2014年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学文及答案解析.docx

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2014年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学文及答案解析.docx

2、为 AC， BD，则 “ 四边形 ABCD为菱形 ” 是 “ AC BD” 的( )A.充分不不要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析：四边形 ABCD 的两条对角线为 AC， BD，则 “ 四边形 ABCD为菱形 ” 那么菱形的对角线垂直，即 “ 四边形 ABCD 为菱形 ” “ AC BD” ，但是 “ AC BD” 推不出 “ 四边形 ABCD 为菱形 ” ，例如对角线垂直的等腰梯形，或筝形

3、四边形；四边形 ABCD 的两条对角线为 AC， BD，则 “ 四边形 ABCD为菱形 ” 是 “ AC BD” 的充分不不要条件 .答案： A. 3.(5分 )某几何体的三视图 (单位： cm)如图所示，则该几何体的体积是 ( )A.72cm 3B.90cm3C.108cm3D.138cm3解析：由三视图可知：原几何体是由长方体与一个三棱柱组成，长方体的长宽高分别是： 6，4， 3；三棱柱的底面直角三角形

4、的直角边长是 4， 3；高是 3；其几何体的体积为： V=3 =90(cm3).答案： B.4.(5分 )为了得到函数 y=sin3x+cos3x的图象，可以将函数 y= cos3x的图象 ( )A.向右平移个单位B.向右平移个单位C.向左平移个单位D.向左平移个单位解析：函数 y=sin3x+cos3x= ，故只需将函数y= cos3x= 的图象向右平移个单位，得到y= = 的图象 .答案： A.5.(5分 )已知圆 x

5、 2+y2+2x-2y+a=0 截直线 x+y+2=0所得弦的长度为 4，则实数 a 的值是 ( )A.-2B.-4C.-6D.-8解析：圆 x2+y2+2x-2y+a=0 即 (x+1)2+(y-1)2=2-a，故弦心距 d= = .再由弦长公式可得 2-a=2+4， a=-4，答案： B.6.(5分 )设 m、 n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则 ( )A.若 m n， n ，则 m B.若 m ，，则 m C.若 m ， n ， n ，则 m D.若 m n， n ，，则 m

6、解析： A.若 m n， n ，则 m 或 m 或 m ，故 A错误 .B.若 m ，，则 m 或 m 或 m ，故 B错误 .C.若 m ， n ， n ，则 m ，正确 .D.若 m n， n ，，则 m 或 m 或 m ，故 D 错误 .答案： C7.已知函数 f(x)=x 3+ax2+bx+c，其 0 f(-1)=f(-2)=f(-3) 3，则 ( )A.c 3 B.3 c 6C.6 c 9D.c 9解析：由 f(-1)=f(-2)=f(-3)得，解得，f(x)=x3+6x2+11x+c，由 0 f(-1) 3，得 0 -

7、1+6-11+ 3，即 6 c 9，答案： C.8.在同一直角坐标系中，函数 f(x)=x a(x 0)， g(x)=logax 的图象可能是 ( )A. B.C. D.解析：当 0 a 1 时，函数 f(x)=xa(x 0)， g(x)=logax 的图象为：此时答案 D满足要求，当 a 1 时，函数 f(x)=xa(x 0)， g(x)=logax 的图象为：无满足要求的答案，答案： D9.(5分 )设为两个非零向量，的夹角，已知对任意实数 t

9、10.(5分 )如图，某人在垂直于水平地面 ABC的墙面前的点 A 处进行射击训练，已知点 A 到墙面的距离为 AB，某目标点 P沿墙面上的射线 CM移动，此人为了准确瞄准目标点 P，需计算由点 A 观察点 P 的仰角的大小 (仰角为直线 AP与平面 ABC所成的角 ).若 AB=15m， AC=25m， BCM=30 ，则 tan 的最大角是 ( )A.B. C.D.解析：在 Rt ABC中， AB=15m， AC=25m，

10、根据勾股定理得： BC= =20m，过 P 作 PP BC，交 BC于点 P ，连接 AP ， tan = ，设 BP =m，则 CP =20-m， BCM=30 ， tan = = ，当 m=0时，取得最大值 = ，则 tan 的最大值为 = .答案： C.二、填空题 (本大题共 7 小题，每小题 4 分，满分 28分 )11.(4分 )已知 i是虚数单位，计算 = . 解析： = = =- - i，答案： - - i.12.(4分 )若实数 x， y 满足，则 x+y的取

11、值范围是 .解析：作出不等式组对应的平面区域如图： (阴影部分 ABC). 设 z=x+y 得 y=-x+z，平移直线 y=-x+z，由图象可知当直线 y=-x+z经过点 A(1， 0)时，直线 y=-x+z的截距最小，此时 z 最小，为 z=1+0=1，当直线 y=-x+z 经过点 B)时，直线 y=-x+z的截距最大，此时 z 最大，由，解得，即 B(2， 1)代入目标函数 z=x+y得 z=1+2=3. 故 1 z 3.答案： 1， 31

12、3.(4分 )在某程序框图如图所示，当输入 50时，则该程序运算后输出的结果是 . 解析：由程序框图知：第一次循环 S=1， i=2；第二次循环 S=2 1+2=4， i=3；第三次循环 S=2 4+3=11， i=4；第四次循环 S=2 11+4=26， i=5；第五次循环 S=2 26+5=57， i=6，满足条件 S 50，跳出循环体，输出 i=6.答案： 6.14.(4分 )在 3 张奖券中有一、二等奖各 1张，另 1 张

13、无奖 .甲、乙两人各抽取 1张，两人都中奖的概率是 .解析：设一、二等奖各用 A， B 表示，另 1 张无奖用 C 表示，甲、乙两人各抽取 1 张的基本事件有 AB， AC， BA， BC， CA， CB 共 6 个，其中两人都中奖的有 AB， BA共 2个，答案： P= = .15.(4分 )设函数 f(x)= ，若 f(f(a)=2，则 a= .解析：设 t=f(a)，则 f(t)=2，若 t 0，则 f(t)=-t2=2，此时不成立，

14、若 t 0，由 f(t)=2得， t2+2t+2=2，即 t2+2t=0，解得 t=0或 t=-2，即 f(a)=0 或 f(a)=-2，若 a 0，则 f(a)=-a2=0，此时不成立，或 f(a)=-a2=-2，即 a2=2，解得 a= .若 a 0，由 f(a)=0得， a2+2a+2=0，此时无解，由 f(a)=-2得， a2+2a+4=0，此时无解，综上： a= ，答案： .16.(4分 )已知实数 a， b， c 满足 a+b+c=0， a 2+b2+c2=1，则 a 的最大值是 .解析： a+b

15、+c=0， a2+b2+c2=1， b+c=-a， b2+c2=1-a2， bc= (2bc)= (b+c)2-(b2+c2)=a2- b、 c是方程： x2+ax+a2- =0 的两个实数根， 0 a 2-4(a2- ) 0 即 a2 - a 即 a 的最大值为答案： .17.(4分 )设直线 x-3y+m=0(m 0)与双曲线 (a 0， b 0)的两条渐近线分别交于点 A， B.若点 P(m， 0)满足 |PA|=|PB|，则该双曲线的离心率是 .解析：先求出 A， B的坐标，可得 AB

16、中点坐标为 ( ， )，利用点 P(m， 0) 满足 |PA|=|PB|，可得 =-3，从而可求双曲线的离心率 .答案：双曲线 (a 0， b 0)的两条渐近线方程为 y= x，则与直线 x-3y+m=0联立，可得 A( ， )， B(- ， )， AB 中点坐标为 ( ， )，点 P(m， 0)满足 |PA|=|PB|， =-3， a=2b， = b， e= = .答案： .三、解答题 (本大题共 5小题，满分 72 分。解答应写出文字说明、证明

17、过程或演算步骤。 )18.(14分 )在 ABC 中，内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，已知4sin 2 +4sinAsinB=2+ .( )求角 C的大小；( )已知 b=4， ABC的面积为 6，求边长 c的值 .解析： ( ) ABC中由条件利用二倍角的余弦公式、两角和的余弦公式求得 cos(A+B)=- ，从而得到 cosC= ，由此可得 C 的值 .( )根据 ABC的面积为 6= ab sinC求得 a 的值，再利

18、用余弦定理求得c= 的值 .答案： ( ) ABC中， 4sin 2 +4sinAsinB=2+ ， 4 +4sinAsinB=2+ ， -2cosAcosB+2sinAsinB= ，即 cos(A+B)=- ， cosC= ， C= .( )已知 b=4， ABC的面积为 6= ab sinC= a 4 ， a=3 ， c= = = .19.(14分 )已知等差数列 a n的公差 d 0，设 an的前 n 项和为 Sn， a1=1， S2S3=36.( )求 d 及 Sn；( )求 m， k(m， k N*)的值，使得 am+am+

19、1+am+2+ +am+k=65.解析： ( )根据等差数列通项公式和前 n项和公式，把条件转化为关于公差 d 的二次方程求解，注意 d的范围对方程的根进行取舍；( )由 ( )求出等差数列 an的通项公式，利用等差数列的前 n项和公式，对am+am+1+am+2+ +am+k=65化简，列出关于 m、 k 的方程，再由 m， k N*进行分类讨论，求出符合条件的 m、 k 的值 . 答案： ( )由 a

20、1=1， S2S3=36得， (a1+a2)(a1+a2+a3)=36，即 (2+d)(3+3d)=36，化为 d2+3d-10=0，解得 d=2或 -5，又公差 d 0，则 d=2，所以 Sn=n =n2(n N*).( )由 ( )得， an=1+2(n-1)=2n-1，由 a m+am+1+am+2+ +am+k=65 得，，即 (k+1)(2m+k-1)=65，又 m， k N*，则 (k+1)(2m+k-1)=5 13，或 (k+1)(2m+k-1)=1 65，下面分类求解：当 k+1=5 时， 2m+k-1=13，解得 k=4， m

21、=5；当 k+1=13 时， 2m+k-1=5，解得 k=12， m=-3，故舍去；当 k+1=1 时， 2m+k-1=65，解得 k=0，故舍去；当 k+1=65 时， 2m+k-1=1，解得 k=64， m=-31，故舍去；综上得， k=4， m=5.20.(15分 )如图，在四棱锥 A-BCDE中，平面 ABC 平面 BCDE， CDE= BED=90 ， AB=CD=2，DE=BE=1， AC= . ( )证明： AC 平面 BCDE；( )求直线 AE 与平面 ABC所成的角的正切值 .解

22、析： ( )如图所示，取 DC 的中点 F，连接 BF，可得 DF= DC=1=BE，于是四边形 BEDF是矩形，在 Rt BCF中，利用勾股定理可得 BC= = .在 ACB中，再利用勾股定理的逆定理可得 AC BC，再利用面面垂直的性质定理即可得出结论 .( )过点 E 作 EM CB 交 CB 的延长线于点 M，连接 AM.由平面 ABC 平面 BCDE，利用面面垂直的性质定理可得： EM 平面 ACB.因此 EAM

23、是直线 AE 与平面 ABC所成的角 .再利用勾股定理和直角三角形的边角关系即可得出 .答案： ( )如图所示，取 DC 的中点 F，连接 BF，则 DF= DC=1=BE， CDE= BED=90 ， BE DF，四边形 BEDF 是矩形， BF DC， BF=ED=1，在 Rt BCF中， BC= = .在 ACB中， AB=2， BC=AC= ， BC2+AC2=AB2， AC BC，又平面 ABC 平面 BCDE， AC 平面 BCDE.( )过点 E作 EM CB交 CB 的延

24、长线于点 M，连接 AM.又平面 ABC 平面 BCDE， EM 平面 ACB. EAM是直线 AE 与平面 ABC所成的角 .在 Rt BEM中， EB=1， EBM=45 . EM= =MB. 在 Rt ACM中， = = .在 Rt AEM中， = = .21.(15分 )已知函数 f(x)=x 3+3|x-a|(a 0)，若 f(x)在 -1， 1上的最小值记为 g(a).( )求 g(a)；( )证明：当 x -1， 1时，恒有 f(x) g(a)+4.解析： ( )分类讨论，利用导数确定

25、函数的单调性，即可求 g(a)；( )设 h(x)=f(x)-g(a)，分类讨论，求最值，可以证明 x -1， 1时，恒有 f(x) g(a)+4.答案： ( ) a 0， -1 x 1，当 0 a 1 时，若 x -1， a，则 f(x)=x 3-3x+3a， f (x)=3x2-3 0，故此时函数在 (-1， a)上是减函数，若 x (a， 1，则 f(x)=x3+3x-3a， f (x)=3x2+3 0，故此时函数在 (a， 1)上是增函数， g(a)=f(a)=a3. 当 a 1

26、， f(x)=x3+3|x-a|=x3-3x+3a， f (x)=3x2-3 0，故此时函数在 -1， 1上是减函数，则 g(a)=f(1)=-2+3a.综上： g(a)= .( )证明：设 h(x)=f(x)-g(a)，当 0 a 1 时， g(a)=a 3，若 x a， 1， h(x)=x3+3x-3a-a3， h (x)=3x2+3， h(x)在 a， 1上是增函数， h(x)在 a， 1上的最大值是 h(1)=4-3a-a3，且 0 a 1， h(1) 4， f(x) g(a)+4.若 x -1， a， h(x)=x3-3x+3

27、a-a3， h (x)=3x2-3， h(x)在 -1， a上是减函数， h(x)在 -1， a上的最大值是 h(-1)=2+3a-a3，令 t(a)=2+3a-a 3，则 t (a)=3-3a2， t(a)在 (0， 1)上是增函数， t(a) t(1)=4 h(-1) 4， f(x) g(a)+4. a 1时， g(a)=-2+3a， h(x)=x3-3x+2， h (x)=3x2-3， h(x)在 -1， 1上是减函数， h(x)在 -1， 1上的最大值是 h(-1)=4， f(x) g(a)+4；综上，当 x -1， 1时，

28、恒有 f(x) g(a)+4.点评：利用导数可以解决最值问题，正确求导，确定函数的单调性是解题的关键 .22.(14分 )已知 ABP的三个顶点在抛物线 C： x 2=4y上， F 为抛物线 C 的焦点，点 M 为 AB的中点， =3 ，( )若 |PF|=3，求点 M 的坐标； ( )求 ABP面积的最大值 .解析： ( )根据抛物线的定义，利用条件 |PF|=3，求建立方程关系即可求点 M 的坐标；( )

29、设直线 AB的方程为 y=kx+m，利用直线和抛物线联立结合弦长公式公式以及点到直线的距离公式，利用导数即可求出三角形面积的最值 .答案： ( )由题意知焦点 F(0， 1)，准线方程为 y=-1，设 P(x0， y0)，由抛物线的定义可知 |PF|=y0+1，解得 y0=2， x0= ，即 P(2 ， 2)或 P(-2 ， 2)，由 =3 ，得 M(- ， )或 M( ， ).( )设直线 AB 的方程为 y=kx+m， A(x 1，

30、 y1)， B(x2， y2)，由得 x2-4kx-4m=0，于是 =16k2+16m 0， x1+x2=4k， x1x2=-4m，即 AB 的中点 M 的坐标为 (2k， 2k2+m)由 =3 ，得 (-x 0， 1-y0)=3(2k， 2k2+m-1)，解得，由，得，由 0， k 0得，又 |AB|=4 ，点 F 到直线 AB 的距离 d= ， S ABP=4S ABF=8|m-1| ，设 f(m)=3m3-5m2+m+1， ( )，则 f(m)=9m 2-10m+1=0，解得 m1= ， m2=1，于是 f(m)在 ( )是增函数，在 ( ， 1)上是减函数，在 (1， )上是增函数，又 f( )= ，当 m= 时， f(m)取得最大值，此时 k= ， ABP面积的最大值为 .

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