1、2018年 河 南 省 信 阳 市 中 考 一 模 试 卷 数 学一 、 选 择 题 (每 小 题 3 分 ， 共 30 分 ， 每 小 题 只 有 一 个 选 项 是 符 合 题 目 要 求 的 )1.-23的 相 反 数 是 ( )A.-8B.8C.-6D.6解 析 ： -2 3=-8， -8 的 相 反 数 是 8， -23的 相 反 数 是 8.答 案 ： B2.碳 纳 米 管 的 硬 度 与 金 刚 石 相 当 ， 却 拥 有 良 好 的 柔 韧 性 ， 可 以 拉 伸 ， 我 国 某 物 理 所 研 究 组 已研 制 出 直 径 为 0.5纳 米 的 碳 纳 米 管 ， 1 纳 米
2、 =0.000000001米 ， 则 0.5 纳 米 用 科 学 记 数 法 表 示为 ( )A.0.5 10-9米B.5 10 -8米C.5 10-9米D.5 10-10米解 析 ： 0.5 纳 米 =0.5 0.000 000 001 米 =0.000 000 000 5 米 .小 于 1 的 正 数 也 可 以 利 用 科学 记 数 法 表 示 ， 一 般 形 式 为 a 10-n， 在 本 题 中 a为 5， n为 5前 面 0 的 个 数 .0.5纳 米 =0.5 0.000 000 001米 =0.000 000 000 5米 =5 10-10米 .答 案 ： D3.如 图 是 一
3、 个 几 何 体 的 三 视 图 ， 则 这 个 几 何 体 是 ( ) A.B. C.D.解 析 ： 结 合 三 个 视 图 发 现 ， 应 该 是 由 一 个 正 方 体 在 一 个 角 上 挖 去 一 个 小 正 方 体 ， 且 小 正 方 体的 位 置 应 该 在 右 上 角 .答 案 ： B4.下 列 计 算 正 确 的 是 ( )A.a 6 a2=a3B.a a4=a4C.(a3)4=a7D.(-2a)-2= 214a解 析 ： A、 a6 a2=a4， 故 此 选 项 错 误 ；B、 a a4=a5， 故 此 选 项 错 误 ；C、 (a 3)4=a12， 故 此 选 项 错 误
4、 ；D、 (-2a)-2= 214a ， 故 此 选 项 正 确 .答 案 ： D5.如 图 是 边 长 为 10cm的 正 方 形 铁 片 ， 过 两 个 顶 点 剪 掉 一 个 三 角 形 ， 以 下 四 种 剪 法 中 ， 裁 剪线 长 度 所 标 的 数 据 (单 位 ： cm)不 正 确 的 是 ( ) A.B. C.D.解 析 ： 选 项 A 不 正 确 .理 由 正 方 形 的 边 长 为 10， 所 以 对 角 线 =10 2 14，因 为 15 14， 所 以 这 个 图 形 不 可 能 存 在 .答 案 ： A6.某 专 卖 店 专 营 某 品 牌 的 衬 衫 ， 店 主
5、对 上 一 周 中 不 同 尺 码 的 衬 衫 销 售 情 况 统 计 如 下 ： 该 店 主 决 定 本 周 进 货 时 ， 增 加 了 一 些 41码 的 衬 衫 ， 影 响 该 店 主 决 策 的 统 计 量 是 ( )A.平 均 数B.方 差C.众 数D.中 位 数解 析 ： 由 于 众 数 是 数 据 中 出 现 次 数 最 多 的 数 ， 故 影 响 该 店 主 决 策 的 统 计 量 是 众 数 .答 案 ： C7.如 图 ， 有 甲 、 乙 两 种 地 板 样 式 ， 如 果 小 球 分 别 在 上 面 自 由 滚 动 ， 设 小 球 在 甲 种 地 板 上 最 终停 留 在
6、黑 色 区 域 的 概 率 为 P1， 在 乙 种 地 板 上 最 终 停 留 在 黑 色 区 域 的 概 率 为 P2， 则 ( ) A.P1 P2B.P1 P2C.P1=P2D.以 上 都 有 可 能解 析 ： 由 图 甲 可 知 ， 黑 色 方 砖 6 块 ， 共 有 16块 方 砖 ， 黑 色 方 砖 在 整 个 地 板 中 所 占 的 比 值 = 6 316 8 ， 在 甲 种 地 板 上 最 终 停 留 在 黑 色 区 域 的 概 率 为 P1是 38 ，由 图 乙 可 知 ， 黑 色 方 砖 3块 ， 共 有 9 块 方 砖 ， 黑 色 方 砖 在 整 个 地 板 中 所 占 的
7、 比 值 = 39 13 ， 在 乙 种 地 板 上 最 终 停 留 在 黑 色 区 域 的 概 率 为 P 2是 13， 38 13 ， P1 P2.答 案 ： A8.小 明 在 学 习 了 正 方 形 之 后 ， 给 同 桌 小 文 出 了 道 题 ， 从 下 列 四 个 条 件 ： AB=BC， ABC=90 ， AC=BD， AC BD中 选 两 个 作 为 补 充 条 件 ， 使 -ABCD为 正 方 形 (如 图 )， 现 有 下 列 四 种 选 法 ，你 认 为 其 中 错 误 的 是 ( ) A. B. C. D. 解 析 ： A、 四 边 形 ABCD是 平 行 四 边 形
8、，当 AB=BC时 ， 平 行 四 边 形 ABCD是 菱 形 ，当 ABC=90 时 ， 菱 形 ABCD是 正 方 形 ， 故 此 选 项 正 确 ， 不 合 题 意 ；B、 四 边 形 ABCD是 平 行 四 边 形 ， 当 ABC=90 时 ， 平 行 四 边 形 ABCD 是 矩 形 ，当 AC=BD 时 ， 这 是 矩 形 的 性 质 ， 无 法 得 出 四 边 形 ABCD 是 正 方 形 ， 故 此 选 项 错 误 ， 符 合 题 意 ；C、 四 边 形 ABCD是 平 行 四 边 形 ，当 AB=BC时 ， 平 行 四 边 形 ABCD是 菱 形 ，当 AC=BD时 ， 菱
9、形 ABCD是 正 方 形 ， 故 此 选 项 正 确 ， 不 合 题 意 ；D、 四 边 形 ABCD是 平 行 四 边 形 ， 当 ABC=90 时 ， 平 行 四 边 形 ABCD 是 矩 形 ， 当 AC BD时 ， 矩 形 ABCD是 正 方 形 ， 故 此 选 项 正 确 ， 不 合 题 意 .答 案 ： B9.如 图 是 甲 、 乙 两 车 在 某 时 段 速 度 随 时 间 变 化 的 图 象 ， 下 列 结 论 错 误 的 是 ( )A.乙 前 4 秒 行 驶 的 路 程 为 48 米 B.在 0到 8秒 内 甲 的 速 度 每 秒 增 加 4 米 /秒C.两 车 到 第 3
10、 秒 时 行 驶 的 路 程 相 同D.在 4到 8秒 内 甲 的 速 度 都 大 于 乙 的 速 度解 析 ： A、 根 据 图 象 可 得 ， 乙 前 4 秒 的 速 度 不 变 ， 为 12 米 /秒 ， 则 行 驶 的 路 程 为 12 4=48米 ， 故 A 正 确 ；B、 根 据 图 象 得 ： 在 0到 8秒 内 甲 的 速 度 是 一 条 过 原 点 的 直 线 ， 即 甲 的 速 度 从 0 均 匀 增 加 到32米 /秒 ， 则 每 秒 增 加 328 =4米 秒 /， 故 B正 确 ；C、 由 于 甲 的 图 象 是 过 原 点 的 直 线 ， 斜 率 为 4， 所 以
11、可 得 v=4t(v、 t 分 别 表 示 速 度 、 时 间 )，将 v=12m/s 代 入 v=4t得 t=3s， 则 t=3s 前 ， 甲 的 速 度 小 于 乙 的 速 度 ， 所 以 两 车 到 第 3 秒 时行 驶 的 路 程 不 相 等 ， 故 C错 误 ；D、 在 4 至 8 秒 内 甲 的 速 度 图 象 一 直 在 乙 的 上 方 ， 所 以 甲 的 速 度 都 大 于 乙 的 速 度 ， 故 D 正 确 ；由 于 该 题 选 择 错 误 的 . 答 案 ： C10.如 图 ， 将 矩 形 MNPQ放 置 在 矩 形 ABCD中 ， 使 点 M， N 分 别 在 AB， A
12、D边 上 滑 动 ， 若 MN=6，PN=4， 在 滑 动 过 程 中 ， 点 A 与 点 P的 距 离 AP的 最 大 值 为 ( )A.4B.2 13C.7 D.8解 析 ： 如 图 所 示 ， 取 MN 中 点 E， 当 点 A、 E、 P 三 点 共 线 时 ， AP最 大 ，在 Rt PNE中 ， PN=4， NE= 12 MN=3，根 据 勾 股 定 理 得 ： PE= 2 23 4 =5， 在 Rt AMN 中 ， AE为 斜 边 MN 上 的 中 线 ， AE= 12 MN=3， 则 AP 的 最 大 值 为 AE+EP=5+3=8. 答 案 ： D二 、 填 空 (每 小 题
13、 3 分 ， 共 15分 )11.分 解 因 式 ： x2y-xy2= . 解 析 ： 找 到 公 因 式 xy， 直 接 提 取 可 得 .原 式 =xy(x-y).答 案 ： xy(x-y)12.不 等 式 组 2 012xx x ， 的 最 小 整 数 解 是 .解 析 ： 2 012xx x ， ， 由 不 等 式 ， 得 x 2， 由 不 等 式 ， 得 x -1 故 原 不 等 式 组 解 集 是 -1 x 2， 不 等 式 组 2 012xx x ， 的 最 小 整 数 解 是 x=0.答 案 ： x=013.如 图 ， 在 已 知 的 ABC中 ， 按 以 下 步 骤 作 图
14、： 分 别 以 B， C 为 圆 心 ， 以 大 于 12 BC的 长 为 半 径 作 弧 ， 两 弧 相 交 于 两 点 M， N； 作 直 线 MN交 AB 于 点 D， 连 接 CD.若 CD=AC， A=50 ， 则 ACB= .解 析 ： 如 图 所 示 ： MN 垂 直 平 分 BC， CD=BD， DBC= DCB， CD=AC， A=50 ， CDA= A=50 ， CDA= DBC+ DCB， DCB= DBC=25 ， DCA=180 - CDA- A=80 ， ACB= CDB+ ACD=25 +80 =105 . 答 案 ： 10514.如 图 ， 在 平 行 四 边
15、形 ABCD 中 ， AD=2， AB=4， A=30 ， 以 点 A 为 圆 心 ， AD 的 长 为 半 径画 弧 交 AB 于 点 E， 连 接 CE， 则 阴 影 部 分 的 面 积 是 (结 果 保 留 ).解 析 ： 过 D点 作 DF AB 于 点 F. AD=2， AB=4， A=30 ， DF=AD sin30 =1， EB=AB-AE=2， 阴 影 部 分 的 面 积 ： 230 24 1 2 1 2 4 1 13 31 3360 答 案 ： 3 1315.如 图 ， 在 矩 形 ABCD中 ， AB=8， AD=6， 点 E 为 AB 上 一 点 ， AE=2 3 ， 点
16、 F 在 AD 上 ， 将 AEF 沿 EF 折 叠 ， 当 折 叠 后 点 A 的 对 应 点 A 恰 好 落 在 BC 的 垂 直 平 分 线 上 时 ， 折 痕 EF 的 长为 . 解 析 ： 当 AF 12 AD 时 ， 如 图 1， 将 AEF沿 EF 折 叠 ， 当 折 叠 后 点 A 的 对 应 点 A 恰 好 落在 BC 的 垂 直 平 分 线 上 ， 则 A E=AE=2 3 ， AF=A F， FA E= A=90 ，设 MN 是 BC的 垂 直 平 分 线 ， 则 AM= 12 AD=3，过 E 作 EH MN 于 H， 则 四 边 形 AEHM是 矩 形 ， MH=AE
17、=2 3 ， A H= 2 2 3AE HE ， A M= 3 ， MF2+A M2=A F2， (3-AF)2+( 3 )2=AF2， AF=2， EF= 2 2AF AE =4； 当 AF 12 AD时 ， 如 图 2， 将 AEF沿 EF折 叠 ， 当 折 叠 后 点 A的 对 应 点 A 恰 好 落 在 BC的垂 直 平 分 线 上 ， 则 A E=AE=2 3 ， AF=A F， FA E= A=90 ，设 MN 是 BC的 垂 直 平 分 线 ， 过 A 作 HG BC交 AB于 G， 交 CD于 H，则 四 边 形 AGHD 是 矩 形 ， DH=AG， HG=AD=6， A H
18、=A G 12 HG=3， EG= 2 2 3AE AG ， DH=AG=AE+EG=3 3 ， A F= 2 2HF AH =6， EF= 2 2 34AE AF ，综 上 所 述 ， 折 痕 EF 的 长 为 4 或 4 3 .答 案 ： 4 或 4 3 三 、 解 答 题 (本 大 類 共 8 小 题 ， 共 75 分 .解 答 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 )16.化 简 并 求 值 ： (m+1)2+(m+1)(m-1)， 其 中 m 是 方 程 x2+x-1=0的 一 个 根 .解 析 ： 利 用 完 全 平 方 公 式 和 平 方 差 公 式
19、 展 开 后 合 并 同 类 项 即 可 化 简 ， 再 根 据 方 程 的 解 得 概 念得 出 m2+m=1， 代 入 计 算 可 得 .答 案 ： 原 式 =m2+2m+1+m2-1=2m2+2m， m 是 方 程 x2+x-1=0的 一 个 根 ， m2+m-1=0， 即 m2+m=1， 则 原 式 =2(m2+m)=2.17.某 中 学 初 二 年 级 抽 取 部 分 学 生 进 行 跳 绳 测 试 .并 规 定 ： 每 分 钟 跳 90次 以 下 的 为 不 及 格 ；每 分 钟 跳 90 99 次 的 为 及 格 ； 每 分 钟 跳 100 109次 的 为 中 等 ； 每 分
20、钟 跳 110 119次 的 为良 好 ； 每 分 钟 跳 120次 及 以 上 的 为 优 秀 .测 试 结 果 整 理 绘 制 成 如 下 两 幅 不 完 整 的 统 计 图 .请 根据 图 中 信 息 ， 解 答 下 列 各 题 ： (1)参 加 这 次 跳 绳 测 试 的 共 有 人 ；(2)补 全 条 形 统 计 图 ；(3)在 扇 形 统 计 图 中 ， “ 中 等 ” 部 分 所 对 应 的 圆 心 角 的 度 数 是 ；(4)如 果 该 校 初 二 年 级 的 总 人 数 是 480人 ， 根 据 此 统 计 数 据 ， 请 你 估 算 该 校 初 二 年 级 跳 绳 成绩 为
21、 “ 优 秀 ” 的 人 数 .解 析 ： (1)利 用 条 形 统 计 图 以 及 扇 形 统 计 图 得 出 良 好 的 人 数 和 所 占 比 例 ， 即 可 得 出 全 班 人 数 ；(2)利 用 (1)中 所 求 ， 结 合 条 形 统 计 图 得 出 优 秀 的 人 数 ， 进 而 求 出 答 案 ；(3)利 用 中 等 的 人 数 ， 进 而 得 出 “ 中 等 ” 部 分 所 对 应 的 圆 心 角 的 度 数 ；(4)利 用 样 本 估 计 总 体 进 而 利 用 “ 优 秀 ” 所 占 比 例 求 出 即 可 .答 案 ： (1)由 扇 形 统 计 图 和 条 形 统 计
22、图 可 得 ： 参 加 这 次 跳 绳 测 试 的 共 有 ： 20 40%=50(人 )；(2)由 (1)的 优 秀 的 人 数 为 ： 50-3-7-10-20=10， 如 图 所 示 ： (3)“ 中 等 ” 部 分 所 对 应 的 圆 心 角 的 度 数 是 ： 1050 360 =72 .(4)该 校 初 二 年 级 跳 绳 成 绩 为 “ 优 秀 ” 的 人 数 为 ： 480 1050 =96(人 ).答 ： 该 校 初 二 年 级 跳 绳 成 绩 为 “ 优 秀 ” 的 人 数 为 96 人 .18.如 图 ， AB是 O的 弦 ， D 为 半 径 OA的 中 点 ， 过 D作
23、 CD OA交 弦 AB 于 点 E， 交 O于 点 F，且 CE=CB. (1)求 证 ： BC是 O 的 切 线 ；(2)连 接 AF， BF， 求 ABF的 度 数 .解 析 ： (1)连 结 OB， 如 图 ， 由 CE=CB得 到 CBE= CEB， 由 CD OA得 到 DAE+ AED=90 ，利 用 对 顶 角 相 等 得 CEB= AED， 则 DAE+ CBE=90 ， 加 上 OAB= OBA， 所 以 OBA+CBE=90 ， 然 后 根 据 切 线 的 判 定 定 理 即 可 得 到 BC是 O 的 切 线 ；(2)连 结 OF， OF 交 AB 于 H， 如 图 ，
24、 由 DF OA， AD=OD， 根 据 等 腰 三 角 形 的 判 定 得 FA=FO， 而OF=OA， 所 以 OAF 为 等 边 三 角 形 ， 则 AOF=60 ， 于 是 根 据 圆 周 角 定 理 得 ABF= 12 AOF=30 .答 案 ： (1)连 结 OB， 如 图 ， CE=CB， CBE= CEB， CD OA， DAE+ AED=90 ， 而 CEB= AED， DAE+ CBE=90 ， OA=OB， OAB= OBA， OBA+ CBE=90 ， 即 OBC=90 ， OB BC， BC是 O 的 切 线 ；(2)连 结 OF， OF交 AB于 H， 如 图 ，
25、DF OA， AD=OD， FA=FO， 而 OF=OA， OAF为 等 边 三 角 形 ， AOF=60 ， ABF= 12 AOF=30 .19.共 享 单 车 被 誉 为 “ 新 四 大 发 明 ” 之 一 ， 如 图 1 所 示 是 某 公 司 2017年 向 信 阳 市 场 提 供 一 种共 享 自 行 车 的 实 物 图 ， 车 架 档 AC 与 CD的 长 分 别 为 45cm， 60cm， AC CD， 座 杆 CE的 长 为 20cm，点 A， C， E在 同 一 条 直 线 上 ， 且 CAB=75 ， 如 图 2. (1)求 车 架 档 AD的 长 ；(2)求 车 座 点
26、 E 到 车 架 档 AB的 距 离 .(结 果 精 确 到 1cm， 参 考 数 据 ： sin75 =0.9659， cos75=0.2588， tan75 =3.7321)解 析 ： (1)根 据 AC、 CD 和 AC CD 可 以 求 得 AD 的 长 ；(2)根 据 AC、 CE和 EAF的 度 数 可 以 求 得 EF的 长 .答 案 ： (1) AC CD， AC=45cm， CD=60cm， AD= 2 2 2 245 60AC CD =75(cm)，即 车 架 档 AD的 长 是 75cm； (2)作 EF AB 于 点 F， 如 图 所 示 ， AC=45cm， EC=2
27、0cm， EAB=75 ， EF=AE sin75 =(45+20) 0.9659 63cm，即 车 座 点 E到 车 架 档 AB 的 距 离 是 63cm.20.如 图 ， 在 直 角 坐 标 系 中 ， 矩 形 OABC的 顶 点 O 与 坐 标 原 点 重 合 ， A、 C 分 别 在 坐 标 轴 上 ， 点 B 的 坐 标 为 (4， 2)， 直 线 y= 12 x+3 交 AB， BC 分 别 于 点 M， N， 反 比 例 函 数 y= kx 的 图 象经 过 点 M， N.(1)求 反 比 例 函 数 的 解 析 式 ；(2)若 点 P 在 y 轴 上 ， 且 OPM的 面 积
28、 与 四 边 形 BMON的 面 积 相 等 ， 求 点 P 的 坐 标 .解 析 ： (1)求 出 OA=BC=2， 将 y=2代 入 y= 12 x+3求 出 x=2， 得 出 M 的 坐 标 ， 进 而 将 x=4代 入 y= 12 x+3得 ： y=1， 求 出 N点 坐 标 ， 把 M的 坐 标 代 入 反 比 例 函 数 的 解 析 式 即 可 求 出 答 案 ；(2)利 用 S 四 边 形 BMON=S 矩 形 OABC-S AOM-S CON， 再 求 出 OP 的 值 ， 即 可 求 出 P 的 坐 标 .答 案 ： (1) B(4， 2)， 四 边 形 OABC是 矩 形
29、， OA=BC=2，将 y=2代 入 y= 12 x+3 得 ： x=2， M(2， 2)，将 x=4代 入 y= 12 x+3 得 ： y=1， N(4， 1)，把 M 的 坐 标 代 入 y= kx 得 ： k=4， 反 比 例 函 数 的 解 析 式 是 y= 4x ；(2)由 题 意 可 得 ： S 四 边 形 BMON=S 矩 形 OABC-S AOM-S CON= 1 14 2 2 2 4 12 2 =4； OPM的 面 积 与 四 边 形 BMON的 面 积 相 等 ， 12 OP AM=4， AM=2， OP=4， 点 P的 坐 标 是 (0， 4)或 (0， -4).21.某
30、 班 为 参 加 学 校 的 大 课 间 活 动 比 赛 ， 准 备 购 进 一 批 跳 绳 ， 已 知 2 根 A 型 跳 绳 和 1 根 B 型跳 绳 共 需 56元 ， 1 根 A 型 跳 绳 和 2根 B型 跳 绳 共 需 82元 . (1)求 一 根 A 型 跳 绳 和 一 根 B 型 跳 绳 的 售 价 各 是 多 少 元 ？(2)学 校 准 备 购 进 这 两 种 型 号 的 跳 绳 共 50根 ， 并 且 A 型 跳 绳 的 数 量 不 多 于 B型 跳 绳 数 量 的 3倍 ， 请 设 计 书 最 省 钱 的 购 买 方 案 ， 并 说 明 理 由 .解 析 ： (1)设 一
31、 根 A 型 跳 绳 售 价 是 x 元 ， 一 根 B 型 跳 绳 的 售 价 是 y元 ， 根 据 ： “ 2 根 A 型 跳 绳和 1 根 B 型 跳 绳 共 需 56 元 ， 1根 A型 跳 绳 和 2 根 B 型 跳 绳 共 需 82元 ” 列 方 程 组 求 解 即 可 ；(2)首 先 根 据 “ A 型 跳 绳 的 数 量 不 多 于 B 型 跳 绳 数 量 的 3 倍 ” 确 定 自 变 量 的 取 值 范 围 ， 然 后得 到 有 关 总 费 用 和 A型 跳 绳 之 间 的 关 系 得 到 函 数 解 析 式 ， 确 定 函 数 的 最 值 即 可 .答 案 ： (1)设
32、一 根 A 型 跳 绳 售 价 是 x 元 ， 一 根 B 型 跳 绳 的 售 价 是 y 元 ，根 据 题 意 ， 得 ： 2 562 82x yx y ， 解 得 ： 1036xy ，答 ： 一 根 A型 跳 绳 售 价 是 10 元 ， 一 根 B 型 跳 绳 的 售 价 是 36 元 ；(2)设 购 进 A 型 跳 绳 m 根 ， 总 费 用 为 W 元 ， 根 据 题 意 ， 得 ： W=10m+36(50-m)=-26m+1800， -26 0， W随 m的 增 大 而 减 小 ，又 m 3(50-m)， 解 得 ： m 37.5， 而 m 为 正 整 数 ， 当 m=37 时 ，
33、 W 最 小 =-26 37+1800=838， 此 时 50-37=13，答 ： 当 购 买 A 型 跳 绳 37 只 ， B型 跳 绳 13只 时 ， 最 省 钱 .22. (1)问 题 发 现 ：如 图 ， 在 等 边 三 角 形 ABC中 ， 点 M 为 BC 边 上 异 于 B、 C 的 一 点 ， 以 AM 为 边 作 等 边 三 角 形AMN， 连 接 CN， NC 与 AB 的 位 置 关 系 为 ；(2)深 入 探 究 ：如 图 ， 在 等 腰 三 角 形 ABC中 ， BA=BC， 点 M 为 BC边 上 异 于 B、 C 的 一 点 ， 以 AM为 边 作 等 腰三 角
34、形 AMN， 使 ABC= AMN， AM=MN， 连 接 CN， 试 探 究 ABC与 ACN的 数 量 关 系 ， 并 说 明理 由 ；(3)拓 展 延 伸 ：如 图 ， 在 正 方 形 ADBC中 ， AD=AC， 点 M 为 BC 边 上 异 于 B、 C 的 一 点 ， 以 AM 为 边 作 正 方 形AMEF， 点 N为 正 方 形 AMEF的 中 点 ， 连 接 CN， 若 BC=10， CN= 2 ， 试 求 EF 的 长 .解 析 ： (1)根 据 ABC， AMN 为 等 边 三 角 形 ， 得 到 AB=AC， AM=AN 且 BAC= MAN=60 从 而得 到 BAC
35、- CAM= MAN- CAM， 即 BAM= CAN， 证 明 BAM CAN， 即 可 得 到 BM=CN. (2)根 据 ABC， AMN 为 等 腰 三 角 形 ， 得 到 AB： BC=1： 1 且 ABC= AMN， 根 据 相 似 三 角 形的 性 质 得 到 AB ACAM AN ， 利 用 等 腰 三 角 形 的 性 质 得 到 BAC= MAN， 根 据 相 似 三 角 形 的 性 质即 可 得 到 结 论 ； (3)如 图 3， 连 接 AB， AN， 根 据 正 方 形 的 性 质 得 到 ABC= BAC=45 ， MAN=45 ， 根 据 相似 三 角 形 的 性
36、质 得 出 BM ABCN AC ， 得 到 BM=2， CM=8， 再 根 据 勾 股 定 理 即 可 得 到 答 案 .答 案 ： (1)NC AB， 理 由 如 下 ： ABC与 MN是 等 边 三 角 形 ， AB=AC， AM=AN， BAC= MAN=60 ， BAM= CAN，在 ABM与 ACN中 ， AB ACBAM CANAM AN ， ， ABM ACN(SAS)， B= ACN=60 ， ANC+ ACN+ CAN= ANC+60 + CAN=180 ， ANC+ MAN+ BAM= ANC+60 + CAN= BAN+ ANC=180 ， CN AB；(2) ABC=
37、 ACN， 理 由 如 下 ： AB AMBC MN =1且 ABC= AMN， ABC AMN， AB ACAM AN ， AB=BC， BAC= 12 (180 - ABC)， AM=MN， MAN= 12 (180 - AMN)， ABC= AMN， BAC= MAN， BAM= CAN， ABM ACN， ABC= ACN；(3)如 图 3， 连 接 AB， AN， 四 边 形 ADBC， AMEF为 正 方 形 ， ABC= BAC=45 ， MAN=45 ， BAC- MAC= MAN- MAC， 即 BAM= CAN， 2AB AM AB ACAC AN AM AN ， ， AB
38、M ACN， 2 2 2cos45 2 2BM AB CN ACCN AC BM AB BM ， ， ， BM=2， CM=BC-BM=8，在 Rt AMC， 2 2 2 210 8 2 41 2 41AM AC MC EF AM ， 23.如 图 ， 在 矩 形 OABC中 ， 点 O为 原 点 ， 边 OA的 长 度 为 8， 对 角 线 AC=10， 抛 物 线 y= 49 x 2+bx+c经 过 点 A、 C， 与 AB交 于 点 D. (1)求 抛 物 线 的 函 数 解 析 式 ；(2)点 P 为 线 段 BC 上 一 个 动 点 (不 与 点 C 重 合 )， 点 Q 为 线 段
39、 AC 上 一 个 动 点 ， AQ=CP， 连 接PQ， 设 CP=m， CPQ的 面 积 为 S. 求 S关 于 m 的 函 数 表 达 式 并 求 出 S 最 大 时 的 m值 ； 在 S 最 大 的 情 况 下 ， 在 抛 物 线 y= 49 x2+bx+c 的 对 称 轴 上 ， 若 存 在 点 F， 使 DFQ 为 直 角三 角 形 ， 请 直 接 写 出 所 有 符 合 条 件 的 点 F 的 坐 标 ； 若 不 存 在 ， 请 说 明 理 由 .解 析 ： (1)先 根 据 勾 股 定 理 求 出 OC 长 度 ， 进 而 确 定 点 C坐 标 ； 将 A、 C 两 点 坐 标
40、 代 入 抛 物 线y= 49 x 2+bx+c， 即 可 求 得 抛 物 线 的 解 析 式 ；(2) 先 用 m 表 示 出 QE 的 长 度 ， 进 而 求 出 三 角 形 的 面 积 S关 于 m 的 函 数 ； 分 类 讨 论 ， 写 出 满 足 条 件 的 F 点 的 坐 标 即 可 ， 注 意 不 要 漏 写 .答 案 ： (1)在 矩 形 OABC中 ， AOC=90 ，由 勾 股 定 理 可 得 ， 2 2 2 210 8 6OC AC OA ， C(6， 0)，将 A(0， 8)、 C(6， 0)两 点 坐 标 代 入 抛 物 线 ， 得 84 36 6 09c b c ，
41、 ， 解 得 ， 438bc ， 抛 物 线 的 解 析 式 为 y= 24 49 3x x+8；(2)如 图 ： 过 点 Q 作 QE BC与 E点 ， 则 sin 3 35 10 5QE AB QEQC AC m ， ， QE= 35 (10-m)， 21 1 3 310 32 2 5 10S CP QE m m m m ， 221 1 3 3 3 1510 3 52 2 5 10 10 2S CP QE m m m m m ， 当 m=5时 ， S取 最 大 值 ； 在 抛 物 线 对 称 轴 l上 存 在 点 F， 使 FDQ 为 直 角 三 角 形 ， 抛 物 线 y= 24 49
42、3x x+8 的 对 称 轴 为 x= 32 ， D 的 坐 标 为 (3， 8)， Q(3， 4)，当 FDQ=90 时 ， F 1( 32 ， 8)，当 FQD=90 时 ， 则 F2( 32 ， 4)，当 DFQ=90 时 ， 设 F( 32 ， n)， 则 FD2+FQ2=DQ2， 94 +(8-n)2+ 94 +(n-4)2=16，解 得 ， n=6 72 ， 3 43 7( ) 3 76 62 2 2( )2F F ， ， ， ，综 上 所 述 ， 满 足 条 件 的 点 F 共 有 四 个 ， 坐 标 分 别 为 F 1( 32 ， 8)， F2( 32 ， 4)，3 4( )3 7 3 76 62 2 2 2( )F F ， ， ， .
