1、2013年 山 东 省 德 州 市 中 考 真 题 数 学一 、 选 择 题 （ 共 12 小 题 ， 每 小 题 3 分 ， 满 分 36 分 ）1.（ 3分 ） 下 列 计 算 正 确 的 是 （ ）A. =9B. = 2C.（ 2） 0= 1D. 5 3|=2 解 析 ： A、 （ ） 2=9， 该 式 计 算 正 确 ， 故 本 选 项 正 确 ；B、 =2， 该 式 计 算 错 误 ， 故 本 选 项 错 误 ；C、 （ 2） 0=1， 该 式 计 算 错 误 ， 故 本 选 项 错 误 ；D、 | 5 3|=8， 该 式 计 算 错 误 ， 故 本 选 项 错 误 ；答 案 ： A
2、.2.（ 3分 ） 民 族 图 案 是 数 学 文 化 中 的 一 块 瑰 宝 .下 列 图 案 中 ， 既 不 是 中 心 对 称 图 形 也 不 是 轴对 称 图 形 的 是 （ ） A.B.C. D. 解 析 ： A、 不 是 轴 对 称 图 形 ， 是 中 心 对 称 图 形 ， 故 本 选 项 错 误 ；B、 是 轴 对 称 图 形 ， 也 是 中 心 对 称 图 形 ， 故 本 选 项 错 误 ；C、 不 是 轴 对 称 图 形 ， 也 不 是 中 心 对 称 图 形 ， 故 本 选 项 正 确 ；D、 是 轴 对 称 图 形 ， 不 是 中 心 对 称 图 形 ， 故 本 选 项
3、 错 误 .答 案 ： C.3.（ 3分 ） 森 林 是 地 球 之 肺 ， 每 年 能 为 人 类 提 供 大 约 28.3亿 吨 的 有 机 物 .28.3 亿 吨 用 科 学记 数 法 表 示 为 （ ）A.28.3 10 7B.2.83 108C.0.283 1010D.2.83 109解 析 ： 科 学 记 数 法 的 表 示 形 式 为 a 10n的 形 式 ， 其 中 1 |a| 10， n 为 整 数 .确 定 n 的 值时 ， 要 看 把 原 数 变 成 a 时 ， 小 数 点 移 动 了 多 少 位 ， n的 绝 对 值 与 小 数 点 移 动 的 位 数 相 同 .当原
4、数 绝 对 值 1时 ， n 是 正 数 ； 当 原 数 的 绝 对 值 1时 ， n 是 负 数 .答 案 ： D.4.（ 3分 ） 如 图 ， AB CD， 点 E 在 BC 上 ， 且 CD=CE， D=74 ， 则 B的 度 数 为 （ ） A.68B.32C.22D.16解 析 ： CD=CE， D= DEC， D=74 ， C=180 74 2=32 ， AB CD， B= C=32 .答 案 ： B.5.（ 3分 ） 图 中 三 视 图 所 对 应 的 直 观 图 是 （ ） A.B.C. D.解 析 ： 从 俯 视 图 可 以 看 出 直 观 图 的 下 面 部 分 为 长 方
5、 体 ， 上 面 部 分 为 圆 柱 ， 且 与 下 面 的 长 方体 的 顶 面 的 两 边 相 切 高 度 相 同 .只 有 C满 足 这 两 点 .答 案 ： C.6.（ 3分 ） 甲 、 乙 两 人 在 一 次 百 米 赛 跑 中 ， 路 程 s（ 米 ） 与 赛 跑 时 间 t（ 秒 ） 的 关 系 如 图 所示 ， 则 下 列 说 法 正 确 的 是 （ ） A.甲 、 乙 两 人 的 速 度 相 同B.甲 先 到 达 终 点C.乙 用 的 时 间 短D.乙 比 甲 跑 的 路 程 多解 析 ： 结 合 图 象 可 知 ： 两 人 同 时 出 发 ， 甲 比 乙 先 到 达 终 点
6、 ， 甲 的 速 度 比 乙 的 速 度 快 ，答 案 ： B.7.（ 3分 ） 下 列 命 题 中 ， 真 命 题 是 （ ）A.对 角 线 相 等 的 四 边 形 是 等 腰 梯 形B.对 角 线 互 相 垂 直 平 分 的 四 边 形 是 正 方 形C.对 角 线 互 相 垂 直 的 四 边 形 是 菱 形 D.四 个 角 相 等 的 四 边 形 是 矩 形解 析 ： A、 根 据 对 角 线 相 等 的 四 边 形 也 可 能 是 矩 形 ， 故 此 选 项 错 误 ；B、 根 据 对 角 线 互 相 垂 直 平 分 的 四 边 形 是 菱 形 ， 故 此 选 项 错 误 ；C、 根
7、据 对 角 线 互 相 垂 直 平 分 的 四 边 形 是 菱 形 ， 故 此 选 项 错 误 ；D、 根 据 四 个 角 相 等 的 四 边 形 是 矩 形 ， 是 真 命 题 ， 故 此 选 项 正 确 .答 案 ： D.8.（ 3分 ） 下 列 函 数 中 ， 当 x 0 时 ， y随 x的 增 大 而 增 大 的 是 （ ）A.y= x+1B.y=x 2 1C.y=D.y= x2+1解 析 ： A、 y= x+1， 一 次 函 数 ， k 0， 故 y随 着 x 增 大 而 减 小 ， 故 A 错 误 ；B、 y=x2 1（ x 0） ， 故 当 图 象 在 对 称 轴 右 侧 ， y
8、随 着 x 的 增 大 而 增 大 ； 而 在 对 称 轴 左 侧 （ x 0） ， y 随 着 x的 增 大 而 减 小 ， 故 B 正 确 .C、 y= ， k=1 0， 在 每 个 象 限 里 ， y随 x的 增 大 而 减 小 ， 故 C 错 误 ；D、 y= x 2+1（ x 0） ， 故 当 图 象 在 对 称 轴 右 侧 ， y 随 着 x 的 增 大 而 减 小 ； 而 在 对 称 轴 左 侧（ x 0） ， y随 着 x 的 增 大 而 增 大 ， 故 D错 误 ；答 案 ： B.9.（ 3分 ） 一 项 “ 过 关 游 戏 ” 规 定 ： 在 过 第 n 关 时 要 将 一
9、 颗 质 地 均 匀 的 骰 子 （ 六 个 面 上 分别 刻 有 1 到 6 的 点 数 ） 抛 掷 n次 ， 若 n次 抛 掷 所 出 现 的 点 数 之 和 大 于 n2， 则 算 过 关 ； 否则 不 算 过 关 ， 则 能 过 第 二 关 的 概 率 是 （ ）A.B. C.D.解 析 ： 在 过 第 n 关 时 要 将 一 颗 质 地 均 匀 的 骰 子 （ 六 个 面 上 分 别 刻 有 1到 6的 点 数 ） 抛 掷n次 ， n 次 抛 掷 所 出 现 的 点 数 之 和 大 于 n2， 则 算 过 关 ； 能 过 第 二 关 的 抛 掷 所 出 现 的 点 数 之 和 需 要
10、 大 于 5，列 表 得 ： 共 有 36 种 等 可 能 的 结 果 ， 能 过 第 二 关 的 有 26种 情 况 ， 能 过 第 二 关 的 概 率 是 ： = .答 案 ： A.10.（ 3分 ） 如 图 ， 扇 形 AOB的 半 径 为 1， AOB=90 ， 以 AB 为 直 径 画 半 圆 ， 则 图 中 阴 影 部分 的 面 积 为 （ ） A.B.C.D.解 析 ： 在 Rt AOB 中 ， AB= = ，S 半 圆 = （ ） 2= ，S AOB= OB OA= ，S 扇 形 OBA= = ，故 S 阴 影 =S 半 圆 +S AOB S 扇 形 AOB= .答 案 ： C
11、.11.（ 3分 ） 函 数 y=x 2+bx+c 与 y=x的 图 象 如 图 所 示 ， 有 以 下 结 论 ： b2 4c 0； b+c+1=0； 3b+c+6=0； 当 1 x 3 时 ， x2+（ b 1） x+c 0. 其 中 正 确 的 个 数 为 （ ）A.1B.2C.3D.4 解 析 ： 函 数 y=x2+bx+c与 x轴 无 交 点 ， b2 4ac 0；故 错 误 ；当 x=1时 ， y=1+b+c=1，故 错 误 ； 当 x=3时 ， y=9+3b+c=3， 3b+c+6=0； 正 确 ； 当 1 x 3 时 ， 二 次 函 数 值 小 于 一 次 函 数 值 ， x
12、2+bx+c x， x2+（ b 1） x+c 0.故 正 确 .答 案 ： B.12.（ 3分 ） 如 图 ， 动 点 P从 （ 0， 3） 出 发 ， 沿 所 示 方 向 运 动 ， 每 当 碰 到 矩 形 的 边 时 反 弹 ，反 弹 时 反 射 角 等 于 入 射 角 ， 当 点 P第 2013 次 碰 到 矩 形 的 边 时 ， 点 P 的 坐 标 为 （ ） A.（ 1， 4）B.（ 5， 0）C.（ 6， 4）D.（ 8， 3）解 析 ： 如 图 ， 经 过 6 次 反 弹 后 动 点 回 到 出 发 点 （ 0， 3） ， 2013 6=335 3， 当 点 P 第 2013次
13、 碰 到 矩 形 的 边 时 为 第 336个 循 环 组 的 第 3 次 反 弹 ， 点 P 的 坐 标 为 （ 8， 3） .答 案 ： D.二 、 填 空 题 （ 共 5小 题 ， 每 小 题 4 分 ， 满 分 20 分 ）13.（ 4分 ） cos30 的 值 是 . 解 析 ： cos30 = = .答 案 ： .14.（ 4分 ） 如 图 ， 为 抄 近 路 践 踏 草 坪 是 一 种 不 文 明 的 现 象 ， 请 你 用 数 学 知 识 解 释 出 这 一 现象 的 原 因 . 解 析 ： 为 抄 近 路 践 踏 草 坪 原 因 是 ： 两 点 之 间 线 段 最 短 .答
14、案 ： 两 点 之 间 线 段 最 短 .15.（ 4分 ） 甲 乙 两 种 水 稻 试 验 品 中 连 续 5 年 的 平 均 单 位 面 积 产 量 如 下 （ 单 位 ： 吨 /公 顷 ）品 种 第 1 年 第 2年 第 3 年 第 4 年 第 5 年甲 9.8 9.9 10.1 10 10.2乙 9.4 10.3 10.8 9.7 9.8经 计 算 ， =10， =10， 试 根 据 这 组 数 据 估 计 中 水 稻 品 种 的 产 量 比 较 稳 定 .解 析 ： 甲 种 水 稻 产 量 的 方 差 是 ：（ 9.8 10） 2+（ 9.9 10） 2+（ 10.1 10） 2+（
15、 10 10） 2+（ 10.2 10） 2=0.02，乙 种 水 稻 产 量 的 方 差 是 ：（ 9.4 10） 2+（ 10.3 10） 2+（ 10.8 10） 2+（ 9.7 10） 2+（ 9.8 10） 2=0.224. 0.02 0.224， 产 量 比 较 稳 定 的 水 稻 品 种 是 甲 ， 答 案 ： 甲16.（ 4分 ） 函 数 y= 与 y=x 2图 象 交 点 的 横 坐 标 分 别 为 a， b， 则 + 的 值 为 .解 析 ： 根 据 题 意 得 =x 2，化 为 整 式 方 程 ， 整 理 得 x2 2x 1=0， 函 数 y= 与 y=x 2图 象 交
16、点 的 横 坐 标 分 别 为 a， b， a、 b为 方 程 x 2 2x 1=0的 两 根 ， a+b=2， ab= 1， + = = = 2.答 案 ： 2.17.（ 4分 ） 如 图 ， 在 正 方 形 ABCD中 ， 边 长 为 2的 等 边 三 角 形 AEF的 顶 点 E、 F 分 别 在 BC和 CD 上 ， 下 列 结 论 ： CE=CF； AEB=75 ； BE+DF=EF； S 正 方 形 ABCD=2+ .其 中 正 确 的 序 号 是 （ 把 你 认 为 正 确 的 都 填 上 ） .解 析 ： 四 边 形 ABCD 是 正 方 形 ， AB=AD， AEF是 等 边
17、 三 角 形 ， AE=AF，在 Rt ABE和 Rt ADF中 ， ， Rt ABE Rt ADF（ HL） ， BE=DF， BC=DC， BC BE=CD DF， CE=CF， 说 法 正 确 ； CE=CF， ECF是 等 腰 直 角 三 角 形 ， CEF=45 ， AEF=60 ， AEB=75 ， 说 法 正 确 ； 如 图 ， 连 接 AC， 交 EF于 G 点 ， AC EF， 且 AC平 分 EF， CAF DAF， DF FG， BE+DF EF， 说 法 错 误 ； EF=2， CE=CF= ，设 正 方 形 的 边 长 为 a，在 Rt ADF中 ，AD2+DF2=A
18、F2， 即 a2+（ a ） 2=4，解 得 a= ，则 a2=2+ ，S 正 方 形 ABCD=2+ ， 说 法 正 确 ，答 案 ： .三 、 答 案 题 （ 共 7小 题 ， 满 分 64 分 ）18.（ 6分 ） 先 化 简 ， 再 求 值 ： ， 其 中 a= 1.解 析 ： 将 括 号 内 的 部 分 通 分 后 相 减 ， 再 将 除 法 转 化 为 乘 法 后 代 入 求 值 .答 案 ： 原 式 = = = = .当 a= 1 时 ， 原 式 = =1. 19.（ 8分 ） 某 区 在 实 施 居 民 用 水 额 定 管 理 前 ， 对 居 民 生 活 用 水 情 况 进 行
19、 了 调 查 ， 下 表 是 通过 简 单 随 机 抽 样 获 得 的 50个 家 庭 去 年 月 平 均 用 水 量 （ 单 位 ： 吨 ） ， 并 将 调 查 数 据 进 行 如 下整 理 ：4.7 2.1 3.1 2.3 5.2 2.8 7.3 4.3 4.8 6.74.5 5.1 6.5 8.9 2.2 4.5 3.2 3.2 4.5 3.53.5 3.5 3.6 4.9 3.7 3.8 5.6 5.5 5.9 6.25.7 3.9 4.0 4.0 7.0 3.7 9.5 4.2 6.4 3.54.5 4.5 4.6 5.4 5.6 6.6 5.8 4.5 6.2 7.5频 数 分 布
20、 表 （ 1） 把 上 面 频 数 分 布 表 和 频 数 分 布 直 方 图 补 充 完 整 ；（ 2） 从 直 方 图 中 你 能 得 到 什 么 信 息 ？ （ 写 出 两 条 即 可 ） ；（ 3） 为 了 鼓 励 节 约 用 水 ， 要 确 定 一 个 用 水 量 的 标 准 ， 超 出 这 个 标 准 的 部 分 按 1.5倍 价 格 收费 ， 若 要 使 60%的 家 庭 收 费 不 受 影 响 ， 你 觉 得 家 庭 月 均 用 水 量 应 该 定 为 多 少 ？ 为 什 么 ？ 解 析 ： （ 1） 根 据 题 中 给 出 的 50个 数 据 ， 从 中 分 别 找 出 5.
21、0 x 6.5与 6.5 x 8.0 的个 数 ， 进 行 划 记 ， 得 到 对 应 的 频 数 ， 进 而 完 成 频 数 分 布 表 和 频 数 分 布 直 方 图 ；（ 2） 本 题 答 案 不 唯 一 .例 如 ： 从 直 方 图 可 以 看 出 ： 居 民 月 平 均 用 水 量 大 部 分 在 2.0至6.5之 间 ； 居 民 月 平 均 用 水 量 在 3.5 x 5.0范 围 内 的 最 多 ， 有 19 户 ；（ 3） 由 于 50 60%=30， 所 以 为 了 鼓 励 节 约 用 水 ， 要 使 60%的 家 庭 收 费 不 受 影 响 ， 即 要 使30户 的 家 庭
22、 收 费 不 受 影 响 ， 而 11+19=30， 故 家 庭 月 均 用 水 量 应 该 定 为 5 吨 .答 案 ： （ 1） 频 数 分 布 表 如 下 ： 频 数 分 布 直 方 图 如 下 ： （ 2） 从 直 方 图 可 以 看 出 ： 居 民 月 平 均 用 水 量 大 部 分 在 2.0 至 6.5之 间 ； 居 民 月 平 均 用水 量 在 3.5 x 5.0范 围 内 的 最 多 ， 有 19 户 ；（ 3） 要 使 60%的 家 庭 收 费 不 受 影 响 ， 你 觉 得 家 庭 月 均 用 水 量 应 该 定 为 5 吨 ， 因 为 月 平 均 用水 量 不 超 过
23、5 吨 的 有 30户 ， 30 50=60%.20.（ 8分 ） 如 图 ， 已 知 O 的 半 径 为 1， DE是 O 的 直 径 ， 过 点 D作 O 的 切 线 AD， C 是AD的 中 点 ， AE 交 O于 B点 ， 四 边 形 BCOE是 平 行 四 边 形 .（ 1） 求 AD的 长 ；（ 2） BC是 O 的 切 线 吗 ？ 若 是 ， 给 出 证 明 ； 若 不 是 ， 说 明 理 由 . 解 析 ： （ 1） 连 接 BD， 由 ED为 圆 O 的 直 径 ， 利 用 直 径 所 对 的 圆 周 角 为 直 角 得 到 DBE为 直角 ， 由 BCOE为 平 行 四 边
24、 形 ， 得 到 BC 与 OE 平 行 ， 且 BC=OE=1， 在 直 角 三 角 形 ABD中 ， C 为AD的 中 点 ， 利 用 斜 边 上 的 中 线 等 于 斜 边 的 一 半 求 出 AD的 长 即 可 ； （ 2） 连 接 OB， 由 BC与 OD平 行 ， BC=OD， 得 到 四 边 形 BCDO为 平 行 四 边 形 ， 由 AD为 圆 的 切线 ， 利 用 切 线 的 性 质 得 到 OD垂 直 于 AD， 可 得 出 四 边 形 BCDO为 矩 形 ， 利 用 矩 形 的 性 质 得 到OB垂 直 于 BC， 即 可 得 出 BC 为 圆 O 的 切 线 .答 案
25、： （ 1） 连 接 BD， DE是 直 径 DBE=90 ， 四 边 形 BCOE 为 平 行 四 边 形 ， BC OE， BC=OE=1，在 Rt ABD中 ， C 为 AD 的 中 点 ， BC= AD=1，则 AD=2；（ 2） 是 ， 理 由 如 下 ：如 图 ， 连 接 OB. BC OD， BC=OD， 四 边 形 BCDO 为 平 行 四 边 形 ， AD 为 圆 O的 切 线 ， OD AD， 四 边 形 BCDO 为 矩 形 ， OB BC，则 BC 为 圆 O 的 切 线 . 21.（ 10分 ） 某 地 计 划 用 120 180天 （ 含 120与 180天 ） 的
26、 时 间 建 设 一 项 水 利 工 程 ， 工 程需 要 运 送 的 土 石 方 总 量 为 360万 米 3.（ 1） 写 出 运 输 公 司 完 成 任 务 所 需 的 时 间 y（ 单 位 ： 天 ） 与 平 均 每 天 的 工 作 量 x（ 单 位 ： 万米 3） 之 间 的 函 数 关 系 式 ， 并 给 出 自 变 量 x 的 取 值 范 围 ；（ 2） 由 于 工 程 进 度 的 需 要 ， 实 际 平 均 每 天 运 送 土 石 比 原 计 划 多 5000米 3， 工 期 比 原 计 划 减少 了 24天 ， 原 计 划 和 实 际 平 均 每 天 运 送 土 石 方 各
27、是 多 少 万 米 3？解 析 ： （ 1） 利 用 “ 每 天 的 工 作 量 天 数 =土 方 总 量 ” 可 以 得 到 两 个 变 量 之 间 的 函 数 关 系 ；（ 2） 根 据 “ 工 期 比 原 计 划 减 少 了 24 天 ” 找 到 等 量 关 系 并 列 出 方 程 求 解 即 可 ；答 案 ： （ 1） 由 题 意 得 ， y=把 y=120 代 入 y= ， 得 x=3 把 y=180 代 入 y= ， 得 x=2， 自 变 量 的 取 值 范 围 为 ： 2 x 3， y= （ 2 x 3） ； （ 2） 设 原 计 划 平 均 每 天 运 送 土 石 方 x 万
28、米 3， 则 实 际 平 均 每 天 运 送 土 石 方 （ x+0.5） 万 米 3，根 据 题 意 得 ： =24，解 得 ： x=2.5 或 x= 3经 检 验 x=2.5 或 x= 3 均 为 原 方 程 的 根 ， 但 x= 3 不 符 合 题 意 ， 故 舍 去 ，答 ： 原 计 划 每 天 运 送 2.5万 米 3， 实 际 每 天 运 送 3 万 米 3.22.（ 10分 ） 设 A 是 由 2 4 个 整 数 组 成 的 2行 4列 的 数 表 ， 如 果 某 一 行 （ 或 某 一 列 ） 各 数之 和 为 负 数 ， 则 改 变 该 行 （ 或 该 列 ） 中 所 有 数
29、 的 符 号 ， 称 为 一 次 “ 操 作 ” .（ 1） 数 表 A 如 表 1 所 示 ， 如 果 经 过 两 次 “ 操 作 ” ， 使 得 到 的 数 表 每 行 的 各 数 之 和 与 每 列 的各 数 之 和 均 为 非 负 整 数 ， 请 写 出 每 次 “ 操 作 ” 后 所 得 的 数 表 ； （ 写 出 一 种 方 法 即 可 ）表 1 1 2 3 7 2 1 0 1（ 2） 数 表 A 如 表 2 所 示 ， 若 经 过 任 意 一 次 “ 操 作 ” 以 后 ， 便 可 使 得 到 的 数 表 每 行 的 各 数 之和 与 每 列 的 各 数 之 和 均 为 非 负
30、整 数 ， 求 整 数 a 的 值 .表 2 a a2 1 a a22 a 1 a2 a 2 a2解 析 ： （ 1） 根 据 某 一 行 （ 或 某 一 列 ） 各 数 之 和 为 负 数 ， 则 改 变 改 行 （ 或 该 列 ） 中 所 有 数的 符 号 ， 称 为 一 次 “ 操 作 ” ， 先 改 变 表 1 的 第 4列 ， 再 改 变 第 2 行 即 可 ；（ 2） 根 据 每 一 列 所 有 数 之 和 分 别 为 2， 0， 2， 0， 每 一 行 所 有 数 之 和 分 别 为 1， 1， 然后 分 别 根 据 如 果 操 作 第 三 列 或 第 一 行 ， 根 据 每 行
31、 的 各 数 之 和 与 每 列 的 各 数 之 和 均 为 非 负 整数 ， 列 出 不 等 式 组 ， 求 出 不 等 式 组 的 解 集 ， 即 可 得 出 答 案 .答 案 ： （ 1） 根 据 题 意 得 ： 原 数 表 改 变 第 4 列 得 ： 再 改 变 第 2行 得 ：1 2 3 72 1 0 1（ 2） 每 一 列 所 有 数 之 和 分 别 为 2， 0， 2， 0， 每 一 行 所 有 数 之 和 分 别 为 1， 1， 则 ： 如 果 操 作 第 三 列 ，a a2 1 a a22 a 1 a2 2 a a2第 一 行 之 和 为 2a 1， 第 二 行 之 和 为
32、5 2a，解 得 ： a ， 又 a为 整 数 ， a=1或 a=2， 如 果 操 作 第 一 行 ， a 1 a2 a a22 a 1 a2 a 2 a2则 每 一 列 之 和 分 别 为 2 2a， 2 2a2， 2a 2， 2a2，已 知 2a2 0， 则 ：，解 得 a=1，验 证 当 a=1时 ， 满 足 不 等 式 ，综 上 可 知 ： a=1. 23.（ 10分 ） （ 1） 如 图 1， 已 知 ABC， 以 AB、 AC为 边 向 ABC外 作 等 边 ABD和 等 边 ACE，连 接 BE， CD， 请 你 完 成 图 形 ， 并 证 明 ： BE=CD； （ 尺 规 作
33、图 ， 不 写 作 法 ， 保 留 作 图 痕 迹 ） ；（ 2） 如 图 2， 已 知 ABC， 以 AB、 AC 为 边 向 外 作 正 方 形 ABFD和 正 方 形 ACGE， 连 接 BE， CD，BE与 CD有 什 么 数 量 关 系 ？ 简 单 说 明 理 由 ；（ 3） 运 用 （ 1） 、 （ 2） 答 案 中 所 积 累 的 经 验 和 知 识 ， 完 成 下 题 ：如 图 3， 要 测 量 池 塘 两 岸 相 对 的 两 点 B， E 的 距 离 ， 已 经 测 得 ABC=45 ， CAE=90 ，AB=BC=100米 ， AC=AE， 求 BE的 长 . 解 析 ：
34、（ 1） 分 别 以 A、 B 为 圆 心 ， AB长 为 半 径 画 弧 ， 两 弧 交 于 点 D， 连 接 AD， BD， 同 理连 接 AE， CE， 如 图 所 示 ， 由 三 角 形 ABD与 三 角 形 ACE都 是 等 边 三 角 形 ， 得 到 三 对 边 相 等 ，两 个 角 相 等 ， 都 为 60度 ， 利 用 等 式 的 性 质 得 到 夹 角 相 等 ， 利 用 SAS得 到 三 角 形 CAD 与 三 角形 EAB全 等 ， 利 用 全 等 三 角 形 的 对 应 边 相 等 即 可 得 证 ；（ 2） BE=CD， 理 由 与 （ 1） 同 理 ；（ 3） 根
35、据 （ 1） 、 （ 2） 的 经 验 ， 过 A 作 等 腰 直 角 三 角 形 ABD， 连 接 CD， 由 AB=AD=100， 利 用勾 股 定 理 求 出 BD 的 长 ， 由 题 意 得 到 三 角 形 DBC为 直 角 三 角 形 ， 利 用 勾 股 定 理 求 出 CD 的 长 ，即 为 BE 的 长 .答 案 ： （ 1） 完 成 图 形 ， 如 图 所 示 ：证 明 ： ABD和 ACE 都 是 等 边 三 角 形 ， AD=AB， AC=AE， BAD= CAE=60 ， BAD+ BAC= CAE+ BAC， 即 CAD= EAB， 在 CAD和 EAB 中 ， ， C
36、AD EAB（ SAS） ， BE=CD；（ 2） BE=CD， 理 由 同 （ 1） ， 四 边 形 ABFD 和 ACGE均 为 正 方 形 ， AD=AB， AC=AE， BAD= CAE=90 ， CAD= EAB， 在 CAD和 EAB 中 ， CAD EAB（ SAS） ， BE=CD； （ 3） 由 （ 1） 、 （ 2） 的 解 题 经 验 可 知 ， 过 A 作 等 腰 直 角 三 角 形 ABD， BAD=90 ，则 AD=AB=100 米 ， ABD=45 ， BD=100 米 ，连 接 CD， 则 由 （ 2） 可 得 BE=CD， ABC=45 ， DBC=90 ，在
37、 Rt DBC中 ， BC=100 米 ， BD=100 米 ，根 据 勾 股 定 理 得 ： CD= =100 米 ，则 BE=CD=100 米 . 24.（ 12分 ） 如 图 ， 在 直 角 坐 标 系 中 有 一 直 角 三 角 形 AOB， O 为 坐 标 原 点 ， OA=1，tan BAO=3， 将 此 三 角 形 绕 原 点 O逆 时 针 旋 转 90 ， 得 到 DOC， 抛 物 线 y=ax2+bx+c经 过点 A、 B、 C.（ 1） 求 抛 物 线 的 解 析 式 ；（ 2） 若 点 P 是 第 二 象 限 内 抛 物 线 上 的 动 点 ， 其 横 坐 标 为 t，
38、设 抛 物 线 对 称 轴 l与 x轴 交 于 一 点 E， 连 接 PE， 交 CD 于 F， 求 出 当 CEF与 COD相 似时 ， 点 P 的 坐 标 ； 是 否 存 在 一 点 P， 使 PCD 的 面 积 最 大 ？ 若 存 在 ， 求 出 PCD的 面 积 的 最 大 值 ； 若 不 存 在 ，请 说 明 理 由 . 解 析 ： （ 1） 先 求 出 A、 B、 C 的 坐 标 ， 再 运 用 待 定 系 数 法 就 可 以 直 接 求 出 二 次 函 数 的 解 析式 ；（ 2） 由 （ 1） 的 解 析 式 可 以 求 出 抛 物 线 的 对 称 轴 ， 分 类 讨 论 当
39、CEF=90 时 ， 当 CFE=90 时 ， 根 据 相 似 三 角 形 的 性 质 就 可 以 求 出 P点 的 坐 标 ； 先 运 用 待 定 系 数 法 求 出 直 线 CD的 解 析 式 ， 设 PM 与 CD的 交 点 为 N， 根 据 CD的 解 析 式 表示 出 点 N 的 坐 标 ， 再 根 据 S PCD=S PCN+S PDN就 可 以 表 示 出 三 角 形 PCD的 面 积 ， 运 用 顶 点 式 就可 以 求 出 结 论 .答 案 ： （ 1） 在 Rt AOB中 ， OA=1， tan BAO= =3， OB=3OA=3. DOC是 由 AOB 绕 点 O 逆 时
40、 针 旋 转 90 而 得 到 的 ， DOC AOB， OC=OB=3， OD=OA=1， A、 B、 C的 坐 标 分 别 为 （ 1， 0） ， （ 0， 3） （ 3， 0） .代 入 解 析 式 为 ，解 得 ： . 抛 物 线 的 解 析 式 为 y= x 2 2x+3；（ 2） 抛 物 线 的 解 析 式 为 y= x2 2x+3， 对 称 轴 l= = 1， E 点 的 坐 标 为 （ 1， 0） . 如 图 ， 当 CEF=90 时 ， CEF COD.此 时 点 P 在 对 称 轴 上 ， 即 点 P 为 抛 物 线 的 顶 点 ， P（ 1， 4） ；当 CFE=90 时
41、 ， CFE COD， 过 点 P 作 PM x 轴 于 点 M， 则 EFC EMP. ， MP=3EM. P 的 横 坐 标 为 t， P（ t， t 2 2t+3） . P 在 第 二 象 限 ， PM= t2 2t+3， EM= 1 t， t2 2t+3=3（ 1 t） ，解 得 ： t1= 2， t2=3（ 点 P 在 第 二 象 限 ， 所 以 舍 去 ） ， t= 2 时 ， y= （ 2） 2 2 （ 2） +3=3. P（ 2， 3） . 当 CEF与 COD 相 似 时 ， P点 的 坐 标 为 ： （ 1， 4） 或 （ 2， 3） ； 设 直 线 CD的 解 析 式 为 y=kx+b， 由 题 意 ， 得， 解 得 ： ， 直 线 CD 的 解 析 式 为 ： y= x+1.设 PM 与 CD的 交 点 为 N， 则 点 N 的 坐 标 为 （ t， t+1） ， NM= t+1. PN=PM NM= t 2 2t+3 （ t+1） = t2 +2. S PCD=S PCN+S PDN， S PCD= PNCM+ PNOM= PN（ CM+OM）= PNOC= 3（ t 2 +2）= （ t+ ） 2+ ， 当 t= 时 ， S PCD的 最 大 值 为 .
