1、绝 密 启 用 前2013 年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 （ 北 京 卷 ）数 学 （ 理 ）第 一 部 分 （ 选 择 题 共 40分 ）一 、 选 择 题 共 8小 题 。 每 小 题 5分 ， 共 40分 。 在 每 个 小 题 列 出 的 四 个 选 项 中 ， 选 出 符 合题 目 要 求 的 一 项 。1.已 知 集 合 A= 1， 0， 1， B=x| 1x 1， 则 AB= ( )A.0 B. 1， 0C.0， 1 D. 1,0,12.在 复 平 面 内 ， 复 数 (2 i) 2对 应 的 点 位 于 ( )A.第 一 象 限 B. 第 二 象
2、限C.第 三 象 限 D. 第 四 象 限3.“=”是 “ 曲 线 y=sin(2x )过 坐 标 原 点 ” 的A.充 分 而 不 必 要 条 件 B.必 要 而 不 充 分 条 件C.充 分 必 要 条 件 D.既 不 充 分 也 不 必 要 条 件4.执 行 如 图 所 示 的 程 序 框 图 ， 输 出 的 S值 为A.1B.23C.1321D.610987 5.函 数 f(x)的 图 象 向 右 平 移 1个 单 位 长 度 ， 所 得 图 象 与 曲 线 y=ex关 于 y轴 对 称 ， 则 f(x)=A. 1ex B. 1exC. 1e x D. 1e x 6.若 双 曲 线 2
3、 22 2 1x ya b 的 离 心 率 为 3， 则 其 渐 近 线 方 程 为A.y=2x B.y= 2xC. 12y x D. 22y x7.直 线 l过 抛 物 线 C:x 2=4y的 焦 点 且 与 y轴 垂 直 ， 则 l与 C所 围 成 的 图 形 的 面 积 等 于A.43 B.2C.83 D.16 23 8.设 关 于 x,y的 不 等 式 组 2 1 0,0,0 x yx my m 表 示 的 平 面 区 域 内 存 在 点 P(x0， y0)满 足 x0 2y0=2.求 得 m的 取 值 范 围 是A. B. 1,3 C. 2, 3 D. 5, 3 第 二 部 分 （
4、非 选 择 题 共 110 分 ）二 、 填 空 题 共 6 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 30 分 .9.在 极 坐 标 系 中 ， 点 (2， 6)到 直 线 sin=2的 距 离 等 于10.若 等 比 数 列 a n满 足 a2 a4=20， a3 a5=40， 则 公 比 q= ； 前 n 项 和 Sn=.11.如 图 ， AB 为 圆 O 的 直 径 ， PA 为 圆 O 的 切 线 ， PB 与 圆 O 相 交 于 D， 若 PA=3， PD:DB=9：16， 则 PD= ， AB= .12.将 序 号 分 别 为 1， 2， 3， 4， 5的 5张 参 观 券 全 部 分
5、 给 4人 ， 每 人 至 少 一 张 ， 如 果 分 给同 一 人 的 两 张 参 观 券 连 号 ， 那 么 不 同 的 分 法 种 数 是 .13.向 量 a， b， c 在 正 方 形 网 格 中 的 位 置 如 图 所 示 ， 若 c=a b(， R)， 则 = . 14.如 图 ， 在 棱 长 为 2的 正 方 体 ABCD-A1B1C1D1中 ， E 为 BC 的 中 点 ， 点 P 在 线 段 D1E 上 ，点 P 到 直 线 CC1的 距 离 的 最 小 值 为 .三 、 解 答 题 共 6 小 题 ， 共 80 分 。 解 答 应 写 出 文 字 说 明 ， 演 算 步 骤
6、 或 证 明 过 程 . 15. (本 小 题 共 13 分 )在 ABC中 ， a=3， b=2 6 ， B=2 A.(I)求 cosA 的 值 ，(II)求 c 的 值16.( 本 小 题 共 13 分 )下 图 是 某 市 3月 1日 至 14日 的 空 气 质 量 指 数 趋 势 图 ， 空 气 质 量 指 数 小 于 100表 示 空 气 质量 优 良 ， 空 气 质 量 指 数 大 于 200表 示 空 气 重 度 污 染 ， 某 人 随 机 选 择 3月 1日 至 3月 13日中 的 某 一 天 到 达 该 市 ， 并 停 留 2天 （ ） 求 此 人 到 达 当 日 空 气 重
7、 度 污 染 的 概 率（ ） 设 X是 此 人 停 留 期 间 空 气 质 量 优 良 的 天 数 ， 求 X的 分 布 列 与 数 学 期 望 。（ ） 由 图 判 断 从 哪 天 开 始 连 续 三 天 的 空 气 质 量 指 数 方 差 最 大 ？ （ 结 论 不 要 求 证 明 ）17. (本 小 题 共 14 分 )如 图 ， 在 三 棱 柱 ABC-A1B1C1中 ， AA1C1C是 边 长 为 4的 正 方 形 ， 平 面 ABC 平 面 AA1C1C，AB=3， BC=5.（ ） 求 证 ： AA1 平 面 ABC；（ ） 求 二 面 角 A1-BC1-B1的 余 弦 值 ；
8、（ ） 证 明 ： 在 线 段 BC 1存 在 点 D， 使 得 AD A1B， 并 求 1BDBC 的 值 .18. (本 小 题 共 13 分 )设 L 为 曲 线 C： lnxy x 在 点 (1， 0)处 的 切 线 .(I)求 L 的 方 程 ；(II)证 明 ： 除 切 点 (1， 0)之 外 ， 曲 线 C在 直 线 L 的 下 方 19. (本 小 题 共 14 分 ) 已 知 A、 B、 C是 椭 圆 W： 2 2 14x y 上 的 三 个 点 ， O 是 坐 标 原 点 .(I)当 点 B是 W的 右 顶 点 ， 且 四 边 形 OABC为 菱 形 时 ， 求 此 菱 形
9、 的 面 积 .(II)当 点 B不 是 W的 顶 点 时 ， 判 断 四 边 形 OABC是 否 可 能 为 菱 形 ， 并 说 明 理 由 .20. (本 小 题 共 13 分 )已 知 an是 由 非 负 整 数 组 成 的 无 穷 数 列 ， 该 数 列 前 n 项 的 最 大 值 记 为 An， 第 n 项 之 后各 项 1na ， 2na 的 最 小 值 记 为 Bn， dn=An Bn(I)若 an为 2， 1， 4， 3， 2， 1， 4， 3， 是 一 个 周 期 为 4的 数 列 (即 对 任 意 n N*， 4n na a )，写 出 d1， d2， d3， d4的 值
10、；(II)设 d 为 非 负 整 数 ， 证 明 ： d n= d(n=1,2,3)的 充 分 必 要 条 件 为 an为 公 差 为 d 的 等 差 数列 ；(III)证 明 ： 若 a1=2， dn=1(n=1,2,3)， 则 an的 项 只 能 是 1或 2， 且 有 无 穷 多 项 为 1 要 使 可 行 域 存 在 ， 必 有 m 2m+1， 要 求 可 行 域 内 包 含 直 线 1 12y x 上 的 点 ， 只 要 边 界 点( m， 1 2m)在 直 线 1 12y x 上 方 ， 且 (-m， m)在 直 线 1 12y x 下 方 ， 解 不 等 式 组1 2 11 2
11、121 12m mm mm m 得 m 23 2 2 141 1 1, 32 4 4=2 3 xA B C W y OAC OBtA tAC 已 知 ， ， ， 是 椭 圆 ： 上 的 三 个 点 ， 是 坐 标 的 原 点 。（ 1） 当 点 B是 W的 右 顶 点 ， 且 四 边 形 OABC为 菱 形 时 ， 求 次 菱 形 的 面 积 ；（ 2） 当 点 B不 是 W的 右 顶 点 时 ， 判 断 四 边 形 OABC是 否 可 能 为 菱 形 ， 并 说 明 理 由 。解 ： （ 1） 因 为 四 边 形 OABC为 菱 形 ， 所 以 与 相 互 垂 直 平 分 ， 所 以 可 设
12、（ t， ） ， 代 入 椭 圆 方 程 式 得 即所 以（ 2） 假 设 四 边 形 OABC为 菱 形 因 为 2 2 2 2 21 1 2 21 2 1 2 1 22 22 24 4+ 8 4 4 04 ,2 1 4 2 2 1 441 4 1 4x y yy kx m kmx mAx x y y x xkm mk mk kkm mAC k k 点 B不 是 W的 顶 点 ， 且 AC OB,所 以 k 0 由 消 并 整 理 得 （ 1 4k ） x 设 （ x ,y） ,C(x ,y ),则 所 以 的 中 点 为 M（ ， ）因 为 M为 AC和 OB的 交 点 ， 且 m 0,k
13、 0,所 以 直 线 OB的 斜 141 1,4 kk AC OBkOABCB W OABC 率 为因 为 （ ） 所 以 与 不 垂 直所 以 不 是 菱 形 ， 与 假 设 矛 盾所 以 当 点 不 是 的 顶 点 时 ， 四 边 形 不 可 能 是 菱 形 。 1 2 31 1, 2 111 1+11 2, 3, 6(2) 0, 1 .,.n-1, A ,.n-1, d A (1 )dd 0 = ( .n-2),d, ni i i iii i i i iii id d da q a a ai a B ai B a a a q qq id （ 20） （ 共 13分 ）解 ： （ 1）以
14、为 公 比 ， 所 以 是 递 增 数 列 因 此 ， 对 =1,2， 于 是 对 1,2， 因 此 且 1,2， 即 d 2 11 2 1 +1+1 +1 +1+1 1 1 +11, 2 11 1., .,n-2 0d =max , ., ( .n-1)n n i ii i i i i i i ii i i i i i in i idd d d di BA B B d d B d AA A a a A A aa a a A a iA d 是 等 比 数 列（ 3） 设 为 的 公 差 对 1 ， 因 为 B ,d ， 所 以 又 因 为 ， 所 以 从 而 是 递 增 数 列 .因 此 1,2， 又 因 为 B 1 1 1 1 1 1 2 111 2 1 1 +1 1 2 1 , .= .n-2 d , . nn n ni i i i n ii i i in a d a a a aa BB B B aa A B d a di a a d da a a 所 以 B 因 此 所 以 所 以 因 此 对 1,2， 都 有即 是 等 差 数 列
