(X)=1 14 +2 14 +3 12 94 .( )E(X) E(Y). 17. 如图，在五面体 ABCDEF 中，四边形 ABCD为菱形，且 BAD=60 ，对角线 AC与 BD相交于 O； OF 平面 ABCD，

20、BC=CE=DE=2EF=2. ( )求证： EF BC；( )求直线 DE 与平面 BCFE所成角的正弦值 .解析： ( )证明 AD BC，即可证明 BC 面 ADEF，然后证明 EF BC.( )以 O 为坐标原点， OA， OB， OF 分别为 x 轴， y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系，取 CD的中点 M，连 OM， EM.易证 EM 平面 ABCD.求出设面 BCFE 的法向量，设 DF与 0n所成角为，直线 DE 与面 BCEF 所成角为 .通

21、过 sin =|cos |，求解直线 EF 与平面 BCEF 所成角的正弦值即可 .答案： ( )因为四边形 ABCD 为菱形所以 AD BC，且 BC面 ADEF， AD面 ADEF所以 BC 面 ADEF且面 ADEF 面 BCEF=EF所以 EF BC.( )因为 FO 面 ABCD 所以 FO AO， FO OB又因为 OB AO以 O 为坐标原点， OA， OB， OF分别为 x轴， y 轴， z轴，建立空间直角坐标系，取 CD 的中点 M，连 OM， EM.易证 EM 平

22、面 ABCD.又因为 BC=CE=DE=2EF=2，得出以下各点坐标： B(0， 1， 0)， C(- 3， 0， 0)， D(0， -1， 0)，F(0， 0， 3)， E(- 32 ， -12 ， 3)向量 DE (- 32 ， 12 ， 3)，向量 BC (- 3， -1， 0)，向量 BF (0， -1， 3) 设面 BCFE 的法向量为： 0n (x0， y0， z0)， 00 00BCBFnn ，得到 0 00 03 03 0 x yy z 令 y0 3时 0n (-1， 3， 1)设 DF 与 0n 所成角为，直线 D

23、E 与面 BCEF 所成角为 .sin =|cos |= 00 | |n DDEn E 2 22 22 23 11 3 3 1 2 2 15531 3 1 | |12 3 2 直线 EF与平面 BCEF所成角的正弦值为 155 .18. 已知函数 f(x)=xlnx.( )求曲线 y=f(x)在点 (1， f(1)处的切线方程；( )求证： f(x) x-1；( )若 f(x) ax2+ 2a (a 0)在区间 (0， + )上恒成立，求 a的最小值 .解析： ( )设切线的斜率为 k，利用导数

24、求解切线斜率，然后求解切线方程 .( )要证： f(x) x-1，需证明： g(x)=xlnx-x+1 0在 (0， + )恒成立，利用函数的导数，通过函数的单调性以及函数的最值，证明即可 .( )要使： xlnx ax 2+ 2a 在区间在 (0， + )恒成立，等价于： h(x) lnx-ax- 2ax 0 在 (0，+ )恒成立，利用函数的导数，通过当 a 0 时，利用 h(1) 0，说明 a 0 不满足题意 . 当

25、a 0 时，利用导数以及单调性函数的最小值，求解即可 .答案： ( )设切线的斜率为 k， f (x)=lnx+1， k=f (1)=ln1+1=1因为 f(1)=1 ln1=0，切点为 (1， 0).切线方程为 y-0=1 (x-1)，化简得： y=x-1.( )要证： f(x) x-1只需证明： g(x)=xlnx-x+1 0在 (0， + )恒成立， g (x)=lnx+1-1=lnx当 x (0， 1)时 f (x) 0， f(x)在 (0， 1)上单调递减；当 x (1， +

26、 )时 f (x) 0， f(x)在 (1， + )上单调递增；当 x=1时 g(x)min=g(1)=1 ln1-1+1=0g(x)=xlnx-x+1 0在 (0， + )恒成立所以 f(x) x-1. ( )要使： xlnx ax2+ 2a 在区间在 (0， + )恒成立，等价于： lnx ax+ 2ax 在 (0， + )恒成立，等价于： h(x) lnx-ax- 2ax 0在 (0， + )恒成立因为 h (x) 1x -a+ 22ax = 2 2 2 2a x axax = 2 21 2a x xa aax 当 a 0 时，

27、 h(1) ln1-a- 2a 0， a 0不满足题意当 a 0 时，令 h (x)=0，则 x 1a 或 x 2a (舍 ).所以 x (0， 1a )时 h (x) 0， h(x)在 (0， 1a )上单调递减； x ( 1a ， + )时，h (x) 0， h(x)在 ( 1a ， + )上单调递增；当 x 1a 时 h(x)min h( 1a ) ln( 1a )+1+2 当 ln( 1a )+3 0 时，满足题意所以 -e3 a 0，得到 a 的最小值为 -e319. 已知椭圆 G： 2 22 2x ya b 1(

28、a b 0)的离心率为 32 ，短半轴长为 1.( )求椭圆 G 的方程；( )设椭圆 G的短轴端点分别为 A， B，点 P 是椭圆 G 上异于点 A， B的一动点，直线 PA， PB分别与直线 x=4于 M， N 两点，以线段 MN 为直径作圆 C. 当点 P 在 y 轴左侧时，求圆 C 半径的最小值；问：是否存在一个圆心在 x轴上的定圆与圆 C 相切？若存在，指出该定圆的圆心和半径，并证明你的

29、结论；若不存在，说明理由 . 解析： ( )由椭圆的离心率为 32 ，短半轴长为 1，列出方程组，求出 a， b，由此能求出椭圆的方程 .( ) 设 P(x0， y0)， A(0， 1)， B(0， -1)，直线 PA 的方程为： y-1 0 0 1y xx ，从而 yM 0 04 1 1yx ，同理 y N 0 04 1 1yx ，进而 |MN| |2- 08x |，由此能求出圆 C 半径的最小值 . 当 P在左端点时，圆 C的方程为： (x-

30、4)2+y2=9；当 P 在右端点时，设 P(2， 0)， A(0， 1)，B(0， -1)， yM=-1，同理得到 yN=1，圆 C 的方程为： (x-4)2+y2=1，由此能求出存在一个圆心在 x 轴上的定圆与圆 C 相切，该定圆的圆心为 (2， 0)和半径 R=1.答案： ( )因为 2 22 2x ya b 1(a b 0)的离心率为 32 ，短半轴长为 1. 所以 2 2 221 3bcaa b c ，得到 132abc ，所以椭圆的方程为 2 24x

31、y 1.( ) 设 P(x 0， y0)， A(0， 1)， B(0， -1)所以直线 PA的方程为： y-1 0 0 1y xx令 x=4，得到 yM 0 04 1 1yx ，同理得到 y N 0 04 1 1yx ，得到 |MN| |2- 08x |所以，圆 C半径 r |1- 04x |(-2 x0 0)当 x0=-2 时，圆 C 半径的最小值为 3. 当 P在左端点时，圆 C的方程为： (x-4)2+y2=9当 P 在右端点时，设 P(2， 0)， A(0， 1)， B(0， -1)所以直线 PA

32、的方程为： y-1 12 x令 x=4，得到 y M=-1 同理得到 yN=1，圆 C 的方程为： (x-4)2+y2=1，由意知与定圆 (x-2)2+y2=1相切，半径 R=1由前一问知圆 C的半径 r |1- 04x | 00 00 41 2 0 4 0 2xx xx -1，，因为 y M 0 04 1 1yx ， yN 0 04 1 1yx ，圆 C的圆心坐标为 (4， 004 yx )圆心距 d 202 02 00 20 0 0 00 2 0 16 1 44 44 2 44 4 0 2x xxyx x x

33、xx ，，当 -2 x 0 0 时， d r-R (1- 04x )-1 - 04x ，此时定圆与圆 C内切；当 0 x0 2时， d r+R ( 04x -1)+1 04x ，此时定圆与圆 C 外切；存在一个圆心在 x 轴上的定圆与圆 C 相切，该定圆的圆心为 (2， 0)和半径 R=1.20. 已知数列 a n是无穷数列， a1=a， a2=b(a， b是正整数 )， 1 11 1 1( 1)1( )n nn nn n nn na aa aa a aa a ， .( )若 a1=2

34、， a2=1，写出 a4， a5的值；( )已知数列 an中 ak 1(k N*)，求证：数列 an中有无穷项为 1；( )已知数列 an中任何一项都不等于 1，记 bn=maxa2n-1， a2n(n=1， 2， 3，； maxm， n为 m， n 较大者 ).求证：数列 bn是单调递减数列 .解析： ( )利用递推关系即可得出 .( )a k 1(k N*)，假设 ak+1=m，对 m 分类讨论，利用已知递推关系即可证明 .( )由条件可知

35、 an 1(n=1， 2， 3， ).由于 an中任何一项不等于 1，可得 an an+1(n=1， 2，3， ).分类讨论：若 a2n-1 a2n，则 bn=a2n-1. 若 a2n-1 a2n，则 bn=a2n.再利用递推关系即可证明 .答案： ( ) a1=2， a2=1， a2 a1 =1 2 1， a3=a1 a2 =2.同理可得： a4=a3 a2 =2， a5=a3 a4 =1.( )a k 1(k N*)，假设 ak+1=m，当 m=1时，依题意有 ak+2=ak+3= =1，当 m 1 时，

36、依题意有 ak+2=m， ak+3=1，当 m 1 时，依题意有 ak+2 1m ， ak+3 21m ， ak+4 1m ， ak+5 1m ， ak+6=1.由以上过程可知：若 ak 1(k N*)，在无穷数列 an中，第 k项后总存在数值为 1 的项，以此类推，数列 an中有无穷项为 1.( )证明：由条件可知 a n 1(n=1， 2， 3， )， an中任何一项不等于 1， an an+1(n=1， 2， 3， ). 若 a2n-1 a2n，则 bn=a2n-1. a

37、2n+1 2 12nnaa ， a2n-1 a2n+1.若 2 12 2nnaa 1，则 a 2n+2 2 12 2nnaa a2n-1，于是 a2n-1 a2n+2；若 2 12 2nnaa 1，则 a2n+2 22 12nnnaaa 22 12nnaa 22 1nnaa a2n a2n a2n-1，于是 a2n-1 a2n+2；若 2 12 2nnaa 1，则 a 2n+2=1，于题意不符； a2n-1 maxa2n+1， a2n+2，即 bn bn+1. 若 a2n-1 a2n，则 bn=a2n. a2n+1 22 1nnaa ， a2n a2n+1； a2n+2 22 1nnaa ， a2n a2n+2； a 2n maxa2n+1， a2n+2，即 bn bn+1.综上所述，对于一切正整数 n，总有 bn bn+1，所以数列 bn是单调递减数列 .

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