1、2013年 山 东 省 烟 台 市 中 考 真 题 数 学一 、 选 择 题 （ 本 题 共 12小 题 ， 每 小 题 3 分 ， 满 分 36分 ）1.（ 3分 ） 6 的 倒 数 是 （ ）A.B.C.6D. 6网 版 权 所 有解 析 ： 乘 积 是 1 的 两 个 数 叫 做 互 为 倒 数 .答 案 ： B. 2.（ 3 分 ） 以 下 是 回 收 、 绿 色 包 装 、 节 水 、 低 碳 四 个 标 志 ， 其 中 是 中 心 对 称 图 形 的 是 （ ）A.B.C. D. 所 有解 析 ： A、 不 是 中 心 对 称 图 形 ， 故 本 选 项 错 误 ；B、 是 中 心
2、 对 称 图 形 ， 故 本 选 项 正 确 ；C、 不 是 中 心 对 称 图 形 ， 故 本 选 项 错 误 ；D、 不 是 中 心 对 称 图 形 ， 故 本 选 项 错 误 ；答 案 ： B.3.（ 3 分 ） “ 厉 行 勤 俭 节 约 ， 反 对 铺 张 浪 费 ” 势 在 必 行 ， 最 新 统 计 数 据 显 示 ， 中 国 每 年 浪 费食 物 总 量 折 合 粮 食 大 约 是 210000000 人 一 年 的 口 粮 .将 210000000 用 科 学 记 数 法 表 示 为（ ）A.2.1 10 9B.0.21 109C.2.1 108D.21 107 解 析 ：
3、科 学 记 数 法 的 表 示 形 式 为 a 10n的 形 式 ， 其 中 1 |a| 10， n为 整 数 .将 210000000用 科 学 记 数 法 表 示 为 ： 2.1 108.答 案 ： C.4.（ 3分 ） 下 列 水 平 放 置 的 几 何 体 中 ， 俯 视 图 不 是 圆 的 是 （ ）A.B. C.D.解 析 ： 俯 视 图 是 从 上 往 下 看 得 到 的 视 图 .A、 俯 视 图 是 一 个 圆 ， 故 本 选 项 错 误 ；B、 俯 视 图 是 一 个 圆 ， 故 本 选 项 错 误 ；C、 俯 视 图 是 一 个 正 方 形 ， 不 是 圆 ， 故 本 选
4、 项 正 确 ；D、 俯 视 图 是 一 个 圆 ， 故 本 选 项 错 误 ；答 案 ： C.5.（ 3分 ） 下 列 各 运 算 中 ， 正 确 的 是 （ ）A.3a+2a=5a 2B.（ 3a3） 2=9a6C.a4 a2=a3D.（ a+2） 2=a2+4解 析 ： A、 3a+2a=5a， 原 式 计 算 错 误 ， 故 本 选 项 错 误 ；B、 （ 3a3） 2=9a6， 原 式 计 算 正 确 ， 故 本 选 项 正 确 ；C、 a4 a2=a2， 原 式 计 算 错 误 ， 故 本 选 项 错 误 ；D、 （ a+2） 2=a2+4a+4， 原 式 计 算 错 误 ， 故
5、本 选 项 错 误 ；答 案 ： B.6.（ 3分 ） 如 图 ， 将 四 边 形 ABCD先 向 左 平 移 3 个 单 位 ， 再 向 上 平 移 2 个 单 位 ， 那 么 点 A 的对 应 点 A 的 坐 标 是 （ ） A.（ 6， 1）B.（ 0， 1）C.（ 0， 3）D.（ 6， 3）解 析 ： 四 边 形 ABCD先 向 左 平 移 3 个 单 位 ， 再 向 上 平 移 2 个 单 位 ，因 此 点 A 也 先 向 左 平 移 3个 单 位 ， 再 向 上 平 移 2个 单 位 ，由 图 可 知 ， A 坐 标 为 （ 0， 1） .答 案 ： B.7.（ 3分 ） 一 个
6、 多 边 形 截 去 一 个 角 后 ， 形 成 另 一 个 多 边 形 的 内 角 和 为 720 ， 那 么 原 多 边 形的 边 数 为 （ ）A.5B.5或 6 C.5或 7D.5或 6或 7解 析 ： 设 内 角 和 为 720 的 多 边 形 的 边 数 是 n， 则 （ n 2） 180=720，解 得 ： n=6.则 原 多 边 形 的 边 数 为 5 或 6 或 7.答 案 ： D.8.（ 3分 ） 将 正 方 形 图 1 作 如 下 操 作 ： 第 1 次 ： 分 别 连 接 各 边 中 点 如 图 2， 得 到 5 个 正 方 形 ；第 2 次 ： 将 图 2 左 上 角
7、 正 方 形 按 上 述 方 法 再 分 割 如 图 3， 得 到 9个 正 方 形 ， 以 此 类 推 ， 根据 以 上 操 作 ， 若 要 得 到 2013 个 正 方 形 ， 则 需 要 操 作 的 次 数 是 （ ） A.502B.503C.504D.505解 析 ： 第 1次 ： 分 别 连 接 各 边 中 点 如 图 2， 得 到 4+1=5 个 正 方 形 ；第 2 次 ： 将 图 2左 上 角 正 方 形 按 上 述 方 法 再 分 割 如 图 3， 得 到 4 2+1=9个 正 方 形 ， 以 此 类 推 ， 根 据 以 上 操 作 ， 若 第 n次 得 到 2013 个 正
8、 方 形 ， 则 4n+1=2013，解 得 ： n=503.答 案 ： B.9.（ 3 分 ） 已 知 实 数 a， b 分 别 满 足 a2 6a+4=0， b2 6b+4=0， 且 a b， 则 的 值 是 （ ）A.7B. 7C.11D. 11解 析 ： 根 据 已 知 两 等 式 得 到 a 与 b 为 方 程 x 2 6x+4=0 的 两 根 ， 利 用 根 与 系 数 的 关 系 求 出a+b与 ab的 值 ， 所 求 式 子 通 分 并 利 用 同 分 母 分 式 的 加 法 法 则 计 算 ， 再 利 用 完 全 平 方 公 式 变形 ， 将 a+b与 ab 的 值 代 入
9、计 算 即 可 求 出 值 .答 案 ： A10.（ 3分 ） 如 图 ， 已 知 O1的 半 径 为 1cm， O2的 半 径 为 2cm， 将 O1， O2放 置 在 直 线 l上 ， 如 果 O 1在 直 线 l 上 任 意 滚 动 ， 那 么 圆 心 距 O1O2的 长 不 可 能 是 （ ）A.6cmB.3cmC.2cmD.0.5cm解 析 ： O 1的 半 径 为 1cm， O2的 半 径 为 2cm， 当 两 圆 内 切 时 ， 圆 心 距 为 1， O1在 直 线 l上 任 意 滚 动 ， 两 圆 不 可 能 内 含 ， 圆 心 距 不 能 小 于 1，答 案 ： D.11.（
10、 3分 ） 如 图 是 二 次 函 数 y=ax 2+bx+c 图 象 的 一 部 分 ， 其 对 称 轴 为 x= 1， 且 过 点 （ 3，0） .下 列 说 法 ： abc 0； 2a b=0； 4a+2b+c 0； 若 （ 5， y1） ， （ ， y2） 是 抛 物 线 上 两 点 ， 则 y1 y2.其 中 说 法 正 确 的 是 （ ） A. B. C. D. 解 析 ： 二 次 函 数 的 图 象 的 开 口 向 上 ， a 0， 二 次 函 数 的 图 象 y轴 的 交 点 在 y轴 的 负 半 轴 上 ， c 0， 二 次 函 数 图 象 的 对 称 轴 是 直 线 x=
11、1， = 1， b=2a 0， abc 0， 正 确 ； 2a b=2a 2a=0， 正 确 ； 二 次 函 数 y=ax2+bx+c 图 象 的 一 部 分 ， 其 对 称 轴 为 x= 1， 且 过 点 （ 3， 0） . 与 x轴 的 另 一 个 交 点 的 坐 标 是 （ 1， 0） ， 把 x=2代 入 y=ax2+bx+c得 ： y=4a+2b+c 0， 错 误 ； 二 次 函 数 y=ax2+bx+c 图 象 的 对 称 轴 为 x= 1， 点 （ 5， y1） 关 于 对 称 轴 的 对 称 点 的 坐 标 是 （ 3， y1） ，根 据 当 x 1 时 ， y随 x的 增 大
12、 而 增 大 ， 3， y 2 y1， 正 确 ；答 案 ： C.12.（ 3 分 ） 如 图 1， E 为 矩 形 ABCD边 AD 上 一 点 ， 点 P 从 点 B沿 折 线 BE ED DC运 动 到 点 C时 停 止 ， 点 Q 从 点 B沿 BC运 动 到 点 C 时 停 止 ， 它 们 运 动 的 速 度 都 是 1cm/s.若 P， Q 同 时 开始 运 动 ， 设 运 动 时 间 为 t（ s） ， BPQ的 面 积 为 y（ cm2） .已 知 y与 t的 函 数 图 象 如 图 2， 则下 列 结 论 错 误 的 是 （ ） A.AE=6cmB.sin EBC=C.当 0
13、 t 10时 ， y= t2D.当 t=12s 时 ， PBQ是 等 腰 三 角 形解 析 ： （ 1） 结 论 A 正 确 .理 由 如 下 ：解 析 函 数 图 象 可 知 ， BC=10cm， ED=4cm， 故 AE=AD ED=BC ED=10 4=6cm；（ 2） 结 论 B 正 确 .理 由 如 下 ：如 答 图 1 所 示 ， 连 接 EC， 过 点 E 作 EF BC于 点 F， 由 函 数 图 象 可 知 ， BC=BE=10cm， S BEC=40= BCEF= 10 EF， EF=8， sin EBC= = = ；（ 3） 结 论 C 正 确 .理 由 如 下 ：如 答
14、 图 2 所 示 ， 过 点 P 作 PG BQ 于 点 G， BQ=BP=t， y=S BPQ= BQPG= BQBPsin EBC= tt = t2.（ 4） 结 论 D 错 误 .理 由 如 下 ：当 t=12s 时 ， 点 Q 与 点 C重 合 ， 点 P 运 动 到 ED 的 中 点 ， 设 为 N， 如 答 图 3 所 示 ， 连 接 NB，NC.此 时 AN=8， ND=2， 由 勾 股 定 理 求 得 ： NB= ， NC= ， BC=10， BCN不 是 等 腰 三 角 形 ， 即 此 时 PBQ不 是 等 腰 三 角 形 . 二 、 填 空 题 （ 本 题 共 6 小 题
15、， 每 小 题 3 分 ， 满 分 18分 ）13.（ 3分 ） 分 解 因 式 ： a2b 4b3= .所 有解 析 ： a2b 4b3=b（ a2 4b2）=b（ a+2b） （ a 2b） .答 案 ： b（ a+2b） （ a 2b） .14.（ 3分 ） 不 等 式 的 最 小 整 数 解 是 .解 析 ： ，解 不 等 式 ， 得 x 1， 解 不 等 式 ， 得 x 2，所 以 不 等 式 组 的 解 集 为 x 2，所 以 最 小 整 数 解 为 3.答 案 ： x=3.15.（ 3分 ） 如 图 ， 四 边 形 ABCD是 等 腰 梯 形 ， ABC=60 ， 若 其 四 边
16、 满 足 长 度 的 众 数 为 5，平 均 数 为 ， 上 、 下 底 之 比 为 1： 2， 则 BD= . 解 析 ： 设 梯 形 的 四 边 长 为 5， 5， x， 2x，则 = ，x=5，则 AB=CD=5， AD=5， BC=10， AB=AD， ABD= ADB， AD BC， ADB= DBC， ABD= DBC， ABC=60 ， DBC=30 ， 等 腰 梯 形 ABCD， AB=DC， C= ABC=60 ， BDC=90 ， 在 Rt BDC中 ， 由 勾 股 定 理 得 ： BD= =5 ，答 案 ： 5 . 16.（ 3 分 ） 如 图 ， ABCD的 周 长 为
17、 36， 对 角 线 AC， BD相 交 于 点 O.点 E是 CD的 中 点 ， BD=12，则 DOE的 周 长 为 .解 析 ： ABCD的 周 长 为 36， 2（ BC+CD） =36， 则 BC+CD=18. 四 边 形 ABCD 是 平 行 四 边 形 ， 对 角 线 AC， BD 相 交 于 点 O， BD=12， OD=OB= BD=6.又 点 E 是 CD 的 中 点 ， OE 是 BCD的 中 位 线 ， DE= CD， OE= BC， DOE的 周 长 =OD+OE+DE= BD+ （ BC+CD） =6+9=15，即 DOE的 周 长 为 15.答 案 ： 15.17
18、.（ 3分 ） 如 图 ， ABC 中 ， AB=AC， BAC=54 ， BAC的 平 分 线 与 AB 的 垂 直 平 分 线 交 于点 O， 将 C 沿 EF（ E 在 BC上 ， F在 AC上 ） 折 叠 ， 点 C 与 点 O 恰 好 重 合 ， 则 OEC为 度 . 解 析 ： 如 图 ， 连 接 OB、 OC， BAC=54 ， AO 为 BAC的 平 分 线 ， BAO= BAC= 54 =27 ，又 AB=AC， ABC= （ 180 BAC） = （ 180 54 ） =63 ， DO 是 AB的 垂 直 平 分 线 ， OA=OB， ABO= BAO=27 ， OBC=
19、ABC ABO=63 27 =36 ， AO 为 BAC的 平 分 线 ， AB=AC， AOB AOC（ SAS） ， OB=OC， 点 O在 BC的 垂 直 平 分 线 上 ，又 DO是 AB的 垂 直 平 分 线 ， 点 O是 ABC的 外 心 ， OCB= OBC=36 ， 将 C 沿 EF（ E 在 BC 上 ， F在 AC上 ） 折 叠 ， 点 C 与 点 O 恰 好 重 合 ， OE=CE， COE= OCB=36 ，在 OCE中 ， OEC=180 COE OCB=180 36 36 =108 .答 案 ： 108.18.（ 3分 ） 如 图 ， 正 方 形 ABCD的 边 长
20、 为 4， 点 E 在 BC 上 ， 四 边 形 EFGB也 是 正 方 形 ， 以 B为 圆 心 ， BA长 为 半 径 画 ， 连 结 AF， CF， 则 图 中 阴 影 部 分 面 积 为 . 解 析 ： 设 正 方 形 EFGB 的 边 长 为 a， 则 CE=4 a， AG=4+a，阴 影 部 分 的 面 积 =S 扇 形 ABC+S 正 方 形 EFGB+S CEF S AGF= +a2+ a（ 4 a） a（ 4+a）=4 +a2+2a a2 2a a2=4 .答 案 ： 4 .三 、 解 答 题 （ 本 大 题 共 8 个 小 题 ， 满 分 46分 ）19.（ 6分 ） 先
21、化 简 ， 再 求 值 ： ， 其 中 x满 足 x 2+x 2=0.解 析 ： 先 根 据 分 式 混 合 运 算 的 法 则 把 原 式 进 行 化 简 ， 再 求 出 x的 值 ， 把 x 的 值 代 入 进 行 计算 即 可 . 答 案 ： 原 式 = = = ，由 x 2+x 2=0， 解 得 x1= 2， x2=1， x 1， 当 x= 2 时 ， 原 式 = = .20.（ 6分 ） 如 图 ， 一 艘 海 上 巡 逻 船 在 A地 巡 航 ， 这 时 接 到 B 地 海 上 指 挥 中 心 紧 急 通 知 ： 在指 挥 中 心 北 偏 西 60 方 向 的 C地 ， 有 一 艘
22、 渔 船 遇 险 ， 要 求 马 上 前 去 救 援 .此 时 C 地 位 于 A 北偏 西 30 方 向 上 ， A 地 位 于 B 地 北 偏 西 75 方 向 上 ， A、 B 两 地 之 间 的 距 离 为 12海 里 .求 A、C两 地 之 间 的 距 离 （ 参 考 数 据 ： 1.41， 1.73， 2.45， 结 果 精 确 到 0.1） 解 析 ： 过 点 B作 BD CA交 CA 延 长 线 于 点 D， 根 据 题 意 可 得 ACB和 ABC的 度 数 ， 然 后根 据 三 角 形 外 角 定 理 求 出 DAB的 度 数 ， 已 知 AB=12海 里 ， 可 求 出
23、BD、 AD 的 长 度 ， 在 Rt CBD中 ， 解 直 角 三 角 形 求 出 CD 的 长 度 ， 继 而 可 求 出 A、 C 之 间 的 距 离 .答 案 ： 过 点 B 作 BD CA 交 CA延 长 线 于 点 D， 由 题 意 得 ， ACB=60 30 =30 ， ABC=75 60 =15 ， DAB= DBA=45 ，在 Rt ABD中 ， AB=12， DAB=45 ， BD=AD=ABcos45 =6 ， 在 Rt CBD中 ， CD= =6 ， AC=6 6 6.2（ 海 里 ） .答 ： A、 C 两 地 之 间 的 距 离 约 为 6.2海 里 .21.（ 7
24、分 ） 如 图 ， 在 直 角 坐 标 系 中 ， 矩 形 OABC的 顶 点 O与 坐 标 原 点 重 合 ， A、 C 分 别 在 坐 标轴 上 ， 点 B的 坐 标 为 （ 4， 2） ， 直 线 y= x+3交 AB， BC分 别 于 点 M， N， 反 比 例 函 数 y= 的图 象 经 过 点 M， N.（ 1） 求 反 比 例 函 数 的 解 析 式 ；（ 2） 若 点 P 在 y 轴 上 ， 且 OPM的 面 积 与 四 边 形 BMON的 面 积 相 等 ， 求 点 P的 坐 标 . 解 析 ： （ 1） 求 出 OA=BC=2， 将 y=2代 入 y= x+3求 出 x=2
25、， 得 出 M 的 坐 标 ， 把 M 的 坐 标 代入 反 比 例 函 数 的 解 析 式 即 可 求 出 答 案 ；（ 2） 求 出 四 边 形 BMON 的 面 积 ， 求 出 OP 的 值 ， 即 可 求 出 P 的 坐 标 .答 案 ： （ 1） B（ 4， 2） ， 四 边 形 OABC 是 矩 形 ， OA=BC=2，将 y=2代 入 y= x+3得 ： x=2， M（ 2， 2） ，把 M 的 坐 标 代 入 y= 得 ： k=4， 反 比 例 函 数 的 解 析 式 是 y= ； （ 2） S 四 边 形 BMON=S 矩 形 OABC S AOM S CON=4 2 4=4
26、，由 题 意 得 ： OP AM=4， AM=2， OP=4， 点 P 的 坐 标 是 （ 0， 4） 或 （ 0， 4） .22.（ 9分 ） 今 年 以 来 ， 我 国 持 续 大 面 积 的 雾 霾 天 气 让 环 保 和 健 康 问 题 成 为 焦 点 .为 了 调 查 学生 对 雾 霾 天 气 知 识 的 了 解 程 度 ， 某 校 在 学 生 中 做 了 一 次 抽 样 调 查 ， 调 查 结 果 共 分 为 四 个 等 级 ： A.非 常 了 解 ； B.比 较 了 解 ； C.基 本 了 解 ； D.不 了 解 .根 据 调 查 统 计 结 果 ， 绘 制 了 不 完 整 的
27、三种 统 计 图 表 .对 雾 霾 了 解 程 度 的 统 计 表 ： 对 雾 霾 的 了 解 程 度 百 分 比A.非 常 了 解 5%B.比 较 了 解 mC.基 本 了 解 45%D.不 了 解 n请 结 合 统 计 图 表 ， 回 答 下 列 问 题 .（ 1） 本 次 参 与 调 查 的 学 生 共 有 人 ， m= ， n= ；（ 2） 图 2 所 示 的 扇 形 统 计 图 中 D 部 分 扇 形 所 对 应 的 圆 心 角 是 度 ；（ 3） 请 补 全 图 1 示 数 的 条 形 统 计 图 ； （ 4） 根 据 调 查 结 果 ， 学 校 准 备 开 展 关 于 雾 霾 知
28、 识 竞 赛 ， 某 班 要 从 “ 非 常 了 解 ” 态 度 的 小 明和 小 刚 中 选 一 人 参 加 ， 现 设 计 了 如 下 游 戏 来 确 定 ， 具 体 规 则 是 ： 把 四 个 完 全 相 同 的 乒 乓 球 标上 数 字 1， 2， 3， 4， 然 后 放 到 一 个 不 透 明 的 袋 中 ， 一 个 人 先 从 袋 中 随 机 摸 出 一 个 球 ， 另 一人 再 从 剩 下 的 三 个 球 中 随 机 摸 出 一 个 球 .若 摸 出 的 两 个 球 上 的 数 字 和 为 奇 数 ， 则 小 明 去 ； 否则 小 刚 去 .请 用 树 状 图 或 列 表 法 说
29、 明 这 个 游 戏 规 则 是 否 公 平 . 解 析 ： （ 1） 根 据 “ 基 本 了 解 ” 的 人 数 以 及 所 占 比 例 ， 可 求 得 总 人 数 ； 在 根 据 频 数 、 百 分比 之 间 的 关 系 ， 可 得 m， n 的 值 ；（ 2） 根 据 在 扇 形 统 计 图 中 ， 每 部 分 占 总 体 的 百 分 比 等 于 该 部 分 所 对 应 的 扇 形 圆 心 的 度 数 与360 的 比 可 得 出 统 计 图 中 D 部 分 扇 形 所 对 应 的 圆 心 角 ；（ 3） 根 据 D 等 级 的 人 数 为 ： 400 35%=140； 可 得 （ 3）
30、 的 答 案 ；（ 4） 用 树 状 图 列 举 出 所 有 可 能 ， 进 而 得 出 答 案 .答 案 ： （ 1） 利 用 条 形 图 和 扇 形 图 可 得 出 ： 本 次 参 与 调 查 的 学 生 共 有 ： 180 45%=400；m= 100%=15%， n=1 5% 15% 45%=35%；（ 2） 图 2 所 示 的 扇 形 统 计 图 中 D 部 分 扇 形 所 对 应 的 圆 心 角 是 ： 360 35%=126 ；（ 3） D 等 级 的 人 数 为 ： 400 35%=140； 如 图 所 示 ： ；（ 4） 列 树 状 图 得 ：所 以 从 树 状 图 可 以
31、看 出 所 有 可 能 的 结 果 有 12种 ， 数 字 之 和 为 奇 数 的 有 8 种 ，则 小 明 参 加 的 概 率 为 ： P= = ，小 刚 参 加 的 概 率 为 ： P= = ， 故 游 戏 规 则 不 公 平 .答 案 ： 400， 15%， 35%； 126.23.（ 8分 ） 烟 台 享 有 “ 苹 果 之 乡 ” 的 美 誉 .甲 、 乙 两 超 市 分 别 用 3000元 以 相 同 的 进 价 购 进质 量 相 同 的 苹 果 .甲 超 市 销 售 方 案 是 ： 将 苹 果 按 大 小 分 类 包 装 销 售 ， 其 中 大 苹 果 400 千 克 ，以 进
32、价 的 2倍 价 格 销 售 ， 剩 下 的 小 苹 果 以 高 于 进 价 10%销 售 .乙 超 市 的 销 售 方 案 是 ： 不 将 苹果 按 大 小 分 类 ， 直 接 包 装 销 售 ， 价 格 按 甲 超 市 大 、 小 两 种 苹 果 售 价 的 平 均 数 定 价 .若 两 超 市将 苹 果 全 部 售 完 ， 其 中 甲 超 市 获 利 2100元 （ 其 它 成 本 不 计 ） .问 ：（ 1） 苹 果 进 价 为 每 千 克 多 少 元 ？（ 2） 乙 超 市 获 利 多 少 元 ？ 并 比 较 哪 种 销 售 方 式 更 合 算 .解 析 ： （ 1） 先 设 苹 果
33、 进 价 为 每 千 克 x元 ， 根 据 两 超 市 将 苹 果 全 部 售 完 ， 其 中 甲 超 市 获 利 2100元 列 出 方 程 ， 求 出 x的 值 ， 再 进 行 检 验 即 可 求 出 答 案 ；（ 2） 根 据 （ 1） 求 出 每 个 超 市 苹 果 总 量 ， 再 根 据 大 、 小 苹 果 售 价 分 别 为 10元 和 5.5元 ， 求 出 乙 超 市 获 利 ， 再 与 甲 超 市 获 利 2100元 相 比 较 即 可 .答 案 ： （ 1） 设 苹 果 进 价 为 每 千 克 x元 ， 根 据 题 意 得 ：400 x+10%x（ 400） =2100，解
34、得 ： x=5，经 检 验 x=5是 原 方 程 的 解 ，答 ： 苹 果 进 价 为 每 千 克 5元 . （ 2） 由 （ 1） 得 ， 每 个 超 市 苹 果 总 量 为 ： =600（ 千 克 ） ，大 、 小 苹 果 售 价 分 别 为 10元 和 5.5元 ，则 乙 超 市 获 利 600 （ 5） =1650（ 元 ） ， 甲 超 市 获 利 2100 元 ， 甲 超 市 销 售 方 式 更 合 算 .24.如 图 ， AB是 O 的 直 径 ， BC是 O 的 切 线 ， 连 接 AC 交 O于 点 D， E为 上 一 点 ， 连 结AE， BE， BE交 AC于 点 F， 且
35、 AE 2=EFEB.（ 1） 求 证 ： CB=CF；（ 2） 若 点 E 到 弦 AD的 距 离 为 1， cos C= ， 求 O的 半 径 . 解 析 ： （ 1） 如 图 1， 通 过 相 似 三 角 形 （ AEF AEB） 的 对 应 角 相 等 推 知 ， 1= EAB；又 由 弦 切 角 定 理 、 对 顶 角 相 等 证 得 2= 3； 最 后 根 据 等 角 对 等 边 证 得 结 论 ；（ 2） 如 图 2， 连 接 OE交 AC于 点 G， 设 O的 半 径 是 r.根 据 （ 1） 中 的 相 似 三 角 形 的 性 质 证得 4= 5， 所 以 由 “ 圆 周 角
36、 、 弧 、 弦 间 的 关 系 ” 推 知 点 E 是 弧 AD 的 中 点 ， 则 OE AD； 然后 通 过 解 直 角 ABC求 得 cos C=sin GAO= = ， 则 以 求 r 的 值 .答 案 ： （ 1） 证 明 ： 如 图 1， AE2=EFEB， = .又 AEF= AEB， AEF AEB， 1= EAB. 1= 2， 3= EAB， 2= 3， CB=CF；（ 2） 解 ： 如 图 2， 连 接 OE交 AC 于 点 G， 设 O的 半 径 是 r.由 （ 1） 知 ， AEF AEB， 则 4= 5. = . OE AD， EG=1. cos C= ， 且 C+
37、 GAO=90 ， sin GAO= ， = ， 即 = ， 解 得 ， r= ， 即 O的 半 径 是 .25.（ 10分 ） 已 知 ， 点 P是 直 角 三 角 形 ABC斜 边 AB 上 一 动 点 （ 不 与 A， B 重 合 ） ， 分 别 过 A，B向 直 线 CP作 垂 线 ， 垂 足 分 别 为 E， F， Q 为 斜 边 AB的 中 点 .（ 1） 如 图 1， 当 点 P与 点 Q 重 合 时 ， AE与 BF 的 位 置 关 系 是 ， QE与 QF的 数 量 关 系式 ；（ 2） 如 图 2， 当 点 P在 线 段 AB上 不 与 点 Q 重 合 时 ， 试 判 断
38、QE与 QF 的 数 量 关 系 ， 并 给 予 证明 ；（ 3） 如 图 3， 当 点 P在 线 段 BA（ 或 AB） 的 延 长 线 上 时 ， 此 时 （ 2） 中 的 结 论 是 否 成 立 ？ 请画 出 图 形 并 给 予 证 明 . 解 析 ： （ 1） 证 BFQ AEQ即 可 ；（ 2） 证 FBQ DAQ， 推 出 QF=QD， 根 据 直 角 三 角 形 斜 边 上 中 线 性 质 求 出 即 可 ；（ 3） 证 AEQ BDQ， 推 出 DQ=QE， 根 据 直 角 三 角 形 斜 边 上 中 线 性 质 求 出 即 可 .答 案 ： （ 1） AE BF， QE=QF
39、，理 由 是 ： 如 图 1， Q 为 AB 中 点 ， AQ=BQ， BF CP， AE CP， BF AE， BFQ= AEQ=90 ，在 BFQ和 AEQ中 BFQ AEQ（ AAS） ， QE=QF，答 案 ： AE BF； QE=QF.（ 2） QE=QF，证 明 ： 如 图 2， 延 长 FQ 交 AE于 D， Q 为 AB 中 点 ， AQ=BQ， BF CP， AE CP， BF AE， QAD= FBQ，在 FBQ和 DAQ中 FBQ DAQ（ ASA） ， QF=QD， AE CP， EQ 是 直 角 三 角 形 DEF斜 边 上 的 中 线 ， QE=QF=QD，即 QE
40、=QF.（ 3） （ 2） 中 的 结 论 仍 然 成 立 ，证 明 ： 如 图 3，延 长 EQ、 FB交 于 D， Q 为 AB 中 点 ， AQ=BQ， BF CP， AE CP， BF AE， 1= D，在 AQE和 BQD中 ， AQE BQD（ AAS） ， QE=QD， BF CP， FQ 是 斜 边 DE上 的 中 线 ， QE=QF.26.如 图 ， 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 四 边 形 OABC是 边 长 为 2的 正 方 形 ， 二 次 函 数 y=ax2+bx+c的 图 象 经 过 点 A， B， 与 x轴 分 别 交 于 点 E， F， 且 点 E 的
41、坐 标 为 （ ， 0） ， 以 0C 为 直 径 作半 圆 ， 圆 心 为 D. （ 1） 求 二 次 函 数 的 解 析 式 ；（ 2） 求 证 ： 直 线 BE是 D 的 切 线 ；（ 3） 若 直 线 BE与 抛 物 线 的 对 称 轴 交 点 为 P， M 是 线 段 CB上 的 一 个 动 点 （ 点 M 与 点 B， C 不重 合 ） ， 过 点 M 作 MN BE交 x轴 与 点 N， 连 结 PM， PN， 设 CM 的 长 为 t， PMN的 面 积 为 S，求 S 与 t 的 函 数 关 系 式 ， 并 写 出 自 变 量 t 的 取 值 范 围 .S 是 否 存 在 着
42、 最 大 值 ？ 若 存 在 ， 求 出最 大 值 ； 若 不 存 在 ， 请 说 明 理 由 . 解 析 ： （ 1） 根 据 题 意 易 得 点 A、 B 的 坐 标 ， 然 后 把 点 A、 B、 E 的 坐 标 分 别 代 入 二 次 函 数 解析 式 ， 列 出 关 于 a、 b、 c的 方 程 组 ， 利 用 三 元 一 次 方 程 组 来 求 得 系 数 的 值 ；（ 2） 如 图 ， 过 点 D 作 DG BE 于 点 G， 构 建 相 似 三 角 形 EGD ECB， 根 据 它 的 对 应 边 成 比例 得 到 = ， 由 此 求 得 DG=1（ 圆 的 半 径 是 1）
43、， 则 易 证 得 结 论 ；（ 3） 利 用 待 定 系 数 法 求 得 直 线 BE 为 ： y= x+ .则 易 求 P（ 1， ） .然 后 由 相 似 三 角 形 MNC BEC的 对 应 边 成 比 例 ， 线 段 间 的 和 差 关 系 得 到 CN= t， DN= t 1.所 以 S=S PND+S 梯形 PDCM S MNC= + t（ 0 t 2） .由 抛 物 线 的 性 质 可 以 求 得 S 的 最 值 .答 案 ： （ 1） 由 题 意 ， 得 A（ 0， 2） ， B（ 2， 2） ， E 的 坐 标 为 （ ， 0） ，则 ，解 得 ， ， 该 二 次 函 数
44、的 解 析 式 为 ： y= x2+ x+2；（ 2） 如 图 ， 过 点 D 作 DG BE于 点 G.由 题 意 ， 得 ED= +1= ， EC=2+ = ， BC=2， BE= = . BEC= DEG， EGD= ECB=90 ， EGD ECB， = ， DG=1. D的 半 径 是 1， 且 DG BE， BE 是 D的 切 线 ； （ 3） 由 题 意 ， 得 E（ ， 0） ， B（ 2， 2） .设 直 线 BE 为 y=kx+h（ k 0） .则，解 得 ， ， 直 线 BE 为 ： y= x+ . 直 线 BE 与 抛 物 线 的 对 称 轴 交 点 为 P， 对 称 轴 直 线 为 x=1， 点 P的 纵 坐 标 y= ， 即 P（ 1， ） . MN BE， MNC= BEC. C= C=90 ， MNC BEC， = ， = ， 则 CN= t， DN= t 1， S PND= DNPD= （ t 1） = t .S MNC= CNCM= tt= t2.S 梯 形 PDCM= （ PD+CM） CD= （ +t） 1= + t. S=S PND+S 梯 形 PDCM S MNC= + t（ 0 t 2） . 抛 物 线 S= + t（ 0 t 2） 的 开 口 方 向 向 下 ， S存 在 最 大 值 .当 t=1时 ， S 最 大 = .
