1、考研数学二（线性代数）-试卷 21 及答案解析(总分：58.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 A，B 为两个 n 阶矩阵，下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.A+B=A+BB.若AB=0，则 A=O 或 B=OC.A-B=A-BD.AB=AB3.设 A，B 都是 n 阶可逆矩阵，则( )（分数：2.00）A.(A+B) * =A * +B *B.(AB) * =B * A *C.(A-B) * =A * -B *D.(A+B) * 一定可逆4.设 （分数：2.0
2、0）A.A -1 P 1 P 2B.P 1 A -1 P 2C.P 1 P 2 A -1D.P 2 A -1 P 15.若向量组 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性相关，且向量 4 不可由向量组 1 ， 2 ， 3 线性表示，则下列结论正确的是( )（分数：2.00）A. 1 ， 2 ， 3 线性无关B. 1 ， 2 ， 3 线性相关C. 1 ， 2 ， 4 线性无关D. 1 ， 2 ， 4 线性相关6.设 A 是 mn 矩阵，且 mn，下列命题正确的是( )（分数：2.00）A.A 的行向量组一定线性无关B.非齐次线性方程组 AX=b 一定有无穷多组解C.A T A 一定可逆D.A T A 可
3、逆的充分必要条件是 r(A)=n7.与矩阵 A= 相似的矩阵为( ) （分数：2.00）A.B.C.D.8.设 （分数：2.00）A.合同且相似B.相似但不合同C.合同但不相似D.既不相似又不合同二、填空题(总题数：5，分数：10.00)9. （分数：2.00）填空项 1:_10.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_11.设 为非零向量，A= （分数：2.00）填空项 1:_12.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_13.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：15，分数：32.00)14.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_15.
4、（分数：2.00）_16.设 是 n 维单位列向量，A=E- T 证明：r(A)n（分数：2.00）_17.设 A 为 n 阶矩阵，证明：r(A * )= （分数：2.00）_18.设 1 ， 2 ， n 为 n 个 n 维列向量，证明： 1 ， 2 ， n 线性无关的充分必要条件是 （分数：2.00）_19.设 A 为三阶矩阵，A 的第一行元素为 a，b，c 且不全为零，又 B= （分数：2.00）_20. （分数：2.00）_设 A，B，C，D 都是 n 阶矩阵，r(CA+DB)=n（分数：4.00）(1).证明 r （分数：2.00）_(2).设 1 ， 2 ， r 与 1 ， 2 ，
5、s 分别为方程组 AX=0 与 BX=0 的基础解系，证明： 1 ， 2 ， r ， 1 ， 2 ， s 线性无关（分数：2.00）_21.设 A= （分数：2.00）_22.设 A= （分数：2.00）_设 A，B 为三阶矩阵，且 AB=A-B，若 1 ， 2 ， 3 为 A 的三个不同的特征值，证明：（分数：4.00）(1).AB=BA；（分数：2.00）_(2).存在可逆矩阵 P，使得 P -1 AP，P -1 BP 同时为对角矩阵（分数：2.00）_23.设 （分数：2.00）_24.设 A，B 为 n 阶矩阵，且 r(A)+r(B)n，下列命题正确的是( )（分数：2.00）A.A
6、的行向量组一定线性无关B.非齐次线性方程组 AX=b 一定有无穷多组解C.A T A 一定可逆D.A T A 可逆的充分必要条件是 r(A)=n 解析：解析：若 A T A 可逆，则 r(A T A)=n，因为 r(A T A)=r(A)，所以 r(A)=n；反之，若 r(A)=n，因为r(A T A)=r(A)，所以 A T A 可逆，选(D)7.与矩阵 A= 相似的矩阵为( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：A 的特征值为 1，2，0，因为特征值都是单值，所以 A 可以对角化，又因为给定的四个矩阵中只有选项(D)中的矩阵特征值与 A 相同且可以对角化，所以选(D)8.设
7、（分数：2.00）A.合同且相似B.相似但不合同C.合同但不相似 D.既不相似又不合同解析：解析：显然 A，B 都是实对称矩阵，由E-A=0，得 A 的特征值为 1 =1， 2 =2， 3 =9， 由E-B=0，得 B 的特征值为 1 =1， 2 = 3 =3，因为 A，B 惯性指数相等，但特征值不相同，所以 A，B 合同但不相似，选(C)二、填空题(总题数：5，分数：10.00)9. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：10.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）填空项 1:_ （正确答案：1）解析：解析：A11.设 为非零
8、向量，A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：3，k(-3，1，2) T）解析：解析：AX=0 有非零解，所以A=0，解得 a=3，于是 A= 12.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：-2）解析：解析：因为A * =A 2 =4，且A0，所以A=2，又 AA * =AE=2E，所以 A -1 = A * ，从而 A -1 的特征值为 13.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：4）解析：解析：由E-A= 三、解答题(总题数：15，分数：32.00)14.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：15.
9、 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： =a 1 a 2 a n-1 +a n (a 1 a 2 a n-2 +a n-1 D n-2 ) =a 1 a 2 a n-1 +a 1 a 2 a n-2 a n +a n a n-1 D n-2 )解析：16.设 是 n 维单位列向量，A=E- T 证明：r(A)n（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A 2 =(E- T )(E- T )=E-2 T + T T ，因为 为单位列向量，所以 T =1，于是 A 2 =A由 a(E-A)=O 得 r(A)+r(E-A)n，又由 r(A)+r(E-A)rA+(E-A)=r(E)=n，得 r(
10、A)+r(E-A)=n因为 E-A= T O，所以 r(E-A) =r( T )=r()=1，故 r(A)=n-1n)解析：17.设 A 为 n 阶矩阵，证明：r(A * )= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：AA * =A * A=AE 当 r(A)=n 时，A0，因为A * =A n-1 ，所以A * 0，从而 r(A * )=n； 当 r(A)=n-1 时，由于 A 至少有一个 n-1 阶子式不为零，所以存在一个M ij 0，进而 A ij 0，于是 A * O，故 r(A * )1，又因为A=0，所以 AA * =AE=O，根据矩 阵秩的性质有 r(A)+r(A * )n，而
11、 r(A)=n-1，于是得 r(A * )1，故 r(A * )=1； 当 r(A) *=O，故r(A*)=0)解析：18.设 1 ， 2 ， n 为 n 个 n 维列向量，证明： 1 ， 2 ， n 线性无关的充分必要条件是 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 A=( 1 ， 2 ， n )，A T A= ，r(A)=r(A T A)，向量组 1 ， 2 ， n 线性无关的充分必要条件是 r(A)=n，即 r(A T A)=n 或A T A0，从而 1 ， 2 ， n 线性无关的充分必要条件是 )解析：19.设 A 为三阶矩阵，A 的第一行元素为 a，b，c 且不全为零，又 B=
12、（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 AB=O 得 r(A)+r(B)3 且 r(A)1 (1)当 k9 时，因为 r(B)=2，所以 r(A)=1，方程组 Ax=0 的基础解系含有两个线性无关的解向量，显然基础解系可取 B 的第 1、3 两列，故通解为 (k 1 ，k 2 为任意常数)； (2)当 k=9 时，r(B)=1，1r(A)2， 当 r(A)=2 时，方程组 Ax=0 的通解为 C (C 为任意常数)； 当 r(A)=1 时，A 的任意两行都成比例，不妨设 a0， )解析：20. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 则()可写为 BY=0，因为 1 ， 2 ， n
13、为()的基础解系，因此 r(A)=n， 1 ， 2 ， n 线性无关，A 1 =A 2 =A n =0 A( 1 ， 2 ， n )= BA T =O )解析：设 A，B，C，D 都是 n 阶矩阵，r(CA+DB)=n（分数：4.00）(1).证明 r （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 n=r(CA+DB)= )解析：(2).设 1 ， 2 ， r 与 1 ， 2 ， s 分别为方程组 AX=0 与 BX=0 的基础解系，证明： 1 ， 2 ， r ， 1 ， 2 ， s 线性无关（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 r =n，所以方程组 )解析：21.设 A= （分数
14、：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 A 有三个线性无关的特征向量，所以 =2 的线性无关的特征向量有两个，故r(2E-A)=1， 而 2E-A ，所以 x=2，y=-2 由E-A= =(-2) 2 (-6)=0 得 1 = 2 =2， 3 =6 由(2E-A)X=0 得 =2 对应的线性无关的特征向量为 由(6E-A)X=0 得 =6 对应的线性无关的特征向量为 3 = )解析：22.设 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 A 为上三角矩阵，所以 A 的特征值为 1 = 2 =1， 3 = 4 =-1因为A 有四个线性无关的特征向量，即 A 可以对角化，所以有 于是 a
15、=0，b=0 当 =1 时，由(E-A)X=0 得 )解析：设 A，B 为三阶矩阵，且 AB=A-B，若 1 ， 2 ， 3 为 A 的三个不同的特征值，证明：（分数：4.00）(1).AB=BA；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 AB=A-B 得 A-B-AB+E=E，(E-B)(E+A)=E，即 E-B 与 E+A 互为逆矩阵，于是(E-B)(E+A)=E=(E+A)(E-B)，故 AB=BA)解析：(2).存在可逆矩阵 P，使得 P -1 AP，P -1 BP 同时为对角矩阵（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 A 有三个不同的特征值 1 ， 2 ， 3 ，所以 A
16、 可以对角化，设 A 的三个线性无关的特征向量为 1 ， 2 ， 3 ，则有 A( 1 ， 2 ， 3 )=( 1 ， 2 ， 3 )diag( 1 ， 2 ， 3 )， BA( 1 ， 2 ， 3 )=B( 1 ， 2 ， 3 )diag( 1 ， 2 ， 3 )， AB( 1 ， 2 ， 3 )=B( 1 ， 2 ， 3 )diag( 1 ， 2 ， 3 )，于是有 AB i = i B i ，i=1，2，3 若 B i 0，则 B i 是 A 的属于特征值 i 的特征向量，又 i 为单根，所以有 B i = i i ； 若 B i =0，则 i 是 B 的属于特征值 0 的特征向量无论哪
17、种情况B都可以对角化，而且 i 是 B 的特征向量，因此，令 P=( 1 ， 2 ， 3 )，则 P -1 AP，P -1 BP 同为对角阵)解析：23.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 AB，所以 tr(A)=tr(B)，A=B，即 因为 AB，所以矩阵A，B 的特征值都为 1 =1， 2 =0， 3 =6 当 =1 时，由(E-A)X=0，得 1 = 当 =0 时，由(0E-A)X=0，得 2 = 当 =6 时，由(6E-A)X=0，得 3 = 再令 P=( 1 ， 2 ， 3 )= )解析：24.设 A，B 为 n 阶矩阵，且 r(A)+r(B)0，X T BX0，因此
18、 X T (A+B)X0，于是 A+B 为正定矩阵)解析：26.设 A 为 m 阶正定矩阵，B 为 mn 阶实矩阵证明：B T AB 正定的充分必要条件是 r(B)=n（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为(B T AB) T =B T A T (B T ) T =B T AB，所以 B T AB 为对称矩阵， 设 B T AB 是正定矩阵，则对任意的 X0， X T B T ABX=(BX) T A(BX)0，所以 BX0，即对任意的 X0 有BX0，或方程组 BX=0 只有零解，所以 r(B)=n 反之，设 r(B)=n，则对任意的 X0，有 BX0， 因为A 为正定矩阵，所以 X T (B T AB)X=(BX) T A(BX)0，所以 B T AB 为正定矩阵)解析：
