1、2014年 湖 南 省 益 阳 市 中 考 真 题 数 学一 、 选 择 题 (本 大 题 共 8 小 题 ， 每 小 题 4分 ， 共 32分 .在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只 有 一项 是 符 合 题 目 要 求 的 )1.(4分 )四 个 实 数 -2， 0， - ， 1 中 ， 最 大 的 实 数 是 ( )A.-2B.0C.-D.1解 析 ： -2 - 0 1， 四 个 实 数 中 ， 最 大 的 实 数 是 1.答 案 ： D. 2.(4分 )下 列 式 子 化 简 后 的 结 果 为 x6的 是 ( )A.x3+x3B.x3 x3C.(x3)3D.x12
2、x2解 析 ： A、 原 式 =2x3， 故 本 选 项 错 误 ；B、 原 式 =x6， 故 本 选 项 正 确 ；C、 原 式 =x 9， 故 本 选 项 错 误 ；D、 原 式 =x12-2=x10， 故 本 选 项 错 误 .答 案 ： B.3.(4分 )小 玲 在 一 次 班 会 中 参 与 知 识 抢 答 活 动 ， 现 有 语 文 题 6道 ， 数 学 题 5 道 ， 综 合 题 9 道 ，她 从 中 随 机 抽 取 1 道 ， 抽 中 数 学 题 的 概 率 是 ( )A.B.C. D.解 析 ： 小 玲 在 一 次 班 会 中 参 与 知 识 抢 答 活 动 ， 现 有 语
3、文 题 6道 ， 数 学 题 5道 ， 综 合 题 9道 ， 她 从 中 随 机 抽 取 1道 ， 抽 中 数 学 题 的 概 率 是 ： = .答 案 ： C.4.(4分 )下 列 图 形 中 ， 既 是 轴 对 称 图 形 又 是 中 心 对 称 图 形 的 是 ( )A. B.C.D.解 析 ： A、 此 图 形 旋 转 180 后 不 能 与 原 图 形 重 合 ， 此 图 形 不 是 中 心 对 称 图 形 ， 是 轴 对称 图 形 ， 故 此 选 项 错 误 ；B、 此 图 形 旋 转 180 后 不 能 与 原 图 形 重 合 ， 此 图 形 不 是 中 心 对 称 图 形 ，
4、是 轴 对 称 图 形 ， 故 此 选 项 错 误 ；C、 此 图 形 旋 转 180 后 能 与 原 图 形 重 合 ， 此 图 形 是 中 心 对 称 图 形 ， 也 是 轴 对 称 图 形 ， 故 此选 项 正 确 ；D、 此 图 形 旋 转 180 后 能 与 原 图 形 重 合 ， 此 图 形 是 中 心 对 称 图 形 ， 不 是 轴 对 称 图 形 ，故 此 选 项 错 误 .答 案 ： C.5.(4分 )一 元 二 次 方 程 x 2-2x+m=0 总 有 实 数 根 ， 则 m 应 满 足 的 条 件 是 ( )A.m 1B.m=1C.m 1D.m 1解 析 ： 方 程 x2
5、-2x+m=0总 有 实 数 根 ， 0， 即 4-4m 0， -4m -4， m 1.答 案 ： D.6.(4分 )正 比 例 函 数 y=6x的 图 象 与 反 比 例 函 数 y= 的 图 象 的 交 点 位 于 ( )A.第 一 象 限B.第 二 象 限 C.第 三 象 限D.第 一 、 三 象 限解 析 ： 解 方 程 组 得 或 ，所 以 正 比 例 函 数 y=6x的 图 象 与 反 比 例 函 数 y= 的 图 象 的 交 点 坐 标 为 (1， 6)， (-1， -6).答 案 ： D. 7.(4分 )如 图 ， 平 行 四 边 形 ABCD中 ， E， F 是 对 角 线
6、BD 上 的 两 点 ， 如 果 添 加 一 个 条 件 使 ABE CDF， 则 添 加 的 条 件 是 ( )A.AE=CFB.BE=FDC.BF=DED. 1= 2解 析 ： A、 当 AE=CF 无 法 得 出 ABE CDF， 故 此 选 项 符 合 题 意 ； B、 当 BE=FD， 平 行 四 边 形 ABCD中 ， AB=CD， ABE= CDF，在 ABE和 CDF中 ， ABE CDF(SAS)， 故 此 选 项 错 误 ；C、 当 BF=ED， BE=DF， 平 行 四 边 形 ABCD中 ， AB=CD， ABE= CDF，在 ABE和 CDF中 ， ABE CDF(S
7、AS)， 故 此 选 项 错 误 ；D、 当 1= 2， 平 行 四 边 形 ABCD中 ， AB=CD， ABE= CDF，在 ABE和 CDF中 ， ABE CDF(ASA)， 故 此 选 项 错 误 ；答 案 ： A. 8.(4分 )如 图 ， 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy中 ， 半 径 为 2的 P 的 圆 心 P 的 坐 标 为 (-3， 0)， 将 P 沿 x 轴 正 方 向 平 移 ， 使 P 与 y 轴 相 切 ， 则 平 移 的 距 离 为 ( )A.1B.1 或 5C.3D.5 解 析 ： 当 P 位 于 y轴 的 左 侧 且 与 y 轴 相 切 时 ， 平 移
8、的 距 离 为 1；当 P位 于 y 轴 的 右 侧 且 与 y轴 相 切 时 ， 平 移 的 距 离 为 5.答 案 ： B.二 、 填 空 题 (本 大 题 共 5 小 题 ， 每 小 题 4 分 ， 共 20分 .把 答 案 填 在 答 题 卡 中 对 应 题 号 后 的 横线 上 )9.(4分 )若 x2-9=(x-3)(x+a)， 则 a= .解 析 ： x 2-9=(x+3)(x-3)=(x-3)(x+a)， a=3.答 案 ： 3.10.(4分 )分 式 方 程 = 的 解 为 .解 析 ： 去 分 母 得 ： 4x=3x-9，解 得 ： x=-9，经 检 验 x=-9是 分 式
9、 方 程 的 解 .答 案 ： x=-9.11.(4分 )小 斌 所 在 的 课 外 活 动 小 组 在 大 课 间 活 动 中 练 习 立 定 跳 远 ， 成 绩 如 下 (单 位 ： 米 )：1.96， 2.16， 2.04， 2.20， 1.98， 2.22， 2.32， 则 这 组 数 据 的 中 位 数 是 米 . 解 析 ： 这 组 数 据 按 照 从 小 到 大 的 顺 序 排 列 为 ： 1.96， 1.98， 2.04， 2.16， 2.20， 2.22， 2.32，则 中 位 数 为 ： 2.16.答 案 ： 2.16.12.(4分 )小 明 放 学 后 步 行 回 家 ，
10、 他 离 家 的 路 程 s(米 )与 步 行 时 间 t(分 钟 )的 函 数 图 象 如 图 所示 ， 则 他 步 行 回 家 的 平 均 速 度 是 米 /分 钟 . 解 析 ： 由 图 知 ， 他 离 家 的 路 程 为 1600 米 ， 步 行 时 间 为 20分 钟 ，则 他 步 行 回 家 的 平 均 速 度 是 ： 1600 20=80(米 /分 钟 )，答 案 ： 80.13.(4分 )如 图 ， 将 等 边 ABC 绕 顶 点 A 顺 时 针 方 向 旋 转 ， 使 边 AB 与 AC 重 合 得 ACD， BC的中 点 E的 对 应 点 为 F， 则 EAF的 度 数 是
11、 . 解 析 ： 将 等 边 ABC绕 顶 点 A 顺 时 针 方 向 旋 转 ， 使 边 AB与 AC重 合 得 ACD， BC的 中 点 E的 对 应 点 为 F， 旋 转 角 为 60 ， E， F是 对 应 点 ， 则 EAF的 度 数 为 ： 60 .答 案 ： 60 .三 、 解 答 题 (本 大 题 共 2 小 题 ， 每 小 题 6 分 ， 共 12分 )14.(6分 )计 算 ： |-3|+30- .解 析 ： 原 式 第 一 项 利 用 绝 对 值 的 代 数 意 义 化 简 ， 第 二 项 利 用 零 指 数 幂 法 则 计 算 ， 最 后 一 项 利用 立 方 根 定
12、义 化 简 ， 计 算 即 可 得 到 结 果 .答 案 ： 原 式 =3+1-3=1.15.(6分 )如 图 ， EF BC， AC 平 分 BAF， B=80 .求 C的 度 数 . 解 析 ： 根 据 两 直 线 平 行 ， 同 旁 内 角 互 补 求 出 BAF， 再 根 据 角 平 分 线 的 定 义 求 出 CAF， 然 后根 据 两 直 线 平 行 ， 内 错 角 相 等 解 答 .答 案 ： EF BC， BAF=180 - B=100 ， AC 平 分 BAF， CAF= BAF=50 ， EF BC， C= CAF=50 .四 、 解 答 题 (本 大 题 共 3 小 题
13、， 每 小 题 8 分 ， 共 24分 )16.(8分 )先 化 简 ， 再 求 值 ： ( +2)(x-2)+(x-1) 2， 其 中 x= .解 析 ： 原 式 第 一 项 利 用 乘 法 分 配 律 计 算 ， 第 二 项 利 用 完 全 平 方 公 式 展 开 ， 去 括 号 合 并 得 到 最简 结 果 ， 将 x 的 值 代 入 计 算 即 可 求 出 值 .答 案 ： 原 式 =1+2x-4+x2-2x+1=x2-2，当 x= 时 ， 原 式 =3-2=1.17.(8分 )某 校 为 了 开 阔 学 生 的 视 野 ， 积 极 组 织 学 生 参 加 课 外 读 书 活 动 .“
14、 放 飞 梦 想 ” 读 书 小组 协 助 老 师 随 机 抽 取 本 校 的 部 分 学 生 ， 调 查 他 们 最 喜 爱 的 图 书 类 别 (图 书 分 为 文 学 类 、 艺 体类 、 科 普 类 、 其 他 等 四 类 )， 并 将 调 查 结 果 绘 制 成 如 下 两 幅 不 完 整 的 统 计 图 ， 请 你 结 合 图 中的 信 息 解 答 下 列 问 题 ：(1)求 被 调 查 的 学 生 人 数 ； (2)补 全 条 形 统 计 图 ；(3)已 知 该 校 有 1200名 学 生 ， 估 计 全 校 最 喜 爱 文 学 类 图 书 的 学 生 有 多 少 人 ？ 解 析
15、 ： (1)利 用 科 普 类 的 人 数 以 及 所 占 百 分 比 ， 即 可 求 出 被 调 查 的 学 生 人 数 ；(2)利 用 (1)中 所 求 得 出 喜 欢 艺 体 类 的 学 生 数 进 而 画 出 图 形 即 可 ；(3)首 先 求 出 样 本 中 喜 爱 文 学 类 图 书 所 占 百 分 比 ， 进 而 估 计 全 校 最 喜 爱 文 学 类 图 书 的 学 生 数 .答 案 ： (1)被 调 查 的 学 生 人 数 为 ： 12 20%=60(人 )；(2)喜 欢 艺 体 类 的 学 生 数 为 ： 60-24-12-16=8(人 )， 如 图 所 示 ： ；(3)全
16、 校 最 喜 爱 文 学 类 图 书 的 学 生 约 有 ： 1200 =480(人 ).18.(8分 )“ 中 国 -益 阳 ” 网 上 消 息 ， 益 阳 市 为 了 改 善 市 区 交 通 状 况 ， 计 划 在 康 富 路 的 北 端 修建 通 往 资 江 北 岸 的 新 大 桥 .如 图 ， 新 大 桥 的 两 端 位 于 A、 B两 点 ， 小 张 为 了 测 量 A、 B 之 间 的河 宽 ， 在 垂 直 于 新 大 桥 AB的 直 线 型 道 路 l上 测 得 如 下 数 据 ： BDA=76.1 ， BCA=68.2 ，CD=82米 .求 AB的 长 (精 确 到 0.1米
17、).参 考 数 据 ：sin76.1 0.97， cos76.1 0.24， tan76.1 4.0；sin68.2 0.93， cos68.2 0.37， tan68.2 2.5. 解 析 ： 设 AD=x米 ， 则 AC=(x+82)米 .在 Rt ABC中 ， 根 据 三 角 函 数 得 到 AB=2.5(x+82)， 在Rt ABD中 ， 根 据 三 角 函 数 得 到 AB=4x， 依 此 得 到 关 于 x 的 方 程 ， 进 一 步 即 可 求 解 .答 案 ： 设 AD=x 米 ， 则 AC=(x+82)米 .在 Rt ABC中 ， tan BCA= ， AB=AC tan B
18、CA=2.5(x+82).在 Rt ABD中 ， tan BDA= ， AB=ADtan BDA=4x. 2.5(x+82)=4x， 解 得 x= . AB=4x=4 546.7.答 ： AB的 长 约 为 546.7米 . 五 、 解 答 题 (本 大 题 共 2 小 题 ， 每 小 题 10分 ， 共 20 分 )19.(10分 )某 电 器 超 市 销 售 每 台 进 价 分 别 为 200元 、 170元 的 A、 B 两 种 型 号 的 电 风 扇 ， 下 表是 近 两 周 的 销 售 情 况 ：(进 价 、 售 价 均 保 持 不 变 ， 利 润 =销 售 收 入 -进 货 成 本
19、 )(1)求 A、 B两 种 型 号 的 电 风 扇 的 销 售 单 价 ；(2)若 超 市 准 备 用 不 多 于 5400元 的 金 额 再 采 购 这 两 种 型 号 的 电 风 扇 共 30台 ， 求 A 种 型 号 的电 风 扇 最 多 能 采 购 多 少 台 ？(3)在 (2)的 条 件 下 ， 超 市 销 售 完 这 30台 电 风 扇 能 否 实 现 利 润 为 1400元 的 目 标 ？ 若 能 ， 请 给 出 相 应 的 采 购 方 案 ； 若 不 能 ， 请 说 明 理 由 .解 析 ： (1)设 A、 B 两 种 型 号 电 风 扇 的 销 售 单 价 分 别 为 x
20、元 、 y元 ， 根 据 3 台 A 型 号 5 台 B 型号 的 电 扇 收 入 1800 元 ， 4台 A型 号 10台 B型 号 的 电 扇 收 入 3100元 ， 列 方 程 组 求 解 ；(2)设 采 购 A 种 型 号 电 风 扇 a 台 ， 则 采 购 B 种 型 号 电 风 扇 (30-a)台 ， 根 据 金 额 不 多 余 5400元 ， 列 不 等 式 求 解 ；(3)设 利 润 为 1400 元 ， 列 方 程 求 出 a 的 值 为 20， 不 符 合 (2)的 条 件 ， 可 知 不 能 实 现 目 标 .答 案 ： (1)设 A、 B 两 种 型 号 电 风 扇 的
21、 销 售 单 价 分 别 为 x 元 、 y元 ， 依 题 意 得 ： ， 解 得 ： ，答 ： A、 B 两 种 型 号 电 风 扇 的 销 售 单 价 分 别 为 250元 、 210元 ；(2)设 采 购 A 种 型 号 电 风 扇 a 台 ， 则 采 购 B 种 型 号 电 风 扇 (30-a)台 .依 题 意 得 ： 200a+170(30-a) 5400， 解 得 ： a 10.答 ： 超 市 最 多 采 购 A种 型 号 电 风 扇 10 台 时 ， 采 购 金 额 不 多 于 5400元 ；(3)依 题 意 有 ： (250-200)a+(210-170)(30-a)=1400
22、， 解 得 ： a=20， a 10， 在 (2)的 条 件 下 超 市 不 能 实 现 利 润 1400 元 的 目 标 .20.(10分 )如 图 ， 直 线 y=-3x+3与 x 轴 、 y 轴 分 别 交 于 点 A、 B， 抛 物 线 y=a(x-2) 2+k 经 过 点A、 B， 并 与 X 轴 交 于 另 一 点 C， 其 顶 点 为 P.(1)求 a， k的 值 ； (2)抛 物 线 的 对 称 轴 上 有 一 点 Q， 使 ABQ是 以 AB为 底 边 的 等 腰 三 角 形 ， 求 Q 点 的 坐 标 ；(3)在 抛 物 线 及 其 对 称 轴 上 分 别 取 点 M、 N
23、， 使 以 A， C， M， N 为 顶 点 的 四 边 形 为 正 方 形 ， 求此 正 方 形 的 边 长 .解 析 ： (1)先 求 出 直 线 y=-3x+3与 x 轴 交 点 A， 与 y 轴 交 点 B 的 坐 标 ， 再 将 A、 B 两 点 坐 标 代入 y=a(x-2)2+k， 得 到 关 于 a， k 的 二 元 一 次 方 程 组 ， 解 方 程 组 即 可 求 解 ；(2)设 Q 点 的 坐 标 为 (2， m)， 对 称 轴 x=2交 x 轴 于 点 F， 过 点 B作 BE垂 直 于 直 线 x=2于 点 E.在 Rt AQF与 Rt BQE中 ， 用 勾 股 定
24、理 分 别 表 示 出 AQ2=AF2+QF2=1+m2， BQ2=BE2+EQ2=4+(3-m)2，由 AQ=BQ， 得 到 方 程 1+m 2=4+(3-m)2， 解 方 程 求 出 m=2， 即 可 求 得 Q点 的 坐 标 ；(3)当 点 N 在 对 称 轴 上 时 ， 由 NC 与 AC不 垂 直 ， 得 出 AC 为 正 方 形 的 对 角 线 ， 根 据 抛 物 线 的 对称 性 及 正 方 形 的 性 质 ， 得 到 M点 与 顶 点 P(2， -1)重 合 ， N点 为 点 P关 于 x轴 的 对 称 点 ， 此 时 ，MF=NF=AF=CF=1， 且 AC MN， 则 四
25、边 形 AMCN为 正 方 形 ， 在 Rt AFN中 根 据 勾 股 定 理 即 可 求出 正 方 形 的 边 长 .答 案 ： (1) 直 线 y=-3x+3与 x 轴 、 y 轴 分 别 交 于 点 A、 B， A(1， 0)， B(0， 3).又 抛 物 线 抛 物 线 y=a(x-2)2+k经 过 点 A(1， 0)， B(0， 3)， ， 解 得 ， 故 a， k 的 值 分 别 为 1， -1；(2)设 Q 点 的 坐 标 为 (2， m)， 对 称 轴 x=2交 x 轴 于 点 F， 过 点 B作 BE垂 直 于 直 线 x=2于 点 E. 在 Rt AQF中 ， AQ2=AF
26、2+QF2=1+m2，在 Rt BQE中 ， BQ2=BE2+EQ2=4+(3-m)2， AQ=BQ， 1+m2=4+(3-m)2， m=2， Q 点 的 坐 标 为 (2， 2)；(3)当 点 N 在 对 称 轴 上 时 ， NC与 AC不 垂 直 ， 所 以 AC应 为 正 方 形 的 对 角 线 . 又 对 称 轴 x=2是 AC的 中 垂 线 ， M 点 与 顶 点 P(2， -1)重 合 ， N 点 为 点 P 关 于 x轴 的 对 称 点 ， 其 坐 标 为 (2， 1).此 时 ， MF=NF=AF=CF=1， 且 AC MN， 四 边 形 AMCN为 正 方 形 .在 Rt A
27、FN中 ， AN= = ， 即 正 方 形 的 边 长 为 .六 、 解 答 题 (本 题 满 分 12分 )21.(12分 )如 图 ， 在 直 角 梯 形 ABCD中 ， AB CD， AD AB， B=60 ， AB=10， BC=4， 点 P 沿线 段 AB从 点 A 向 点 B 运 动 ， 设 AP=x. (1)求 AD 的 长 ；(2)点 P 在 运 动 过 程 中 ， 是 否 存 在 以 A、 P、 D 为 顶 点 的 三 角 形 与 以 P、 C、 B 为 顶 点 的 三 角 形相 似 ？ 若 存 在 ， 求 出 x 的 值 ； 若 不 存 在 ， 请 说 明 理 由 ；(3)
28、设 ADP与 PCB的 外 接 圆 的 面 积 分 别 为 S1、 S2， 若 S=S1+S2， 求 S 的 最 小 值 .解 析 ： (1)过 点 C 作 CE AB于 E， 根 据 CE=BC sin B 求 出 CE， 再 根 据 AD=CE即 可 求 出 AD； (2)若 以 A、 P、 D 为 顶 点 的 三 角 形 与 以 P、 C、 B 为 顶 点 的 三 角 形 相 似 ， 则 PCB必 有 一 个 角是 直 角 .分 两 种 情 况 讨 论 ： 当 PCB=90 时 ， 求 出 AP， 再 根 据 在 Rt ADP中 DPA=60 ，得 出 DPA= B， 从 而 得 到 A
29、DP CPB， 当 CPB=90 时 ， 求 出 AP=3， 根 据 且 ， 得 出 PCB与 ADP 不 相 似 .(3)先 求 出 S 1= ， 再 分 两 种 情 况 讨 论 ： 当 2 x 10时 ， 作 BC 的 垂 直 平 分 线 交BC于 H， 交 AB于 G； 作 PB的 垂 直 平 分 线 交 PB于 N， 交 GH 于 M， 连 结 BM， 在 Rt GBH 中 求出 BG、 BN、 GN， 在 Rt GMN中 ， 求 出 MN= ( x-1)， 在 Rt BMN中 ， 求 出 BM2= x2- x+ ，最 后 根 据 S1= BM2代 入 计 算 即 可 . 当 0 x
30、2 时 ， S2= ( x2- x+ )， 最 后 根 据S=S 1+S2= (x- )2+ 即 可 得 出 S 的 最 小 值 .答 案 ： (1)过 点 C 作 CE AB 于 E，在 Rt BCE中 ， B=60 ， BC=4， CE=BC sin B=4 =2 ， AD=CE=2 .(2)存 在 .若 以 A、 P、 D 为 顶 点 的 三 角 形 与 以 P、 C、 B为 顶 点 的 三 角 形 相 似 ， 则 PCB必 有 一 个 角 是 直 角 . 当 PCB=90 时 ， 在 Rt PCB中 ， BC=4， B=60 ， PB=8， AP=AB-PB=2.又 由 (1)知 AD
31、=2 ， 在 Rt ADP中 ， tan DPA= = = ， DPA=60 ， DPA= CPB， ADP CPB， 存 在 ADP与 CPB相 似 ， 此 时 x=2. 当 CPB=90 时 ， 在 Rt PCB中 ， B=60 ， BC=4， PB=2， PC=2 ， AP=3.则 且 ， 此 时 PCB与 ADP不 相 似 .(3)如 图 ， 因 为 Rt ADP 外 接 圆 的 直 径 为 斜 边 PD， 则 S 1= ( )2= ， 当 2 x 10 时 ， 作 BC的 垂 直 平 分 线 交 BC于 H， 交 AB于 G；作 PB 的 垂 直 平 分 线 交 PB于 N， 交 GH 于 M， 连 结 BM.则 BM为 PCB外 接 圆 的 半 径 . 在 Rt GBH中 ， BH= BC=2， MGB=30 ， BG=4， BN= PB= (10-x)=5- x， GN=BG-BN= x-1.在 Rt GMN中 ， MN=GN tan MGN= ( x-1).在 Rt BMN中 ， BM2=MN2+BN2= x2- x+ ， S1= BM2= ( x2- x+ ). 当 0 x 2时 ， S 2= ( x2- x+ )也 成 立 ， S=S1+S2= + ( x2- x+ )= (x- )2+ . 当 x= 时 ， S=S1+S2取 得 最 小 值 .
