1、2015年 山 东 省 东 营 市 中 考 真 题 数 学一 、 选 择 题 ： 本 大 题 共 10小 题 ， 每 小 题 3 分 ， 共 30分1.(3分 )|-13 |的 相 反 数 是 ( )A. 13B.-13C.3D.-3解 析 ： |-13 |=13 ， 13 的 相 反 数 是 -13 .答 案 ： B.2.(3分 )下 列 计 算 正 确 的 是 ( )A. 12 3 3 B.a 6 a3=a2C.(a+b)2=a2+b2D.2a+3b=5ab解 析 ： A、 12 3 3 ， 故 此 选 项 正 确 ；B、 a6 a3=a3， 故 此 选 项 错 误 ；C、 (a+b)2=
2、a2+b2+2ab， 故 此 选 项 错 误 ；D、 2a+3b 无 法 计 算 ， 故 此 选 项 错 误 .答 案 ： A.3.(3分 )由 六 个 小 正 方 体 搭 成 的 几 何 体 如 图 所 示 ， 则 它 的 主 视 图 是 ( ) A.B. C.D.解 析 ： 从 正 面 看 易 得 第 一 层 有 3 个 正 方 形 ， 第 二 层 最 左 边 有 一 个 正 方 形 .答 案 ： B.4.(3分 )如 图 ， 将 三 角 形 纸 板 的 直 角 顶 点 放 在 直 尺 的 一 边 上 ， 1=20 ， 2=40 ， 则 3等 于 ( ) A.50B.30C.20D.15解
3、 析 ： 由 题 意 得 ： 4= 2=40 ；由 外 角 定 理 得 ： 4= 1+ 3， 3= 4- 1=40 -20 =20 ，答 案 ： C. 5.(3分 )东 营 市 出 租 车 的 收 费 标 准 是 ： 起 步 价 8元 (即 行 驶 距 离 不 超 过 3千 米 都 需 付 8元 车费 )， 超 过 3 千 米 以 后 ， 每 增 加 1千 米 ， 加 收 1.5元 (不 足 1 千 米 按 1 千 米 计 ).某 人 从 甲 地 到乙 地 经 过 的 路 程 是 x千 米 ， 出 租 车 费 为 15.5元 ， 那 么 x 的 最 大 值 是 ( )A.11B.8C.7D.5
4、解 析 ： 设 他 乘 此 出 租 车 从 甲 地 到 乙 地 行 驶 的 路 程 是 x千 米 ， 依 题 意 ：8+1.5(x-3) 15.5，解 得 ： x 8. 即 ： 他 乘 此 出 租 车 从 甲 地 到 乙 地 行 驶 路 程 不 超 过 8 千 米 .答 案 ： B.6.(3分 )若 34yx ， 则 x yx 的 值 为 ( )A.1B. 47C. 54D. 74 解 析 ： 34yx ， 4 3 74 4x yx .答 案 ： D.7.(3分 )如 图 ， 有 一 个 质 地 均 匀 的 正 四 面 体 ， 其 四 个 面 上 分 别 画 着 圆 、 等 边 三 角 形 、
5、 菱 形 、正 五 边 形 ， 投 掷 该 正 四 面 体 一 次 ， 向 下 的 一 面 的 图 形 既 是 轴 对 称 图 形 又 是 中 心 对 称 图 形 的 概率 是 ( ) A.1B. 14C. 34D. 12解 析 ： 投 掷 该 正 四 面 体 一 次 ， 向 下 的 一 面 的 图 形 既 是 轴 对 称 图 形 又 是 中 心 对 称 图 形 的 概 率= 24 = 12 .答 案 ： D.8.(3分 )下 列 命 题 中 是 真 命 题 的 是 ( ) A.确 定 性 事 件 发 生 的 概 率 为 1B.平 分 弦 的 直 径 垂 直 于 弦C.正 多 边 形 都 是
6、轴 对 称 图 形D.两 边 及 其 一 边 的 对 角 对 应 相 等 的 两 个 三 角 形 全 等解 析 ： 确 定 性 事 件 发 生 的 概 率 为 1或 0， 故 A 错 误 ； 平 分 弦 (不 是 直 径 )的 直 径 垂 直 于 弦 ， 故 B 错 误 ；正 多 边 形 都 是 轴 对 称 图 形 ， 故 C 正 确 ；两 边 及 其 一 边 的 对 角 对 应 相 等 的 两 个 三 角 形 不 一 定 全 等 ， 故 D错 误 .答 案 ： C.9.(3分 )如 图 ， 在 ABC中 ， AB AC， 点 D、 E分 别 是 边 AB、 AC的 中 点 ， 点 F在 BC
7、边 上 ， 连接 DE、 DF、 EF， 则 添 加 下 列 哪 一 个 条 件 后 ， 仍 无 法 判 断 FCE与 EDF全 等 ( )A. A= DFE B.BF=CFC.DF ACD. C= EDF解 析 ： A、 A 于 CFE没 关 系 ， 故 A 错 误 ；B、 BF=CF， F 是 BC 中 点 ， 点 D、 E分 别 是 边 AB、 AC 的 中 点 ， DF AC， DE BC， CEF= DFE， CFE= DEF，在 CEF和 DFE中 CEF DFEEF EFCFE DEF ， CEF DFE (ASA)， 故 B正 确 ；C、 点 D、 E分 别 是 边 AB、 A
8、C 的 中 点 ， DE BC， CFE= DEF， DF AC， CEF= DFE在 CEF和 DFE中 CEF DFEEF EFCFE DEF ， CEF DFE (ASA)， 故 C正 确 ；D、 点 D、 E分 别 是 边 AB、 AC 的 中 点 ， DE BC， CFE= DEF，CFE DEEC EDFEF EF ， CEF DFE (AAS)， 故 D正 确 ；答 案 ： A. 10.(3分 )如 图 ， 在 Rt ABC 中 ， ABC=90 .AB=AC.点 D是 线 段 AB上 的 一 点 ， 连 结 CD.过 点B作 BG CD， 分 别 交 CD、 CA 于 点 E、
9、 F， 与 过 点 A 且 垂 直 于 AB的 直 线 相 交 于 点 G， 连 结 DF，给 出 以 下 四 个 结 论 ： AG AFAB FC ； 若 点 D 是 AB的 中 点 ， 则 AF= 23 AB； 当 B、 C、 F、D四 点 在 同 一 个 圆 上 时 ， DF=DB； 若 12DBAD ， 则 S ABC=9S BDF， 其 中 正 确 的 结 论 序 号 是 ( ) A. B. C. D. 解 析 ： 依 题 意 可 得 BC AG， AFG BFC， AG AFBC CF ，又 AB=BC， AG AFAB CF .故 结 论 正 确 ；如 右 图 ， 1+ 3=90
10、 ， 1+ 4=90 ， 3= 4.在 ABG与 BCD中 ，3 4 90AB BCBAG CBD ， ABG BCD(ASA)， AG=BD， 又 BD=AD， AG=AD；在 AFG与 AFD中 ， 90AG ADFAD FAGAF AF ， AFG AFD(SAS) ABC为 等 腰 直 角 三 角 形 ， AC= 2 AB； AFG AFD， AG=AD= 12 AB=12 BC； AFG BFC， AG AFBC FC ， FC=2AF， AF=13 AC= 23 AB.故 结 论 正 确 ；当 B、 C、 F、 D 四 点 在 同 一 个 圆 上 时 ， 2= ACB ABC=90
11、 ， AB=AC， ACB= CAB=45 ， 2=45 ， CFD= AFD=90 ， CD 是 B、 C、 F、 D四 点 所 在 圆 的 直 径 ， BG CD， ， DF=DB， 故 正 确 ； AG AFAB CF ， AG=BD， 12BDAD ， 13BDAB ， 13AFCF AF= 14 AC， S ABF= 14 S ABC； S BDF=13 S ABF， S BDF= 112S ABC， 即 S ABC=12S BDF.故 结 论 错 误 .答 案 ： C.二 、 填 空 题 ： 本 大 题 共 8 小 题 ， 11 14 每 小 题 3 分 ， 15 18 每 小 题
12、 3 分 ， 共 28分11.(3分 )东 营 市 2014年 城 镇 居 民 人 均 可 支 配 收 入 是 37000元 ， 比 2013年 提 高 了 8.9%.37000元 用 科 学 记 数 法 表 示 是 _元 . 解 析 ： 37000=3.7 104，答 案 ： 3.7 104.12.(3分 )分 解 因 式 ： 4+12(x-y)+9(x-y)2=_. 解 析 ： 原 式 =2+3(x-y)2=(3x-3y+2)2.答 案 ： (3x-3y+2)213.(3分 )在 一 次 数 学 测 验 中 ， 随 机 抽 取 了 10份 试 卷 ， 其 成 绩 如 下 ： 85， 81，
13、 89， 81， 72，82， 77， 81， 79， 83， 则 这 组 数 据 的 中 位 数 为 _.解 析 ： 从 小 到 大 排 列 此 数 据 为 ： 72， 77， 79， 81， 81， 81， 82， 83， 85， 89，第 五 个 和 第 六 个 数 都 是 81， 这 组 数 据 的 中 位 数 为 81.答 案 ： 81.14.(3分 )4月 26日 ， 2015黄 河 口 (东 营 )国 际 马 拉 松 比 赛 拉 开 帷 幕 ， 中 央 电 视 台 体 育 频 道 用直 升 机 航 拍 技 术 全 程 直 播 .如 图 ， 在 直 升 机 的 镜 头 下 ， 观
14、测 马 拉 松 景 观 大 道 A处 的 俯 角 为 30 ，B处 的 俯 角 为 45 .如 果 此 时 直 升 机 镜 头 C 处 的 高 度 CD 为 200米 ， 点 A、 D、 B 在 同 一 直 线 上 ， 则 AB 两 点 的 距 离 是 _米 .解 析 ： 由 已 知 ， 得 A=30 ， B=45 ， CD=200， CD AB 于 点 D. 在 Rt ACD中 ， CDA=90 ， tanA= CDAD ， AD= 20033 =200 3， 在 Rt BCD中 ， CDB=90 ， B=45 DB=CD=200， AB=AD+DB=200 3+200，答 案 ： 200
15、3+200.15.(4分 )如 图 ， 水 平 放 置 的 圆 柱 形 排 水 管 道 的 截 面 直 径 是 1m， 其 中 水 面 的 宽 AB为 0.8m，则 排 水 管 内 水 的 深 度 为 _m. 解 析 ： 如 图 ， 过 O 点 作 OC AB， C为 垂 足 ， 交 O 于 D、 E， 连 OA， OA=0.5m， AB=0.8m， OC AB， AC=BC=0.4m，在 Rt AOC中 ， OA2=AC2+OC2， OC=0.3m，则 CE=0.3+0.5=0.8m，答 案 ： 0.8.16.(4分 )若 分 式 方 程 1x ax =a无 解 ， 则 a 的 值 为 _.
16、解 析 ： 去 分 母 得 ： x-a=ax+a， 即 (a-1)x=-2a，显 然 a=1时 ， 方 程 无 解 ；由 分 式 方 程 无 解 ， 得 到 x+1=0， 即 x=-1， 把 x=-1代 入 整 式 方 程 得 ： -1-a=-a+1，解 得 ： a=-1，综 上 ， a 的 值 为 1，答 案 ： 117.(4分 )如 图 ， 一 只 蚂 蚁 沿 着 边 长 为 2 的 正 方 体 表 面 从 点 A 出 发 ， 经 过 3个 面 爬 到 点 B， 如果 它 运 动 的 路 径 是 最 短 的 ， 则 AC 的 长 为 _. 解 析 ： 将 正 方 体 展 开 ， 右 边 与
17、 后 面 的 正 方 形 与 前 面 正 方 形 放 在 一 个 面 上 ， 此 时 AB 最 短 ， 根据 三 角 形 MCB与 三 角 形 ACN相 似 ， 由 相 似 得 比 例 得 到 MC=2NC， 求 出 CN的 长 ， 利 用 勾 股 定 理求 出 AC 的 长 即 可 .答 案 ： 将 正 方 体 展 开 ， 右 边 与 后 面 的 正 方 形 与 前 面 正 方 形 放 在 一 个 面 上 ， 展 开 图 如 图 所 示 ，此 时 AB最 短 ， BCM ACN， MB MCAN NC ， 即 42 MCNC =2， 即 MC=2NC， CN=13 MN= 23 ，在 Rt
18、ACN中 ， 根 据 勾 股 定 理 得 ： AC= 2 2 2 103AN CN .18.(4分 )如 图 放 置 的 OAB 1， B1A1B2， B2A2B3， 都 是 边 长 为 1 的 等 边 三 角 形 ， 点 A 在 x轴 上 ， 点 O， B1， B2， B3， 都 在 直 线 l上 ， 则 点 A2015的 坐 标 是 _.解 析 ： 根 据 题 意 得 出 直 线 BB 1的 解 析 式 为 ： y= 3x， 进 而 得 出 B， B1， B2， B3坐 标 ， 进 而 得 出坐 标 变 化 规 律 ， 进 而 得 出 答 案 .答 案 ： 过 B1向 x 轴 作 垂 线
19、B1C， 垂 足 为 C，由 题 意 可 得 ： A(1， 0)， AO A1B1， B1OC=30 ， CB1=OB1cos30 = 32 ， B 1的 横 坐 标 为 ： 12 ， 则 B1的 纵 坐 标 为 ： 32 ， 点 B1， B2， B3， 都 在 直 线 y= 3x 上 ， B1 1 32 2 ， ，同 理 可 得 出 ： A的 横 坐 标 为 ： 1， y= 3， A 2(2， 3)，An 31 2 2n n ， . A2015 2017 2015 32 2 ， .三 、 解 答 题 ： 本 大 题 共 7 小 题 ， 共 62分19.(7分 )(1)计 算 ： (-1)20
20、15- 9+(3- )0+|3- 3|+(tan30 )-1(2)解 方 程 组 ： 62 9x yx y .解 析 ： (1)原 式 第 一 项 利 用 乘 方 的 意 义 计 算 ， 第 二 项 利 用 算 术 平 方 根 定 义 计 算 ， 第 三 项 利 用零 指 数 幂 法 则 计 算 ， 第 四 项 利 用 绝 对 值 的 代 数 意 义 化 简 ， 最 后 一 项 利 用 负 整 数 指 数 幂 法 则 计算 即 可 得 到 结 果 ； (2)方 程 组 利 用 加 减 消 元 法 求 出 解 即 可 .答 案 ： (1)原 式 =-1-3+1+3- 3 + 3=0；(2) 62
21、 9x yx y ， + 得 ： 3x=15， 即 x=5，把 x=5代 入 得 ： y=1，则 方 程 组 的 解 为 51xy .20.(8分 )东 营 市 为 进 一 步 加 强 和 改 进 学 校 体 育 工 作 ， 切 实 提 高 学 生 体 质 健 康 水 平 ， 决 定 推 进 “ 一 校 一 球 队 、 一 级 一 专 项 、 一 人 一 技 能 ” 活 动 计 划 ， 某 校 决 定 对 学 生 感 兴 趣 的 球 类 项 目(A： 足 球 ， B： 篮 球 ， C： 排 球 ， D： 羽 毛 球 ， E： 乒 乓 球 )进 行 问 卷 调 查 ， 学 生 可 根 据 自 己
22、 的喜 好 选 修 一 门 ， 李 老 师 对 某 班 全 班 同 学 的 选 课 情 况 进 行 统 计 后 ， 制 成 了 两 幅 不 完 整 的 统 计 图(如 图 ) (1)将 统 计 图 补 充 完 整 ；(2)求 出 该 班 学 生 人 数 ；(3)若 该 校 共 用 学 生 3500名 ， 请 估 计 有 多 少 人 选 修 足 球 ？ (4)该 班 班 委 5 人 中 ， 1人 选 修 篮 球 ， 3 人 选 修 足 球 ， 1 人 选 修 排 球 ， 李 老 师 要 从 这 5 人 中 任选 2 人 了 解 他 们 对 体 育 选 修 课 的 看 法 ， 请 你 用 列 表
23、或 画 树 状 图 的 方 法 ， 求 选 出 的 2人 恰 好 1人 选 修 篮 球 ， 1人 选 修 足 球 的 概 率 .解 析 ： (1)、 (2)先 利 用 B的 人 数 和 所 占 的 百 分 比 计 算 出 全 班 人 数 ， 再 利 用 C、 E 的 百 分 比 计算 出 C、 E 的 人 数 ， 则 用 全 班 人 数 分 别 减 去 B、 C、 D、 E 的 人 数 得 到 A 的 人 数 ， 然 后 计 算 A、D所 占 百 分 比 ；(3)根 据 样 本 估 计 总 体 ， 用 40%表 示 全 校 学 生 对 足 球 感 兴 趣 的 百 分 比 ， 然 后 用 350
24、0乘 以 40%即 可 得 到 选 修 足 球 的 人 数 ；(4)先 利 用 树 状 图 展 示 所 有 20 种 等 可 能 的 结 果 数 ， 找 出 选 出 的 2人 恰 好 1人 选 修 篮 球 ， 1 人选 修 足 球 所 占 结 果 数 ， 然 后 根 据 概 率 公 式 求 解 .答 案 ： (1) 该 班 人 数 为 8 16%=50(人 )， C 的 人 数 =24% 50=12(人 )， E 的 人 数 =8% 50=4(人 )， A 的 人 数 =50-8-12-4-6=20(人 )， A所 占 的 百 分 比 = 2050 100%=40%， D 所 占 的 百 分
25、比 = 650 100%=12%，如 图 ，(2)由 (1)得 该 班 学 生 人 数 为 50人 ； (3)3500 40%=1400(人 )，估 计 有 1400人 选 修 足 球 ；(4)画 树 状 图 ：共 有 20种 等 可 能 的 结 果 数 ， 其 中 选 出 的 2 人 恰 好 1 人 选 修 篮 球 ， 1人 选 修 足 球 占 6 种 ，所 以 选 出 的 2 人 恰 好 1 人 选 修 篮 球 ， 1人 选 修 足 球 的 概 率 = 6 320 10 . 21.(8分 )已 知 在 ABC中 ， B=90 ， 以 AB上 的 一 点 O 为 圆 心 ， 以 OA为 半
26、径 的 圆 交 AC 于点 D， 交 AB于 点 E. (1)求 证 ： AC AD=AB AE；(2)如 果 BD是 O 的 切 线 ， D 是 切 点 ， E是 OB的 中 点 ， 当 BC=2时 ， 求 AC的 长 .解 析 ： (1)连 接 DE， 根 据 圆 周 角 定 理 求 得 ADE=90 ， 得 出 ADE= ABC， 进 而 证 得 ADE ABC， 根 据 相 似 三 角 形 对 应 边 成 比 例 即 可 求 得 结 论 ；(2)连 接 OD， 根 据 切 线 的 性 质 求 得 OD BD， 在 RT OBD中 ， 根 据 已 知 求 得 OBD=30 ， 进 而求
27、得 BAC=30 ， 根 据 30 的 直 角 三 角 形 的 性 质 即 可 求 得 AC的 长 .答 案 ： (1)证 明 ： 连 接 DE， AE 是 直 径 ， ADE=90 ， ADE= ABC， DAE= BAC， ADE ABC， AD AEAB AC ， AC AD=AB AE；(2)解 ： 连 接 OD， BD 是 O的 切 线 ， OD BD， 在 RT OBD中 ， OE=BE=OD， OB=2OD， OBD=30 ，同 理 BAC=30 ，在 RT ABC中 ， AC=2BC=2 2=4.22.(8分 )如 图 是 函 数 y= 3x 与 函 数 y= 6x 在 第 一
28、 象 限 内 的 图 象 ， 点 P是 y= 6x 的 图 象 上 一 动 点 ，PA x轴 于 点 A， 交 y= 3x 的 图 象 于 点 C， PB y轴 于 点 B， 交 y= 3x 的 图 象 于 点 D. (1)求 证 ： D是 BP的 中 点 ；(2)求 四 边 形 ODPC的 面 积 .解 析 ： (1)根 据 函 数 图 象 上 的 点 满 足 函 数 解 析 式 ， 可 得 P、 D 点 坐 标 ， 根 据 线 段 中 点 的 定 义 ，可 得 答 案 ；(2)根 据 图 象 割 补 法 ， 可 得 面 积 的 和 差 ， 可 得 答 案 .答 案 ： (1)证 明 ： 点
29、 P 在 函 数 y= 6x 上 ， 设 P点 坐 标 为 ( 6 ， m). 点 D在 函 数 y= 3x 上 ， BP x 轴 ， 设 点 D 坐 标 为 ( 3 ， m)， 由 题 意 ， 得BD= 3 ， BP= 6 =2BD， D 是 BP 的 中 点 .(2)解 ： S 四 边 形 OAPB= 6 m=6，设 C 点 坐 标 为 (x， 3x )， D 点 坐 标 为 ( 3y ， y)，S OBD= 12 y 3y = 32 ，S OAC= 12 x 3x = 32 ，S 四 边 形 OCPD=S 四 边 形 PBOA-S OBD-S OAC=6- 32 - 32 =3.23.(
30、8分 )2013 年 ， 东 营 市 某 楼 盘 以 每 平 方 米 6500元 的 均 价 对 外 销 售 ， 因 为 楼 盘 滞 销 ， 房 地产 开 发 商 为 了 加 快 资 金 周 转 ， 决 定 进 行 降 价 促 销 ， 经 过 连 续 两 年 下 调 后 ， 2015年 的 均 价 为每 平 方 米 5265 元 .(1)求 平 均 每 年 下 调 的 百 分 率 ； (2)假 设 2016年 的 均 价 仍 然 下 调 相 同 的 百 分 率 ， 张 强 准 备 购 买 一 套 100平 方 米 的 住 房 ， 他 持有 现 金 20 万 元 ， 可 以 在 银 行 贷 款
31、30 万 元 ， 张 强 的 愿 望 能 否 实 现 ？ (房 价 每 平 方 米 按 照 均 价计 算 )解 析 ： (1)设 平 均 每 年 下 调 的 百 分 率 为 x， 根 据 题 意 列 出 方 程 ， 求 出 方 程 的 解 即 可 得 到 结 果 ；(2)如 果 下 调 的 百 分 率 相 同 ， 求 出 2016 年 的 房 价 ， 进 而 确 定 出 100平 方 米 的 总 房 款 ， 即 可 做出 判 断 .答 案 ： (1)设 平 均 每 年 下 调 的 百 分 率 为 x，根 据 题 意 得 ： 6500(1-x) 2=5265，解 得 ： x1=0.1=10%，
32、x2=1.9(舍 去 )，则 平 均 每 年 下 调 的 百 分 率 为 10%；(2)如 果 下 调 的 百 分 率 相 同 ， 2016年 的 房 价 为 5265 (1-10%)=4738.5(元 /米 2)，则 100平 方 米 的 住 房 总 房 款 为 100 4738.5=473850=47.385(万 元 )， 20+30 47.385， 张 强 的 愿 望 可 以 实 现 .24.(10分 )如 图 ， 两 个 全 等 的 ABC和 DFE重 叠 在 一 起 ， 固 定 ABC， 将 DEF 进 行 如 下 变换 ： (1)如 图 1， DEF沿 直 线 CB向 右 平 移
33、(即 点 F在 线 段 CB上 移 动 )， 连 接 AF、 AD、 BD.请 直 接写 出 S ABC与 S 四 边 形 AFBD的 关 系 ；(2)如 图 2， 当 点 F 平 移 到 线 段 BC的 中 点 时 ， 若 四 边 形 AFBD为 正 方 形 ， 那 么 ABC 应 满 足 什么 条 件 ？ 请 给 出 证 明 ；(3)在 (2)的 条 件 下 ， 将 DEF 沿 DF 折 叠 ， 点 E落 在 FA的 延 长 线 上 的 点 G处 ， 连 接 CG， 请 你在 图 3的 位 置 画 出 图 形 ， 并 求 出 sin CGF 的 值 .解 析 ： (1)利 用 平 行 线
34、的 性 质 以 及 三 角 形 面 积 关 系 得 出 答 案 ；(2)利 用 平 行 四 边 形 的 判 定 得 出 四 边 形 AFBD为 平 行 四 边 形 ， 进 而 得 出 AF=12 BC=BF， 求 出 答案 ；(3)根 据 题 意 画 出 图 形 ， 利 用 sin CGF=CFCG 求 出 即 可 .答 案 ： (1)S ABC=S 四 边 形 AFBD，理 由 ： 由 题 意 可 得 ： AD EC，则 S ADF=S ABD，故 S ACF=S ADF=S ABD，则 S ABC=S 四 边 形 AFBD；(2) ABC为 等 腰 直 角 三 角 形 ， 即 ： AB=A
35、C， BAC=90 ，理 由 如 下 ： F为 BC的 中 点 ， CF=BF， CF=AD， AD=BF，又 AD BF， 四 边 形 AFBD 为 平 行 四 边 形 ， AB=AC， F为 BC的 中 点 ， AF BC， 平 行 四 边 形 AFBD 为 矩 形 ， BAC=90 ， F 为 BC 的 中 点 ， AF= 12 BC=BF， 四 边 形 AFBD 为 正 方 形 ；(3)如 图 3 所 示 ： 由 (2)知 ， ABC为 等 腰 直 角 三 角 形 ， AF BC，设 CF=k， 则 GF=EF=CB=2k，由 勾 股 定 理 得 ： CG= 5k，sin CGF= 5
36、55CF kCG k .25.(13分 )如 图 ， 抛 物 线 经 过 A(-2， 0)， B(-12 ， 0)， C(0， 2)三 点 . (1)求 抛 物 线 的 解 析 式 ；(2)在 直 线 AC 下 方 的 抛 物 线 上 有 一 点 D， 使 得 DCA 的 面 积 最 大 ， 求 点 D 的 坐 标 ；(3)设 点 M 是 抛 物 线 的 顶 点 ， 试 判 断 抛 物 线 上 是 否 存 在 点 H 满 足 AMH=90 ？ 若 存 在 ， 请 求出 点 H的 坐 标 ； 若 不 存 在 ， 请 说 明 理 由 .解 析 ： (1)根 据 待 定 系 数 法 ， 可 得 抛
37、物 线 的 解 析 式 ； (2)根 据 图 形 的 割 补 法 ， 可 得 面 积 的 和 差 ， 根 据 二 次 函 数 的 性 质 ， 可 得 答 案 ；(3)根 据 余 角 的 性 质 ， 可 得 AMN= NKM， 根 据 相 似 三 角 形 的 判 定 与 性 质 ， 可 得 AN MNMN NK ，根 据 解 方 程 组 ， 可 得 H点 坐 标 .答 案 ： (1)设 抛 物 线 的 解 析 式 为 y=ax2+bx+c， 将 A(-2， 0)， B(- 12 ， 0)， C(0， 2)代 入 解 析 式 ，得 4 2 01 1 04 22a b ca b cc ， 解 得 2
38、52abc . 抛 物 线 的 解 析 式 是 y=2x2+5x+2；(2)由 题 意 可 求 得 AC的 解 析 式 为 y=x+2，如 图 1 设 D 点 的 坐 标 为 (t， 2t2+5t+2)， 过 D 作 DE x 轴 交 AC于 E 点 ， E 点 的 坐 标 为 (t， t+2)，DE=t+2-(2t2+5t+2)=-2t2-4t， 用 h表 示 点 C到 线 段 DE所 在 直 线 的 距 离 ，S DAC=S CDE+S ADE= 12 DE h+ 12 DE(2-h)= 12 DE 2=DE=-2t2-4t=-2(t+1)2+2 -2 t 0， 当 t=-1 时 ， DC
39、A的 面 积 最 大 ， 此 时 D 点 的 坐 标 为 (-1， -1)；(3)存 在 点 H 满 足 AMH=90 ，由 (1)知 M 点 的 坐 标 为 (- 54 ， -98 )如 图 2： 作 MH AM 交 x 轴 于 点 K(x， 0)， 作 MN x 轴 于 点 N AMN+ KMA=90 ， NKM+ KMN=90 ， AMN= NKM. ANM= MNK， AMN MKN， AN MNMN NK ， MN2=AN NK， (98 ) 2=(2- 54 )(x+ 54 )，解 得 x= 716 K 点 坐 标 为 ( 716， 0)直 线 MK的 解 析 式 为 y= 23 x- 724 ， 22 73 242 5 2y xy x x ，把 代 入 ， 化 简 得 48x 2+104x+55=0. =1042-4 48 55=64 4=256 0， x1=- 54 ， x2= 1112 ， 将 x2= 1112 代 入 y= 23 x- 724 ，解 得 y= 6572 直 线 MN 与 抛 物 线 有 两 个 交 点 M、 H， 抛 物 线 上 存 在 点 H， 满 足 AMH=90 ，此 时 点 H的 坐 标 为 ( 1112 ， 6572 ).
