1、考研数学二（线性代数）-试卷 15 及答案解析(总分：58.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 A 是三阶矩阵，B 是四阶矩阵，且A=2，B=6，则 （分数：2.00）A.24B.-24C.48D.-483.设 A 为 mn 阶矩阵，C 为 n 阶矩阵，B=AC，且 r(A)=r，r(B)=r 1 ，则( )（分数：2.00）A.rr 1B.rr 1C.rr 1D.r 与 r 1 的关系依矩阵 C 的情况而定4.设向量组 1 ， 2 ， m 线性无关， 1 可由 1 ，
2、2 ， m 线性表示，但 2 不可由 1 ， 2 ， m 线性表示，则( )（分数：2.00）A. 1 ， 2 ， m-1 ， 1 线性相关B. 1 ， 2 ， m-1 ， 1 ， 2 线性相关C. 1 ， 2 ， m ， 1 + 2 线性相关D. 1 ， 2 ， m ， 1 + 2 线性无关5.设 ， 为四维非零列向量，且 ，令 A= T ，则 A 的线性无关特征向量个数为( )（分数：2.00）A.1B.2C.3D.46.n 阶实对称矩阵 A 正定的充分必要条件是( )（分数：2.00）A.A 无负特征值B.A 是满秩矩阵C.A 的每个特征值都是单值D.A * 是正定矩阵二、填空题(总题数
3、：7，分数：14.00)7.A= （分数：2.00）填空项 1:_8.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_9.设 A 是 43 阶矩阵且 r(A)=2，B= （分数：2.00）填空项 1:_10.设 1 ， 2 ， 3 是四元非齐次线性方程组 AX=b 的三个解向量，r(A)=3，且 1 + 2 = ， 2 + 3 = （分数：2.00）填空项 1:_11.设 A 是三阶矩阵，其三个特征值为 （分数：2.00）填空项 1:_12.设 ， 为三维非零列向量，(，)=3，A= T ，则 A 的特征值为 1（分数：2.00）填空项 1:_13.二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=(x
4、1 -2x 2 ) 2 +4x 2 x 3 的矩阵为 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：13，分数：32.00)14.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_15.设 A，B 为 n 阶矩阵，且 A 2 =A，B 2 =B，(A+B) 2 =A+B证明：AB=O（分数：2.00）_设 n 阶矩阵 A 满足 A 2 +2A-3E=O求：（分数：4.00）(1).(A+2E) -1 ；（分数：2.00）_(2).(A+4E) -1 （分数：2.00）_16.设 1 ， m ， 为 m+1 维向量，= 1 + m (m1)证明：若 1 ， m 线性无关，则 - 1 ，-
5、m 线性无关（分数：2.00）_17.设向量组 （分数：2.00）_18.求方程组 （分数：2.00）_19.A nn =( 1 ， 2 ， n )，B nn =( 1 + 2 ， 2 + 3 ， n + 1 )，当 r(A)=n 时，方程组 BX=0 是否有非零解?（分数：2.00）_20.设 X 1 ，X 2 分别为 A 的属于不同特征值 1 ， 2 的特征向量证明：X 1 +X 2 不是 A 的特征向量（分数：2.00）_设 A，B 为 n 阶矩阵（分数：4.00）(1).是否有 ABBA；（分数：2.00）_(2).若 A 有特征值 1，2，n，证明：ABBA（分数：2.00）_（分数
6、：4.00）(1).证明 A 可对角化；（分数：2.00）_(2).求 A m （分数：2.00）_21.用配方法化二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x 1 2 +x 2 x 3 为标准二次型（分数：2.00）_22.设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x 1 2 +4x 2 2 +2x 3 2 +2tx 1 x 2 +2x 1 x 3 为正定二次型，求 t 的范围（分数：2.00）_二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x 1 2 +ax 2 x 2 +x 3 x 2 -4x 1 x 2 -8x 1 x 3 -4x 2 x 3 经过正交变换化为标准形 5y 1 2
7、+by 2 x 2 -4y 3 x 2 ， 求：（分数：4.00）(1).常数 a，b；（分数：2.00）_(2).正交变换的矩阵 Q（分数：2.00）_考研数学二（线性代数）-试卷 15 答案解析(总分：58.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 A 是三阶矩阵，B 是四阶矩阵，且A=2，B=6，则 （分数：2.00）A.24B.-24C.48D.-48 解析：解析：3.设 A 为 mn 阶矩阵，C 为 n 阶矩阵，B=AC，且 r(A)=r，r(B)=r 1 ，则
8、( )（分数：2.00）A.rr 1B.rr 1C.rr 1 D.r 与 r 1 的关系依矩阵 C 的情况而定解析：解析：因为 r 1 =r(B)=r(AC)r(A)=r，所以选(C)4.设向量组 1 ， 2 ， m 线性无关， 1 可由 1 ， 2 ， m 线性表示，但 2 不可由 1 ， 2 ， m 线性表示，则( )（分数：2.00）A. 1 ， 2 ， m-1 ， 1 线性相关B. 1 ， 2 ， m-1 ， 1 ， 2 线性相关C. 1 ， 2 ， m ， 1 + 2 线性相关D. 1 ， 2 ， m ， 1 + 2 线性无关 解析：解析：(A)不对，因为 1 可由向量组 1 ， 2
9、 ， m 线性表示，但不一定能被 1 ， 2 ， m-1 线 性表示，所以 1 ， 2 ， m-1 ， 1 不一定线性相关； (B)不对，因为 1 ， 2 ， m-1 ， 1 不一定线性相关， 2 不一定可由 1 ， 2 ， m-1 ， 1 线性表 示，所以 1 ， 2 ， m-1 ， 1 ， 2 不一定线性相关； (C)不对，因为 2 不可由 1 ， 2 ， m 线性表示，而 1 可由 1 ， 2 ， m 线性表示，所以 1 + 2 不可由 1 ， 2 ， m 线性表示，于是 1 ， 2 ， m ， 1 + 2 线性无关，选(D)5.设 ， 为四维非零列向量，且 ，令 A= T ，则 A 的
10、线性无关特征向量个数为( )（分数：2.00）A.1B.2C.3 D.4解析：解析：因为 ， 为非零向量，所以 A= T O，则 r(A)1， 又因为 r(A)=r( T )r()=1，所以 r(A)=1 令 AX=X，由 A 2 X= T T X=O= 2 X 得 =0， 因为 r(OE-A)=r(A)=1，所以 A 的线性无关的特征向量个数为 3，应选(C)6.n 阶实对称矩阵 A 正定的充分必要条件是( )（分数：2.00）A.A 无负特征值B.A 是满秩矩阵C.A 的每个特征值都是单值D.A * 是正定矩阵 解析：解析：A 正定的充分必要条件是 A 的特征值都是正数，(A)不对； 若
11、A 为正定矩阵，则 A 一定是满秩矩阵，但 A 是满秩矩阵只能保证 A 的特征值都是非零 常数，不能保证都是正数，(B)不对； (C)既不是充分条件又不是必要条件； 显然(D)既是充分条件又是必要条件二、填空题(总题数：7，分数：14.00)7.A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：O）解析：解析：由 A 2 =2A 得 A n =2 n-1 A，A n-1 =2 n-2 A，所以 A n -2A n-1 =08.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：9.设 A 是 43 阶矩阵且 r(A)=2，B= （分数：2.00）填空项
12、 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：因为B=100，所以 r(AB)=r(A)=210.设 1 ， 2 ， 3 是四元非齐次线性方程组 AX=b 的三个解向量，r(A)=3，且 1 + 2 = ， 2 + 3 = （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：X=k*(k 为任意常数)）解析：解析：因为 r(A)=3，所以方程组 AX=b 的通解为 k+，其中 = 3 - 1 =( 2 + 3 )-( 1 + 2 )= =12( 2 + 3 )= ，于是方程组的通解为 X=k 11.设 A 是三阶矩阵，其三个特征值为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案
13、：10）解析：解析：A= ，A * 的特征值为 12.设 ， 为三维非零列向量，(，)=3，A= T ，则 A 的特征值为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0 或者 3）解析：解析：因为 A 2 =3A，令 AX=X，因为 A 2 X= 2 X，所以有( 2 =3)X=0，而 X0，故 A 的特征值为 0 或者 3，因为 1 + 2 + 3 = T r(A)=(，)，所以 1 =3， 2 = 3 =013.二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=(x 1 -2x 2 ) 2 +4x 2 x 3 的矩阵为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*
14、）解析：解析：因为 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x 1 2 +4x 2 2 -4x 1 x 2 +4x 2 x 3 ，所以 A= 三、解答题(总题数：13，分数：32.00)14.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：15.设 A，B 为 n 阶矩阵，且 A 2 =A，B 2 =B，(A+B) 2 =A+B证明：AB=O（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 A 2 =A，B 2 =B 及(A+B) 2 =A+B=A 2 +B 2 +AB+BA 得 AB+BA=O 或 AB=-BA，AB=-BA 两边左乘 A 得 AB=-ABA，再在 AB=-BA 两边右乘 A
15、得 ABA=-BA，则 AB=BA，于是 AB=O)解析：设 n 阶矩阵 A 满足 A 2 +2A-3E=O求：（分数：4.00）(1).(A+2E) -1 ；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 A 2 +2A-3E=O 得 A(A+2E)=3E， (A+2E)=E，根据逆矩阵的定义，有(A+2E) -1 = )解析：(2).(A+4E) -1 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 A 2 +2A-3E=O 得(A+4E)(A-2E)+5E=O，则(A+4E) -1 = )解析：16.设 1 ， m ， 为 m+1 维向量，= 1 + m (m1)证明：若 1 ， m 线性无
16、关，则 - 1 ，- m 线性无关（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 k 1 (- 1 )+k m (- m )=0，即 k 1 ( 2 + 3 + m )+k m ( 1 + 2 + m-1 )=0 或(k 2 +k 3 +k m ) 1 +(k 1 +k 3 +k m ) 2 +(k 1 +k 2 +k m-1 ) m =0， 因为 1 ， m 线性无关，所以 因为 )解析：17.设向量组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：向量组 1 ， 2 ， 3 线性相关的充分必要条件是 1 ， 2 ， 3 =0， 而 1 ， 2 ， 3 = )解析：18.求方程组 （分数：2.00
17、）_正确答案：(正确答案： 原方程组的同解方程组为 ，或者 故原方程组的通解为 )解析：19.A nn =( 1 ， 2 ， n )，B nn =( 1 + 2 ， 2 + 3 ， n + 1 )，当 r(A)=n 时，方程组 BX=0 是否有非零解?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：BX=0 x 1 ( 1 + 2 )+x 2 ( 2 + 3 )+x n ( n + 1 )=0 (x 1 +x n ) 1 +(x 1 +x 2 ) 2 +(x n-1 +x n ) n =0， 因为 1 ， 2 ， n 线性无关， )解析：20.设 X 1 ，X 2 分别为 A 的属于不同特征值 1
18、， 2 的特征向量证明：X 1 +X 2 不是 A 的特征向量（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：反证法 不妨设 X 1 +X 2 是 A 的属于特征值 的特征向量，则有 A(X 1 +X 2 )=(X 1 +X 2 )， 因为 AX 1 = 1 X 1 ，AX 2 = 1 X 2 ，所以( 1 -)X 1 +( 2 -)X 2 =0， 而X 1 ，X 2 线性无关，于是 1 = 2 = 矛盾，故 X 1 +X 2 不是 A 的特征向量)解析：设 A，B 为 n 阶矩阵（分数：4.00）(1).是否有 ABBA；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：一般情况下，AB 与 BA 不等价
19、，如 )解析：(2).若 A 有特征值 1，2，n，证明：ABBA（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为A=n!0，所以 A 为可逆矩阵，取 P=A，则有 p -1 ABP=BA，故 ABBA)解析：（分数：4.00）(1).证明 A 可对角化；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由E-A=(-1) 2 (+2)=0 得 1 = 2 =1， 3 =-2 当 =1 时，由(E-A)X=0 得 =1 对应的线性无关的特征向量为 当 =-2 时，由(-2E-A)X=0 得 =-2 对应的线性无关的特征向量为 3 = )解析：(2).求 A m （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：
20、 )解析：21.用配方法化二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x 1 2 +x 2 x 3 为标准二次型（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 则 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=X T AX )解析：22.设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x 1 2 +4x 2 2 +2x 3 2 +2tx 1 x 2 +2x 1 x 3 为正定二次型，求 t 的范围（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：二次型的矩阵为 A= ，因为该二次型为正定二次型，所以有 解得 )解析：二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x 1 2 +ax 2 x 2 +x 3 x 2 -4x
21、1 x 2 -8x 1 x 3 -4x 2 x 3 经过正交变换化为标准形 5y 1 2 +by 2 x 2 -4y 3 x 2 ， 求：（分数：4.00）(1).常数 a，b；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 ，则 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=X T AX，矩阵 A 的特征值为 1 =5， 2 =b， 3 =-4， )解析：(2).正交变换的矩阵 Q（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将 1 = 2 =5 代入(E-A)X=0，即(5E-A)X=0， 由 5E-A= 得 1 = 2 =5 对应的线性无关的特征向量为 1 = ， 2 = 将 3 =-4 代入(E-A)X=0，即(4E+A)X=0， 由 4E+A= 得 3 =-4 对应的线性无关的特征向量为 3 = )解析：
