1、考研数学二（高等数学）-试卷 6 及答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 f(x)是不恒为零的奇函数，且 f“(0)存在，则 g(x)= （分数：2.00）A.在 x=0 处无极限B.x=0 为其可去间断点C.x=0 为其跳跃间断点D.x=0 为其第二类间断点3.设 f(x)= （分数：2.00）A.极限不存在B.极限存在，但不连续C.连续，但不可导D.可导4.设 f(x)在 x=0 的某邻域内连续，若 （分数：2.00）A.不可导B.可导但 f“(0
2、)0C.取极大值D.取极小值5.设 f“ x (x 0 ，y )，f“ y (x 0 ，y 0 )都存在，则( )（分数：2.00）A.f(x，y)在(x 0 ，y 0 )处连续B.存在C.f(x，y)在(x 0 ，y 0 )处可微D.存在二、填空题(总题数：6，分数：12.00)6.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_7.设 f(x)为奇函数，且 f“(1)=2，则 （分数：2.00）填空项 1:_8.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_9.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_10.设 f(x)在0，1上连续，且 0 1 f(x)dx=A，则 0 1 f(x)dx x 1 f(y
3、)dy= 1（分数：2.00）填空项 1:_11.微分方程 xy“= （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：16，分数：32.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_13.设 a n = （分数：2.00）_14.求 （分数：2.00）_15.设 a n = ，证明：a n 收敛，并求 （分数：2.00）_16.证明：连续函数取绝对值后函数仍保持连续性，举例说明可导函数取绝对值不一定保持可导性（分数：2.00）_17.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内二阶可导，f(a)=f(b)，且 f(x)在a，b上不恒为常数证明：存在 7(a，b)，使得 f“()
4、0，f“()0，f“()f(a)=f(b)， 由微分中值定理，存在 (a，c)，(c，b)，使得 )解析：18.求曲线 y= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：19.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：20. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：21.设 (x)= 0 x (x-t) 2 f(t)dt，求 “(x)，其中 f(x)为连续函数（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(x)=x 2 0 x f(t)dt-2x 0 x tf(t)dt+ 0 x t 2 f(t)dt， “(x)=2x 0 x f(t)dt+x 2 f(x)-2
5、0 x tf(t)dt-2x 2 f(x)+x 2 f(x) =2x 0 x f(t)dt-2 0 x tf(t)dt， “(x)=2 0 x f(t)dt+2xf(x)-2xf(x)=2 0 x f(t)dt “(x)=2f(x)解析：22.求 -2 2 max(1，x 2 )dx（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 max(1，x 2 )是偶函数， 所以 -2 2 max(1,x 2 )dx=2 0 2 max(1,x 2 )dx=2( 0 1 1dx+ 1 2 x 2 dx) )解析：设 f(a)=f(b)=0， a b f 2 (x)dx=1，f“(x)Ca，b（分数：4.0
6、0）(1).求 a b xf(x)f“(x)dx；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： a b xf(x)f“(x)dx= a b xdf 2 (x)= f 2 a b - a b f 2 (x)dx=- )解析：(2).证明： a b f“ 2 (x)dx a b x 2 f 2 (x)dx （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： a b xf(x)f“(x)dx= ( a b xf(x)f“(x)dx) 2 = )解析：23.一半径为 R 的球沉入水中，球面顶部正好与水面相切，球的密度为 1，求将球从水中取出所做的功（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：以球顶部与水面相切的点
7、为坐标原点，x 轴铅直向下，取x，x+dx 0，2R，由于球的密度与水的密度相同，所以水面以下不做功， dw=(2R-x)R 2 -(R-x) 2 1gdx=x(2R-x) 2 gdx， W= 0 2R dw= )解析：24.设 z=z(x，y)由 x-yz+ye z-x-y =0 确定，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：方程 x-yz+ye z-x-y =0 两边对 x 求偏导得 方程 x-yz+ye z-x-y =0 两边对 y 求偏导得 )解析：25.计算 I= y 2 d，其中 D 由 x=-2，y=2，x 轴及曲线 x=- （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解
8、析：26.设 f(x)=e 2 - 0 x (x-t)f(t)dt，其中 f(x)连续，求 f(x)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 f(x)=e x - 0 x (x-t)f(t)dt，得 f(x)=e x -x 0 x f(t)dt+ 0 x tf(t)dt， 两边对 x 求导，得 f“(x)=e x - 0 x f(t)dt，两边再对 x 求导得 f“(x)+f(x)=e x ，其通解为 f(x)= C 1 cosx+C 2 sinx+ e x 在 f(x)=e x - 0 x (x-t)f(t)dt 中，令 x=0 得 f(0)=1，在 f“(x)=e x - 0 x f(t)dt 中，令 x=0 得 f“(0)=1，于是有 )解析：
