1、2015年 四 川 省 资 阳 市 中 考 真 题 数 学一 、 选 择 题 ： (本 大 题 共 10个 小 题 ， 每 小 题 3 分 ， 共 30分 )在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ，只 有 一 个 选 项 符 合 题 意 .1.(3分 )-6的 绝 对 值 是 ( )A.6B.-6C. 16D. 16解 析 ： |-6|=6.答 案 ： A. 2.(3分 )如 图 是 一 个 圆 台 ， 它 的 主 视 图 是 ( )A.B. C.D.解 析 ： 从 几 何 体 的 正 面 看 可 得 等 腰 梯 形 .答 案 ： B.3.(3分 )下 列 运 算 结 果 为 a 6
2、的 是 ( )A.a2+a3B.a2 a3C.(-a2)3 D.a8 a2解 析 ： A、 a3 a2不 能 合 并 ， 故 A 错 误 ；B、 a2 a3=a5， 故 B 错 误 ；C、 (-a2 )3=-a6， 故 C 错 误 ；D、 a8 a2=a6， 故 D 正 确 .答 案 ： D.4.(3分 )一 组 数 据 3、 5、 8、 3、 4的 众 数 与 中 位 数 分 别 是 ( )A.3， 8B.3， 3C.3， 4D.4， 3解 析 ： 把 这 组 数 据 从 小 到 大 排 列 ： 3、 3、 4、 5、 8， 3出 现 了 2次 ， 出 现 的 次 数 最 多 ， 则 众 数
3、 是 3.处 于 中 间 位 置 的 那 个 数 是 4， 由 中 位 数 的 定 义 可 知 ， 这 组 数 据 的 中 位 数 是 4.答 案 ： C.5.(3分 )如 图 ， 已 知 AB CD， C=70 ， F=30 ， 则 A 的 度 数 为 ( )A.30B.35C.40 D.45解 析 ： AB CD， BEF= C=70 ， BEF= A+ F， A=70 -30 =40 .答 案 ： C.6.(3分 )如 图 ， 已 知 数 轴 上 的 点 A、 B、 C、 D分 别 表 示 数 -2、 1、 2、 3， 则 表 示 数 3- 5 的 点P应 落 在 线 段 ( )A.AO
4、上 B.OB上C.BC上D.CD上解 析 ： 2 5 3， 0 3- 5 1，故 表 示 数 3- 5 的 点 P 应 落 在 线 段 OB上 .答 案 ： B.7.(3分 )若 顺 次 连 接 四 边 形 ABCD四 边 的 中 点 ， 得 到 的 图 形 是 一 个 矩 形 ， 则 四 边 形 ABCD 一 定是 ( )A.矩 形B.菱 形C.对 角 线 相 等 的 四 边 形D.对 角 线 互 相 垂 直 的 四 边 形解 析 ： 已 知 ： 如 右 图 ， 四 边 形 EFGH是 矩 形 ， 且 E、 F、 G、 H分 别 是 AB、 BC、 CD、 AD 的 中 点 ， 求 证 ：
5、四 边 形 ABCD 是 对 角 线 垂 直 的 四 边 形 .证 明 ： 由 于 E、 F、 G、 H 分 别 是 AB、 BC、 CD、 AD的 中 点 ，根 据 三 角 形 中 位 线 定 理 得 ： EH FG BD， EF AC HG； 四 边 形 EFGH 是 矩 形 ， 即 EF FG， AC BD.答 案 ： D.8.(3分 )如 图 ， AD、 BC 是 O的 两 条 互 相 垂 直 的 直 径 ， 点 P 从 点 O出 发 ， 沿 O C D O 的路 线 匀 速 运 动 .设 APB=y(单 位 ： 度 )， 那 么 y 与 点 P运 动 的 时 间 x(单 位 ： 秒
6、)的 关 系 图 是( ) A. B.C.D.解 析 ： (1)当 点 P 沿 O C运 动 时 ，当 点 P在 点 O 的 位 置 时 ， y=90 ， 当 点 P在 点 C 的 位 置 时 ， OA=OC， y=45 ， y 由 90 逐 渐 减 小 到 45 ；(2)当 点 P 沿 C D 运 动 时 ，根 据 圆 周 角 定 理 ， 可 得y 90 2=45 ；(3)当 点 P 沿 D O 运 动 时 ，当 点 P在 点 D 的 位 置 时 ， y=45 ，当 点 P在 点 0 的 位 置 时 ， y=90 ， y 由 45 逐 渐 增 加 到 90 .答 案 ： B. 9.(3分 )
7、如 图 ， 透 明 的 圆 柱 形 容 器 (容 器 厚 度 忽 略 不 计 )的 高 为 12cm， 底 面 周 长 为 10cm， 在容 器 内 壁 离 容 器 底 部 3cm的 点 B 处 有 一 饭 粒 ， 此 时 一 只 蚂 蚁 正 好 在 容 器 外 壁 ， 且 离 容 器 上 沿3cm的 点 A处 ， 则 蚂 蚁 吃 到 饭 粒 需 爬 行 的 最 短 路 径 是 ( )A.13cm B.2 61 cm C. 61 cmD.2 34 cm解 析 ： 如 图 ： 高 为 12cm， 底 面 周 长 为 10cm， 在 容 器 内 壁 离 容 器 底 部 3cm 的 点 B 处 有
8、一 饭 粒 ，此 时 蚂 蚁 正 好 在 容 器 外 壁 ， 离 容 器 上 沿 3cm与 饭 粒 相 对 的 点 A处 ， A D=5cm， BD=12-3+AE=12cm， 将 容 器 侧 面 展 开 ， 作 A关 于 EF 的 对 称 点 A ，连 接 A B， 则 A B即 为 最 短 距 离 ，A B= 2 2AD BD = 2 25 12=13(Cm).答 案 ： A.10.(3分 )如 图 ， 在 ABC中 ， ACB=90 ， AC=BC=1， E、 F为 线 段 AB上 两 动 点 ， 且 ECF=45 ， 过 点 E、 F 分 别 作 BC、 AC的 垂 线 相 交 于 点
9、 M， 垂 足 分 别 为 H、 G.现 有 以 下 结 论 ： AB= 2 ； 当 点 E 与 点 B重 合 时 ， MH= 12 ； AF+BE=EF； MG MH= 12 ， 其 中 正 确 结 论 为 ( )A. B. C. D. 解 析 ： 由 题 意 知 ， ABC是 等 腰 直 角 三 角 形 ， AB= 2 2 2AC BC ， 故 正 确 ； 如 图 1， 当 点 E 与 点 B重 合 时 ， 点 H与 点 B 重 合 ， MB BC， MBC=90 ， MG AC， MGC=90 = C= MBC， MG BC， 四 边 形 MGCB 是 矩 形 ， MH=MB=CG， F
10、CE=45 = ABC， A= ACF=45 ， CE=AF=BF， FG 是 ACB的 中 位 线 ， GC= 12 AC=MH， 故 正 确 ； 如 图 2 所 示 ， AC=BC， ACB=90 ， A= 5=45 .将 ACF顺 时 针 旋 转 90 至 BCD，则 CF=CD， 1= 4， A= 6=45 ； BD=AF； 2=45 ， 1+ 3= 3+ 4=45 ， DCE= 2.在 ECF和 ECD中 ，2CF CDDCECE CE ， ECF ECD(SAS)， EF=DE. 5=45 ， BDE=90 ， DE2=BD2+BE2， 即 E2=AF2+BE2， 故 错 误 ；
11、7= 1+ A= 1+45 = 1+ 2= ACE， A= 5=45 ， ACE BFC， AF ACBC BF ， AF BF=AC BC=1，由 题 意 知 四 边 形 CHMG是 矩 形 ， MG BC， MH=CG，MG BC， MH AC， CH AEBC AB ； CG BFAC AB ，即 1 2MG AE ； 1 2MH BF ， MG= 22 AE； MH= 22 BF， MG MH= 22 AE 22 BF= 12 AE BF= 12 AC BC= 12 ，故 正 确 .答 案 ： C. 二 、 填 空 题 ： (本 大 题 共 6 个 小 题 ， 每 小 题 3 分 ，
12、共 18分 )11.(3分 )太 阳 的 半 径 约 为 696 000千 米 ， 用 科 学 记 数 法 表 示 为 _千 米 .解 析 ： 科 学 记 数 法 的 表 示 形 式 为 a 10n的 形 式 ， 其 中 1 |a| 10， n 为 整 数 .确 定 n 的 值 时 ，要 看 把 原 数 变 成 a时 ， 小 数 点 移 动 了 多 少 位 ， n 的 绝 对 值 与 小 数 点 移 动 的 位 数 相 同 .当 原 数绝 对 值 10 时 ， n是 正 数 ； 当 原 数 的 绝 对 值 1 时 ， n 是 负 数 .答 案 ： 将 696 000千 米 用 科 学 记 数
13、法 表 示 为 6.96 105千 米 .12.(3分 )若 一 个 多 边 形 的 内 角 和 是 其 外 角 和 的 3倍 ， 则 这 个 多 边 形 的 边 数 是 _.解 析 ： 设 多 边 形 的 边 数 为 n， 根 据 题 意 ， 得(n-2) 180=3 360，解 得 n=8.则 这 个 多 边 形 的 边 数 是 8.答 案 ： 8. 13.(3分 )某 学 校 为 了 解 本 校 学 生 课 外 阅 读 的 情 况 ， 从 全 体 学 生 中 随 机 抽 取 了 部 分 学 生 进 行调 查 ， 并 将 调 查 结 果 绘 制 成 统 计 表 .已 知 该 校 全 体 学
14、 生 人 数 为 1200人 ， 由 此 可 以 估 计 每 周 课外 阅 读 时 间 在 1 2(不 含 1)小 时 的 学 生 有 _人 . 解 析 ： 根 据 题 意 得 ：1200 107 10 14 19 =240(人 )，答 ： 估 计 每 周 课 外 阅 读 时 间 在 1 2(不 含 1)小 时 的 学 生 有 240人 .答 案 ： 240.14.(3分 )已 知 ： (a+6) 2+ 2 2 3b b =0， 则 2b2-4b-a的 值 为 _.解 析 ： (a+6)2+ 2 2 3b b =0， a+6=0， b2-2b-3=0，解 得 ， a=-6， b2-2b=3，可
15、 得 2b2-4b=6，则 2b 2-4b-a=6-(-6)=12.答 案 ： 12.15.(3分 )如 图 ， 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 点 M为 x轴 正 半 轴 上 一 点 ， 过 点 M 的 直 线 l y 轴 ，且 直 线 l 分 别 与 反 比 例 函 数 y= 8x (x 0)和 y= kx (x 0)的 图 象 交 于 P、 Q两 点 ， 若 S POQ=14，则 k 的 值 为 _. 解 析 ： S POQ=S OMQ+S OMP， 12 |k|+ 12 |8|=14， |k|=20，而 k 0， k=-20.答 案 ： -20.16.(3分 )已 知 抛 物
16、线 p： y=ax 2+bx+c 的 顶 点 为 C， 与 x 轴 相 交 于 A、 B 两 点 (点 A 在 点 B 左 侧 )，点 C 关 于 x轴 的 对 称 点 为 C ， 我 们 称 以 A为 顶 点 且 过 点 C ， 对 称 轴 与 y 轴 平 行 的 抛 物 线为 抛 物 线 p的 “ 梦 之 星 ” 抛 物 线 ， 直 线 AC 为 抛 物 线 p 的 “ 梦 之 星 ” 直 线 .若 一 条 抛 物 线 的 “ 梦 之 星 ” 抛 物 线 和 “ 梦 之 星 ” 直 线 分 别 是 y=x2+2x+1 和 y=2x+2， 则 这 条 抛 物 线 的 解 析 式 为_.解 析
17、 ： 先 求 出 y=x2+2x+1和 y=2x+2的 交 点 C 的 坐 标 为 (1， 4)， 再 求 出 “ 梦 之 星 ” 抛 物 线y=x2+2x+1 的 顶 点 A 坐 标 (-1， 0)， 接 着 利 用 点 C 和 点 C 关 于 x轴 对 称 得 到 C(1， -4)， 则 可设 顶 点 式 y=a(x-1)2-4，然 后 把 A点 坐 标 代 入 求 出 a的 值 即 可 得 到 原 抛 物 线 解 析 式 .答 案 ： y=x2+2x+1=(x+1)2， A 点 坐 标 为 (-1， 0)，解 方 程 组 2 2 12 2y x xy x 得 10 xy 或 14xy ，
18、 点 C 的 坐 标 为 (1， 4)， 点 C和 点 C 关 于 x 轴 对 称 ， C(1， -4)，设 原 抛 物 线 解 析 式 为 y=a(x-1)2-4，把 A(-1， 0)代 入 得 4a-4=0， 解 得 a=1， 原 抛 物 线 解 析 式 为 y=(x-1)2-4=x2-2x-3.三 、 解 答 题 ： (本 大 题 共 8个 小 题 ， 共 72分 )解 答 应 写 出 必 要 的 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算步 骤 .17.(7分 )先 化 简 ， 再 求 值 ：21 1 21 1 1xx x x ， 其 中 x 满 足 2x-6=0.解 析 ： 根
19、据 分 式 混 合 运 算 的 法 则 把 原 式 进 行 化 简 ， 再 求 出 x的 值 代 入 进 行 计 算 即 可 答 案 ： 原 式 = 21 1 21 1 1x x xx x x 1 121 1 2x xx x x 2 2x 2x-6=0， x=3，当 x=3时 ， 原 式 = 25 . 18.(8分 )学 校 实 施 新 课 程 改 革 以 来 ， 学 生 的 学 习 能 力 有 了 很 大 提 高 .王 老 师 为 进 一 步 了 解 本班 学 生 自 主 学 习 、 合 作 交 流 的 现 状 ， 对 该 班 部 分 学 生 进 行 调 查 ， 把 调 查 结 果 分 成
20、四 类 (A： 特别 好 ， B： 好 ， C： 一 般 ， D： 较 差 )后 ， 再 将 调 查 结 果 绘 制 成 两 幅 不 完 整 的 统 计 图 (如 图 ).请根 据 统 计 图 解 答 下 列 问 题 ： (1)本 次 调 查 中 ， 王 老 师 一 共 调 查 了 _名 学 生 ；(2)将 条 形 统 计 图 补 充 完 整 ；(3)为 了 共 同 进 步 ， 王 老 师 从 被 调 查 的 A 类 和 D 类 学 生 中 分 别 选 取 一 名 学 生 进 行 “ 兵 教 兵 ”互 助 学 习 ， 请 用 列 表 或 画 树 状 图 的 方 法 求 出 恰 好 选 中 一
21、名 男 生 和 一 名 女 生 的 概 率 .解 析 ： (1)由 题 意 可 得 ： 王 老 师 一 共 调 查 学 生 ： (2+1) 15%=20(名 )；(2)由 题 意 可 得 ： C 类 女 生 ： 20 25%-2=3(名 )； D 类 男 生 ： 20 (1-15%-50%-25%)-1=1(名 )；继 而 可 补 全 条 形 统 计 图 ；(3)首 先 根 据 题 意 列 出 表 格 ， 再 利 用 表 格 求 得 所 有 等 可 能 的 结 果 与 恰 好 选 中 一 名 男 生 和 一 名女 生 的 情 况 ， 继 而 求 得 答 案 .答 案 ： (1)根 据 题 意
22、得 ： 王 老 师 一 共 调 查 学 生 ： (2+1) 15%=20(名 )；故 答 案 为 ： 20；(2) C类 女 生 ： 20 25%-2=3(名 )； D 类 男 生 ： 20 (1-15%-50%-25%)-1=1(名 )；如 图 ： (3)列 表 如 下 ： A类 中 的 两 名 男 生 分 别 记 为 A1和 A2，共 有 6 种 等 可 能 的 结 果 ， 其 中 ， 一 男 一 女 的 有 3种 ， 所 以 所 选 两 位 同 学 恰 好 是 一 位 男 生 和 一位 女 生 的 概 率 为 ： 3 16 2 . 19.(8分 )学 校 需 要 购 买 一 批 篮 球
23、和 足 球 ， 已 知 一 个 篮 球 比 一 个 足 球 的 进 价 高 30 元 ， 买 两 个篮 球 和 三 个 足 球 一 共 需 要 510元 .(1)求 篮 球 和 足 球 的 单 价 ；(2)根 据 实 际 需 要 ， 学 校 决 定 购 买 篮 球 和 足 球 共 100 个 ， 其 中 篮 球 购 买 的 数 量 不 少 于 足 球 数量 的 23 ， 学 校 可 用 于 购 买 这 批 篮 球 和 足 球 的 资 金 最 多 为 10500 元 .请 问 有 几 种 购 买 方 案 ？(3)若 购 买 篮 球 x 个 ， 学 校 购 买 这 批 篮 球 和 足 球 的 总
24、费 用 为 y(元 )， 在 (2)的 条 件 下 ， 求 哪 种方 案 能 使 y最 小 ， 并 求 出 y 的 最 小 值 .解 析 ： (1)设 一 个 篮 球 x 元 ， 则 一 个 足 球 (x-30)元 ， 根 据 “ 买 两 个 篮 球 和 三 个 足 球 一 共 需 要510元 ” 列 出 方 程 ， 即 可 解 答 ；(2)设 购 买 篮 球 x 个 ， 足 球 (100-x)个 ， 根 据 “ 篮 球 购 买 的 数 量 不 少 于 足 球 数 量 的 23 ， 学 校可 用 于 购 买 这 批 篮 球 和 足 球 的 资 金 最 多 为 10500元 ” ， 列 出 不
25、等 式 组 ， 求 出 x 的 取 值 范 围 ， 由 x 为 正 整 数 ， 即 可 解 答 ；(3)表 示 出 总 费 用 y， 利 用 一 次 函 数 的 性 质 ， 即 可 确 定 x的 取 值 ， 即 可 确 定 最 小 值 .答 案 ： (1)设 一 个 篮 球 x 元 ， 则 一 个 足 球 (x-30)元 ， 由 题 意 得 ：2x+3(x-30)=510，解 得 ： x=120， 一 个 篮 球 120元 ， 一 个 足 球 90 元 .(2)设 购 买 篮 球 x 个 ， 足 球 (100-x)个 ，由 题 意 可 得 ： 2 1003120 90 100 10500 x
26、xx x ，解 得 ： 40 x 50， x 为 正 整 数 ， x=40， 41， 42， 43， 44， 45， 46， 47， 48， 49， 50， 共 有 11 种 购 买 方 案 .(3)由 题 意 可 得 y=120 x+90(100-x)=30 x+9000(40 x 50) k=30 0， y 随 x 的 增 大 而 增 大 ， 当 x=40 时 ， y有 最 小 值 ， y 最 小 =30 40+9000=10200(元 )，所 以 当 x=40 时 ， y最 小 值 为 10200 元 .20.(8分 )北 京 时 间 2015年 04月 25日 14 时 11分 ， 尼
27、 泊 尔 发 生 8.1级 强 烈 地 震 ， 我 国 积 极组 织 抢 险 队 赴 地 震 灾 区 参 与 抢 险 工 作 .如 图 ， 某 探 测 队 在 地 面 A、 B 两 处 均 探 测 出 建 筑 物 下 方C处 有 生 命 迹 象 ， 已 知 探 测 线 与 地 面 的 夹 角 分 别 是 25 和 60 ， 且 AB=4米 ， 求 该 生 命 迹 象所 在 位 置 C的 深 度 .(结 果 精 确 到 1米 .参 考 数 据 ： sin25 0.4， cos25 0.9， tan25 0.5，3 1.7) 解 析 ： 过 C点 作 AB的 垂 线 交 AB的 延 长 线 于 点
28、 D， 通 过 解 Rt ADC得 到 AD=2CD=2x， 在 Rt BDC中 利 用 锐 角 三 角 函 数 的 定 义 即 可 求 出 CD 的 值 .答 案 ： 作 CD AB交 AB 延 长 线 于 D， 设 CD=x 米 .Rt ADC中 ， DAC=25 ，所 以 tan25 =CDAD =0.5，所 以 AD= 0.5CD =2x. Rt BDC中 ， DBC=60 ，由 tan 60 = 32 4xx ，解 得 ： x 3米 .所 以 生 命 迹 象 所 在 位 置 C的 深 度 约 为 3米 .21.(9分 )如 图 ， 直 线 y=ax+1与 x轴 、 y 轴 分 别 相
29、 交 于 A、 B 两 点 ， 与 双 曲 线 y= kx (x 0)相交 于 点 P， PC x 轴 于 点 C， 且 PC=2， 点 A 的 坐 标 为 (-2， 0). (1)求 双 曲 线 的 解 析 式 ；(2)若 点 Q 为 双 曲 线 上 点 P 右 侧 的 一 点 ， 且 QH x 轴 于 H， 当 以 点 Q、 C、 H 为 顶 点 的 三 角 形与 AOB相 似 时 ， 求 点 Q的 坐 标 .解 析 ： (1)把 A 坐 标 代 入 直 线 解 析 式 求 出 a 的 值 ， 确 定 出 直 线 解 析 式 ， 把 y=2代 入 直 线 解 析式 求 出 x 的 值 ，
30、确 定 出 P坐 标 ， 代 入 反 比 例 解 析 式 求 出 k的 值 ， 即 可 确 定 出 双 曲 线 解 析 式 ；(2)设 Q(a， b)， 代 入 反 比 例 解 析 式 得 到 b= 4a ， 分 两 种 情 况 考 虑 ： 当 QCH BAO时 ； 当 QCH ABO时 ， 由 相 似 得 比 例 求 出 a 的 值 ， 进 而 确 定 出 b的 值 ， 即 可 得 出 Q坐 标 . 答 案 ： (1)把 A(-2， 0)代 入 y=ax+1中 ， 求 得 a= 12 ， y= 12 x+1，由 PC=2， 把 y=2代 入 y= 12 x+1中 ， 得 x=2， 即 P(2
31、， 2)，把 P 代 入 y=kx 得 ： k=4，则 双 曲 线 解 析 式 为 y= 4x ；(2)设 Q(a， b)， Q(a， b)在 y= 4x 上 ， b= 4a ，当 QCH BAO时 ， 可 得 CH QHAO BO ， 即 22 1a b ， a-2=2b， 即 a-2= 8a ，解 得 ： a=4或 a=-2(舍 去 )， Q(4， 1)；当 QCH ABO时 ， 可 得 CH QHBO AO ， 即 21 2a b ，整 理 得 ： 2a-4= 4a ， 解 得 ： a=1+ 3 或 a=1- 3 (舍 )， Q(1+ 3 ， 2 3 -2).综 上 ， Q(4， 1)或
32、 Q(1+ 3 ， 2 3 -2). 22.(9分 )如 图 ， 在 ABC中 ， BC 是 以 AB为 直 径 的 O 的 切 线 ， 且 O 与 AC相 交 于 点 D， E为 BC 的 中 点 ， 连 接 DE. (1)求 证 ： DE是 O 的 切 线 ；(2)连 接 AE， 若 C=45 ， 求 sin CAE的 值 .解 析 ： (1)连 接 DO， DB， 由 圆 周 角 定 理 就 可 以 得 出 ADB=90 ， 可 以 得 出 CDB=90 ， 根 据E为 BC的 中 点 可 以 得 出 DE=BE， 就 有 EDB= EBD， OD=OB可 以 得 出 ODB= OBD，
33、 由 的 等 式的 性 质 就 可 以 得 出 ODE=90 就 可 以 得 出 结 论 .(2)作 EF CD于 F， 设 EF=x， 由 C=45 ， 得 出 CEF、 ABC都 是 等 腰 直 角 三 角 形 ， 根 据等 腰 直 角 三 角 形 的 性 质 和 勾 股 定 理 求 得 BE=CE= 2 x， AB=BC=2 2 x， AE= 10 x， 进 而 就 可求 得 sin CAE的 值 .答 案 ： (1)连 接 OD， BD， OD=OB ODB= OBD. AB 是 直 径 ， ADB=90 ， CDB=90 . E 为 BC 的 中 点 ， DE=BE， EDB= EB
34、D， ODB+ EDB= OBD+ EBD，即 EDO= EBO. BC 是 以 AB为 直 径 的 O 的 切 线 ， AB BC， EBO=90 ， ODE=90 ， DE 是 O的 切 线 ；(2)作 EF CD 于 F， 设 EF=x C=45 ， CEF、 ABC都 是 等 腰 直 角 三 角 形 ， CF=EF=x， BE=CE= 2 x， AB=BC=2 2 x，在 RT ABE中 ， AE= 2 2 10AB BE x ， sin CAE= 1010EFAE .23.(11分 )如 图 ， E、 F 分 别 是 正 方 形 ABCD 的 边 DC、 CB 上 的 点 ， 且 D
35、E=CF， 以 AE为 边 作 正方 形 AEHG， HE 与 BC交 于 点 Q， 连 接 DF. (1)求 证 ： ADE DCF；(2)若 E 是 CD 的 中 点 ， 求 证 ： Q 为 CF 的 中 点 ；(3)连 接 AQ， 设 S CEQ=S1， S AED=S2， S EAQ=S3， 在 (2)的 条 件 下 ， 判 断 S1+S2=S3是 否 成 立 ？ 并 说明 理 由 .解 析 ： (1)由 正 方 形 的 性 质 得 出 AD=DC， ADE= DCF=90 ， 再 由 SAS即 可 证 出 ADE DCF；(2)先 证 出 DAE= CEQ， 再 证 明 ADE EC
36、Q， 得 出 比 例 式 CQ CEDE AD ， 证 出 CQ= 12 DE， 即可 得 出 结 论 ；(3)先 证 明 AEQ ECQ， 得 出 AEQ ECQ ADE， 得 出 面 积 比 等 于 相 似 比 的 平 方 ， 再 由勾 股 定 理 即 可 得 出 结 论 .答 案 ： (1)证 明 ： 四 边 形 ABCD是 正 方 形 ， AD=DC， ADE= DCF=90 ， 在 ADE和 DCF中 ， AD DCADE DCFDE CF ， ADE DCF(SAS)；(2)证 明 ： E 是 CD的 中 点 ， CE=DE= 12 DC= 12 AD， 四 边 形 AEHG 是
37、正 方 形 ， AEH=90 ， AED+ CEQ=90 ， AED+ DAE=90 ， DAE= CEQ， ADE= DCF， ADE ECQ， 12CQ CEDE AD ， CQ= 12 DE， DE=CF， CQ= 12 CF，即 Q 为 CF 的 中 点 ；(3)解 ： S 1+S2=S3成 立 ； 理 由 如 下 ： 如 图 所 示 ： ADE ECQ， CQ QEDE AE ， DE=CE， CQ QECE AE ， C= AEQ=90 ， AEQ ECQ， AEQ ECQ ADE， 213S EQS AQ ， 223S AES AQ ， 2 2 2 21 2 23 3S S EQ
38、 AE EQ AES S AQ AQ AQ ， EQ 2+AE2=AQ2， 1 23 3 1S SS S ， S1+S2=S3.24.(12分 )已 知 直 线 y=kx+b(k 0)过 点 F(0， 1)， 与 抛 物 线 y= 14 x 2相 交 于 B、 C两 点 . (1)如 图 1， 当 点 C 的 横 坐 标 为 1 时 ， 求 直 线 BC的 解 析 式 ；(2)在 (1)的 条 件 下 ， 点 M 是 直 线 BC上 一 动 点 ， 过 点 M 作 y 轴 的 平 行 线 ， 与 抛 物 线 交 于 点 D，是 否 存 在 这 样 的 点 M， 使 得 以 M、 D、 O、 F
39、为 顶 点 的 四 边 形 为 平 行 四 边 形 ？ 若 存 在 ， 求 出 点 M的 坐 标 ； 若 不 存 在 ， 请 说 明 理 由 ；(3)如 图 2， 设 B(m.n)(m 0)， 过 点 E(0.-1)的 直 线 l x轴 ， BR l 于 R， CS l于 S， 连 接FR、 FS.试 判 断 RFS的 形 状 ， 并 说 明 理 由 .解 析 ： (1)首 先 求 出 C 的 坐 标 ， 然 后 由 C、 F两 点 用 待 定 系 数 法 求 解 析 式 即 可 ；(2)因 为 DM OF， 要 使 以 M、 D、 O、 F 为 顶 点 的 四 边 形 为 平 行 四 边 形
40、 ， 则 DM=OF， 设 M(x， - 34 x+1)，则 D(x， 14 x 2)， 表 示 出 DM， 分 类 讨 论 列 方 程 求 解 ；(3)根 据 勾 股 定 理 求 出 BR=BF， 再 由 BR EF 得 到 RFE= BFR， 同 理 可 得 EFS= CFS， 所 以 RFS= 12 BFC=90 ， 所 以 RFS是 直 角 三 角 形 .答 案 ： (1)因 为 点 C 在 抛 物 线 上 ， 所 以 C(1， 14 )，又 直 线 BC过 C、 F两 点 ，故 得 方 程 组 ： 1 14bk b 解 之 ， 得 341kb ，所 以 直 线 BC的 解 析 式 为
41、 ： y=- 34 x+1；(2)要 使 以 M、 D、 O、 F 为 顶 点 的 四 边 形 为 平 行 四 边 形 ， 则 MD=OF， 如 图 1 所 示 ， 设 M(x， - 34 x+1)， 则 D(x， 14 x2)， MD y 轴 ， MD=- 34 x+1- 14 x2，由 MD=OF， 可 得 |- 34 x+1- 14 x2|=1， 当 - 34 x+1- 14 x 2=1 时 ，解 得 x1=0(舍 )或 x1=-3，所 以 M(-3， 134 )， 当 - 34 x+1- 14 x2， =-1时 ，解 得 ， x= 3 412 ，所 以 3 41 17 3 412 8M
42、 ， 或 3 41 17 3 412 8M ， ， 综 上 所 述 ， 存 在 这 样 的 点 M， 使 以 M、 D、 O、 F 为 顶 点 的 四 边 形 为 平 行 四 边 形 ，M点 坐 标 为 (-3， 134 )或 3 41 17 3 412 8 ， 或 3 41 17 3 412 8 ， ；(3)过 点 F 作 FT BR于 点 T， 如 图 2 所 示 ， 点 B(m， n)在 抛 物 线 上 ， m2=4n，在 Rt BTF中 ，2 2BF BT TF 2 21n m 21 4n n 21n n 0， BF=n+1， 又 BR=n+1， BF=BR. BRF= BFR，又 BR l， EF l， BR EF， BRF= RFE， RFE= BFR，同 理 可 得 EFS= CFS， RFS= 12 BFC=90 ， RFS是 直 角 三 角 形 .
