1、2013年 浙 江 省 杭 州 市 中 考 真 题 数 学一 、 仔 细 选 一 选 (本 题 有 10个 小 题 , 每 小 题 3 分 , 共 30分 )1.(3分 )下 列 “ 表 情 图 ” 中 , 属 于 轴 对 称 图 形 的 是 ( )A.B. C.D.解 析 : A、 不 是 轴 对 称 图 形 , 故 本 选 项 错 误 ;B、 不 是 轴 对 称 图 形 , 故 本 选 项 错 误 ;C、 不 是 轴 对 称 图 形 , 故 本 选 项 错 误 ;D、 是 轴 对 称 图 形 , 故 本 选 项 正 确 ;答 案 : D.2.(3分 )下 列 计 算 正 确 的 是 ( )
2、A. m 3+m2=m5B. m3 m2=m6C. (1-m)(1+m)=m2-1D.解 析 : A、 不 是 同 类 项 , 不 能 合 并 , 答 案 : 项 错 误 ;B、 m3 m2=m5, 答 案 : 项 错 误 ;C、 (1-m)(1+m)=1-m 2, 选 项 错 误 ;D、 正 确 .答 案 : D.3.(3分 )在 ABCD中 , 下 列 结 论 一 定 正 确 的 是 ( )A.AC BDB. A+ B=180 C.AB=AD D. A C解 析 : 四 边 形 ABCD是 平 行 四 边 形 , AD BC, A+ B=180 .答 案 : B.4.(3分 )若 a+b=
3、3, a-b=7, 则 ab=( )A. -10B. -40C. 10D. 40解 析 : 联 立 得 : , 解 得 : a=5, b=-2, 则 ab=-10.答 案 : A. 5.(3分 )根 据 2008 2012年 杭 州 市 实 现 地 区 生 产 总 值 (简 称 GDP, 单 位 : 亿 元 )统 计 图 所 提 供的 信 息 , 下 列 判 断 正 确 的 是 ( )A.2010 2012年 杭 州 市 每 年 GDP增 长 率 相 同B.2012年 杭 州 市 的 GDP比 2008年 翻 一 番C.2010年 杭 州 市 的 GDP未 达 到 5500亿 元 D.2008
4、 2012年 杭 州 市 的 GDP逐 年 增 长解 析 : A、 2010年 2011年 GDP 增 长 率 约 为 : = , 2011年 2012年 GDP 增 长率 约 为 = , 增 长 率 不 同 , 故 此 选 项 错 误 ;B、 2012年 杭 州 市 的 GDP约 为 7900, 2008年 GDP约 为 4900, 故 此 选 项 错 误 ;C、 2010年 杭 州 市 的 GDP超 过 到 5500亿 元 , 故 此 选 项 错 误 ;D、 2008 2012年 杭 州 市 的 GDP逐 年 增 长 , 故 此 选 项 正 确 ,答 案 : D.6.(3分 )如 图 ,
5、设 k= (a b 0), 则 有 ( ) A. k 2B. 1 k 2C.D.解 析 : 甲 图 中 阴 影 部 分 面 积 为 a2-b2,乙 图 中 阴 影 部 分 面 积 为 a(a-b), 则 k= = = =1+ , a b 0, 0 1,答 案 : B. 7.(3分 )在 一 个 圆 中 , 给 出 下 列 命 题 , 其 中 正 确 的 是 ( )A. 若 圆 心 到 两 条 直 线 的 距 离 都 等 于 圆 的 半 径 , 则 这 两 条 直 线 不 可 能 垂 直B. 若 圆 心 到 两 条 直 线 的 距 离 都 小 于 圆 的 半 径 , 则 这 两 条 直 线 与
6、圆 一 定 有 4 个 公 共 点C. 若 两 条 弦 所 在 直 线 不 平 行 , 则 这 两 条 弦 可 能 在 圆 内 有 公 共 点D. 若 两 条 弦 平 行 , 则 这 两 条 弦 之 间 的 距 离 一 定 小 于 圆 的 半 径解 析 : A、 圆 心 到 两 条 直 线 的 距 离 都 等 于 圆 的 半 径 时 , 两 条 直 线 可 能 垂 直 , 故 本 选 项 错 误 ;B、 当 圆 经 过 两 条 直 线 的 交 点 时 , 圆 与 两 条 直 线 有 三 个 交 点 ;C、 两 条 平 行 弦 所 在 直 线 没 有 交 点 , 故 本 选 项 正 确 ;D、
7、两 条 平 行 弦 之 间 的 距 离 一 定 小 于 直 径 , 但 不 一 定 小 于 半 径 , 故 本 选 项 错 误 ,答 案 : C.8.(3分 )如 图 是 某 几 何 体 的 三 视 图 , 则 该 几 何 体 的 体 积 是 ( ) A.B.C.D.解 析 : 由 三 视 图 可 看 出 : 该 几 何 体 是 -个 正 六 棱 柱 , 其 中 底 面 正 六 边 形 的 边 长 为 6, 高 是 2,所 以 该 几 何 体 的 体 积 =6 62 2=108 .答 案 : C.9.(3分 )在 Rt ABC中 , C=90 , 若 AB=4, sinA= , 则 斜 边 上
8、 的 高 等 于 ( ) A.B.C.D.解 析 : 根 据 题 意 画 出 图 形 , 如 图 所 示 , 在 Rt ABC中 , AB=4, sinA= , BC=ABsinA=2.4,根 据 勾 股 定 理 得 : AC= =3.2, S ABC= AC BC= AB CD, CD= = .答 案 : B10.(3分 )给 出 下 列 命 题 及 函 数 y=x, y=x2和 y= 的 图 象 : 如 果 , 那 么 0 a 1; 如 果 , 那 么 a 1; 如 果 , 那 么 -1 a 0; 如 果 时 , 那 么 a -1.则 ( )A. 正 确 的 命 题 是 B. 错 误 的
9、命 题 是 C. 正 确 的 命 题 是 D. 错 误 的 命 题 只 有 解 析 : 易 求 x=1时 , 三 个 函 数 的 函 数 值 都 是 1, 所 以 , 交 点 坐 标 为 (1, 1),根 据 对 称 性 , y=x和 y= 在 第 三 象 限 的 交 点 坐 标 为 (-1, -1), 如 果 , 那 么 0 a 1, 故 正 确 ; 如 果 , 那 么 a 1 或 -1 a 0, 故 错 误 ; 如 果 , 那 么 a值 不 存 在 , 故 错 误 ; 如 果 时 , 那 么 a -1, 故 正 确 .综 上 所 述 , 正 确 的 命 题 是 , 错 误 的 命 题 是
10、. 答 案 : A.二 、 认 真 填 一 填 (本 题 有 6 个 小 题 , 每 小 题 4 分 , 共 24分 )11.(4分 )32 3.14+3 (-9.42)= .解 析 : 原 式 =3 9.42+3 (-9.42)=3 9.42+(-9.42)=3 0=0.答 案 : 0.12.(4分 )把 7 的 平 方 根 和 立 方 根 按 从 小 到 大 的 顺 序 排 列 为 .解 析 : 7 的 平 方 根 为 - , ; 7 的 立 方 根 为 ,所 以 7的 平 方 根 和 立 方 根 按 从 小 到 大 的 顺 序 排 列 为 - . 答 案 : - .13.(4分 )在 R
11、t ABC中 , C=90 , AB=2BC, 现 给 出 下 列 结 论 : sinA= ; cosB= ; tanA= ; tanB= , 其 中 正 确 的 结 论 是 (只 需 填 上 正 确 结 论 的 序 号 )解 析 : 如 图 所 示 : 在 Rt ABC中 , C=90 , AB=2BC, sinA= = , 故 错 误 ; A=30 , B=60 , cosB=cos60 = , 故 正 确 ; A=30 , tanA=tan30 = , 故 正 确 ; B=60 , tanB=tan60 = , 故 正 确 .答 案 : .14.(4分 )杭 州 市 某 4所 高 中 近
12、 两 年 的 最 低 录 取 分 数 线 如 下 表 (单 位 : 分 ), 设 4 所 高 中 2011年 和 2012 年 的 平 均 最 低 录 取 分 数 线 分 别 为 , , 则 = 分杭 州 市 某 4所 高 中 最 低 录 取 分 数 线 统 计 表 解 析 : 2011年 的 平 均 最 低 录 取 分 数 线 =(438+435+435+435) 4=435.75(分 ),2012年 的 平 均 最 低 录 取 分 数 线 =(442+442+439+439) 4=440.5(分 ),则 =440.5-435.75=4.75(分 );答 案 : 4.75.15.(4分 )四
13、 边 形 ABCD是 直 角 梯 形 , AB CD, AB BC, 且 BC=CD=2, AB=3, 把 梯 形 ABCD 分 别绕 直 线 AB, CD旋 转 一 周 , 所 得 几 何 体 的 表 面 积 分 别 为 S 1, S2, 则 |S1-S2|= (平 方 单 位 )解 析 : 绕 AB旋 转 一 周 形 成 的 圆 柱 的 侧 面 的 面 积 是 : 2 2 2=8 ;绕 CD 旋 转 一 周 形 成 的 圆 柱 的 侧 面 的 面 积 是 : 2 2 3=12 , 则 |S 1-S2|=4 .答 案 : 4 .16.(4分 )射 线 QN与 等 边 ABC的 两 边 AB,
14、 BC分 别 交 于 点 M, N, 且 AC QN, AM=MB=2cm, QM=4cm.动 点 P从 点 Q 出 发 , 沿 射 线 QN 以 每 秒 1cm的 速 度 向 右 移 动 , 经 过 t 秒 , 以 点 P 为 圆 心 , cm为 半 径 的 圆 与 ABC的 边 相 切 (切 点 在 边 上 ), 请 写 出 t 可 取 的 一 切 值 (单 位 : 秒 )解 析 : ABC是 等 边 三 角 形 , AB=AC=BC=AM+MB=4cm, A= C= B=60 , QN AC, AM=BM. N 为 BC 中 点 , MN= AC=2cm, BMN= BNM= C= A=
15、60 ,分 为 三 种 情 况 : 如 图 1,当 P切 AB于 M 时 , 连 接 PM , 则 PM = cm, PM M=90 , PMM = BMN=60 , M M=1cm, PM=2MM =2cm, QP=4cm-2cm=2cm, 即 t=2; 如 图 2, 当 P于 AC切 于 A 点 时 , 连 接 PA, 则 CAP= APM=90 , PMA= BMN=60 , AP= cm, PM=1cm, QP=4cm-1cm=3cm, 即 t=3,当 P于 AC切 于 C 点 时 , 连 接 P C,则 CP N= ACP =90 , P NC= BNM=60 , CP = cm,
16、P N=1cm, QP=4cm+2cm+1cm=7cm, 即 当 3 t 7时 , P和 AC边 相 切 ; 如 图 3, 当 P切 BC于 N 时 , 连 接 PN 则 PN = cm, PN N=90 , PNN = BNM=60 , N N=1cm, PN=2NN =2cm, QP=4cm+2cm+2cm=8cm, 即 t=8;答 案 : t=2或 3 t 7或 t=8.三 、 全 面 答 一 答 (本 题 有 7 个 小 题 , 共 66分 )17.(6分 )如 图 , 四 边 形 ABCD是 矩 形 , 用 直 尺 和 圆 规 作 出 A 的 平 分 线 与 BC边 的 垂 直 平
17、分 线的 交 点 Q(不 写 作 法 , 保 留 作 图 痕 迹 ).连 结 QD, 在 新 图 形 中 , 你 发 现 了 什 么 ? 请 写 出 一 条 . 解 析 : 根 据 角 平 分 线 的 作 法 以 及 线 段 垂 直 平 分 线 的 作 法 得 出 Q点 位 置 , 进 而 利 用 垂 直 平 分 线的 作 法 得 出 答 案 即 可 .答 案 : 如 图 所 示 : 发 现 : DQ=AQ 或 者 QAD= QDA等 等 . 18.(8分 )当 x 满 足 条 件 时 , 求 出 方 程 x2-2x-4=0的 根 .解 析 : 通 过 解 一 元 一 次 方 程 组 求 得
18、2 x 4.然 后 利 用 求 根 公 式 x= 求 得 方程 x2-2x-4=0的 根 , 由 x的 取 值 范 围 来 取 舍 该 方 程 的 根 .答 案 : 由 , 求 得 , 则 2 x 4.解 方 程 x 2-2x-4=0可 得 x1=1+ , x2=1- , 2 3, 3 1+ 4, 符 合 题 意 x=1+ .19.(8分 )如 图 , 在 等 腰 梯 形 ABCD中 , AB DC, 线 段 AG, BG 分 别 交 CD于 点 E, F, DE=CF.求 证 : GAB是 等 腰 三 角 形 .解 析 : 由 在 等 腰 梯 形 ABCD 中 , AB DC, DE=CF,
19、 利 用 SAS, 易 证 得 ADE BCF, 即 可 得 DAE= CBF, 则 可 得 GAB= GBA, 然 后 由 等 角 对 等 边 , 证 得 : GAB是 等 腰 三 角 形 .答 案 : 在 等 腰 梯 形 中 ABCD 中 , AD=BC, D= C, DAB= CBA, 在 ADE和 BCF中 , , ADE BCF(SAS), DAE= CBF, GAB= GBA, GA=GB, 即 GAB为 等 腰 三 角 形 .20.(10分 )已 知 抛 物 线 y1=ax2+bx+c(a 0)与 x 轴 相 交 于 点 A, B(点 A, B在 原 点 O两 侧 ), 与y轴
20、相 交 于 点 C, 且 点 A, C 在 一 次 函 数 y2= x+n的 图 象 上 , 线 段 AB长 为 16, 线 段 OC 长 为8, 当 y 1随 着 x 的 增 大 而 减 小 时 , 求 自 变 量 x 的 取 值 范 围 .解 析 : 根 据 OC的 长 度 确 定 出 n 的 值 为 8 或 -8, 然 后 分 n=8时 求 出 点 A 的 坐 标 , 然 后 确 定抛 物 线 开 口 方 向 向 下 并 求 出 点 B 的 坐 标 , 再 求 出 抛 物 线 的 对 称 轴 解 析 式 , 然 后 根 据 二 次 函 数的 增 减 性 求 出 x 的 取 值 范 围 ;
21、 n=-8时 求 出 点 A 的 坐 标 , 然 后 确 定 抛 物 线 开 口 方 向 向 上 并求 出 点 B 的 坐 标 , 再 求 出 抛 物 线 的 对 称 轴 解 析 式 , 然 后 根 据 二 次 函 数 的 增 减 性 求 出 x 的 取 值范 围 .答 案 : 根 据 OC 长 为 8 可 得 一 次 函 数 中 的 n 的 值 为 8 或 -8.分 类 讨 论 : n=8时 , 易 得 A(-6, 0)如 图 1, 抛 物 线 经 过 点 A、 C, 且 与 x轴 交 点 A、 B在 原 点 的 两 侧 , 抛 物 线 开 口 向 下 , 则 a 0, AB=16, 且 A
22、(-6, 0), B(10, 0), 而 A、 B 关 于 对 称 轴 对 称 , 对 称 轴 直 线 x= =2,要 使 y1随 着 x 的 增 大 而 减 小 , 且 a 0, x 2; n=-8时 , 易 得 A(6, 0), 如 图 2, 抛 物 线 过 A、 C 两 点 , 且 与 x 轴 交 点 A, B在 对 称 轴 两 侧 , 抛 物 线 开 口 向 上 , 则 a 0, AB=16, 且 A(6, 0), B(-10, 0), 而 A、 B 关 于 对 称 轴 对 称 , 对 称 轴 直 线 x= =-2, 要 使 y1随 着 x 的 增 大 而 减 小 , 且 a 0, x
23、 -2.综 上 所 述 , x 2或 x -2.21.(10分 )某 班 有 50位 学 生 , 每 位 学 生 都 有 一 个 序 号 , 将 50张 编 有 学 生 序 号 (从 1 号 到 50号 )的 卡 片 (除 序 号 不 同 外 其 它 均 相 同 )打 乱 顺 序 重 新 排 列 , 从 中 任 意 抽 取 1 张 卡 片 .(1)在 序 号 中 , 是 20的 倍 数 的 有 : 20, 40, 能 整 除 20 的 有 : 1, 2, 4, 5, 10(为 了 不 重 复 计数 , 20只 计 一 次 ), 求 取 到 的 卡 片 上 序 号 是 20 的 倍 数 或 能
24、整 除 20的 概 率 ;(2)若 规 定 : 取 到 的 卡 片 上 序 号 是 k(k 是 满 足 1 k 50 的 整 数 ), 则 序 号 是 k 的 倍 数 或 能 整除 k(不 重 复 计 数 )的 学 生 能 参 加 某 项 活 动 , 这 一 规 定 是 否 公 平 ? 请 说 明 理 由 ;(3)请 你 设 计 一 个 规 定 , 能 公 平 地 选 出 10位 学 生 参 加 某 项 活 动 , 并 说 明 你 的 规 定 是 符 合 要 求的 .解 析 : (1)由 在 序 号 中 , 是 20 的 倍 数 的 有 : 20, 40, 能 整 除 20 的 有 : 1,
25、2, 4, 5, 10(为 了不 重 复 计 数 , 20只 计 一 次 ), 直 接 利 用 概 率 公 式 求 解 即 可 求 得 答 案 ; (2)无 论 k 取 何 值 , 都 能 被 1 整 除 , 则 序 号 为 1 的 学 生 被 抽 中 的 概 率 为 1, 即 100%, 而 很 明显 抽 到 其 他 序 号 学 生 概 率 不 为 100%.可 知 此 游 戏 不 公 平 ;(3)可 设 计 为 : 先 抽 出 一 张 , 记 下 数 字 , 然 后 放 回 .若 下 一 次 抽 到 的 数 字 与 之 前 抽 到 过 的 重 复 ,则 不 记 数 , 放 回 , 重 新
26、抽 取 .不 断 重 复 , 直 至 抽 满 10 个 不 同 的 数 字 为 止 .答 案 : (1) 在 序 号 中 , 是 20 的 倍 数 的 有 : 20, 40, 能 整 除 20 的 有 : 1, 2, 4, 5, 10(为 了不 重 复 计 数 , 20只 计 一 次 ), 是 20倍 数 或 者 能 整 除 20 的 数 有 7 个 ,则 取 到 的 卡 片 上 序 号 是 20的 倍 数 或 能 整 除 20 的 概 率 为 : ;(2)不 公 平 ; 无 论 k 取 何 值 , 都 能 被 1 整 除 , 则 序 号 为 1 的 学 生 被 抽 中 的 概 率 为 1,
27、即 100%,而 很 明 显 抽 到 其 它 序 号 学 生 概 率 不 为 100%. 不 公 平 ; (3)先 抽 出 一 张 , 记 下 数 字 , 然 后 放 回 .若 下 一 次 抽 到 的 数 字 与 之 前 抽 到 过 的 重 复 , 则 不 记 数 ,放 回 , 重 新 抽 取 .不 断 重 复 , 直 至 抽 满 10 个 不 同 的 数 字 为 止 .(为 保 证 每 个 数 字 每 次 被 抽 到 的 概 率 都 是 )22.(12分 )(1)先 求 解 下 列 两 题 : 如 图 , 点 B, D 在 射 线 AM 上 , 点 C, E 在 射 线 AN 上 , 且 A
28、B=BC=CD=DE, 已 知 EDM=84 ,求 A的 度 数 ; 如 图 , 在 直 角 坐 标 系 中 , 点 A在 y轴 正 半 轴 上 , AC x轴 , 点 B, C 的 横 坐 标 都 是 3, 且BC=2, 点 D在 AC上 , 且 横 坐 标 为 1, 若 反 比 例 函 数 的 图 象 经 过 点 B, D, 求k的 值 .(2)解 题 后 , 你 发 现 以 上 两 小 题 有 什 么 共 同 点 ? 请 简 单 地 写 出 .解 析 : (1) 根 据 等 边 对 等 角 可 得 A= BCA, CBD= BDC, ECD= CED, 再 根 据 三 角 形 的一 个
29、外 角 等 于 与 它 不 相 邻 的 两 个 内 角 的 和 可 得 A+ BCA= CBD, A+ CDB= ECD, A+ CED= EDM, 然 后 用 A表 示 出 EDM, 计 算 即 可 求 解 ; 先 根 据 反 比 例 函 数 图 象 上 的 点 的 坐 标 特 征 表 示 出 点 B 的 坐 标 , 再 表 示 出 点 C的 坐 标 , 然 后根 据 AC x轴 可 得 点 C、 D 的 纵 坐 标 相 同 , 从 而 表 示 出 点 D 的 坐 标 , 再 代 入 反 比 例 函 数 解 析式 进 行 计 算 即 可 得 解 .(2)从 数 学 思 想 上 考 虑 解 答
30、 .答 案 : (1) AB=BC=CD=DE, A= BCA, CBD= BDC, ECD= CED, 根 据 三 角 形 的 外 角 性 质 , A+ BCA= CBD, A+ CDB= ECD, A+ CED= EDM,又 EDM=84 , A+3 A=84 , 解 得 , A=21 ; 点 B 在 反 比 例 函 数 y= 图 象 上 , 点 B, C的 横 坐 标 都 是 3, 点 B(3, ), BC=2, 点 C(3, +2), AC x 轴 , 点 D 在 AC 上 , 且 横 坐 标 为 1, D(1, +2), 点 D也 在 反 比 例 函 数 图 象 上 , +2=k,
31、解 得 , k=3;(2)用 已 知 的 量 通 过 关 系 去 表 达 未 知 的 量 , 使 用 转 换 的 思 维 和 方 法 .(开 放 题 )23.(12分 )如 图 , 已 知 正 方 形 ABCD的 边 长 为 4, 对 称 中 心 为 点 P, 点 F 为 BC 边 上 一 个 动 点 , 点 E 在 AB 边 上 , 且 满 足 条 件 EPF=45 , 图 中 两 块 阴 影 部 分 图 形 关 于 直 线 AC 成 轴 对 称 , 设它 们 的 面 积 和 为 S1.(1)求 证 : APE= CFP;(2)设 四 边 形 CMPF的 面 积 为 S 2, CF=x, .
32、 求 y关 于 x 的 函 数 解 析 式 和 自 变 量 x的 取 值 范 围 , 并 求 出 y的 最 大 值 ; 当 图 中 两 块 阴 影 部 分 图 形 关 于 点 P 成 中 心 对 称 时 , 求 y的 值 .解 析 : (1)利 用 正 方 形 与 三 角 形 的 相 关 角 之 间 的 关 系 可 以 证 明 结 论 ;(2)本 问 关 键 是 求 出 y 与 x 之 间 的 函 数 解 析 式 . 首 先 分 别 用 x表 示 出 S1与 S2, 然 后 计 算 出 y与 x的 函 数 解 析 式 .这 是 一 个 二 次 函 数 , 求 出其 最 大 值 ; 注 意 中
33、心 对 称 、 轴 对 称 的 几 何 性 质 .答 案 : (1) EPF=45 , APE+ FPC=180 -45 =135 ;而 在 PFC中 , 由 于 PC 为 正 方 形 ABCD的 对 角 线 , 则 PCF=45 ,则 CFP+ FPC=180 -45 =135 , APE= CFP.(2) APE= CFP, 且 FCP= PAE=45 , APE CFP, 则 .而 在 正 方 形 ABCD中 , AC为 对 角 线 , 则 AC= AB= ,又 P为 对 称 中 心 , 则 AP=CP= , AE= = = .如 图 , 过 点 P 作 PH AB 于 点 H, PG
34、BC于 点 G, P为 AC中 点 , 则 PH BC, 且 PH= BC=2, 同 理 PG=2.S APE= = 2 = , 阴 影 部 分 关 于 直 线 AC 轴 对 称 , APE与 APN也 关 于 直 线 AC 对 称 ,则 S 四 边 形 AEPN=2S APE= ; 而 S2=2S PFC=2 =2x, S1=S 正 方 形 ABCD-S 四 边 形 AEPN-S2=16- -2x, y= = = + -1. E 在 AB 上 运 动 , F在 BC上 运 动 , 且 EPF=45 , 2 x 4.令 =a, 则 y=-8a 2+8a-1, 当 a= = , 即 x=2时 , y取 得 最 大 值 .而 x=2在 x的 取 值 范 围 内 , 代 入 x=2, 则 y 最 大 =4-2-1=1. y 关 于 x的 函 数 解 析 式 为 : y= + -1(2 x 4), y 的 最 大 值 为 1. 图 中 两 块 阴 影 部 分 图 形 关 于 点 P成 中 心 对 称 ,而 此 两 块 图 形 也 关 于 直 线 AC 成 轴 对 称 , 则 阴 影 部 分 图 形 自 身 关 于 直 线 BD 对 称 ,则 EB=BF, 即 AE=FC, =x, 解 得 x= , 代 入 x= , 得 y= -2.