1、2014年 山 西 省 中 考 真 题 数 学一 、 选 择 题 (共 10小 题 ， 每 小 题 3 分 ， 共 30分 )1.(3分 )计 算 -2+3的 结 果 是 ( )A.1B.-1C.-5D.-6解 析 ： 因 为 -2， 3 异 号 ， 且 |-2| |3|， 所 以 -2+3=1.答 案 ： A.2.(3分 )如 图 ， 直 线 AB、 CD 被 直 线 EF所 截 ， AB CD， 1=110 ， 则 2 等 于 ( ) A.65B.70C.75D.80解 析 ： 如 图 ， AB CD， 1=110 ， 1+ 3=180 ， 即 100+ 3=180 ， 3=70 ， 2=
2、 3=70 .答 案 ： B. 3.(3分 )下 列 运 算 正 确 的 是 ( )A.3a2+5a2=8a4B.a6 a2=a12C.(a+b)2=a2+b2D.(a2+1)0=1解 析 ： A、 原 式 =8a2， 答 案 ： 项 错 误 ；B、 原 式 =a8， 答 案 ： 项 错 误 ；C、 原 式 =a 2+b2+2ab， 答 案 ： 项 错 误 ；D、 原 式 =1， 答 案 ： 项 正 确 .答 案 ： D. 4.(3分 )如 图 是 我 国 古 代 数 学 家 赵 爽 在 为 周 髀 算 经 作 注 解 时 给 出 的 “ 弦 图 ” ， 它 解 决 的数 学 问 题 是 (
3、)A.黄 金 分 割B.垂 径 定 理C.勾 股 定 理 D.正 弦 定 理解 析 ： “ 弦 图 ” ， 说 明 了 直 角 三 角 形 的 三 边 之 间 的 关 系 ， 解 决 的 问 题 是 ： 勾 股 定 理 .答 案 ： C.5.(3分 )如 图 是 由 三 个 小 正 方 体 叠 成 的 一 个 几 何 体 ， 它 的 左 视 图 是 ( )A.B. C.D.解 析 ： 从 左 边 看 第 一 层 一 个 正 方 形 ， 第 二 层 一 个 正 方 形 ，答 案 ： C.6.(3分 )我 们 学 习 了 一 次 函 数 、 二 次 函 数 和 反 比 例 函 数 ， 回 顾 学
4、习 过 程 ， 都 是 按 照 列 表 、 描点 、 连 线 得 到 函 数 的 图 象 ， 然 后 根 据 函 数 的 图 象 研 究 函 数 的 性 质 ， 这 种 研 究 方 法 主 要 体 现 的数 学 思 想 是 ( )A.演 绎 B.数 形 结 合C.抽 象D.公 理 化 解 析 ： 学 习 了 一 次 函 数 、 二 次 函 数 和 反 比 例 函 数 ， 都 是 按 照 列 表 、 描 点 、 连 线 得 到 函 数 的 图象 ， 然 后 根 据 函 数 的 图 象 研 究 函 数 的 性 质 ， 这 种 研 究 方 法 主 要 体 现 了 数 形 结 合 的 数 学 思 想
5、.答 案 ： B.7.(3分 )在 大 量 重 复 试 验 中 ， 关 于 随 机 事 件 发 生 的 频 率 与 概 率 ， 下 列 说 法 正 确 的 是 ( )A.频 率 就 是 概 率B.频 率 与 试 验 次 数 无 关C.概 率 是 随 机 的 ， 与 频 率 无 关D.随 着 试 验 次 数 的 增 加 ， 频 率 一 般 会 越 来 越 接 近 概 率解 析 ： 大 量 重 复 试 验 事 件 发 生 的 频 率 逐 渐 稳 定 到 某 个 常 数 附 近 ， 可 以 用 这 个 常 数 估 计 这 个事 件 发 生 的 概 率 ， A、 B、 C错 误 ， D 正 确 .答
6、案 ： D. 8.(3分 )如 图 ， O 是 ABC的 外 接 圆 ， 连 接 OA、 OB， OBA=50 ， 则 C 的 度 数 为 ( )A.30B.40C.50D.80解 析 ： OA=OB， OBA=50 ， OAB= OBA=50 ， AOB=180 -50 2=80 ， C= AOB=40 .答 案 ： B.9.(3分 )PM2.5 是 指 大 气 中 直 径 小 于 或 等 于 2.5 m(1 m=0.000001m)的 颗 粒 物 ， 也 称 为 可 入肺 颗 粒 物 ， 它 们 含 有 大 量 的 有 毒 、 有 害 物 质 ， 对 人 体 健 康 和 大 气 环 境 质
7、 量 有 很 大 危 害 .2.5 m用 科 学 记 数 法 可 表 示 为 ( )A.2.5 10 -5mB.0.25 10-7mC.2.5 10-6mD.25 10-5m解 析 ： 2.5 m 0.000001m=2.5 10-6m；答 案 ： C.10.(3分 )如 图 ， 点 E在 正 方 形 ABCD的 对 角 线 AC上 ， 且 EC=2AE， 直 角 三 角 形 FEG的 两 直 角边 EF、 EG 分 别 交 BC、 DC于 点 M、 N.若 正 方 形 ABCD的 变 长 为 a， 则 重 叠 部 分 四 边 形 EMCN 的面 积 为 ( ) A. a2B. a2C. a2
8、D. a2解 析 ： 作 EM BC于 点 M， EQ CD 于 点 Q， 四 边 形 ABCD 是 正 方 形 ， BCD=90 ，又 EPM= EQN=90 ， PEQ=90 ， PEM+ MEQ=90 ， 三 角 形 FEG是 直 角 三 角 形 ， NEF= NEQ+ MEQ=90 ， PEM= NEQ， AC 是 BCD的 角 平 分 线 ， EPC= EQC=90 ， EP=EN， 四 边 形 MCQE是 正 方 形 ，在 EPM和 EQN中 ， ， EPM EQN(ASA) S EQN=S EPM， 四 边 形 EMCN 的 面 积 等 于 正 方 形 MCQE的 面 积 ， 正
9、 方 形 ABCD 的 边 长 为 a， AC= a， EC=2AE， EC= a， EP=PC= a， 正 方 形 MCQE的 面 积 = a a= a 2， 四 边 形 EMCN 的 面 积 = a2，答 案 ： D.二 、 填 空 题 (共 6 小 题 ， 每 小 题 3 分 ， 共 18分 )11.(3分 )计 算 ： 3a 2b3 2a2b= .解 析 ： 3a2b3 2a2b=(3 2) (a2 a2)(b3 b)=6a4b4. 答 案 ： 6a4b4.12.(3分 )化 简 + 的 结 果 是 .解 析 ： 原 式 = + = = .答 案 ：13.(3分 )如 图 ， 已 知
10、一 次 函 数 y=kx-4 的 图 象 与 x 轴 、 y 轴 分 别 交 于 A、 B两 点 ， 与 反 比 例 函数 y= 在 第 一 象 限 内 的 图 象 交 于 点 C， 且 A 为 BC 的 中 点 ， 则 k= . 解 析 ： 把 y=0代 入 y=kx-4得 y=-4， 则 B 点 坐 标 为 (0， -4)， A 为 BC 的 中 点 ， C 点 的 纵 坐 标 为 4，把 y=4代 入 y= 得 x=2， C 点 坐 标 为 (2， 4)，把 C(2， 4)代 入 y=kx-4 得 2k-4=4， 解 得 k=4.答 案 ： 4.14.(3分 )甲 、 乙 、 丙 三 位
11、 同 学 打 乒 乓 球 ， 想 通 过 “ 手 心 手 背 ” 游 戏 来 决 定 其 中 哪 两 个 人 先打 ， 规 则 如 下 ： 三 个 人 同 时 各 用 一 只 手 随 机 出 示 手 心 或 手 背 ， 若 只 有 两 个 人 手 势 相 同 (都 是手 心 或 都 是 手 背 )， 则 这 两 人 先 打 ， 若 三 人 手 势 相 同 ， 则 重 新 决 定 .那 么 通 过 一 次 “ 手 心 手 背 ”游 戏 能 决 定 甲 打 乒 乓 球 的 概 率 是 .解 析 ： 分 别 用 A， B 表 示 手 心 ， 手 背 .画 树 状 图 得 ： 共 有 8 种 等 可
12、能 的 结 果 ， 通 过 一 次 “ 手 心 手 背 ” 游 戏 能 决 定 甲 打 乒 乓 球 的 有 4种 情 况 ， 通 过 一 次 “ 手 心 手 背 ” 游 戏 能 决 定 甲 打 乒 乓 球 的 概 率 是 ： = . 答 案 ： .15.(3分 )一 走 廊 拐 角 的 横 截 面 积 如 图 ， 已 知 AB BC， AB DE， BC FG， 且 两 组 平 行 墙 壁 间的 走 廊 宽 度 都 是 1m， 的 圆 心 为 O， 半 径 为 1m， 且 EOF=90 ， DE、 FG分 别 与 O 相 切 于E、 F 两 点 .若 水 平 放 置 的 木 棒 MN 的 两
13、个 端 点 M、 N 分 别 在 AB和 BC上 ， 且 MN与 O 相 切 于 点P， P 是 的 中 点 ， 则 木 棒 MN的 长 度 为 m. 解 析 ： 连 接 OB， 延 长 OF， OE分 别 交 BC于 H， 交 AB 于 G， DE、 FG 分 别 与 O相 切 于 E、 F 两 点 ， OE ED， OF FG， AB DE， BC FG， OG AB， OH BC， EOF=90 ， 四 边 形 BGOH是 矩 形 ， 两 组 平 行 墙 壁 间 的 走 廊 宽 度 都 是 1m， O半 径 为 1m， OG=OH=2， 矩 形 BGOH是 正 方 形 ， BOG= BO
14、H=45 ， P 是 的 中 点 ， OB经 过 P 点 ，在 正 方 形 BGOH 中 ， 边 长 =2， OB=2 ， OP=1， BP=2 -1， p 是 MN 与 O的 切 点 ， OB MN， OB 是 正 方 形 BGOH的 对 角 线 ， OBG= OBH=45 ，在 BPM与 BPN中 BPM BPN(ASA) MP=NP， MN=2BP， BP=2 -1， MN=2(2 -1)=4 -2，16.(3分 )如 图 ， 在 ABC中 ， BAC=30 ， AB=AC， AD是 BC 边 上 的 中 线 ， ACE= BAC， CE交 AB于 点 E， 交 AD 于 点 F.若 B
15、C=2， 则 EF 的 长 为 . 解 析 ： 过 F点 作 FG BC. 在 ABC中 ， AB=AC， AD是 BC边 上 的 中 线 ， BD=CD= BC=1， BAD= CAD= BAC=15 ，AD BC， ACE= BAC， CAD= ACE=15 ， AF=CF， ACD=(180 -30 ) 2=75 ， DCE=75 -15 =60 ，在 Rt CDF中 ， AF=CF= =2， DF=CDtan60 = ， FG BC， GF： BD=AF： AD， 即 GF： 1=2： (2+ )， 解 得 GF=4-2 ， EF： EC=GF： BC， 即 EF： (EF+2)=(4
16、-2 )： 2，解 得 EF= -1.答 案 ： -1. 三 、 解 答 题 (共 8 小 题 ， 共 72分 )17.(10分 )(1)计 算 ： (-2)2 sin60 -( )-1 ；(2)分 解 因 式 ： (x-1)(x-3)+1.解 析 ： (1)本 题 涉 及 零 指 数 幂 、 乘 方 、 特 殊 角 的 三 角 函 数 值 、 二 次 根 式 化 简 四 个 考 点 .针 对 每个 考 点 分 别 进 行 计 算 ， 然 后 根 据 实 数 的 运 算 法 则 求 得 计 算 结 果 ；(2)根 据 整 式 的 乘 法 ， 可 得 多 项 式 ， 根 据 因 式 分 解 的
17、方 法 ， 可 得 答 案 .答 案 ： (1)原 式 =2 -2 =-2 ；(2)原 式 =x 2-4x+3+1=(x-2)2.点 评 本 题 考 查 实 数 的 综 合 运 算 能 力 ， 是 各 地 中 考 题 中 常 见 的 计 算 题 型 .解 决 此 类 18.(6分 )解 不 等 式 组 并 求 出 它 的 正 整 数 解 ： .解 析 ： 先 求 出 不 等 式 组 中 每 一 个 不 等 式 的 解 集 ， 再 求 出 它 们 的 公 共 部 分 就 是 不 等 式 组 的 解 集 .答 案 ： 解 得 ： x - ，解 得 ： x 2，则 不 等 式 组 的 解 集 是 ：
18、 - x 2.则 正 整 数 解 是 ： 1， 219.(6分 )阅 读 以 下 材 料 ， 并 按 要 求 完 成 相 应 的 任 务 . 几 何 中 ， 平 行 四 边 形 、 矩 形 、 菱 形 、 正 方 形 和 等 腰 梯 形 都 是 特 殊 的 四 边 形 ， 大 家 对 于 它 们 的性 质 都 非 常 熟 悉 ， 生 活 中 还 有 一 种 特 殊 的 四 边 形 -筝 形 .所 谓 筝 形 ， 它 的 形 状 与 我 们 生 活 中风 筝 的 骨 架 相 似 .定 义 ： 两 组 邻 边 分 别 相 等 的 四 边 形 ， 称 之 为 筝 形 ， 如 图 ， 四 边 形 AB
19、CD是 筝 形 ， 其 中 AB=AD，CB=CD.判 定 ： 两 组 邻 边 分 别 相 等 的 四 边 形 是 筝 形 有 一 条 对 角 线 垂 直 平 分 另 一 条 对 角 线 的 四 边 形 是 筝 形显 然 ， 菱 形 是 特 殊 的 筝 形 ， 就 一 般 筝 形 而 言 ， 它 与 菱 形 有 许 多 相 同 点 和 不 同 点 如 果 只 研 究 一 般 的 筝 形 (不 包 括 菱 形 )， 请 根 据 以 上 材 料 完 成 下 列 任 务 ：(1)请 说 出 筝 形 和 菱 形 的 相 同 点 和 不 同 点 各 两 条 ；(2)请 仿 照 图 1 的 画 法 ， 在
20、 图 2 所 示 的 8 8 网 格 中 重 新 设 计 一 个 由 四 个 全 等 的 筝 形 和 四 个 全等 的 菱 形 组 成 的 新 图 案 ， 具 体 要 求 如 下 ： 顶 点 都 在 格 点 上 ； 所 涉 及 的 图 案 既 是 轴 对 称 图 形 又 是 中 心 对 称 图 形 ； 将 新 图 案 中 的 四 个 筝 形 都 图 上 阴 影 (建 议 用 一 系 列 平 行 斜 线 表 示 阴 影 ). 解 析 ： (1)利 用 菱 形 的 性 质 以 及 结 合 图 形 得 出 筝 形 的 性 质 分 别 得 出 异 同 点 即 可 ；(2)利 用 轴 对 称 图 形 和
21、 中 心 对 称 图 形 的 定 义 结 合 题 意 得 出 答 案 .答 案 ： (1)相 同 点 ： 两 组 邻 边 分 别 相 等 ； 有 一 组 对 角 相 等 ； 一 条 对 角 线 垂 直 平 分 另 一条 对 角 线 ； 一 条 对 角 线 平 分 一 组 对 角 ； 都 是 轴 对 称 图 形 ； 面 积 等 于 对 角 线 乘 积 的 一 半 ； 不 同 点 ： 菱 形 的 对 角 线 互 相 平 分 ， 筝 形 的 对 角 线 不 互 相 平 分 ； 菱 形 的 四 边 都 相 等 ， 筝 形 只 有 两 组 邻 边 分 别 相 等 ； 菱 形 的 两 组 对 边 分 别
22、平 行 ， 筝 形 的 对 边 不 平 行 ； 菱 形 的 两 组 对 角 分 别 相 等 ， 筝 形 只 有 一 组 对 角 相 等 ； 菱 形 的 邻 角 互 补 ， 筝 形 的 邻 角 不 互 补 ； 菱 形 的 既 是 轴 对 称 图 形 又 是 中 心 对 称 图 形 ， 筝 形 是 轴 对 称 图 形 不 是 中 心 对 称 图 形 ；(2)如 图 所 示 ： .20.(10分 )某 公 司 招 聘 人 才 ， 对 应 聘 者 分 别 进 行 阅 读 能 力 、 思 维 能 力 和 表 达 能 力 三 项 测 试 ，其 中 甲 、 乙 两 人 的 成 绩 如 下 表 (单 位 ：
23、分 )：(1)若 根 据 三 项 测 试 的 平 均 成 绩 在 甲 、 乙 两 人 中 录 用 一 人 ， 那 么 谁 将 能 被 录 用 ？(2)根 据 实 际 需 要 ， 公 司 将 阅 读 、 思 维 和 表 达 能 力 三 项 测 试 得 分 按 3： 5： 2 的 比 确 定 每 人 的最 后 成 绩 ， 若 按 此 成 绩 在 甲 、 乙 两 人 中 录 用 一 人 ， 谁 将 被 录 用 ？ (3)公 司 按 照 (2)中 的 成 绩 计 算 方 法 ， 将 每 位 应 聘 者 的 最 后 成 绩 绘 制 成 如 图 所 示 的 频 数 分 布 直方 图 (每 组 分 数 段
24、均 包 含 左 端 数 值 ， 不 包 含 右 端 数 值 ， 如 最 右 边 一 组 分 数 x为 ： 85 x 90)，并 决 定 由 高 分 到 低 分 录 用 8 名 员 工 ， 甲 、 乙 两 人 能 否 被 录 用 ？ 请 说 明 理 由 ， 并 求 出 本 次 招 聘人 才 的 录 用 率 . 解 析 ： (1)根 据 平 均 数 的 计 算 公 式 分 别 进 行 计 算 即 可 ；(2)根 据 加 权 平 均 数 的 计 算 公 式 分 别 进 行 解 答 即 可 ；(3)由 直 方 图 知 成 绩 最 高 一 组 分 数 段 85 x 90 中 有 7 人 ， 公 司 招
25、聘 8 人 ， 再 根 据 x 甲 =85.5分 ， 得 出 甲 在 该 组 ， 甲 一 定 能 被 录 用 ， 在 80 x 85这 一 组 内 有 10 人 ， 仅 有 1 人 能 被 录 用 ，而 x 乙 =84.8分 ， 在 这 一 段 内 不 一 定 是 最 高 分 ， 得 出 乙 不 一 定 能 被 录 用 ； 最 后 根 据 频 率 =进 行 计 算 ， 即 可 求 出 本 次 招 聘 人 才 的 录 用 率 .答 案 ： (1) 甲 的 平 均 成 绩 是 ： x 甲 = =84(分 )，乙 的 平 均 成 绩 为 ： x 乙 = =85(分 )， x 乙 x 甲 ， 乙 将
26、被 录 用 ；(2)根 据 题 意 得 ： x 甲 = =85.5(分 )，x 乙 = =84.8(分 )； x 甲 x 乙 ， 甲 将 被 录 用 ；(3)甲 一 定 被 录 用 ， 而 乙 不 一 定 能 被 录 用 ， 理 由 如 下 ：由 直 方 图 知 成 绩 最 高 一 组 分 数 段 85 x 90中 有 7 人 ， 公 司 招 聘 8 人 ， 又 因 为 x 甲 =85.5 分 ，显 然 甲 在 该 组 ， 所 以 甲 一 定 能 被 录 用 ；在 80 x 85 这 一 组 内 有 10 人 ， 仅 有 1人 能 被 录 用 ， 而 x 乙 =84.8 分 ， 在 这 一 段
27、 内 不 一 定 是最 高 分 ， 所 以 乙 不 一 定 能 被 录 用 ；由 直 方 图 知 ， 应 聘 人 数 共 有 50人 ， 录 用 人 数 为 8 人 ， 所 以 本 次 招 聘 人 才 的 录 用 率 为 =16%.21.(7分 )如 图 ， 点 A、 B、 C表 示 某 旅 游 景 区 三 个 缆 车 站 的 位 置 ， 线 段 AB、 BC 表 示 连 接 缆 车站 的 钢 缆 ， 已 知 A、 B、 C三 点 在 同 一 铅 直 平 面 内 ， 它 们 的 海 拔 高 度 AA ， BB ， CC 分 别为 110米 、 310米 、 710米 ， 钢 缆 AB的 坡 度
28、 i 1=1： 2， 钢 缆 BC 的 坡 度 i2=1： 1， 景 区 因 改 造缆 车 线 路 ， 需 要 从 A到 C直 线 架 设 一 条 钢 缆 ， 那 么 钢 缆 AC 的 长 度 是 多 少 米 ？ (注 ： 坡 度 ： 是指 坡 面 的 铅 直 高 度 与 水 平 宽 度 的 比 )解 析 ： 过 点 A作 AE CC于 点 E， 交 BB于 点 F， 过 点 B 作 BD CC于 点 D， 分 别 求 出 AE、 CE，利 用 勾 股 定 理 求 解 AC即 可 .答 案 ： 过 点 A 作 AE CC于 点 E， 交 BB于 点 F， 过 点 B 作 BD CC于 点 D，
29、 则 AFB、 BDC、 AEC都 是 直 角 三 角 形 ， 四 边 形 AABF， BBCD和 BFED都 是 矩 形 ， BF=BB-BF=BB-AA=310-110=200，CD=CC-CD=CC-BB=710-310=400， i1=1： 2， i2=1： 1， AF=2BF=400， BD=CD=400 ，又 EF=BD=400， DE=BF=200， AE=AF+EF=800， CE=CD+DE=600， 在 Rt AEC中 ， AC= = =1000(米 ). 答 ： 钢 缆 AC的 长 度 是 1000米 .22.(9分 )某 新 建 火 车 站 站 前 广 场 需 要 绿
30、化 的 面 积 为 46000米 2， 施 工 队 在 绿 化 了 22000 米 2后 ， 将 每 天 的 工 作 量 增 加 为 原 来 的 1.5倍 ， 结 果 提 前 4 天 完 成 了 该 项 绿 化 工 程 .(1)该 项 绿 化 工 程 原 计 划 每 天 完 成 多 少 米 2？(2)该 项 绿 化 工 程 中 有 一 块 长 为 20米 ， 宽 为 8米 的 矩 形 空 地 ， 计 划 在 其 中 修 建 两 块 相 同 的 矩形 绿 地 ， 它 们 的 面 积 之 和 为 56米 2， 两 块 绿 地 之 间 及 周 边 留 有 宽 度 相 等 的 人 行 通 道 (如 图
31、 所示 )， 问 人 行 通 道 的 宽 度 是 多 少 米 ？解 析 ： (1)利 用 原 工 作 时 间 -现 工 作 时 间 =4 这 一 等 量 关 系 列 出 分 式 方 程 求 解 即 可 ；(2)根 据 矩 形 的 面 积 和 为 56 平 方 米 列 出 一 元 二 次 方 程 求 解 即 可 .答 案 ： (1)设 该 项 绿 化 工 程 原 计 划 每 天 完 成 x 米 2，根 据 题 意 得 ： - =4解 得 ： x=2000，经 检 验 ， x=2000是 原 方 程 的 解 ，答 ： 该 绿 化 项 目 原 计 划 每 天 完 成 2000 平 方 米 ；(2)设
32、 人 行 道 的 宽 度 为 x 米 ， 根 据 题 意 得 ， (20-3x)(8-2x)=56 解 得 ： x=2或 x= (不 合 题 意 ， 舍 去 ).答 ： 人 行 道 的 宽 为 2米 .23.(11分 )课 程 学 习 ： 正 方 形 折 纸 中 的 数 学 .动 手 操 作 ： 如 图 1， 四 边 形 ABCD是 一 张 正 方 形 纸 片 ， 先 将 正 方 形 ABCD对 折 ， 使 BC 与 AD重 合 ， 折 痕 为 EF， 把 这 个 正 方 形 展 平 ， 然 后 沿 直 线 CG 折 叠 ， 使 B 点 落 在 EF上 ， 对 应 点 为 B . 数 学 思
33、考 ： (1)求 CB F 的 度 数 ； (2)如 图 2， 在 图 1 的 基 础 上 ， 连 接 AB ， 试 判 断 B AE与 GCB 的 大 小 关 系 ， 并 说 明 理 由 ；解 决 问 题 ：(3)如 图 3， 按 以 下 步 骤 进 行 操 作 ：第 一 步 ： 先 将 正 方 形 ABCD对 折 ， 使 BC与 AD重 合 ， 折 痕 为 EF， 把 这 个 正 方 形 展 平 ， 然 后 继续 对 折 ， 使 AB 与 DC重 合 ， 折 痕 为 MN， 再 把 这 个 正 方 形 展 平 ， 设 EF和 MN 相 交 于 点 O；第 二 步 ： 沿 直 线 CG 折
34、叠 ， 使 B 点 落 在 EF 上 ， 对 应 点 为 B ， 再 沿 直 线 AH 折 叠 ， 使 D点 落在 EF 上 ， 对 应 点 为 D ；第 三 步 ： 设 CG、 AH 分 别 与 MN相 交 于 点 P、 Q， 连 接 B P、 PD 、 D Q、 QB ， 试 判 断 四 边形 B PD Q 的 形 状 ， 并 证 明 你 的 结 论 .解 析 ： (1)由 对 折 得 出 CB=CB ， 在 RT B FC中 ， sin CB F= = ， 得 出 CB F=30 ，(2)连 接 BB 交 CG 于 点 K， 由 对 折 可 知 ， B AE= B BE， 由 B BE+
35、 KBC=90 ， KBC+ GCB=90 ， 得 到 B BE= GCB， 又 由 折 叠 知 GCB= GCB 得 B AE= GCB ，(3)连 接 AB 利 用 三 角 形 全 等 及 对 称 性 得 出 EB =NP=FD =MQ， 由 两 次 对 折 可 得 ，OE=ON=OF=OM， OB =OP=0D =OQ， 四 边 形 B PD Q 为 矩 形 ， 由 对 折 知 ， MN EF， 于 点 O，PQ B D 于 点 0， 得 到 四 边 形 B PD Q 为 正 方 形 ，答 案 ： (1)如 图 1， 由 对 折 可 知 ， EFC=90 ， CF= CD， 四 边 形
36、ABCD 是 正 方 形 ， CD=CB， CF= BC， CB =CB， CF= CB 在 RT B FC中 ， sin CB F= = ， CB F=30 ，(2)如 图 2， 连 接 BB 交 CG 于 点 K， 由 对 折 可 知 ， EF垂 直 平 分 AB， B A=B B， B AE= B BE， 四 边 形 ABCD 是 正 方 形 ， ABC=90 ， B BE+ KBC=90 ，由 折 叠 知 ， BKC=90 ， KBC+ GCB=90 ， B BE= GCB，又 由 折 叠 知 ， GCB= GCB ， B AE= GCB ，(3)四 边 形 B PD Q为 正 方 形
37、 ， 证 明 ： 如 图 3， 连 接 AB 由 (2)可 知 B AE= GCB ， 由 折 叠 可 知 ， GCB = PCN， B AE= PCN，由 对 折 知 AEB= CNP=90 ， AE= AB， CN= BC，又 四 边 形 ABCD是 正 方 形 ， AB=BC， AE=CN，在 AEB 和 CNP AEB CNP EB =NP，同 理 可 得 ， FD =MQ，由 对 称 性 可 知 ， EB =FD ， EB =NP=FD =MQ，由 两 次 对 折 可 得 ， OE=ON=OF=OM， OB =OP=0D =OQ， 四 边 形 B PD Q 为 矩 形 ， 由 对 折
38、知 ， MN EF， 于 点 O， PQ B D 于 点 0， 四 边 形 B PD Q 为 正 方 形 ， 24.(13分 )综 合 与 探 究 ： 如 图 ， 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy中 ， 四 边 形 OABC是 平 行 四 边 形 ， A、C两 点 的 坐 标 分 别 为 (4， 0)， (-2， 3)， 抛 物 线 W经 过 O、 A、 C三 点 ， D是 抛 物 线 W 的 顶 点 .(1)求 抛 物 线 W 的 解 析 式 及 顶 点 D 的 坐 标 ； (2)将 抛 物 线 W 和 OABC一 起 先 向 右 平 移 4个 单 位 后 ， 再 向 下 平 移 m(
39、0 m 3)个 单 位 ， 得 到抛 物 线 W 和 O A B C ， 在 向 下 平 移 的 过 程 中 ， 设 O A B C 与 OABC 的 重 叠 部分 的 面 积 为 S， 试 探 究 ： 当 m为 何 值 时 S 有 最 大 值 ， 并 求 出 S的 最 大 值 ；(3)在 (2)的 条 件 下 ， 当 S取 最 大 值 时 ， 设 此 时 抛 物 线 W 的 顶 点 为 F， 若 点 M 是 x 轴 上 的 动点 ， 点 N 时 抛 物 线 W 上 的 动 点 ， 试 判 断 是 否 存 在 这 样 的 点 M和 点 N， 使 得 以 D、 F、 M、 N为 顶 点 的 四
40、边 形 是 平 行 四 边 形 ？ 若 存 在 ， 请 直 接 写 出 点 M的 坐 标 ； 若 不 存 在 ， 请 说 明 理 由 .解 析 ： (1)利 用 待 定 系 数 法 求 出 抛 物 线 的 解 析 式 ， 进 而 求 出 顶 点 D 的 坐 标 ；(2)由 平 移 性 质 ， 可 知 重 叠 部 分 为 一 平 行 四 边 形 .如 答 图 2， 作 辅 助 线 ， 利 用 相 似 比 例 式 求 出平 行 四 边 形 的 边 长 和 高 ， 从 而 求 得 其 面 积 的 表 达 式 ； 然 后 利 用 二 次 函 数 的 性 质 求 出 最 值 ； (3)本 问 涉 及 两
41、 个 动 点 ， 解 题 关 键 是 利 用 平 行 四 边 形 的 判 定 与 性 质 ， 区 分 点 N 在 x 轴 上 方 、下 方 两 种 情 况 ， 分 类 讨 论 ， 避 免 漏 解 .设 M(t， 0)， 利 用 全 等 三 角 形 求 出 点 N的 坐 标 ， 代 入抛 物 线 W 的 解 析 式 求 出 t 的 值 ， 从 而 求 得 点 M 的 坐 标 .答 案 ： (1)设 抛 物 线 W 的 解 析 式 为 y=ax2+bx+c， 抛 物 线 W经 过 O(0， 0)、 A(4， 0)、 C(-2， 3)三 点 ， ， 解 得 ： ， 抛 物 线 W的 解 析 式 为
42、y= x 2-x. y= x2-x= (x-2)2- 1， 顶 点 D的 坐 标 为 (2， -1).(2)由 OABC得 ， CB OA， CB=OA=4.又 C点 坐 标 为 (-2， 3)， B点 的 坐 标 为 (2， 3).如 答 图 2， 过 点 B 作 BE x 轴 于 点 E， 由 平 移 可 知 ， 点 C 在 BE上 ， 且 BC =m. BE=3， OE=2， EA=OA-OE=2. C B x 轴 ， BC G BEA， ， 即 ， C G= m.由 平 移 知 ， O A B C 与 OABC的 重 叠 部 分 四 边 形 C HAG是 平 行 四 边 形 . S=C
43、 G C E= m(3-m)=- (x- )2+ ， 当 m= 时 ， S有 最 大 值 为 .(3)存 在 .在 (2)的 条 件 下 ， 抛 物 线 W 向 右 平 移 4 个 单 位 ， 再 向 下 平 移 个 单 位 ， 得 到 抛 物 线 W ， D(2， -1)， F(6， - )； 抛 物 线 W 的 解 析 式 为 ： y= (x-6)2- .设 M(t， 0)， 以 D、 F、 M、 N 为 顶 点 的 四 边 形 是 平 行 四 边 形 ， 若 点 N 在 x 轴 下 方 ， 如 答 题 3 所 示 ： 过 点 D作 DP y轴 ， 过 点 F 作 FP DP 于 点 P，
44、 D(2， -1)， F(6， - )， DP= ， FP=4；过 点 N作 DQ x轴 于 点 Q， 由 四 边 形 FDMN为 平 行 四 边 形 ， 易 证 DFP NMQ， MQ=FP=4， NQ=DP= ， N(4+t， - )，将 点 N坐 标 代 入 抛 物 线 W 的 解 析 式 y= (x-6)2- ， 得 ： (t-2)2- =- ， 来 源 :Zxxk.Com解 得 ： t=0或 t=4， 点 M 的 坐 标 为 (0， 0)或 (4， 0)； 若 点 N 在 x 轴 上 方 ， (请 自 行 作 图 )与 同 理 ， 得 N(4-t， ) 将 点 N坐 标 代 入 抛 物 线 W 的 解 析 式 y= (x-6)2- ， 得 ： (t-10)2- = ，解 得 ： t=6或 t=14， 点 M 的 坐 标 为 (6， 0)或 (14， 0).综 上 所 述 ， 存 在 这 样 的 点 M 和 点 N， 点 M 的 坐 标 分 别 为 (0， 0)， (4， 0)， (6， 0)， (14， 0).
