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2014年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学理及答案解析.docx

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2014年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学理及答案解析.docx

2、C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析：当 “ a=b=1” 时， “ (a+bi) 2=(1+i)2=2i” 成立，故 “ a=b=1” 是 “ (a+bi)2=2i” 的充分条件；当 “ (a+bi)2=a2-b2+2abi=2i” 时， “ a=b=1” 或 “ a=b=-1” ，故 “ a=b=1” 是 “ (a+bi)2=2i” 的不必要条件；综上所述， “ a=b=1” 是 “ (a+bi)2=2i” 的充分不必要条件；故选 A3.某几何体的三视图 (单位： cm)如

3、图所示，则此几何体的表面积是 ( ) A.90cm2B.129cm2C.132cm2D.138cm2解析：由三视图知：几何体是直三棱柱与直四棱柱的组合体，其中直三棱柱的侧棱长为 3，底面是直角边长分别为 3、 4的直角三角形，四棱柱的高为 6，底面为矩形，矩形的两相邻边长为 3 和 4，几何体的表面积S=2 4 6+3 6+3 3+2 3 4+2 3 4+(4+5) 3=48+18+9+24+12+27=138(

4、cm 2). 答案： D.4.为了得到函数 y=sin3x+cos3x 的图象，可以将函数 y= cos3x 的图象 ( )A.向右平移个单位B.向左平移个单位C.向右平移个单位D.向左平移个单位解析：函数 y=sin3x+cos3x= ，故只需将函数 y= cos3x的图象向右平移个单位，得到 y= = 的图象 .答案： C.5.在 (1+x)6(1+y)4的展开式中，记 xmyn项的系数为 f(m， n)，则 f(3， 0)+f(2，

5、1)+f(1， 2)+f(0，3)=( )A.45B.60C.120D.210解析： (1+x) 6(1+y)4的展开式中，含 x3y0的系数是： =20.f(3， 0)=20；含 x2y1的系数是 =60， f(2， 1)=60；含 x1y2的系数是 =36， f(1， 2)=36；含 x0y3的系数是 =4， f(0， 3)=4； f(3， 0)+f(2， 1)+f(1， 2)+f(0， 3)=120.答案： C.6.已知函数 f(x)=x 3+ax2+bx+c，其 0 f(-1)=f(-2)=f(-3) 3，则 ( )A.c 3B.

6、3 c 6C.6 c 9D.c 9解析：由 f(-1)=f(-2)=f(-3)得，解得，f(x)=x 3+6x2+11x+c，由 0 f(-1) 3，得 0 -1+6-11+ 3，即 6 c 9，故选 C. 7.在同一直角坐标系中，函数 f(x)=xa(x 0)， g(x)=logax 的图象可能是 ( )A. B.C. D.解析：当 0 a 1 时，函数 f(x)=xa(x 0)， g(x)=logax 的图象为：此时答案 D满足要求，当 a 1 时，函数 f(x)=xa(x 0)， g(x)=l

7、ogax 的图象为：无满足要求的答案，综上：故选 D8.记 maxx， y= ， minx， y= ，设，为平面向量，则 ( )A.min| + |， | - | min| |， | |B.min| + |， | - | min| |， | |C.max| + | 2， | - |2 | |2+| |2D.max| + |2， | - |2 | |2+| |2解析：对于选项 A，取，则由图形可知，根据勾股定理，结论不成立；对于选项 B，取，是非零的相等向量，

8、则不等式左边 min| + |， | - |= ，显然，不等式不成立；对于选项 C，取，是非零的相等向量，则不等式左边 max| + |2，| - |2=| + |2=4 ，而不等式右边 =| |2+| |2=2 ，显然不成立 .由排除法可知， D 选项正确 .答案： D.9.已知甲盒中仅有 1个球且为红球，乙盒中有 m个红球和 n 个蓝球 (m 3， n 3)，从乙盒中随机抽取 i(i=1， 2)个球放入甲盒中

9、.(a)放入 i 个球后，甲盒中含有红球的个数记为 i(i=1， 2)；(b)放入 i 个球后，从甲盒中取 1 个球是红球的概率记为 pi(i=1， 2).则 ( )A.p1 p2， E( 1) E( 2)B.p1 p2， E( 1) E( 2)C.p1 p2， E( 1) E( 2)D.p1 p2， E( 1) E( 2)解析：，，所以 P 1 P2；由已知 1的取值为 1、 2， 2的取值为 1、 2、 3，所以， = =，E( 1)-E( 2)= .答案： A10.设函数 f1(x

10、)=x2， f2(x)=2(x-x2)，，， i=0， 1， 2，，99.记 Ik=|fk(a1)-fk(a0)|+|fk(a2)-fk(a1)丨 + +|fk(a99)-fk(a98)|， k=1， 2， 3，则 ( )A.I 1 I2 I3B.I2 I1 I3C.I1 I3 I2D.I3 I2 I1 解析：由，故= =1，由，故 1，+= ，故 I 2 I1 I3，答案： B.二、填空题11.(4分 )在某程序框图如图所示，当输入 50时，则该程序运算后输出的结果是 . 解析：由程序框图

11、知：第一次循环 S=1， i=2；第二次循环 S=2 1+2=4， i=3；第三次循环 S=2 4+3=11， i=4；第四次循环 S=2 11+4=26， i=5；第五次循环 S=2 26+5=57， i=6，满足条件 S 50，跳出循环体，输出 i=6.答案： 6.12.(4分 )随机变量的取值为 0， 1， 2，若 P( =0)= ， E( )=1，则 D( )= .解析：设 P( =1)=p， P( =2)=q，则由已知得 p+q= ，，解得，，所以 .答案： 13.

12、(4分 )当实数 x， y 满足时， 1 ax+y 4 恒成立，则实数 a 的取值范围是 .解析：由约束条件作可行域如图，联立，解得 C(1， ).联立，解得 B(2， 1).在 x-y-1=0中取 y=0得 A(1， 0).要使 1 ax+y 4 恒成立，则，解得： 1 . 实数 a 的取值范围是 . 答案： .14.(4分 )在 8 张奖券中有一、二、三等奖各 1张，其余 5 张无奖 .将这 8 张奖券分配给 4 个人，每人 2

13、张，不同的获奖情况有种 (用数字作答 ).解析：分类讨论，一、二、三等奖，三个人获得，共有 =24种；一、二、三等奖，有 1 人获得 2 张， 1人获得 1张，共有 =36 种，共有 24+36=60 种 .答案： 60. 15.(4分 )设函数 f(x)= ，若 f(f(a) 2，则实数 a 的取值范围是 .解析：函数 f(x)= ，它的图象如图所示：由 f(f(a) 2，可得 f(a) -2.由 f(x)=-2，可得

14、-x2=-2，即 x= ，故当 f(f(a) 2 时，则实数 a 的取值范围是 a ，答案： (- ， .16.(4分 )设直线 x-3y+m=0(m 0)与双曲线 (a 0， b 0)的两条渐近线分别交于点 A， B.若点 P(m， 0)满足 |PA|=|PB|，则该双曲线的离心率是 .解析：双曲线 (a 0， b 0)的两条渐近线方程为 y= x，则与直线 x-3y+m=0联立，可得 A( ， )， B(- ， )， AB 中点坐标为 ( ， )，点 P(m，

15、0)满足 |PA|=|PB|， =-3， a=2b， = b， e= = .答案： .17.(4分 )如图，某人在垂直于水平地面 ABC的墙面前的点 A 处进行射击训练 .已知点 A 到墙面的距离为 AB，某目标点 P 沿墙面上的射线 CM移动，此人为了准确瞄准目标点 P，需计算由点 A观察点 P的仰角的大小 .若 AB=15cm， AC=25cm， BCM=30 ，则 tan 的最大值是 .(仰角为直线 AP 与平面 ABC所成角 )

16、解析： AB=15cm， AC=25cm， ABC=90 ， BC=20cm，过 P 作 PP BC，交 BC于 P ，连接 AP ，则 tan = ，设 BP =x，则 CP =20-x，由 BCM=30 ，得 PP =CP tan30 = (20-x)，在直角 ABP 中， AP = ， tan = ，令 y= ，则函数在 x 0， 20单调递减， x=0时，取得最大值为 = .答案： .三、解答题18.(14分 )在 ABC 中，内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c.已知 a b， c

17、= ，cos 2A-cos2B= sinAcosA- sinBcosB.( )求角 C的大小；( )若 sinA= ，求 ABC 的面积 .解析： ( ) ABC中，由条件利用二倍角公式化简可得-2sin(A+B)sin(A-B)=2 cos(A+B)sin(A-B).求得 tan(A+B)的值，可得 A+B的值，从而求得 C的值 .( )由 sinA= 求得 cosA的值 .再由正弦定理求得 a，再求得 sinB=sin(A+B)-A的值，从而求得 ABC的面积为的值 .答案

18、： ( ) ABC中， a b， c= ， cos 2A-cos2B= sinAcosA- sinBcosB， - = sin2A- sin2B，即 cos2A-cos2B= sin2A- sin2B，即 -2sin(A+B)sin(A-B)=2 cos(A+B)sin(A-B). a b， A B， sin(A-B) 0， tan(A+B)=- ， A+B= ， C= .( ) sinA= ， C= ， A ，或 A (舍去 )， cosA= = .由正弦定理可得， = ，即 = ， a= . sinB=sin(A+B)-A=sin(A+B)cosA-cos(A+B

19、)sinA= -(- ) = ， ABC的面积为 = = .19.(14分 )已知数列 an和 bn满足 a1a2a3 an= (n N*).若 an为等比数列，且a 1=2， b3=6+b2.( )求 an和 bn；( )设 cn= (n N*).记数列 cn的前 n项和为 Sn.(i)求 Sn； (ii)求正整数 k，使得对任意 n N*均有 Sk Sn.解析： ( )先利用前 n 项积与前 (n-1)项积的关系，得到等比数列 an的第三项的值，结合首项的值，求出通项

20、 an，然后现利用条件求出通项 bn；( )(i)利用数列特征进行分组求和，一组用等比数列求和公式，另一组用裂项法求和，得出本小题结论； (ii)本小题可以采用猜想的方法，得到结论，再加以证明 .答案： ( ) a1a2a3 an= (n N*) ，当 n 2， n N *时，，由知：，令 n=3，则有 . b3=6+b2， a3=8. a n为等比数列，且 a1=2， an的公比为 q，则 =4，由题意

21、知 an 0， q 0， q=2. (n N*).又由 a1a2a3 an= (n N*)得：， b n=n(n+1)(n N*).( )(i) cn= = = . Sn=c1+c2+c3+ +cn= ； (ii)因为 c1=0， c2 0， c3 0， c4 0；当 n 5 时，，而 = 0，得，所以，当 n 5 时， cn 0，综上，对任意 n N*恒有 S4 Sn，故 k=4.20.(15分 )如图，在四棱锥 A-BCDE中，平面 ABC 平面 BCDE， CDE= BED=90 ， AB=CD=2，DE=BE=1， AC= .

22、( )证明： DE 平面 ACD；( )求二面角 B-AD-E的大小 .解析： ( )依题意，易证 AC 平面 BCDE，于是可得 AC DE，又 DE DC，从而 DE 平面 ACD；( )作 BF AD，与 AD 交于点 F，过点 F作 FG DE，与 AB交于点 G，连接 BG，由 ( )知 DE AD，则 FG AD，所以 BFG 就是二面角 B-AD-E的平面角，利用题中的数据，解三角形，可求得BF= ， AF= AD，从而 GF= ， cos BFG= =

23、，从而可求得答案 .答案： ( )在直角梯形 BCDE 中，由 DE=BE=1， CD=2，得 BD=BC= ，由 AC= ， AB=2得 AB 2=AC2+BC2，即 AC BC，又平面 ABC 平面 BCDE，从而 AC 平面 BCDE，所以 AC DE，又 DE DC，从而 DE 平面 ACD；作 BF AD，与 AD交于点 F，过点 F 作 FG DE，与 AB交于点 G，连接 BG，由 ( )知 DE AD，则 FG AD，所以 BFG就是二面角 B-AD-E的平面角，在直角梯

24、形 BCDE中，由 CD2=BC2+BD2，得 BD BC，又平面 ABC 平面 BCDE，得 BD 平面 ABC，从而 BD AB，由于 AC 平面 BCDE，得 AC CD.在 Rt ACD中，由 DC=2， AC= ，得 AD= ；在 Rt AED中，由 ED=1， AD= 得 AE= ；在 Rt ABD中，由 BD= ， AB=2， AD= 得 BF= ， AF= AD，从而 GF= ，在 ABE， ABG中，利用余弦定理分别可得 cos BAE= ， BC= .在 BFG中， cos BFG= = ，所以，

25、BFG= ，二面角 B-AD-E的大小为 .21.(15分 )如图，设椭圆 C： (a b 0)，动直线 l 与椭圆 C 只有一个公共点 P，且点 P在第一象限 . ( )已知直线 l的斜率为 k，用 a， b， k 表示点 P 的坐标；( )若过原点 O的直线 l1与 l 垂直，证明：点 P 到直线 l1的距离的最大值为 a-b.解析： ( )设直线 l的方程为 y=kx+m(k 0)，由，消去 y 得(b2+a2k2)x2+2a2kmx+a2m2-a2

26、b2=0，利用 =0，可求得在第一象限中点 P 的坐标；( )由于直线 l 1过原点 O 且与直线 l垂直，设直线 l1的方程为 x+ky=0，利用点到直线间的距离公式，可求得点 P 到直线 l1的距离 d= ，整理即可证得点 P到直线 l1的距离的最大值为 a-b.答案： ( )设直线 l的方程为 y=kx+m(k 0)，由，消去 y 得(b 2+a2k2)x2+2a2kmx+a2m2-a2b2=0.由于直线 l与椭圆 C只有

27、一个公共点 P，故 =0，即 b2-m2+a2k2=0，解得点 P的坐标为(- ， )，又点 P在第一象限，故点 P 的坐标为 P( ， ). ( )由于直线 l1过原点 O 且与直线 l 垂直，故直线 l1的方程为 x+ky=0，所以点 P 到直线 l1的距离 d= ，整理得： d= ，因为 a 2k2+ 2ab，所以 =a-b，当且仅当 k2= 时等号成立 .所以，点 P 到直线 l1的距离的最大值为 a-b.22.(14分 )已知函数 f

28、(x)=x3+3|x-a|(a R).( )若 f(x)在 -1， 1上的最大值和最小值分别记为 M(a)， m(a)，求 M(a)-m(a)；( )设 b R，若 f(x)+b 2 4对 x -1， 1恒成立，求 3a+b的取值范围 .解析： ( )利用分段函数，结合 -1， 1，分类讨论，即可求 M(a)-m(a)；( )令 h(x)=f(x)+b，则 h(x)= ， h (x)= ，则f(x)+b2 4 对 x -1， 1恒成立，转化为 -2 h(x) 2对 x -1， 1恒成立，分

29、类讨论，即可求 3a+b 的取值范围 .答案： ( ) f(x)=x 3+3|x-a|= ， f (x)= ， a -1时， -1 x 1， x a， f(x)在 (-1， 1)上是增函数， M(a)=f(1)=4-3a， m(a)=f(-1)=-4-3a， M(a)-m(a)=8； -1 a 1时， x (a， 1)， f(x)=x3+3x-3a，在 (a， 1)上是增函数； x (-1， a)， f(x)=x3-3x-3a，在 (-1， a)上是减函数， M(a)=maxf(1)， f(-1)， m(a)=f(a)=a3， f(1)

30、-f(-1)=-6a+2， -1 a 时， M(a)-m(a)=-a 3-3a+4； a 1时， M(a)-m(a)=-a3+3a+2； a 1时，有 x a， f(x)在 (-1， 1)上是减函数， M(a)=f(-1)=2+3a， m(a)=f(1)=-2+3a， M(a)-m(a)=4；( )令 h(x)=f(x)+b，则 h(x)= ， h (x)= ， f(x)+b 2 4对 x -1， 1恒成立， -2 h(x) 2对 x -1， 1恒成立，由 ( )知， a -1时， h(x)在 (-1， 1)上是增函数，最大值 h(1)=4-

31、3a+b，最小值 h(-1)=-4-3a+b，则-4-3a+b -2且 4-3a+b 2 矛盾； -1 a 时，最小值 h(a)=a3+b，最大值 h(1)=4-3a+b， a3+b -2且 4-3a+b 2，令 t(a)=-2-a3+3a，则 t (a)=3-3a2 0， t(a)在 (0， )上是增函数， t(a) t(0)=-2， -2 3a+b 0； a 1 时，最小值 h(a)=a 3+b，最大值 h(-1)=3a+b+2，则 a3+b -2且 3a+b+2 2， - 3a+b 0； a 1时，最大值 h(-1)=3a+b+2，最小值 h(1)=3a+b-2，则 3a+b-2 -2 且 3a+b+2 2， 3a+b=0.综上， 3a+b的取值范围是 -2 3a+b 0.

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