1、2014年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 （ 北 京 卷 ） 数 学 文一 、 选 择 题 共 8 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 40分 .在 每 小 题 列 出 的 四 个 选 项 中 ， 选 出 符 合 题 目要 求 的 一 项1.若 集 合 A=0， 1， 2， 4， B=1， 2， 3， 则 A B=( )A.0， 1， 2， 3， 4B.0， 4C.1， 2D.3解 析 ： A=0， 1， 2， 4， B=1， 2， 3， A B=0， 1， 2， 4 1， 2， 3=1， 2.答 案 ： C. 2.下 列 函 数 中 ， 定 义 域 是 R 且
2、为 增 函 数 的 是 ( )A.y=e-xB.y=xC.y=lnxD.y=|x|解 析 ： A.函 数 的 定 义 域 为 R， 但 函 数 为 减 函 数 ， 不 满 足 条 件 .B.函 数 的 定 义 域 为 R， 函 数 增 函 数 ， 满 足 条 件 .C.函 数 的 定 义 域 为 (0， + )， 函 数 为 增 函 数 ， 不 满 足 条 件 .D.函 数 的 定 义 域 为 R， 在 (0， + )上 函 数 是 增 函 数 ， 在 (- ， 0)上 是 减 函 数 ， 不 满 足 条 件 .答 案 ： B.3.已 知 向 量 =(2， 4)， =(-1， 1)， 则 2
3、- =( )A.(5， 7) B.(5， 9)C.(3， 7)D.(3， 9)解 析 ： 由 =(2， 4)， =(-1， 1)， 得 ： 2 - =2(2， 4)-(-1， 1)=(4， 8)-(-1， 1)=(5， 7).答 案 ： A.4.执 行 如 图 所 示 的 程 序 框 图 ， 输 出 的 S值 为 ( ) A.1B.3C.7D.15解 析 ： 由 程 序 框 图 知 ： 算 法 的 功 能 是 求 S=1+21+22+ +2k的 值 ， 跳 出 循 环 的 k值 为 3， 输 出 S=1+2+4=7.答 案 ： C.5.设 a， b 是 实 数 ， 则 “ a b” 是 “ a
4、 2 b2” 的 ( )A.充 分 而 不 必 要 条 件B.必 要 而 不 充 分 条 件C.充 分 必 要 条 件D.既 不 充 分 也 不 必 要 条 件解 析 ： 因 为 a， b都 是 实 数 ， 由 a b， 不 一 定 有 a2 b2， 如 -2 -3， 但 (-2)2 (-3)2， 所 以 “ a b” 是 “ a2 b2” 的 不 充 分 条 件 ；反 之 ， 由 a 2 b2也 不 一 定 得 a b， 如 (-3)2 (-2)2， 但 -3 -2， 所 以 “ a b” 是 “ a2 b2”的 不 必 要 条 件 .答 案 ： D6.已 知 函 数 f(x)= -log2
5、x， 在 下 列 区 间 中 ， 包 含 f(x)零 点 的 区 间 是 ( )A.(0， 1)B.(1， 2)C.(2， 4)D.(4， + )解 析 ： f(x)= -log 2x， f(2)=2 0， f(4)=- 0，满 足 f(2)f(4) 0， f(x)在 区 间 (2， 4)内 必 有 零 点 ，答 案 ： C7.已 知 圆 C： (x-3)2+(y-4)2=1和 两 点 A(-m， 0)， B(m， 0)(m 0)， 若 圆 C 上 存 在 点 P， 使 得 APB=90 ， 则 m 的 最 大 值 为 ( ) A. 7B. 6C. 5D. 4解 析 ： 圆 C： (x-3)2
6、+(y-4)2=1的 圆 心 C(3， 4)， 半 径 为 1， 圆 心 C 到 O(0， 0)的 距 离 为 5， 圆 C 上 的 点 到 点 O 的 距 离 的 最 大 值 为 6.再 由 APB=90 ， 以 A 为 直 径 的 圆 和 圆 C 有 交 点 ， 可 得 PO= AB=m， 故 有 m 6，答 案 ： B.8.加 工 爆 米 花 时 ， 爆 开 且 不 糊 的 粒 数 占 加 工 总 粒 数 的 百 分 比 称 为 “ 可 食 用 率 ” ， 在 特 定 条 件下 ， 可 食 用 率 p与 加 工 时 间 t(单 位 ： 分 钟 )满 足 函 数 关 系 p=at 2+bt
7、+c(a， b， c 是 常 数 )， 如图 记 录 了 三 次 实 验 的 数 据 ， 根 据 上 述 函 数 模 型 和 实 验 数 据 ， 可 以 得 到 最 佳 加 工 时 间 为 ( )A.3.50分 钟B.3.75分 钟 C.4.00分 钟D.4.25分 钟解 析 ： 将 (3， 0.7)， (4， 0.8)， (5， 0.5)分 别 代 入 p=at2+bt+c， 可 得 ，解 得 a=-0.2， b=1.5， c=-2， p=-0.2t2+1.5t-2， 对 称 轴 为 t=- =3.75.答 案 ： B.二 、 填 空 题 共 6 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 30
8、分 .9.若 (x+i)i=-1+2i(x R)， 则 x= .解 析 ： (x+i)i=-1+2i， -1+xi=-1+2i， 由 复 数 相 等 可 得 x=2 答 案 ： 210.设 双 曲 线 C 的 两 个 焦 点 为 (- ， 0)， ( ， 0)， 一 个 顶 点 是 (1， 0)， 则 C 的 方 程 为 .解 析 ： 双 曲 线 C 的 两 个 焦 点 为 (- ， 0)， ( ， 0)， 一 个 顶 点 是 (1， 0)， c= ， a=1， b=1， C 的 方 程 为 x2-y2=1.答 案 ： x2-y2=1.11.某 三 棱 锥 的 三 视 图 如 图 所 示 ，
9、则 该 三 棱 锥 最 长 棱 的 棱 长 为 . 解 析 ： 由 主 视 图 知 CD 平 面 ABC， 设 AC中 点 为 E， 则 BE AC， 且 AE=CE=1；由 左 视 图 知 CD=2， BE=1，在 Rt BCE中 ， BC= ，在 Rt BCD中 ， BD=2 ，在 Rt ACD中 ， AD=2 .则 三 棱 锥 中 最 长 棱 的 长 为 2 . 答 案 ： 2 .12.在 ABC中 ， a=1， b=2， cosC= ， 则 c= ； sinA= .解 析 ： 在 ABC中 ， a=1， b=2， cosC= ， 由 余 弦 定 理 得 ： c2=a2+b2-2abco
10、sC=1+4-1=4， 即 c=2； cosC= ， C为 三 角 形 内 角 ， sinC= = ， 由 正 弦 定 理 = 得 ： sinA= = = . 答 案 ： 2；13.若 x， y满 足 ， 则 z= x+y的 最 小 值 为 . 解 析 ： 由 约 束 条 件 作 出 可 行 域 如 图 ，化 目 标 函 数 z= x+y为 ， 由 图 可 知 ， 当 直 线 过 C(0， 1)时 直 线 在 y轴 上 的 截 距 最 小 .此 时 .答 案 ： 1.14.顾 客 请 一 位 工 艺 师 把 A， B 两 件 玉 石 原 料 各 制 成 一 件 工 艺 品 ， 工 艺 师 带
11、一 位 徒 弟 完 成 这 项任 务 ， 每 件 原 料 先 由 徒 弟 完 成 粗 加 工 ， 再 由 师 傅 进 行 精 加 工 完 成 制 作 ， 两 件 工 艺 品 都 完 成 后交 付 顾 客 ， 两 件 原 料 每 道 工 序 所 需 时 间 （ 单 位 ： 工 作 日 ） 如 下 ： 则 最 短 交 货 期 为 个 工 作 日 .解 析 ： 由 题 意 ， 徒 弟 利 用 6天 完 成 原 料 B的 加 工 ， 由 师 傅 利 用 21天 完 成 精 加 工 ， 与 此 同 时 ，徒 弟 利 用 9天 完 成 原 料 A的 加 工 ， 最 后 由 师 傅 利 用 15天 完 成
12、精 加 工 ， 故 最 短 交 货 期 为6+21+15=42 个 工 作 日 .答 案 ： 42.三 、 解 答 题 ， 共 6小 题 ， 满 分 80 分 ， 解 答 应 写 出 文 字 说 明 ， 演 算 步 骤 或 证 明 过 程 .15.(13分 )已 知 a n是 等 差 数 列 ， 满 足 a1=3， a4=12， 数 列 bn满 足 b1=4， b4=20， 且 bn-an为等 比 数 列 .( )求 数 列 an和 bn的 通 项 公 式 ；( )求 数 列 bn的 前 n 项 和 .解 析 ： ( )利 用 等 差 数 列 、 等 比 数 列 的 通 项 公 式 先 求 得
13、 公 差 和 公 比 ， 即 得 结 论 ；( )利 用 分 组 求 和 法 ， 有 等 差 数 列 及 等 比 数 列 的 前 n 项 和 公 式 即 可 求 得 数 列 的 和 .答 案 ： ( )设 等 差 数 列 a n的 公 差 为 d， 由 题 意 得 d= = =3. an=a1+(n-1)d=3n(n=1， 2， )，设 等 比 数 列 bn-an的 公 比 为 q， 则 q3= = =8， q=2， bn-an=(b1-a1)qn-1=2n-1， bn=3n+2n-1(n=1， 2， ).( )由 ( )知 bn=3n+2n-1(n=1， 2， ). 数 列 3n的 前 n
14、项 和 为 n(n+1)， 数 列 2 n-1的 前 n 项 和 为 1 =2n-1， 数 列 bn的 前 n项 和 为 n(n+1)+2n-1.16.(13分 )函 数 f(x)=3sin(2x+ )的 部 分 图 象 如 图 所 示 . ( )写 出 f(x)的 最 小 正 周 期 及 图 中 x0， y0的 值 ；( )求 f(x)在 区 间 - ， - 上 的 最 大 值 和 最 小 值 .解 析 ： ( )由 题 目 所 给 的 解 析 式 和 图 象 可 得 所 求 ； ( )由 x - ， - 可 得2x+ - ， 0， 由 三 角 函 数 的 性 质 可 得 最 值 .答 案
15、： ( ) f(x)=3sin(2x+ )， f(x)的 最 小 正 周 期 T= = ，可 知 y 0为 函 数 的 最 大 值 3， x0= ；( ) x - ， - ， 2x+ - ， 0， 当 2x+ =0， 即 x= 时 ， f(x)取 最 大 值 0，当 2x+ = ， 即 x=- 时 ， f(x)取 最 小 值 -317.(14分 )如 图 ， 在 三 棱 柱 ABC-A 1B1C1中 ， 侧 棱 垂 直 于 底 面 ， AB BC， AA1=AC=2， BC=1， E，F分 别 是 A1C1， BC的 中 点 . ( )求 证 ： 平 面 ABE B1BCC1；( )求 证 ：
16、 C1F 平 面 ABE；( )求 三 棱 锥 E-ABC的 体 积 .解 析 ： ( )证 明 AB B1BCC1， 可 得 平 面 ABE B1BCC1；( )证 明 C1F 平 面 ABE， 只 需 证 明 四 边 形 FGEC1为 平 行 四 边 形 ， 可 得 C1F EG；( )利 用 VE-ABC= ， 可 求 三 棱 锥 E-ABC 的 体 积 .答 案 ： ( ) 三 棱 柱 ABC-A 1B1C1中 ， 侧 棱 垂 直 于 底 面 ， BB1 AB， AB BC， BB1 BC=B， AB B1BCC1， AB平 面 ABE， 平 面 ABE B1BCC1；( )取 AB
17、中 点 G， 连 接 EG， FG， 则 F 是 BC的 中 点 ， FG AC， FG= AC， E 是 A1C1的 中 点 ， FG EC1， FG=EC1， 四 边 形 FGEC1为 平 行 四 边 形 ， C1F EG， C1F平 面 ABE， EG平 面 ABE， C 1F 平 面 ABE；( ) AA1=AC=2， BC=1， AB BC， AB= ， VE-ABC= = =18.(13分 )从 某 校 随 机 抽 取 100名 学 生 ， 获 得 了 他 们 一 周 课 外 阅 读 时 间 (单 位 ： 小 时 )的 数 据 ，整 理 得 到 数 据 分 组 及 频 数 分 布
18、表 和 频 率 分 布 直 方 图 ： ( )从 该 校 随 机 选 取 一 名 学 生 ， 试 估 计 这 名 学 生 该 周 课 外 阅 读 时 间 少 于 12 小 时 的 概 率 ；( )求 频 率 分 布 直 方 图 中 的 a， b 的 值 ；( )假 设 同 一 组 中 的 每 个 数 据 可 用 该 组 区 间 的 中 点 值 代 替 ， 试 估 计 样 本 中 的 100名 学 生 该 周课 外 阅 读 时 间 的 平 均 数 在 第 几 组 (只 需 写 结 论 )解 析 ： ( )根 据 频 率 分 布 表 求 出 周 课 外 阅 读 时 间 少 于 12 小 时 的 频
19、 数 ， 再 根 据 频 率= 求 频 率 ；( )根 据 小 矩 形 的 高 = 求 a、 b的 值 ；( )利 用 平 均 数 公 式 求 得 数 据 的 平 均 数 ， 可 得 答 案 .答 案 ： ( )由 频 率 分 布 表 知 ： 周 课 外 阅 读 时 间 少 于 12小 时 的 频 数 为 6+8+17+22+25+12=90， 周 课 外 阅 读 时 间 少 于 12小 时 的 频 率 为 =0.9； ( )由 频 率 分 布 表 知 ： 数 据 在 4， 6)的 频 数 为 17， 频 率 为 0.17， a=0.085；数 据 在 8， 10)的 频 数 为 25， 频
20、率 为 0.25， b=0.125；( )数 据 的 平 均 数 为1 0.06+3 0.08+5 0.17+7 0.22+9 0.25+11 0.12+13 0.06+15 0.02+17 0.02=7.68(小 时 )， 样 本 中 的 100名 学 生 该 周 课 外 阅 读 时 间 的 平 均 数 在 第 四 组 .19.(14分 )已 知 椭 圆 C： x 2+2y2=4.( )求 椭 圆 C 的 离 心 率 ；( )设 O 为 原 点 ， 若 点 A 在 直 线 y=2上 ， 点 B 在 椭 圆 C 上 ， 且 OA OB， 求 线 段 AB 长 度 的 最小 值 .解 析 ： (
21、 )椭 圆 C： x2+2y2=4 化 为 标 准 方 程 为 ， 求 出 a， c， 即 可 求 椭 圆 C 的 离 心率 ；( )先 表 示 出 线 段 AB 长 度 ， 再 利 用 基 本 不 等 式 ， 求 出 最 小 值 .答 案 ： ( )椭 圆 C： x 2+2y2=4 化 为 标 准 方 程 为 ， a=2， b= ， c= ， 椭 圆 C 的 离 心 率 e= = ；( )设 A(t， 2)， B(x0， y0)， x0 0， 则 OA OB， =0， tx0+y0=0， t=- ， ， |AB| 2=(x0-t)2+(y0-2)2= +4 4+4=8，当 且 仅 当 ， 即
22、 x02=4时 等 号 成 立 ， 线 段 AB 长 度 的 最 小 值 为 2 .20.(13分 )已 知 函 数 f(x)=2x3-3x.( )求 f(x)在 区 间 -2， 1上 的 最 大 值 ；( )若 过 点 P(1， t)存 在 3 条 直 线 与 曲 线 y=f(x)相 切 ， 求 t 的 取 值 范 围 ；( )问 过 点 A(-1， 2)， B(2， 10)， C(0， 2)分 别 存 在 几 条 直 线 与 曲 线 y=f(x)相 切 ？ （ 只 需 写出 结 论 ）解 析 ： ( )利 用 导 数 求 得 极 值 点 比 较 f(-2)， f(- )， f( )， f(
23、1)的 大 小 即 得 结 论 ； ( )利 用 导 数 的 几 何 意 义 得 出 切 线 方 程 4 -6 +t+3=0， 设 g(x)=4x3-6x2+t+3， 则 “ 过 点P(1， t)存 在 3 条 直 线 与 曲 线 y=f(x)相 切 ” ，等 价 于 “ g(x)有 3 个 不 同 的 零 点 ” .利 用 导 数 判 断 函 数 的 单 调 性 进 而 得 出 函 数 的 零 点 情 况 ，得 出 结 论 ；( )利 用 ( )的 结 论 写 出 即 可 .答 案 ： ( )由 f(x)=2x3-3x得 f (x)=6x2-3，令 f (x)=0 得 ， x=- 或 x=
24、， f(-2)=-10， f(- )= ， f( )=- ， f(1)=-1， f(x)在 区 间 -2， 1上 的 最 大 值 为 .( )设 过 点 p(1， t)的 直 线 与 曲 线 y=f(x)相 切 于 点 (x 0， y0)，则 y0=2 -3x0， 且 切 线 斜 率 为 k=6 -3， 切 线 方 程 为 y-y0=(6 -3)(x-x0)， t-y0=(6 -3)(1-x0)， 即 4 -6 +t+3=0，设 g(x)=4x 3-6x2+t+3， 则 “ 过 点 P(1， t)存 在 3 条 直 线 与 曲 线 y=f(x)相 切 ” ， 等 价 于 “ g(x)有 3 个
25、 不 同 的 零 点 ” . g (x)=12x2-12x=12x(x-1)， g(x)与 g (x)变 化 情 况 如 下 ： g(0)=t+3是 g(x)的 极 大 值 ， g(1)=t+1是 g(x)的 极 小 值 .当 g(0)=t+3 0， 即 t -3 时 ， g(x)在 区 间 (- ， 1和 (1， + )上 分 别 至 多 有 一 个 零 点 ， 故g(x)至 多 有 2 个 零 点 .当 g(1)=t+1 0， 即 t -1 时 ， g(x)在 区 间 (- ， 0和 (0， + )上 分 别 至 多 有 一 个 零 点 ， 故g(x)至 多 有 2 个 零 点 .当 g(
26、0) 0且 g(1) 0， 即 -3 t -1 时 ， g(-1)=t-7 0， g(2)=t+11 0， g(x)分 别 在 区 间 -1， 0)， 0， 1)和 1， 2)上 恰 有 1 个 零 点 ， 由 于 g(x)在 区 间 (- ， 0)和1， + )上 单 调 ，故 g(x)分 别 在 区 间 (- ， 0)和 1， + )上 恰 有 1个 零 点 .综 上 所 述 ， 当 过 点 过 点 P(1， t)存 在 3条 直 线 与 曲 线 y=f(x)相 切 时 ， t的 取 值 范 围 是 (-3，-1).( )过 点 A(-1， 2)存 在 3条 直 线 与 曲 线 y=f(x)相 切 ；过 点 B(2， 10)存 在 2条 直 线 与 曲 线 y=f(x)相 切 ； 过 点 C(0， 2)存 在 1条 直 线 与 曲 线 y=f(x)相 切 .
