1、考研数学二（向量组的线性关系与秩）模拟试卷 9 及答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设向量组 ， 线性无关， 线性相关，则（分数：2.00）A. 必可由 ， 线性表示B. 必不可由 ， 线性表示C. 必可由 ， 线性表示D. 必不可由 ， 线性表示3.向量组 1 ， 2 ， a 线性无关的充分必要条件是（分数：2.00）A. 1 ， 2 ， a 均不是零向量B. 1 ， 2 ， a 中任意两个向量的分量不成比例C. 1 ， 2 ， a ， s+1 线性
2、无关D. 1 ， 2 ， a 中任一个向量均不能由其余 s-1 个向量线性表出4.设 1 ， 2 ， 3 ， 4 是 3 维非零向量，则下列说法正确的是（分数：2.00）A.若 1 ， 2 线性相关， 3 ， 4 线性相关，则 1 + 3 ， 2 + 4 也线性相关B.若 1 ， 2 ， 3 线性无关，则 1 + 4 ， 2 + 4 ， 3 + 4 线性无关C.若 4 不能由 1 ， 2 ， 3 线性表出，则 1 ， 2 ， 3 线性相关D.若 1 ， 2 ， 3 ， 4 中任意三个向量均线性无关，则 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性无关5.若 1 ， 2 ， 3 线性无关，那么下列线性相关的
3、向量组是（分数：2.00）A. 1 ， 1 + 2 ， 1 + 2 + 3 B. 1 + 2 ， 1 - 2 ，- 3 C.- 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 - 1 D. 1 - 2 ， 2 - 3 ， 3 - 1 6.设向量组： 1 ， 2 ， r 可由向量组： 1 ， 2 ， s 线性表示，则（分数：2.00）A.当 rs 时，向量组()必线性相关B.当 rs 时，向量组()必线性相关C.当 rs 时，向量组()必线性相关D.当 rs 时，向量组()必线性相关7.若 r( 1 ， 2 ， r )=r，则（分数：2.00）A.向量组中任意 r-1 个向量均线性无关B.向量组中任意 r
4、个向量均线性无关C.向量组中任意 r+1 个向量均线性相关D.向量组中向量个数必大于 r8.设 n 维向量 1 ， 2 ， s ，下列命题中正确的是（分数：2.00）A.如果 1 ， 2 ， s 线性无关，那么 1 + 2 ， 2 + 3 ， s-1 + s ， s + 1 也线性无关B.如果 1 ， 2 ， s 线性无关，那么和它等价的向量组也线性无关C.如果 1 ， 2 ， s 线性相关，A 是 mn 非零矩阵，那么 A 1 ，A 2 ，A s 也线性相关D.如果 1 ， 2 ， s 线性相关，那么 s 可由 1 ， 2 ， s-1 线性表出9.设 A 是 mn 矩阵，r(A)=mn，则下
5、列命题中不正确的是（分数：2.00）A.A 经初等行变换必可化为(E m ，0)B.C.如 m 阶矩阵 B 满足 BA=0，则 B=0D.行列式A T A=0二、填空题(总题数：11，分数：22.00)10.向量组 1 =(1，0，1，2) T ， 2 =(1，1，3，1) T ， 3 =(2，-1，a+1，5) T 线性相关，则 a= 1（分数：2.00）填空项 1:_11.已知 1 =(a，a，a) T ， 2 =(-a，a，b) T ， 3 =(-a，-a，-b) T 线性相关，则 a，b 满足关系式 1.（分数：2.00）填空项 1:_12.已知 1 ， 2 ， 3 线性无关， 1 +
6、v， 2 - 3 ， 1 - 2 + 3 线性相关，则 a= 1（分数：2.00）填空项 1:_13.若 =(1，3，0) T 不能由 1 =(1，2，1) T ， 2 =(2，3，a) T ， 3 =(1，a+2，-2) T 线性表出，则 a= 1.（分数：2.00）填空项 1:_14.任意 3 维向量都可用 1 =(1，0，1) T ， 2 =(1，-2，3) T ， 3 =(a，1，2) T 线性表出，则a= 1（分数：2.00）填空项 1:_15.向量组 1 =(1，-1，3，0) T ， 2 =(-2，1，a，1) T ， 3 =(1，1，-5，-2) T 的秩为 2，则a= 1（分
7、数：2.00）填空项 1:_16.已知 r( 1 ， 2 ， s )=r( 1 ， 2 ， s ，)=r，r( 1 ， 2 ， s ，)=r+1，则 r( 1 ， 2 ， s ，)= 1（分数：2.00）填空项 1:_17.设 4 阶矩阵 A 的秩为 2，则 r(A * )= 1（分数：2.00）填空项 1:_18.已知 A= （分数：2.00）填空项 1:_19.已知 A= （分数：2.00）填空项 1:_20.与 1 =(1，-1，0，2) T ， 2 =(2，3，1，1) T ， 3 =(0，0，1，2) T 都正交的单位向量是 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：10
8、，分数：20.00)21.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_22.设 A 是 n 阶非零实矩阵(n2)，并且 A T =A * ，证明 A 是正交矩阵（分数：2.00）_23.已知 1 =(1，1，0，2) T ， 2 =(-1，1，2，4) T ， 3 =(2，3，a，7) T ， 4 =(-1，5，-3，a+6) T ，=(1，0，2，6) T ，问 a，b 取何值时，() 不能由 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性表示?() 能用 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性表出，且表示法唯一；() 能用 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性表出，且表示法不唯一，并写出此时
9、表达式（分数：2.00）_24.已知向量组 1 = ， 2 = ， 3 = 与 1 = ， 2 = ， 3 = （分数：2.00）_25.已知 a 1 ，a 2 ，a s 是互不相同的数，n 维向量 i =(1，a i ，a i 2 ，a i n-1 ) T (i=1，2，s)，求向量组 1 ， 2 ， s 的秩（分数：2.00）_26.设 A 是 n 阶非零实矩阵，A * 是 A 的伴随矩阵，A T 是 A 的转置矩阵，如果 A T =A * ，证明任一 n 维列向量均可由矩阵 A 的列向量线性表出（分数：2.00）_27.证明 1 ， 2 ， s (其中 1 0)线性相关的充分必要条件是存
10、在一个 i (1is)能由它前面的那些向量 1 ， 2 ， i-1 线性表出（分数：2.00）_28.已知 A 是 mn 矩阵，B 是 nP 矩阵，如 AB=C，且 r(C)=m，证明 A 的行向量线性无关（分数：2.00）_29.设 A 是 mn 矩阵，B 是 ns 矩阵，C 是 ms 矩阵，满足 AB=C，如果秩 r(A)=n，证明秩 r(B)=r(C)（分数：2.00）_30.设 A 是 n 阶实反对称矩阵，x，y 是实 n 维列向量，满足 Ax=y，证明 x 与 y 正交.（分数：2.00）_考研数学二（向量组的线性关系与秩）模拟试卷 9 答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分
11、钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设向量组 ， 线性无关， 线性相关，则（分数：2.00）A. 必可由 ， 线性表示B. 必不可由 ， 线性表示C. 必可由 ， 线性表示 D. 必不可由 ， 线性表示解析：解析：3.向量组 1 ， 2 ， a 线性无关的充分必要条件是（分数：2.00）A. 1 ， 2 ， a 均不是零向量B. 1 ， 2 ， a 中任意两个向量的分量不成比例C. 1 ， 2 ， a ， s+1 线性无关D. 1 ， 2 ， a 中任一个向量均不能由其余 s-1 个向量线性表
12、出 解析：解析：(A)，(B)均是线性无关的必要条件例如， 1 =(1，1，1) T ， 2 =(1，2，3) T ， 3 =(2，3，4) T ，虽 1 ， 2 ， 3 均为非零向量且任两个向量的分量都不成比例，但 1 + 2 - 3 =0， 1 ， 2 ， 3 线性相关 (C)是线性无关的充分条件由 1 ， 2 ， s ， s+1 线性无关 1 ， 2 ， s 线性无关，但由 1 ， 2 ， s 线性无关 4.设 1 ， 2 ， 3 ， 4 是 3 维非零向量，则下列说法正确的是（分数：2.00）A.若 1 ， 2 线性相关， 3 ， 4 线性相关，则 1 + 3 ， 2 + 4 也线性相
13、关B.若 1 ， 2 ， 3 线性无关，则 1 + 4 ， 2 + 4 ， 3 + 4 线性无关C.若 4 不能由 1 ， 2 ， 3 线性表出，则 1 ， 2 ， 3 线性相关 D.若 1 ， 2 ， 3 ， 4 中任意三个向量均线性无关，则 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性无关解析：解析：若 1 =(1，0)， 2 =(2，0)， 3 =(0，2)， 4 =(0，3)，则 1 ， 2 线性相关， 3 ， 4 线性相关，但 1 + 3 =(1，2)， 2 + 4 =(2，3)线性无关故(A)不正确 对于(B)，取 4 =- 1 ，即知(B)不对 对于(D)，可考察向量组(1，0，0)，(0，
14、1，0)，(0，0，1)，(-1，-1，-1)，可知(D)不对 至于(C)，因为 4 个 3 维向量必线性相关，如若 1 ， 2 ， 3 线性无关，则 4 必可由 1 ， 2 ， 3 线性表出现在 4 不能由 1 ， 2 ， 3 线性表出，故 1 ， 2 ， 3 必线性相关故应选(C)5.若 1 ， 2 ， 3 线性无关，那么下列线性相关的向量组是（分数：2.00）A. 1 ， 1 + 2 ， 1 + 2 + 3 B. 1 + 2 ， 1 - 2 ，- 3 C.- 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 - 1 D. 1 - 2 ， 2 - 3 ， 3 - 1 解析：解析：用观察法由 ( 1 -
15、2 )+( 2 - 3 )+( 3 - 1 )=0， 可知 1 - 2 ， 2 - 3 ， 3 - 1 线性相关故应选(D) 至于(A)，(B)，(C)线性无关的判断可以用秩也可以用行列式不为 0 来判断 例如，(A)中 r( 1 ， 1 + 2 ， 1 + 2 + 3 )=r( 1 ， 1 + 2 ， 3 )=r( 1 ， 2 ， 3 )=3 或( 1 ， 1 + 3 ， 1 + 2 + 3 )=( 1 ， 2 ， 3 ) 由行列式 6.设向量组： 1 ， 2 ， r 可由向量组： 1 ， 2 ， s 线性表示，则（分数：2.00）A.当 rs 时，向量组()必线性相关B.当 rs 时，向量
16、组()必线性相关C.当 rs 时，向量组()必线性相关D.当 rs 时，向量组()必线性相关 解析：解析：若多数向量可用少数向量线性表出，则多数向量一定线性相关故应选(D)7.若 r( 1 ， 2 ， r )=r，则（分数：2.00）A.向量组中任意 r-1 个向量均线性无关B.向量组中任意 r 个向量均线性无关C.向量组中任意 r+1 个向量均线性相关 D.向量组中向量个数必大于 r解析：解析：秩 r( 1 ， 2 ， s )=r 向量组 1 ， 2 ， s 的极大线性无关组为 r 个向量 8.设 n 维向量 1 ， 2 ， s ，下列命题中正确的是（分数：2.00）A.如果 1 ， 2 ，
17、 s 线性无关，那么 1 + 2 ， 2 + 3 ， s-1 + s ， s + 1 也线性无关B.如果 1 ， 2 ， s 线性无关，那么和它等价的向量组也线性无关C.如果 1 ， 2 ， s 线性相关，A 是 mn 非零矩阵，那么 A 1 ，A 2 ，A s 也线性相关 D.如果 1 ， 2 ， s 线性相关，那么 s 可由 1 ， 2 ， s-1 线性表出解析：解析：(A)：当 s 为偶数时，命题不正确例如， 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 + 4 ， 4 + 1 线性相关 (B)：两个向量组等价时，这两个向量组中向量个数可以不一样，因而线性相关性没有必然的关系例如， 1 ， 2 ，
18、 s 与 1 ， 2 ， s ，0 等价，但后者必线性相关 (C)：因为(A 1 ，A 2 ，A s )=A( 1 ， 2 ， s )，于是 r(A 1 ，A 2 ，A s )=rA( 1 ， 2 ， s )r( 1 ， 2 ， s )s， 所以，A 1 ，A 2 ，A s 必线性相关故应选(C) (D)：要正确理解线性相关的意义9.设 A 是 mn 矩阵，r(A)=mn，则下列命题中不正确的是（分数：2.00）A.A 经初等行变换必可化为(E m ，0) B.C.如 m 阶矩阵 B 满足 BA=0，则 B=0D.行列式A T A=0解析：解析：例如， 二、填空题(总题数：11，分数：22.0
19、0)10.向量组 1 =(1，0，1，2) T ， 2 =(1，1，3，1) T ， 3 =(2，-1，a+1，5) T 线性相关，则 a= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：-1）解析：解析： 1 ， 2 ， 3 线性相关 r( 1 ， 2 ， 3 )3 11.已知 1 =(a，a，a) T ， 2 =(-a，a，b) T ， 3 =(-a，-a，-b) T 线性相关，则 a，b 满足关系式 1.（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：a=0 或 a=b）解析：解析：n 个 n 维向量线性相关 1 ， 2 ， n =0而 1 ， 2 ， 3 = 12.
20、已知 1 ， 2 ， 3 线性无关， 1 +v， 2 - 3 ， 1 - 2 + 3 线性相关，则 a= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：记 1 = 1 + 2 ， 2 =a 2 - 3 ， 3 = 1 - 2 + 3 ，则 1 ， 2 ， 3 线性相关 13.若 =(1，3，0) T 不能由 1 =(1，2，1) T ， 2 =(2，3，a) T ， 3 =(1，a+2，-2) T 线性表出，则 a= 1.（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：-1）解析：解析： 不能由 1 ， 2 ， 3 线性表出 方程组 x 1 1 +x 2 2
21、 +x 2 3 =无解又 14.任意 3 维向量都可用 1 =(1，0，1) T ， 2 =(1，-2，3) T ， 3 =(a，1，2) T 线性表出，则a= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：3）解析：解析：任何 3 维向量 可由 1 ， 2 ， 3 线性表出 r( 1 ， 2 ， 3 )=3 因而 15.向量组 1 =(1，-1，3，0) T ， 2 =(-2，1，a，1) T ， 3 =(1，1，-5，-2) T 的秩为 2，则a= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：-2）解析：解析：r( 1 ， 2 ， 3 )=2，计算秩 16.已知
22、r( 1 ， 2 ， s )=r( 1 ， 2 ， s ，)=r，r( 1 ， 2 ， s ，)=r+1，则 r( 1 ， 2 ， s ，)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：r+1）解析：解析：r( 1 ， 2 ， s )=r( 1 ， 2 ， s ，)=r 表明 可由 1 ， 2 ， s 线性表出，于是 r( 1 ， 2 ， s ，)=r( 1 ， 2 ， s ，)=r+117.设 4 阶矩阵 A 的秩为 2，则 r(A * )= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：由 r(A * )= 18.已知 A= （分数：2.00）填
23、空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：由 A 可逆，知 A * 可逆，那么 r(AXA * )=r(X)，从而 r(B)=2，B=0于是 19.已知 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由 BA T =0 有 r(B)+r(A T )3，即 r(A)+r(B)3 又 B0，有 r(B)1，从而 r(A)3，即A=0.于是 20.与 1 =(1，-1，0，2) T ， 2 =(2，3，1，1) T ， 3 =(0，0，1，2) T 都正交的单位向量是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：设 =(x 1
24、，x 2 ，x 3 ，x 4 ) T 与 1 ， 2 ， 3 均正交，则 T i =0(i=1，2，3)，即 求出基础解系：(1，-1，2，-1) T ，单位化得 三、解答题(总题数：10，分数：20.00)21.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：22.设 A 是 n 阶非零实矩阵(n2)，并且 A T =A * ，证明 A 是正交矩阵（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：AA T =AA * =AE，因此只用证明A=1，就可由定义得出 A 是正交矩阵 由于 A0，有非零元素，设 a ij 0则 AA T 的(i，i)位元素A=a i1 2 +a i2
25、 2 +a ij 2 +a in 2 0，从而 AA T 0 对等式 AA T =AE，两边取行列式，得A 2 =A n ，即A n-1 =1又由A0，得出A=1)解析：23.已知 1 =(1，1，0，2) T ， 2 =(-1，1，2，4) T ， 3 =(2，3，a，7) T ， 4 =(-1，5，-3，a+6) T ，=(1，0，2，6) T ，问 a，b 取何值时，() 不能由 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性表示?() 能用 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性表出，且表示法唯一；() 能用 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性表出，且表示法不唯一，并写出此时表达式（分数：2.00）_正确答
26、案：(正确答案：设 x 1 1 +x 2 2 +x 3 3 +x 4 4 =，对增广矩阵( 1 ， 2 ， 3 ， 4 ：)作初等行变换，有 ()当 a=1，b2 或 a=10，b-1 时，方程组均无解所以 不能由 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性表出 ()当 a1 且 a10 时， 方程组均有唯一解所以 能用 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性表示且表示法唯. ()方程组在两种情况下有无穷多解，即(1)当a=10，b=-1 时，方程组有无穷多解： x 4 =t，x 3 =t+ ，x 2 = ，x 1 = 即 = 3 +t 4 . (2)当 a=1，b=2 时，方程组有无穷多解：x 4 = ，x
27、 2 =t，x 3 =1-2t，x 1 =5t- ，即 = 1 +t 2 +(1-2t) 3 - )解析：24.已知向量组 1 = ， 2 = ， 3 = 与 1 = ， 2 = ， 3 = （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 3 可由 1 ， 2 ， 3 线性表示，故方程组 x 1 1 +x 2 2 +x 3 3 = 3 有解由 并且秩 r( 1 ， 2 ， 3 )=2 于是 r( 1 ， 2 ， 3 )=2 从而 1 ， 2 ， 3 )解析：25.已知 a 1 ，a 2 ，a s 是互不相同的数，n 维向量 i =(1，a i ，a i 2 ，a i n-1 ) T (i=1，
28、2，s)，求向量组 1 ， 2 ， s 的秩（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 sn 时， 1 ， 2 ， s 必线性相关，但 1 ， 2 ， n 是范德蒙行列式，故 1 ， 2 ， n 线性无关因而 r( 1 ， 2 ， s )=n 当s=n 时， 1 ， 2 ， n 线性无关，秩 r( 1 ， 2 ， n )=n 当 sn 时，记 1 =(1，a 1 ，a 1 2 ，a 1 s-1 ) T ， 2 =(1，a 2 ，a 2 2 ，a 2 s-1 ) T ， s =(1，a s ，a s 2 ，a s s-1 ) T ，则 1 ， 2 ， s 线性无关那么 1 ， 2 ， s 必线
29、性无关故 r( 1 ， 2 ， s )=s)解析：26.设 A 是 n 阶非零实矩阵，A * 是 A 的伴随矩阵，A T 是 A 的转置矩阵，如果 A T =A * ，证明任一 n 维列向量均可由矩阵 A 的列向量线性表出（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 A * =A T ，按定义有 A ij =a ij ( )解析：27.证明 1 ， 2 ， s (其中 1 0)线性相关的充分必要条件是存在一个 i (1is)能由它前面的那些向量 1 ， 2 ， i-1 线性表出（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：必要性因为 1 ， 2 ， a 线性相关，故有不全为 0 的 k 1 ，k
30、 2 ，k s ，使 k 1 1 +k 2 2 +k s s =0 设 k s ，k s-1 ，k 2 ，k 1 中第一个不为 0的是 k i (即 k i 0，而 k i+1 =k s-1 =k s =0)，且必有 i1(若 i=1 即 k 1 0，k 2 =k s =0，那么 k 1 1 =0于是 1 =0 与 1 0 矛盾)，从而 k 1 1 +k 2 2 +k i i =0，k i 0那么 i = )解析：28.已知 A 是 mn 矩阵，B 是 nP 矩阵，如 AB=C，且 r(C)=m，证明 A 的行向量线性无关（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(用定义) 对矩阵 A 按行分
31、块，记 A= ，那么 A T =( 2 T ， 2 T ， m T ) 若 k 1 1 T +k 2 2 T +k m m T =0，即( 1 T ， 2 T ， m T ) =0，即 A T =0，那么 B T A T =0 于是 C T )解析：29.设 A 是 mn 矩阵，B 是 ns 矩阵，C 是 ms 矩阵，满足 AB=C，如果秩 r(A)=n，证明秩 r(B)=r(C)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对齐次方程组()ABx=0，()Bx=0， 如 是()的解，有 B=0，那么AB=0，于是 是()的解 如 是()的解，有 AB=0，因为 A 是 mn 矩阵，秩 r(A)=n，所以Ax=0 只有零解，从而 B=0于是 是()的解 因此方程组()与()同解那么 s-r(AB)=s-r(B)，即 r(AB)=r(B) 所以 r(B)=r(C)解析：30.设 A 是 n 阶实反对称矩阵，x，y 是实 n 维列向量，满足 Ax=y，证明 x 与 y 正交.（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 A T =-A，Ax=y，所以 (x，y)=x T Ax=(A T x) T x=(-Ax) T x=(-y，x)，得(x，y)=0)解析：
