1、考研数学二（高等数学）-试卷 5 及答案解析(总分：52.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：3，分数：6.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.f(x)在 x 0 处可导，则f(x)在 x 0 处( )（分数：2.00）A.可导B.不可导C.连续但不一定可导D.不连续3.设 f(x)在a，+)上二阶可导，f(a) （分数：2.00）填空项 1:_12.设 f(x)连续，则 （分数：2.00）填空项 1:_13.微分方程 y“-xe -y + （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：13，分数：26.00)14.解答
2、题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_15. （分数：2.00）_16.设 （分数：2.00）_17.设 f(x)连续可导， （分数：2.00）_18.设 f(x)在0，2上连续，在(0，2)内二阶可导，且 =0，又 f(2)= （分数：2.00）_19.设 0ab，证明： （分数：2.00）_20.求由方程 x 2 +y 2 -xy=0 确定的函数在 x0 内的极值，并指出是极大值还是极小值（分数：2.00）_21.设 f(x)在(0，+)内连续且单调减少证明： （分数：2.00）_22.设 f(x)在a，b上连续且单调减少证明：当 0 0kf(x)dxk 01f(x)dx（分数：2.
3、00）_23.设 f(x)Ca，b，在(a，b)内二阶可导，且 f“(x)0，(x)是区间a，b上的非负连续函数，且 a b (x)dx=1证明： a b f(x)(x)dxf a b x(x)dx（分数：2.00）_24.设 证明：f(x，y)在点(0，0)处可微，但 （分数：2.00）_25. （分数：2.00）_设函数 f(x)满足 xf“(x)-2f(x)=-x，且由曲线 y=f(x)，x=1 及 x 轴(x0)所围成的平面图形为 D若 D 绕z 轴旋转一周所得旋转体体积最小，求：（分数：4.00）(1).曲线 y=f(x)；（分数：2.00）_(2).曲线在原点处的切线与曲线及直线
4、x=1 所围成的平面图形的面积（分数：2.00）_考研数学二（高等数学）-试卷 5 答案解析(总分：52.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：3，分数：6.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.f(x)在 x 0 处可导，则f(x)在 x 0 处( )（分数：2.00）A.可导B.不可导C.连续但不一定可导 D.不连续解析：解析：由 f(x)在 x 0 处可导得f(x)在 x 0 处连续，但f(x)在 x 0 处不一定可导，如 f(x)=x 在 x=0 处可导，但f(x)=x在 x=0 处不可导，选(C)3.设 f(x)在
5、a，+)上二阶可导，f(a)0)，所以 f(x)=f(a)+f(a)(x-a)+ ，其中 介于 a 与 x之间而 二、填空题(总题数：10，分数：20.00)4. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：12）解析：解析：5.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：-1）填空项 1:_ （正确答案：1）解析：解析：6.设 y=y(x)由 ye xy +xcosx-1=0 确定，求 dy x=0 = 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：-2dx）解析：解析：当 x=0 时，y=1，将 ye xy +xcosx-1=0 两边对 x 求导得
6、将 x=0，y=1 代入上式得 7. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：8. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：ln3）解析：解析：9. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：10. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：4-）解析：解析：11.设 f(x)满足等式 xf“(x)-f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：12.设 f(x)连续，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：13.微分方程 y“-
7、xe -y + （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析： 所以原方程的通解为三、解答题(总题数：13，分数：26.00)14.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：15. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：16.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f(x)的间断点为 x=k(k=0，1，)及 x=k+ (k=0，1，) 因为，所以 x=0 为 f(x)的可去间断点； 因为 ，所以 x=k(k=1，2，)为 f(x)的第二类间断点； 因为 )解析：17.设 f(x)连续可导， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由
8、 0 x f(x-t)dt x 0 f(u)(-du)= 0 x f(u)du )解析：18.设 f(x)在0，2上连续，在(0，2)内二阶可导，且 =0，又 f(2)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 由罗尔定理，存在 x 0 (c，2) (1，2)，使得 f“(x 0 )=0 令(x)=e x f“(x)，则 (1)=(x 0 )=0， 由罗尔定理，存在 (1，x 0 ) )解析：19.设 0ab，证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 令 f(x)=lnx，则存在 (a，b)，使得 ，其中 0ab，则)解析：20.求由方程 x 2 +y 2 -xy=0 确定的函数
9、在 x0 内的极值，并指出是极大值还是极小值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：21.设 f(x)在(0，+)内连续且单调减少证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 1 n+1 f(x)dx= 1 2 f(x)dx+ 2 3 f(x)dx+ n n+1 f(x)dx， 当x1，2时，f(x)f(1)，两边积分得 1 2 f(x)dxf(1)， 同理 2 3 f(x)dxf(2)， n n+1 f(x)dxf(n)，相加得 1 n+1 f(x)dx 当 x1，2时，f(2)f(x)，两边积分得 f(2) 1 2 f(x)dx， 同理 f(3) 2 3 f(x)dx，f
10、(n) n-1 n f(x)dx， 相加得 f(2)+f(n) 1 n f(x)dx，于是 )解析：22.设 f(x)在a，b上连续且单调减少证明：当 0 0kf(x)dxk 01f(x)dx（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 0 k f(x)dx-k 0 1 f(x)dx= 0 k f(x)dx-k 0 k f(x)dx+ k 1 f(x)dx=(1-k) 0 k f(x)dx-k k 1 f(x)dx=k(1-k)f( 1 )-f( 2 ) 其中 1 0，k， 2 k，1因为 0 0kf(x)dx-k 01f(x)dx=k(1-k)f( 1)-f( 2)0，故 0kf(x)dxk
11、01f(x)dx)解析：23.设 f(x)Ca，b，在(a，b)内二阶可导，且 f“(x)0，(x)是区间a，b上的非负连续函数，且 a b (x)dx=1证明： a b f(x)(x)dxf a b x(x)dx（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 f“(x)0，所以有 f(x)f(x 0 )+f“(x 0 )(x-x 0 ) 取 x 0 = a b x(x)dx，因为 (x)0，所以 a(x)x(x)b(x)，又 a b (x)dx=1，于是有 a a b x(x)dx=x 0 b把 x 0 = a b x(x)dx 代入 f(x)f(x 0 )+f“(x 0 )(x-x 0 )
12、中，再由 (x)0，得 f(x)(x)f(x 0 )(x)+f“(x 0 )x(x)-x 0 (x)， 上述不等式两边再在区间a，b上积分，得 a b f(x)(x)dxf a b x(x)dx)解析：24.设 证明：f(x，y)在点(0，0)处可微，但 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 所以 f(x，y)在点(0，0)处对 x，y 都可偏导，且 f“ x (0，0)=f“ y (0，0)=0 f(x，y)-f(0，0)-f“ x (0，0)x-f“ y (0，0)y= 因为 ，所以 f(x，y)在(0，0)处可微 当(x，y)(0，0)时， )解析：25. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：设函数 f(x)满足 xf“(x)-2f(x)=-x，且由曲线 y=f(x)，x=1 及 x 轴(x0)所围成的平面图形为 D若 D 绕z 轴旋转一周所得旋转体体积最小，求：（分数：4.00）(1).曲线 y=f(x)；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 xf“(x)-2f(x)= =x+cx 2 设平面图形 D 绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积为 V，则 )解析：(2).曲线在原点处的切线与曲线及直线 x=1 所围成的平面图形的面积（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 在原点处的切线方程为 y=x，则 )解析：
