1、考研数学二（高等数学）模拟试卷 62 及答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.函数 f(x)在 x=1 处可导的充分必要条件是( ) （分数：2.00）A.B.C.D.3.设 f(x)在 R 上是以 T 为周期的连续奇函数则下列函数中不是周期函数的是( )（分数：2.00）A. a x f(t)dtB. -x a f(t)dtC. -x 2 f(t)dt- x 2 f(t)dtD. x -x tf(t)dt4.设 （分数：2.00）A.连续但不可偏导B.可偏
2、导但不连续C.可微D.一阶连续可偏导二、填空题(总题数：7，分数：14.00)5.设 （分数：2.00）填空项 1:_6.当 x0 时， （分数：2.00）填空项 1:_7.设 f(x)为二阶可导的偶函数，f(0)=1，f(0)=2 且 f(x)在 x=0 的邻域内连续，则 （分数：2.00）填空项 1:_8.曲线 （分数：2.00）填空项 1:_9.设 f(lnx)= （分数：2.00）填空项 1:_10.求 （分数：2.00）填空项 1:_11.计算 0 1 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：16，分数：32.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分
3、数：2.00）_13. （分数：2.00）_14.设 （分数：2.00）_15.设 f(x)在a，b上连续，任取 xa，b(i=1，2，n)，任取 k t 0(i=12，n)，证明：存在a，b，使得 k 1 f(x 1 )+k 2 f(x 2 )+k n f(x n )-(k 1 +k 2 +k n )f()（分数：2.00）_16.设 x 3 -3xy+y 3 =3 确定 y 为 x 的函数，求函数 y=y(x)的极值点（分数：2.00）_17.设 f(x)在(-1，1)内二阶连续可导，且 f(x)0证明：(1)对(-1，1)内任一点 x0，存在唯一的(x)(0，1)，使得 f(x)=f(0
4、)+xf(x)x；(2) （分数：2.00）_18.证明：当 x0 时，(x 2 -1)lnx(x-1) 2 （分数：2.00）_19.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 f + (a)f - (b)0证明：存在 (a，b)，使得f()=0（分数：2.00）_20.设 f(lnx)= （分数：2.00）_21.设 f(x)在(0，+)内连续且单调减少证明： 1 n+1 f(x)dx （分数：2.00）_22.计算 （分数：2.00）_23.设 z=z(z，y)满足 证明： （分数：2.00）_24.已知 f(x，y)= ，设 D 为由 x=0、y=0 及 x+y=t 所围成的区
5、域，求 F(t)= （分数：2.00）_25.设函数 f(x)Ca，b，且 f(x)0，D 为区域 axb，ayb证明： （分数：2.00）_26.设有微分方程 y-2y=(x)，其中 (x)= （分数：2.00）_27.用变量代换 x=lnx 将方程 （分数：2.00）_考研数学二（高等数学）模拟试卷 62 答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.函数 f(x)在 x=1 处可导的充分必要条件是( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：(
6、A)不对，如 存在，但 f(x)在 x=1 处不连续，所以也不可导； (B)不对，因为 存在只能保证 f(x)在 x=1 处右导数存在； (C)不对，因为 而 不一定存在，于是 f(x)在 x=1 处不一定右可导，也不一定可导；3.设 f(x)在 R 上是以 T 为周期的连续奇函数则下列函数中不是周期函数的是( )（分数：2.00）A. a x f(t)dtB. -x a f(t)dtC. -x 2 f(t)dt- x 2 f(t)dtD. x -x tf(t)dt 解析：解析：设 (x)= -x x tf(t)dt=2 0 x tf(t)dt，(z+T)=2 0 x+T tf(t)dt=2
7、0 x tf(t)dt+2 x x+T tf(t)dt(x)，选(D)4.设 （分数：2.00）A.连续但不可偏导B.可偏导但不连续C.可微 D.一阶连续可偏导解析：解析：因为 f(x，y)=0=f(0，0)，所以 f(x，y)在(0，0)处连续； 因为 ，所以 f x (0，0)=0，根据对称性，f y (0，0)=0，即 f(x，y)在(0，0)处可偏导； 由 ，得 f(x，y)在(0，0)处可微； 当(x，y)(0，0)时，f x (x，y)=2xsin 则 因为 二、填空题(总题数：7，分数：14.00)5.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：
8、6.当 x0 时， （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：-3）解析：解析：因为 x0 时， x 2 ，cos 2 x-1=(cosx+1)(cosx-1)-x 2 且 7.设 f(x)为二阶可导的偶函数，f(0)=1，f(0)=2 且 f(x)在 x=0 的邻域内连续，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：因为 f(x)为偶函数，所以 f(x)为奇函数，于是 f(0)=0，又因为 f(x)在 x=0 的邻域内连续，所以 f(x)=f(0)+f(0)x+ x 2 +o(x 2 )=1+x 2 +o(x 2 )， 于是 8.曲线 （分数：2
9、.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=2x-4）解析：解析： 曲线9.设 f(lnx)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：由 则f(x)dx= =-ln(1+e x )d(e -x ) 10.求 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：11.计算 0 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：三、解答题(总题数：16，分数：32.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：13. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：14.
10、设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：取 0 =1，因为 )解析：15.设 f(x)在a，b上连续，任取 xa，b(i=1，2，n)，任取 k t 0(i=12，n)，证明：存在a，b，使得 k 1 f(x 1 )+k 2 f(x 2 )+k n f(x n )-(k 1 +k 2 +k n )f()（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 f(x)在a，b上连续，所以 f(x)在a，b上取到最小值 m 和最大值 M， 显然有 mf(x i )M(i=1，2，n)， 注意到 k i 0(i=1，2，n)，所以有 k i mk i f(x i )k i M(i=1，2，n)， 同向
11、不等式相加，得 (k 1 +k 2 +k n )mk 1 f(x 1 )+k 2 f(x 2 )+k n f(x n )(k 1 +k 2 +k n )M， 即 m M， 由介值定理，存在 a，b，使得 )解析：16.设 x 3 -3xy+y 3 =3 确定 y 为 x 的函数，求函数 y=y(x)的极值点（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：x 3 -3xy+y 3 =3 两边对 x 求导得 3x 2 -3y-3x ，xy 2 ， 令 得y=x 2 ，代入 x 3 -3xy+y 3 =3 得 x=-1 或 因为 =10，所以 x=-1 为极小值点，极小值为y=1； 因为 =-10，所以
12、为极大值点，极大值为 x=y 2 ，时 )解析：17.设 f(x)在(-1，1)内二阶连续可导，且 f(x)0证明：(1)对(-1，1)内任一点 x0，存在唯一的(x)(0，1)，使得 f(x)=f(0)+xf(x)x；(2) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)对任意 x(-1，1)，根据微分中值定理，得 f(x)=f(0)+xf(x)x，其中0(x)1 因为 f(x)C(-1，1)且 f(x)0，所以 f(x)在(-1，1)内保号，不妨设 f(x)0，则 f(x)在(-1，1)内单调增加，又由于 x0，所以 (x)是唯一的 (2)由泰勒公式，得 f(x)=f(0)+f(0)x+
13、 x 2 ，其中 介于 0 与 x 之间， 而 f(x)=f(0)+xf(x)x，所以有 令x0，再由二阶导数的连续性及非零性，得 )解析：18.证明：当 x0 时，(x 2 -1)lnx(x-1) 2 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 (x)=(x 2 -1)lnx-(x-1) 2 ，(1)=0 (x)=2xlnx-x+2- ，(1)=0(x)=2lnx+1+ ，(1)=20 (x)= 则 故 x=1 为 (x)的极小值点，由其唯一性得其也为最小值点，而最小值为 (1)=20，故 (x)0(x0) 由 )解析：19.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 f + (a
14、)f - (b)0证明：存在 (a，b)，使得f()=0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：不妨设 f + (a)0，f - (b)0，根据极限的保号性，由 f + (a)= 0 则存在 0(b-a)，当 0x-a 时， )解析：20.设 f(lnx)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 lnx=t，则 f(t)= 当 t0 时，f(t)=t+C 1 ；当 t0 时；当 t0 时，f(t)=e t +C 2 显然 f(t)为连续函数，所以 f(t)也连续，于是有 C 1 =1+C 2 ，故 f(x)= )解析：21.设 f(x)在(0，+)内连续且单调减少证明： 1 n+1
15、f(x)dx （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 1 n-1 f(x)dx= 2 2 f(x)dx+ 2 3 f(x)dx+ n n+1 f(x)dx， 当x1，2时，f(x)f(1)，两边积分得 1 2 f(x)dxf(1)， 同理 2 3 f(x)dxf(2)， n n+1 (x)dxf(n)，相加得 1 n+1 f(x)dx f(k)； 当 x1，2时，f(2)f(x)，两边积分得 f(2) 1 2 f(x)dx， 同理 f(3) 2 3 f(x)dx，f(n) n-1 n f(x)dx， 相加得 f(2)+f(n) 1 n f(x)dx，于是 )解析：22.计算 （分数：2.0
16、0）_正确答案：(正确答案： ，令-sinx=u，则 )解析：23.设 z=z(z，y)满足 证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 则 )解析：24.已知 f(x，y)= ，设 D 为由 x=0、y=0 及 x+y=t 所围成的区域，求 F(t)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 t0 时，F(t)=0： 当 0t1 时，F(t)= t 2 ； 当 1t2 时，F(t)= f(x，y)dxdy=1- (2-t) 2 ； 当 t2 时，F(t)=1，则 )解析：25.设函数 f(x)Ca，b，且 f(x)0，D 为区域 axb，ayb证明： （分数：2.00）_正确
17、答案：(正确答案：因为积分区域关于直线 y=x 对称， 所以 又因为 f(x)0，所以 ，从而 )解析：26.设有微分方程 y-2y=(x)，其中 (x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 x1 时，y-2y=2 的通解为 y=C 1 e 2x -1，由 y(0)=0 得 C 1 =1，y=e 2x -1； 当 x1 时，y-2y=0 的通解为 y=C 2 e 2x ，根据给定的条件， y(1+0)=C 2 e 2 =y(1-0)=e 2 -1，解得 C 2 =1-e -2 ，y=(1-e -2 )e 2x ， 补充定义 y(1)=e 2 -1，则得在(-，+)内连续且满足微分方程的函数 )解析：27.用变量代换 x=lnx 将方程 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：
