1、绝密启用前2013 年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 （ 福 建 卷 ）数 学 试 题 （ 文 史 类 ）第 I 卷 （ 选 择 题 共 60 分 ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1复数的 1 2Z i i 为 虚 数 单 位 在 复 平 面 内 对 应 的 点 位 于模为A 第 一 象 限 B 第 二 象 限 C 第 三 象 限 D 第 四 象 限2设点 , , 2 1 : 1 0P x y x y P l x y 则 “ 且 ” 是 “ 点 在 直 线 上 ” 的A 充 分 而 不 必 要
2、条 件 B 必 要 而 不 充 分 条 件C 充 分 必 要 条 件 D 既 不 充 分 也 不 必 要 条 件3若集合 = 1,2,3 = 1,3,4A B ， ， 则 A B的子集个数为A 2 B 3 C 4 D 164双曲线2 2 1x y 的 顶 点 到 其 渐 近 线 的 距 离 等 于A 12 B 22 C 1 D 25函数 2ln 1f x x 的 图 像 大 致 是 6若变量,x y满足约束条件21, 20,x yx z x yy 则的最大值和最小值分别为A 4 3和 B 4 2和 C 3 2和 D 2 0和7若2 2 1,x y x y 则 的 取 值 范 围 是A 0,2
3、B 2,0 C 2, D , 2 8阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，如果输入某个正整数n 后 ， 10,20 ,S n输 出 的 那 么 的 值 为A 3 B.4 C.5 D.6 9将函数 sin 2 12 2f x x 的 图 像 向 右 平 移 个 单 位 长 度 后 得 到 函 数 3, , 0 2g x f x g x P 的 图 像 若 的 图 像 都 经 过 点 ， ， 则 的 值 可 以 是A 53 B 56 C 2 D 610在四边形 1,2 , 4,2 ,ABCD AC BD 中 ， 则 该 四 边 形 的 面 积 为A 5 B 2 5 C 5 D 1011已知x y
4、与 之 间 的 几 组 数 据 如 下 表 ：x 1 2 3 4 5 6y 0 2 1 3 3 4 假 设 根 据 上 表 数 据 所 得 线 性 回 归 直 线 方 程 为 ,y bx a 若 某 同 学 根 据 上 表 1,0 2,2中 的 前 两 组 数 据 和 求 得 的 直 线 方 程 为 ,y b x a 则 以 下 结 论 正 确 的 是A ,b b a a B ,b b a a C ,b b a a D ,b b a a 12设函数 0 0 0f x R x x f x的 定 义 域 为 ， 是 的 极 大 值 点 ， 以 下 结 论 一 定 正 确 的 是A 0,x R f
5、x f x B 0 x f x 是 的 极 小 值 点C 0 x f x 是 - 的 极 小 值 点 D 0 x f x 是 - 的 极 小 值 点第II卷（非选择题共60分） 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.已知函数 32 , 0, 4tan ,0 ,2x xf x f fx x 则 .14.利用计算机产生0 1 , 1 0a a 之 间 的 均 匀 随 机 数 则 事 件 “ 3 ” 发 生 的 概 率 为 .15.椭圆2 22 2: 1( 0)x yr a ba b 的 左 、 右 焦 点 分 别 为 1 2 2 .F F c、 ， 焦 距 为 若 直 线 1 2 2 13
6、 2 ,y x c M MFF MF F 与 椭 圆 r的 一 个 交 点 满 足 则 该 椭 圆 的 离 心 率 等于 .16 设 S， T是 R的 两 个 非 空 子 集 ， 如 果 存 在 一 个 从 S到 T的 函 数 ( )y f x 满 足 ：（ i） ( ) ;T f x x S （ ii） 对 任 意 1 2 1 2 1 2, , ( ) ( ),x x S x x f x f x 当 时 ， 恒 有 那 么 称 这 两 个 集 合 “ 保 序 同 构 ” ， 现 给 出 以 下 3对 集 合 ： , ;A N B N 1 3 , 8 10 ;A x x B x x 0 1 ,
7、 .A x x B R 其 中 ， “ 保 序 同 构 ” 的 集 合 对 的 序 号 是 _。 （ 写 出 “ 保 序 同 构 ” 的 集 合 对 的 序 号 ） 。三、解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 （ 本 小 题 满 分 12分 ）已 知 等 差 数 列 na 的 公 差 d =1， 前 n 项 和 为 nS .(I)若 1 31, ,a a 成 等 比 数 列 ， 求 1a ；(II)若 5 1 9 1S a a a ， 求 的 取 值 范 围 。 18 （ 本 小 题 满 分 12分 ）如 图 ， 在 四 棱 柱 /P ABCD AB
8、DC 中 ， PD 平 面 ABCD， ，, 5, 3, 4, 60.AB AD BC DC AD PAD （ I） 当 正 视 方 向 与 向 量 AD 的 方 向 相 同 时 ， 画 出 四 棱 锥 P ABCD 的 正 视 图 （ 要 求 标 出 尺 寸 ，并 写 出 演 算 过 程 ） ；（ II） 若 M为 PA的 中 点 ， 求 证 ： 求 二 面 角 /DM PBC平 面 ;（ III） 求 三 棱 锥 D PBC 的 体 积 。19 （ 本 小 题 满 分 12分 ） 某 工 厂 有 25周 岁 以 上 （ 含 25周 岁 ） 工 人 300名 ， 25周 岁 以 下 工 人
9、200名 。 为 研 究 工 人 的 日 平 均 生 产量 是 否 与 年 龄 有 关 ， 现 采 用 分 层 抽 样 的 方 法 ， 从 中 抽 取 了 100名 工 人 ， 先 统 计 了 他 们 某 月 的 日 平 均 生产 件 数 ， 然 后 按 工 人 年 龄 在 “ 25周 岁 以 上 （ 含 25周 岁 ） ” 和 “ 25周 岁 以 下 ” 分 为 两 组 ， 再 将 两 组 工 人的 日 平 均 生 产 件 数 分 为 5组 ： 50,60 , 60,70 , 70,80 , 80,90 , 90,100 分 别 加 以 统 计 ， 得 到 如 图 所 示 的 频 率 分 布
10、 直 方 图 。（ I） 从 样 本 中 日 平 均 生 产 件 数 不 足 60件 的 工 人 中 随 机 抽 取 2人 ， 求 至 少 抽 到 一 名 “ 25周 岁 以 下组 ” 工 人 的 概 率 ； （ II） 规 定 日 平 均 生 产 件 数 不 少 于 80件 者 为 “ 生 产 能 手 ” ， 请 你 根 据 已 知 条 件 完 成 列 联 表 ， 并 判断 是 否 有 90%的 把 握 认 为 “ 生 产 能 手 与 工 人 所 在 的 年 龄 组 有 关 ” ？2 11 22 12 211 2 1 2( )n n n n nx n n n n 附 ： 22 ( ) )(
11、)( )( )( )n ad bca b c d a c b d （ 注 ： 此 公 式 也 可 以 写 成 k2( )P x k 0.100 0.050 0.010 0.001k 2.706 3.841 6.635 10.828 25周 岁 以 上 组 25周 岁 以 下 组20 （ 本 小 题 满 分 12分 ）如 图 ， 抛 物 线 2: 4E y x 的 焦 点 为 F， 准 线 l 与 x轴 的 交 点 为 A。 点 C在 抛 物 线 E上 ， 以 C为 圆心 ， CO 为 半 径 作 圆 ， 设 圆 C与 准 线 l 交 于 不 同 的 两 点 M， N。（ I） 若 点 C的 纵
12、 坐 标 为 2， 求 MN ；（ II） 若 2AF AM AN ， 求 圆 C的 半 径 。 21. （ 本 小 题 满 分 12分 ）如 图 ， 在 等 腰 直 角 OPQ 90 , 2 2, MPOQ op 点 在 线 段 上 ，（ ） 若 OM= ， 求 PM的 长 ；（ ） 若 点 N在 线 段 MQ上 ， 且 MON=30 ， 问 ： 当 POM取 何 值 时 ， OMN的 面 积 最 小 ？ 并 求 出 面 积 的 最 小 值 。 22. （ 本 小 题 满 分 14分 ）已 知 函 数 (X)=X-1+ （ ， e为 自 然 对 数 的 底 数 ） 。（ ） 若 曲 线 y=
13、 (X)在 点 （ 1， （ 1） ） 处 的 切 线 平 行 于 X轴 ， 求 a的 值 ；（ ） 求 函 数 (X)的 极 值 ；（ ） 当 a-1时 ， 若 直 线 : 1l y kx 与 曲 线 y= (X)没 有 公 共 点 ， 求 K的 最 大 值 。 参 考 答 案一 选 择 题 ： 1.C 2.A 3.C 4.B 5.A 6.B 7.D 8.B 9.B 10.C 11.C 12.D二 填 空 题 ： 13.-2 14. 15. -1 16. 三 解 答 题 ：17 解 ： （ ） 因 为 数 列 的 公 差 d=1， 且 1， ， 成 等 比 数 列 ，所 以 =1 （ +2）
14、 ，即 - -2=0， 解 得 =-1或 =2（ ） 因 为 数 列 的 公 差 d=1， 且 所 以 +10 + .即 + -100， 解 得 -5 2. 18.解 法 一 ：（ ） 在 梯 形 中 ， 过 点 作 ， 垂 足 为 。由 已 知 得 ， 四 边 形 ADCE为 矩 形 ， A ，在 中 ， 由 ， ，依 勾 股 定 理 得 ， 从 而 . 又 由 平 面 得 ， ，从 而 在 Rt PDA中 ， 由 AD=4， PAD=60 ，得 PD=4 .正 视 图 如 图 所 示 ：（ ） 取 PB中 点 N， 连 接 MN， CN。在 PAB中 ， M是 中 点 ， MN AB， M
15、N= AB=3， 又 CD AB， CD=3， MN CD， MN CD， 四 边 形 MNCD为 平 行 四 边 形 ， DM CN。又 DM 平 面 PBC， CN 平 面 PBC， DM 平 面 PBC。（ ） = = ，又 =6， PD=4 ， 所 以 =8 。解 法 二 ： （ ） 同 解 法 一 。（ ） 取 AB的 中 点 E， 连 接 ME， DE。在 梯 形 ABCD中 ， BE CD， 且 BE=CD， 四 边 形 BCDE为 平 行 四 边 形 ， DE BC， 又 DE 平 面 PBC， BC 平 面 PBC， DE 平 面 PBC.又 在 PDB中 ， ME PB，M
16、E 平 面 PBC， PB 平 面 PBC， ME 平 面 PBC， 又 DE ME=E， 平 面 DME 平 面 PBC， 又 DM 平 面 DME， DM 平 面 PBC。（ ） 同 解 法 一 。19.解 （ ） 由 已 知 得 ， 样 本 中 的 25周 岁 以 上 组 工 人 60名 ， 25周 岁 以 下 组 工 人 40名 .所 以 ， 样 本 中 日 平 均 生 产 件 不 足 60件 的 工 人 中 ， 25周 岁 以 上 组 工 人 有 60 0.05=3（ 人 ） ， 记 为 ； 25周 岁 以 上 组 工 人 有 40 0.05=2（ 人 ） ，记 为 .从 中 随 机
17、 抽 取 2名 工 人 ， 所 有 的 可 能 结 果 共 有 10种 ， 它 们 是 ：（ ） ， （ ） ， （ ） ， 其 中 ， 至 少 有 一 名 “ 25 周 岁 以 下 组 ” 工 人 的 可 能 结 果 共 有 7 种 ， 它 们 是 ：。（ ） 由 频 率 分 布 直 方 图 可 知 ， 在 抽 取 的 100名 工 人 中 ， “ 25岁 以 上 组 ” 中 的生 产 能 手 60 0.25=15（ 人 ） ， “ 25岁 以 下 组 ” 中 的 生 产 能 手 40 0.375=15（ 人 ） ， 据 此 可 得 2 2列 联 表 如 下 ：生 产 能 手 非 生 产 能
18、 手 合 计25岁 以 上 组 15 45 6025岁 以 下 组 15 25 40合 计 30 70 100 所 以 得因 为 1.790, (X)为 （ - ， + ） 上 的 增 函 数 ， 所 以 函 数 (X)无 极 值 。 当 a0时 ， 令 (X)=0， 得 =a,X=In a.X (- ,Ina), (X)0； X （ Ina， + ） 上 单 调 递 增 ，故 (X)在 X=Ina 处 取 得 极 小 值 ， 且 极 小 值 为 （ Ina） =Ina， 无 极 大 值 。 综 上 ，当 a 0时 ， 函 数 (X)在 X=Ina处 取 得 极 小 值 Ina， 无 极 大
19、值 。 （ ） 当 a=1时 ， =x-1+ .令 = -则 直 线 与 曲 线 y= 没 有 公 共 点 ， 等 加 于 方 程 =0在 R上 没 有 实 数 解 。假 设 此 时又 函 数 的 图 像 连 续 不 断 ， 由 零 点 存 在 定 理 ， 可 知 =0在 R上 至 少 有 一 解 ， 与 “ 方程 =0 在 R上 没 有 实 数 解 ” 矛 盾 ， 故又 k=1时 ， = 知 方 程 =0 在 R上 没 有 实 数 解 。 所 以 k的 最 大 值 为 1. 解法二：（ I） （ II） 同 解 法 一 .（ ） 当 a=1时 ，直 线 与 曲 线 y= 没 有 公 共 点
20、，等 价 于 关 于 x的 方 程 在 R上 没 有 实 数 解 ， 即 关 于 的 方 程 ：（ ）在 R上 没 有 实 数 解 。 当 k=1时 ， 方 程 （ ） 可 化 为 =0， 在 R上 没 有 实 数 解 . 当 k 1时 ， 方 程 （ ） 化 为 = .令 = ， 则 有 = .令 =0得 x=-1，当 变 化 时 ， ， 的 变 化 情 况 如 下 表 ：x 当 x=-1时 ， 同 时 当 趋 于 时 ， 趋 于 ，从 而 的 取 值 范 围 为 , ).所 以 当 时 ， 方 程 （ ） 无 实 数 解 ，解 得 k的 取 值 范 围 是 （ 1-e， 1） .综 上 ， 得 k的 最 大 值 为 1.
