1、考研数学二（高等数学）-试卷 22 及答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：3，分数：6.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 f(x)连续可导，g(x)连续，且 （分数：2.00）A.x=0 为 f(x)的极大点B.x=0 为 f(x)的极小点C.(0，0)为 y=f(x)的拐点D.x=0 既不是 f(x)极值点，(0，0)也不是 y=f(x)的拐点3.设 f(x)二阶连续可导，且 （分数：2.00）A.f(0)是 f(x)的极小值B.f(0)是 f(x)的极大值C.(0，f(0)是曲线 y=f(x)的
2、拐点D.x=0 是 f(x)的驻点但不是极值点二、填空题(总题数：8，分数：16.00)4.当 x0 时，x-sinxcos2xcx k ，则 c= 1，k= 2（分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_5.当 x0 时， （分数：2.00）填空项 1:_6. （分数：2.00）填空项 1:_7. （分数：2.00）填空项 1:_8. （分数：2.00）填空项 1:_9. （分数：2.00）填空项 1:_10. （分数：2.00）填空项 1:_11. （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：15，分数：34.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_13. （
3、分数：2.00）_14.设 （分数：2.00）_15.已知 （分数：2.00）_设 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，f(0)=0， （分数：4.00）(1).存在 （分数：2.00）_(2).对任意的 k(-，+)，存在 (0，)，使得 f“()-kf()-=1（分数：2.00）_16.设 f(x)在a，6上连续，且 f“(x)0，对任意的 x 1 ，x 2 a，b及 01+(1-)x 2 f(x 1 )+(1-)f(x 2 )（分数：2.00）_17.设 f(x)二阶可导， （分数：2.00）_设 f(x)在(-a，a)(a0)内连续，且 f“(0)=2（分数：4.00）(1).
4、证明：对 0 0xf(x)dt+ 0-xf(t)dt=xf(x)-f(-x)；（分数：2.00）_(2). （分数：2.00）_18.证明： （分数：2.00）_19.设 u=f(x，y，xyz)，函数 z=z(x，y)由 e xyz = xy z h(xy+z-t)dt 确定，其中 f 连续可偏导，h 连续，求 （分数：2.00）_20.已知二元函数 f(x，y)满足 且 f(x，y)=g(u，v)，若 （分数：2.00）_21.计算 （分数：2.00）_22.设 f(x)在0，1上连续且单调减少，且 f(x)0证明： （分数：2.00）_设函数 f(x)在0，+)内可导，f(0)=1，且
5、（分数：4.00）(1).求 f“(x)；（分数：2.00）_(2).证明：当 x0 时，e -x f(x)1（分数：2.00）_23.设 A 从原点出发，以固定速度 v 0 沿 y 轴正向行驶，B 从(x 0 ，0)出发(x 0 0)，以始终指向点 A 的固定速度 v 1 朝 A 追去，求 B 的轨迹方程（分数：2.00）_考研数学二（高等数学）-试卷 22 答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：3，分数：6.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 f(x)连续可导，g(x)连续，且 （分数：2.0
6、0）A.x=0 为 f(x)的极大点B.x=0 为 f(x)的极小点C.(0，0)为 y=f(x)的拐点 D.x=0 既不是 f(x)极值点，(0，0)也不是 y=f(x)的拐点解析：解析：由 0 x g(x-t)dt= 0 x g(t)dt 得 f“(x)=-2x 2 + 0 x g(t)dt，f“(x)=-4x+g(x)， 3.设 f(x)二阶连续可导，且 （分数：2.00）A.f(0)是 f(x)的极小值B.f(0)是 f(x)的极大值C.(0，f(0)是曲线 y=f(x)的拐点 D.x=0 是 f(x)的驻点但不是极值点解析：解析：因为 f(x)二阶连续可导，且 ，即 f“(0)=0又
7、二、填空题(总题数：8，分数：16.00)4.当 x0 时，x-sinxcos2xcx k ，则 c= 1，k= 2（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）填空项 1:_ （正确答案：3）解析：解析：5.当 x0 时， （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：-3）解析：解析：因为 x0 时， cos 2 x-1=(cosx+1)(cosx-1)-x 2 ，且 6. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：当 x=0 时，t=0；当 t=0 时，由 y+e y =1，得 y=0 7. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答
8、案：正确答案： ）解析：解析：8. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：9. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：10. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：11. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：三、解答题(总题数：15，分数：34.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：13. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：14.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：取 0 =1，因为 )解析：15.已知
9、 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：设 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，f(0)=0， （分数：4.00）(1).存在 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 (x)=f(x)-x，(x)在0，1上连续， ，(1)=-1 )解析：(2).对任意的 k(-，+)，存在 (0，)，使得 f“()-kf()-=1（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 F(x)=e -kx (x)，显然 F(x)在0，上连续，在(0，)内可导，且 F(0)=F()=0，由罗尔定理，存在 (0，)，使得 F“()=0，整理得 f“()-kf()-=1)解析：16.设 f(x)在
10、a，6上连续，且 f“(x)0，对任意的 x 1 ，x 2 a，b及 01+(1-)x 2 f(x 1 )+(1-)f(x 2 )（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 x 0 =x 1 +(1-)x 2 ，则 x 0 a，b，由泰勒公式得 f(x)=f(x 0 )+f“(x 0 )(x-x 0 )+ (x-x 0 ) 2 ，其中 介于 x 0 与 x 之间， 因为 f“(x)0，所以 f(x)f(x 0 )+f“(x 0 )(x-x 0 )， 于是 )解析：17.设 f(x)二阶可导， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 )解析：设 f(x)在(-a，a)(a0)内连续，且
11、f“(0)=2（分数：4.00）(1).证明：对 0 0xf(x)dt+ 0-xf(t)dt=xf(x)-f(-x)；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 F(x)= 0 x f(t)dt+ 0 -x f(t)dt，显然 F(x)在0，x上可导，且 F(0)=0，由 微分中值定理存在 00 x f(t)dt+ 0 -x f(t)dt=xf(x)-f(-x)解析：(2). （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：18.证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：19.设 u=f(x，y，xyz)，函数 z=z(x，y)由 e xyz = xy z h(xy+z
12、-t)dt 确定，其中 f 连续可偏导，h 连续，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：20.已知二元函数 f(x，y)满足 且 f(x，y)=g(u，v)，若 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：21.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：D：x 2 +y 2 2x+2y-1 可化为 D：(x-1) 2 +(y-1) 2 1， )解析：22.设 f(x)在0，1上连续且单调减少，且 f(x)0证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 等价于 0 1 f 2 (x)dx 0 1 xf(x)dx 0 1 f(x)dx 0 1 xf 2 (x)
13、dx， 等价于 0 1 f 2 (x)dx 0 1 yf(y)dy 0 1 f(x)dx 0 1 yf 2 (y)dy，或者 0 1 dx 0 1 yf(x)f(y)f(x)-f(y)dy0 令 I= 0 1 dx 0 1 yf(x)f(y)f(x)-f(y)dy， 根据对称性，I= 0 1 dx 0 1 xf(x)f(y)f(y)-f(x)dy， 2I= 0 1 dx 0 1 f(x)f(y)(y-x)f(x)-f(y)dy， 因为 f(x)0且单调减少，所以(y-z)f(x)-f(y)0，于是 2I0，或 I0， 所以 )解析：设函数 f(x)在0，+)内可导，f(0)=1，且 （分数：4
14、.00）(1).求 f“(x)；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(x+1)f“(x)+(x+1)f(x)- 0 x f(t)dt=0，两边求导数，得(x+1)f“(x)=-(x+2)f“(x) 再由 f(0)=1，f“(0)+f(0)=0，得 f“(0)=-1，所以 C=-1，于是 )解析：(2).证明：当 x0 时，e -x f(x)1（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 x0 时，因为 f“(x)-x ，g(0)=0，g“(x)=f“(x)+e -x = 0， )解析：23.设 A 从原点出发，以固定速度 v 0 沿 y 轴正向行驶，B 从(x 0 ，0)出发(x 0 0)，以始终指向点 A 的固定速度 v 1 朝 A 追去，求 B 的轨迹方程（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 t 时刻 B 点的位置为 M(x，y)，则 ，即 )解析：
