1、考研数学二（多元函数微积分）历年真题试卷汇编 1 及答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.(2004 年)设函数 f(u)连续，区域 D(，y)， 2 y 2 2y，则 （分数：2.00）A.B.C.D.3.(2005 年)设函数 u(，y)(y)(y) -y +y (t)dt，其中函数 具有二阶导数， 具有一阶导数，则必有 【 】（分数：2.00）A.B.C.D.4.(2005 年)设区域 D(，y) 2 y 2 4，0，y0，f()为 D 上的正值连
2、续函数，a，b为常数，则 （分数：2.00）A.abB.C.(ab)D.5.(2006 年)设 f(，y)为连续函数，则 （分数：2.00）A.B.C.D.6.(2006 年)设 f(，y)与 (，y)均为可微函数，且 y (，y)0已知( 0 ，y 0 )是f(，y)在约束条件 (，y)0 下的一个极值点，下列选项正确的是 【 】（分数：2.00）A.若 f ( 0 ，y 0 )0，则 f y ( 0 ，y 0 )0B.若 f ( 0 ，y 0 )0，则 f y ( 0 ，y 0 )0C.若 f ( 0 ，y 0 )0，则 f y ( 0 ，y 0 )0D.若 f ( 0 ，y 0 )0，则
3、 f y ( 0 ，y 0 )07.(2007 年)二元函数 f(，y)在点(0，0)处可微的一个充分条件是 【 】（分数：2.00）A.f(，y)f(0，0)0B.C.D.8.(2007 年)设函数 f(，y)连续，则二次积分 （分数：2.00）A.B.C.D.9.(2008 年)设函数 f 连续，若 F(u，v) ddy，其中区域 D uv 为图中阴影部分，则 _ （分数：2.00）A.vf(u 2 )B.C.vf(u)D.f(u)10.(2009 年)设函数 zf(，y)的全微分为 dzdydy，则点(0，0) 【 】（分数：2.00）A.不是 f(，y)的连续点B.不是 f(，y)的极
4、值点C.是 f(，y)的极大值点D.是 f(，y)的极小值点11.(2009 年)设函数 f(，y)连续，则 1 2 d 2 f(，y)dy 1 2 dy y 4-y f(，y)d 【 】（分数：2.00）A. 1 2 d 1 4- f(，y)dyB. 1 2 d 4- f(，y)dyC. 1 2 dy 1 4-y f(，y)dD. 1 2 dy y 2 f(，y)d二、填空题(总题数：4，分数：8.00)12.(2004 年)设函数 zz(，y)由方程 ze 23z 2y 确定，则 3 （分数：2.00）填空项 1:_13.(2007 年)设 f(u，v)是二元可傲函数，zf( )，则 （分
5、数：2.00）填空项 1:_14.(2008 年)设 z ，则 （分数：2.00）填空项 1:_15.(2012 年)设 zs(ln )，其中函数 f(u)可微，则 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：12，分数：24.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_17.(2004 年)设 zf( 2 y 2 ，e y )，其中 f 具有连续二阶偏导数，求 （分数：2.00）_18.(2005 年)已知函数 f(，y)的全微分 d2d2ydy，并且 f(1，1)2求 f(，y)在椭圆域 D(，y) 2 （分数：2.00）_19.(2005 年)计
6、算二重积 （分数：2.00）_20.(2006 年)设区域 D(，y) 2 y 2 1，0，计算二重积分 I （分数：2.00）_21.(2006 年)设函数 f(u)在(0，)内具有二阶导数，且 zf( )满足等式 ()验证 f(u) （分数：2.00）_22.(2007 年)已知函数 f(u)具有二阶导数，且 f(0)1，函数 yy()由方程 ye y-1 1 所确定设 zf(lnysin)，求 （分数：2.00）_23.(2007 年)设二元函数 计算二重积 （分数：2.00）_24.(2008 年)求函数 u 2 y 2 z 2 在约束条件 z 2 y 2 和 yz4 下的最大值小值。
7、（分数：2.00）_25.(2008 年)计算 （分数：2.00）_26.(2009 年)设 zf(y，y，y)，其中，具有二阶连续偏导数，求 dz 与 （分数：2.00）_27.(2009 年)计算二重积 （分数：2.00）_考研数学二（多元函数微积分）历年真题试卷汇编 1 答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.(2004 年)设函数 f(u)连续，区域 D(，y)， 2 y 2 2y，则 （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：将圆 2
8、 y 2 2y 改写为极坐标方程为 r2sin则 3.(2005 年)设函数 u(，y)(y)(y) -y +y (t)dt，其中函数 具有二阶导数， 具有一阶导数，则必有 【 】（分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：4.(2005 年)设区域 D(，y) 2 y 2 4，0，y0，f()为 D 上的正值连续函数，a，b为常数，则 （分数：2.00）A.abB.C.(ab)D. 解析：解析：由于积分域 D 关于直线 y 对称，则5.(2006 年)设 f(，y)为连续函数，则 （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：由积分 f(rcos，rsin)rdr 知其积分域如图所示，
9、则 故应选 C6.(2006 年)设 f(，y)与 (，y)均为可微函数，且 y (，y)0已知( 0 ，y 0 )是f(，y)在约束条件 (，y)0 下的一个极值点，下列选项正确的是 【 】（分数：2.00）A.若 f ( 0 ，y 0 )0，则 f y ( 0 ，y 0 )0B.若 f ( 0 ，y 0 )0，则 f y ( 0 ，y 0 )0C.若 f ( 0 ，y 0 )0，则 f y ( 0 ，y 0 )0D.若 f ( 0 ，y 0 )0，则 f y ( 0 ，y 0 )0 解析：解析：由拉格朗日乘数法知，若( 01 ，y 0 )是 f(，y)在约束条件 (，y)0 下的极值点，则
10、必有 7.(2007 年)二元函数 f(，y)在点(0，0)处可微的一个充分条件是 【 】（分数：2.00）A.f(，y)f(0，0)0B.C. D.解析：解析：由 f(，y)f(0，0)0 知 (，y)f(0，0)，即 f(，y)在(0，0)点连续，连续并不一定可微，则 A 选项不正确 由偏导数定义知 可导并不一定可微，则 B 选项不正确 事实上 D 选项也不正确，例如 f(，y) 则 f (，0)0，f (o，o)一 o，f y (0，y)0，f y (0，0)0 从而 f (，0)f (0，0)0， 8.(2007 年)设函数 f(，y)连续，则二次积分 （分数：2.00）A.B. C.
11、D.解析：解析：二次积分 f(，y)dy 对应的二重积分的积分域 D 如图所示交换二次积分次序得故应选 B9.(2008 年)设函数 f 连续，若 F(u，v) ddy，其中区域 D uv 为图中阴影部分，则 _ （分数：2.00）A.vf(u 2 ) B.C.vf(u)D.f(u)解析：解析：10.(2009 年)设函数 zf(，y)的全微分为 dzdydy，则点(0，0) 【 】（分数：2.00）A.不是 f(，y)的连续点B.不是 f(，y)的极值点C.是 f(，y)的极大值点D.是 f(，y)的极小值点 解析：解析：由 dzdydy 知， y 令 0 得(，y)(0，0)，则(0，0)
12、为函数zf(，y)的驻点 又 11.(2009 年)设函数 f(，y)连续，则 1 2 d 2 f(，y)dy 1 2 dy y 4-y f(，y)d 【 】（分数：2.00）A. 1 2 d 1 4- f(，y)dyB. 1 2 d 4- f(，y)dyC. 1 2 dy 1 4-y f(，y)d D. 1 2 dy y 2 f(，y)d解析：解析：原式 1 2 dy 1 4-y f(，y)d 故应选 C 二、填空题(总题数：4，分数：8.00)12.(2004 年)设函数 zz(，y)由方程 ze 23z 2y 确定，则 3 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析
13、：解析：等式 ze 23z y 两端分别对 和 Y 求偏导得 13.(2007 年)设 f(u，v)是二元可傲函数，zf( )，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：14.(2008 年)设 z ，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*(ln21)）解析：解析：由 z 知，lnz (lnyln) 令 1，y2，得15.(2012 年)设 zs(ln )，其中函数 f(u)可微，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：三、解答题(总题数：12，分数：24.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过
14、程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：17.(2004 年)设 zf( 2 y 2 ，e y )，其中 f 具有连续二阶偏导数，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：18.(2005 年)已知函数 f(，y)的全微分 d2d2ydy，并且 f(1，1)2求 f(，y)在椭圆域 D(，y) 2 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 dz2d2ydy 可知 zf(，y)z 2 y 2 C 再由 f(1，1)2，得C2，故 zf(，y)z 2 y 2 2 令 20， 2y0，解得驻点(0，0) 在椭圆 2 )解析：19.(2005 年)计算二重积 （分数：2.00）_正确
15、答案：(正确答案：如图，将 D 分成 D 1 与 D 2 两部分 )解析：20.(2006 年)设区域 D(，y) 2 y 2 1，0，计算二重积分 I （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 所以 III )解析：21.(2006 年)设函数 f(u)在(0，)内具有二阶导数，且 zf( )满足等式 ()验证 f(u) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()由 zf(u)，u ，得 听以根据题设条件可得 f .f0，即 f(u) 0 ()由()及 f(1)1，得 f(u) )解析：22.(2007 年)已知函数 f(u)具有二阶导数，且 f(0)1，函数 yy()由方程 ye y
16、-1 1 所确定设 zf(lnysin)，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 ye y1 1 知，当 0 时，y1 等式 ye y1 0 两端对 求导得 y(e y1 ye y1 )0 令 0，y1 得，y(0)1 yye y1 ye y1 (ye y1 )0 令 0，得 y(0)20，则 y(0)2 由 zf(lnysin)知 )解析：23.(2007 年)设二元函数 计算二重积 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于被积函数 f(，y)关于 和 Y 都是偶函数，而积分域 D 关于 轴和 y 轴都对称，则 其中 D 1 为直线 y1 与 轴和 y 轴围成的区域，D 2
17、为直线 y1，y2与 轴和 y 轴所围成的区域(如图) )解析：24.(2008 年)求函数 u 2 y 2 z 2 在约束条件 z 2 y 2 和 yz4 下的最大值小值。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：作拉格朗日函数 F(，y，z，) 2 y 2 z 2 ( 2 y 2 z)(yz4)， )解析：25.(2008 年)计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：曲线 y1 将区域 D 分成如图所示的两个区域 D 1 和 D 2 )解析：26.(2009 年)设 zf(y，y，y)，其中，具有二阶连续偏导数，求 dz 与 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于 f 1 f 2 yf 3 ， f 1 f 2 f 3 所以 dz(f 1 f 2 yf 3 )(f 1 f 2 f 3 )dy )解析：27.(2009 年)计算二重积 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：如图，令 ，则 )解析：
