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    【考研类试卷】考研数学二(向量组的线性关系与秩)模拟试卷9及答案解析.doc

    • 资源ID:1396184       资源大小:143.50KB        全文页数:8页
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    【考研类试卷】考研数学二(向量组的线性关系与秩)模拟试卷9及答案解析.doc

    1、考研数学二(向量组的线性关系与秩)模拟试卷 9 及答案解析(总分:60.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:9,分数:18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_2.设向量组 , 线性无关, 线性相关,则(分数:2.00)A. 必可由 , 线性表示B. 必不可由 , 线性表示C. 必可由 , 线性表示D. 必不可由 , 线性表示3.向量组 1 , 2 , a 线性无关的充分必要条件是(分数:2.00)A. 1 , 2 , a 均不是零向量B. 1 , 2 , a 中任意两个向量的分量不成比例C. 1 , 2 , a , s+1 线性

    2、无关D. 1 , 2 , a 中任一个向量均不能由其余 s-1 个向量线性表出4.设 1 , 2 , 3 , 4 是 3 维非零向量,则下列说法正确的是(分数:2.00)A.若 1 , 2 线性相关, 3 , 4 线性相关,则 1 + 3 , 2 + 4 也线性相关B.若 1 , 2 , 3 线性无关,则 1 + 4 , 2 + 4 , 3 + 4 线性无关C.若 4 不能由 1 , 2 , 3 线性表出,则 1 , 2 , 3 线性相关D.若 1 , 2 , 3 , 4 中任意三个向量均线性无关,则 1 , 2 , 3 , 4 线性无关5.若 1 , 2 , 3 线性无关,那么下列线性相关的

    3、向量组是(分数:2.00)A. 1 , 1 + 2 , 1 + 2 + 3 B. 1 + 2 , 1 - 2 ,- 3 C.- 1 + 2 , 2 + 3 , 3 - 1 D. 1 - 2 , 2 - 3 , 3 - 1 6.设向量组: 1 , 2 , r 可由向量组: 1 , 2 , s 线性表示,则(分数:2.00)A.当 rs 时,向量组()必线性相关B.当 rs 时,向量组()必线性相关C.当 rs 时,向量组()必线性相关D.当 rs 时,向量组()必线性相关7.若 r( 1 , 2 , r )=r,则(分数:2.00)A.向量组中任意 r-1 个向量均线性无关B.向量组中任意 r

    4、个向量均线性无关C.向量组中任意 r+1 个向量均线性相关D.向量组中向量个数必大于 r8.设 n 维向量 1 , 2 , s ,下列命题中正确的是(分数:2.00)A.如果 1 , 2 , s 线性无关,那么 1 + 2 , 2 + 3 , s-1 + s , s + 1 也线性无关B.如果 1 , 2 , s 线性无关,那么和它等价的向量组也线性无关C.如果 1 , 2 , s 线性相关,A 是 mn 非零矩阵,那么 A 1 ,A 2 ,A s 也线性相关D.如果 1 , 2 , s 线性相关,那么 s 可由 1 , 2 , s-1 线性表出9.设 A 是 mn 矩阵,r(A)=mn,则下

    5、列命题中不正确的是(分数:2.00)A.A 经初等行变换必可化为(E m ,0)B.C.如 m 阶矩阵 B 满足 BA=0,则 B=0D.行列式A T A=0二、填空题(总题数:11,分数:22.00)10.向量组 1 =(1,0,1,2) T , 2 =(1,1,3,1) T , 3 =(2,-1,a+1,5) T 线性相关,则 a= 1(分数:2.00)填空项 1:_11.已知 1 =(a,a,a) T , 2 =(-a,a,b) T , 3 =(-a,-a,-b) T 线性相关,则 a,b 满足关系式 1.(分数:2.00)填空项 1:_12.已知 1 , 2 , 3 线性无关, 1 +

    6、v, 2 - 3 , 1 - 2 + 3 线性相关,则 a= 1(分数:2.00)填空项 1:_13.若 =(1,3,0) T 不能由 1 =(1,2,1) T , 2 =(2,3,a) T , 3 =(1,a+2,-2) T 线性表出,则 a= 1.(分数:2.00)填空项 1:_14.任意 3 维向量都可用 1 =(1,0,1) T , 2 =(1,-2,3) T , 3 =(a,1,2) T 线性表出,则a= 1(分数:2.00)填空项 1:_15.向量组 1 =(1,-1,3,0) T , 2 =(-2,1,a,1) T , 3 =(1,1,-5,-2) T 的秩为 2,则a= 1(分

    7、数:2.00)填空项 1:_16.已知 r( 1 , 2 , s )=r( 1 , 2 , s ,)=r,r( 1 , 2 , s ,)=r+1,则 r( 1 , 2 , s ,)= 1(分数:2.00)填空项 1:_17.设 4 阶矩阵 A 的秩为 2,则 r(A * )= 1(分数:2.00)填空项 1:_18.已知 A= (分数:2.00)填空项 1:_19.已知 A= (分数:2.00)填空项 1:_20.与 1 =(1,-1,0,2) T , 2 =(2,3,1,1) T , 3 =(0,0,1,2) T 都正交的单位向量是 1(分数:2.00)填空项 1:_三、解答题(总题数:10

    8、,分数:20.00)21.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(分数:2.00)_22.设 A 是 n 阶非零实矩阵(n2),并且 A T =A * ,证明 A 是正交矩阵(分数:2.00)_23.已知 1 =(1,1,0,2) T , 2 =(-1,1,2,4) T , 3 =(2,3,a,7) T , 4 =(-1,5,-3,a+6) T ,=(1,0,2,6) T ,问 a,b 取何值时,() 不能由 1 , 2 , 3 , 4 线性表示?() 能用 1 , 2 , 3 , 4 线性表出,且表示法唯一;() 能用 1 , 2 , 3 , 4 线性表出,且表示法不唯一,并写出此时

    9、表达式(分数:2.00)_24.已知向量组 1 = , 2 = , 3 = 与 1 = , 2 = , 3 = (分数:2.00)_25.已知 a 1 ,a 2 ,a s 是互不相同的数,n 维向量 i =(1,a i ,a i 2 ,a i n-1 ) T (i=1,2,s),求向量组 1 , 2 , s 的秩(分数:2.00)_26.设 A 是 n 阶非零实矩阵,A * 是 A 的伴随矩阵,A T 是 A 的转置矩阵,如果 A T =A * ,证明任一 n 维列向量均可由矩阵 A 的列向量线性表出(分数:2.00)_27.证明 1 , 2 , s (其中 1 0)线性相关的充分必要条件是存

    10、在一个 i (1is)能由它前面的那些向量 1 , 2 , i-1 线性表出(分数:2.00)_28.已知 A 是 mn 矩阵,B 是 nP 矩阵,如 AB=C,且 r(C)=m,证明 A 的行向量线性无关(分数:2.00)_29.设 A 是 mn 矩阵,B 是 ns 矩阵,C 是 ms 矩阵,满足 AB=C,如果秩 r(A)=n,证明秩 r(B)=r(C)(分数:2.00)_30.设 A 是 n 阶实反对称矩阵,x,y 是实 n 维列向量,满足 Ax=y,证明 x 与 y 正交.(分数:2.00)_考研数学二(向量组的线性关系与秩)模拟试卷 9 答案解析(总分:60.00,做题时间:90 分

    11、钟)一、选择题(总题数:9,分数:18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_解析:2.设向量组 , 线性无关, 线性相关,则(分数:2.00)A. 必可由 , 线性表示B. 必不可由 , 线性表示C. 必可由 , 线性表示 D. 必不可由 , 线性表示解析:解析:3.向量组 1 , 2 , a 线性无关的充分必要条件是(分数:2.00)A. 1 , 2 , a 均不是零向量B. 1 , 2 , a 中任意两个向量的分量不成比例C. 1 , 2 , a , s+1 线性无关D. 1 , 2 , a 中任一个向量均不能由其余 s-1 个向量线性表

    12、出 解析:解析:(A),(B)均是线性无关的必要条件例如, 1 =(1,1,1) T , 2 =(1,2,3) T , 3 =(2,3,4) T ,虽 1 , 2 , 3 均为非零向量且任两个向量的分量都不成比例,但 1 + 2 - 3 =0, 1 , 2 , 3 线性相关 (C)是线性无关的充分条件由 1 , 2 , s , s+1 线性无关 1 , 2 , s 线性无关,但由 1 , 2 , s 线性无关 4.设 1 , 2 , 3 , 4 是 3 维非零向量,则下列说法正确的是(分数:2.00)A.若 1 , 2 线性相关, 3 , 4 线性相关,则 1 + 3 , 2 + 4 也线性相

    13、关B.若 1 , 2 , 3 线性无关,则 1 + 4 , 2 + 4 , 3 + 4 线性无关C.若 4 不能由 1 , 2 , 3 线性表出,则 1 , 2 , 3 线性相关 D.若 1 , 2 , 3 , 4 中任意三个向量均线性无关,则 1 , 2 , 3 , 4 线性无关解析:解析:若 1 =(1,0), 2 =(2,0), 3 =(0,2), 4 =(0,3),则 1 , 2 线性相关, 3 , 4 线性相关,但 1 + 3 =(1,2), 2 + 4 =(2,3)线性无关故(A)不正确 对于(B),取 4 =- 1 ,即知(B)不对 对于(D),可考察向量组(1,0,0),(0,

    14、1,0),(0,0,1),(-1,-1,-1),可知(D)不对 至于(C),因为 4 个 3 维向量必线性相关,如若 1 , 2 , 3 线性无关,则 4 必可由 1 , 2 , 3 线性表出现在 4 不能由 1 , 2 , 3 线性表出,故 1 , 2 , 3 必线性相关故应选(C)5.若 1 , 2 , 3 线性无关,那么下列线性相关的向量组是(分数:2.00)A. 1 , 1 + 2 , 1 + 2 + 3 B. 1 + 2 , 1 - 2 ,- 3 C.- 1 + 2 , 2 + 3 , 3 - 1 D. 1 - 2 , 2 - 3 , 3 - 1 解析:解析:用观察法由 ( 1 -

    15、2 )+( 2 - 3 )+( 3 - 1 )=0, 可知 1 - 2 , 2 - 3 , 3 - 1 线性相关故应选(D) 至于(A),(B),(C)线性无关的判断可以用秩也可以用行列式不为 0 来判断 例如,(A)中 r( 1 , 1 + 2 , 1 + 2 + 3 )=r( 1 , 1 + 2 , 3 )=r( 1 , 2 , 3 )=3 或( 1 , 1 + 3 , 1 + 2 + 3 )=( 1 , 2 , 3 ) 由行列式 6.设向量组: 1 , 2 , r 可由向量组: 1 , 2 , s 线性表示,则(分数:2.00)A.当 rs 时,向量组()必线性相关B.当 rs 时,向量

    16、组()必线性相关C.当 rs 时,向量组()必线性相关D.当 rs 时,向量组()必线性相关 解析:解析:若多数向量可用少数向量线性表出,则多数向量一定线性相关故应选(D)7.若 r( 1 , 2 , r )=r,则(分数:2.00)A.向量组中任意 r-1 个向量均线性无关B.向量组中任意 r 个向量均线性无关C.向量组中任意 r+1 个向量均线性相关 D.向量组中向量个数必大于 r解析:解析:秩 r( 1 , 2 , s )=r 向量组 1 , 2 , s 的极大线性无关组为 r 个向量 8.设 n 维向量 1 , 2 , s ,下列命题中正确的是(分数:2.00)A.如果 1 , 2 ,

    17、 s 线性无关,那么 1 + 2 , 2 + 3 , s-1 + s , s + 1 也线性无关B.如果 1 , 2 , s 线性无关,那么和它等价的向量组也线性无关C.如果 1 , 2 , s 线性相关,A 是 mn 非零矩阵,那么 A 1 ,A 2 ,A s 也线性相关 D.如果 1 , 2 , s 线性相关,那么 s 可由 1 , 2 , s-1 线性表出解析:解析:(A):当 s 为偶数时,命题不正确例如, 1 + 2 , 2 + 3 , 3 + 4 , 4 + 1 线性相关 (B):两个向量组等价时,这两个向量组中向量个数可以不一样,因而线性相关性没有必然的关系例如, 1 , 2 ,

    18、 s 与 1 , 2 , s ,0 等价,但后者必线性相关 (C):因为(A 1 ,A 2 ,A s )=A( 1 , 2 , s ),于是 r(A 1 ,A 2 ,A s )=rA( 1 , 2 , s )r( 1 , 2 , s )s, 所以,A 1 ,A 2 ,A s 必线性相关故应选(C) (D):要正确理解线性相关的意义9.设 A 是 mn 矩阵,r(A)=mn,则下列命题中不正确的是(分数:2.00)A.A 经初等行变换必可化为(E m ,0) B.C.如 m 阶矩阵 B 满足 BA=0,则 B=0D.行列式A T A=0解析:解析:例如, 二、填空题(总题数:11,分数:22.0

    19、0)10.向量组 1 =(1,0,1,2) T , 2 =(1,1,3,1) T , 3 =(2,-1,a+1,5) T 线性相关,则 a= 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:-1)解析:解析: 1 , 2 , 3 线性相关 r( 1 , 2 , 3 )3 11.已知 1 =(a,a,a) T , 2 =(-a,a,b) T , 3 =(-a,-a,-b) T 线性相关,则 a,b 满足关系式 1.(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:a=0 或 a=b)解析:解析:n 个 n 维向量线性相关 1 , 2 , n =0而 1 , 2 , 3 = 12.

    20、已知 1 , 2 , 3 线性无关, 1 +v, 2 - 3 , 1 - 2 + 3 线性相关,则 a= 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:2)解析:解析:记 1 = 1 + 2 , 2 =a 2 - 3 , 3 = 1 - 2 + 3 ,则 1 , 2 , 3 线性相关 13.若 =(1,3,0) T 不能由 1 =(1,2,1) T , 2 =(2,3,a) T , 3 =(1,a+2,-2) T 线性表出,则 a= 1.(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:-1)解析:解析: 不能由 1 , 2 , 3 线性表出 方程组 x 1 1 +x 2 2

    21、 +x 2 3 =无解又 14.任意 3 维向量都可用 1 =(1,0,1) T , 2 =(1,-2,3) T , 3 =(a,1,2) T 线性表出,则a= 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:3)解析:解析:任何 3 维向量 可由 1 , 2 , 3 线性表出 r( 1 , 2 , 3 )=3 因而 15.向量组 1 =(1,-1,3,0) T , 2 =(-2,1,a,1) T , 3 =(1,1,-5,-2) T 的秩为 2,则a= 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:-2)解析:解析:r( 1 , 2 , 3 )=2,计算秩 16.已知

    22、r( 1 , 2 , s )=r( 1 , 2 , s ,)=r,r( 1 , 2 , s ,)=r+1,则 r( 1 , 2 , s ,)= 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:r+1)解析:解析:r( 1 , 2 , s )=r( 1 , 2 , s ,)=r 表明 可由 1 , 2 , s 线性表出,于是 r( 1 , 2 , s ,)=r( 1 , 2 , s ,)=r+117.设 4 阶矩阵 A 的秩为 2,则 r(A * )= 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:0)解析:解析:由 r(A * )= 18.已知 A= (分数:2.00)填

    23、空项 1:_ (正确答案:正确答案:0)解析:解析:由 A 可逆,知 A * 可逆,那么 r(AXA * )=r(X),从而 r(B)=2,B=0于是 19.已知 A= (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:由 BA T =0 有 r(B)+r(A T )3,即 r(A)+r(B)3 又 B0,有 r(B)1,从而 r(A)3,即A=0.于是 20.与 1 =(1,-1,0,2) T , 2 =(2,3,1,1) T , 3 =(0,0,1,2) T 都正交的单位向量是 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案: )解析:解析:设 =(x 1

    24、,x 2 ,x 3 ,x 4 ) T 与 1 , 2 , 3 均正交,则 T i =0(i=1,2,3),即 求出基础解系:(1,-1,2,-1) T ,单位化得 三、解答题(总题数:10,分数:20.00)21.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(分数:2.00)_解析:22.设 A 是 n 阶非零实矩阵(n2),并且 A T =A * ,证明 A 是正交矩阵(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:AA T =AA * =AE,因此只用证明A=1,就可由定义得出 A 是正交矩阵 由于 A0,有非零元素,设 a ij 0则 AA T 的(i,i)位元素A=a i1 2 +a i2

    25、 2 +a ij 2 +a in 2 0,从而 AA T 0 对等式 AA T =AE,两边取行列式,得A 2 =A n ,即A n-1 =1又由A0,得出A=1)解析:23.已知 1 =(1,1,0,2) T , 2 =(-1,1,2,4) T , 3 =(2,3,a,7) T , 4 =(-1,5,-3,a+6) T ,=(1,0,2,6) T ,问 a,b 取何值时,() 不能由 1 , 2 , 3 , 4 线性表示?() 能用 1 , 2 , 3 , 4 线性表出,且表示法唯一;() 能用 1 , 2 , 3 , 4 线性表出,且表示法不唯一,并写出此时表达式(分数:2.00)_正确答

    26、案:(正确答案:设 x 1 1 +x 2 2 +x 3 3 +x 4 4 =,对增广矩阵( 1 , 2 , 3 , 4 :)作初等行变换,有 ()当 a=1,b2 或 a=10,b-1 时,方程组均无解所以 不能由 1 , 2 , 3 , 4 线性表出 ()当 a1 且 a10 时, 方程组均有唯一解所以 能用 1 , 2 , 3 , 4 线性表示且表示法唯. ()方程组在两种情况下有无穷多解,即(1)当a=10,b=-1 时,方程组有无穷多解: x 4 =t,x 3 =t+ ,x 2 = ,x 1 = 即 = 3 +t 4 . (2)当 a=1,b=2 时,方程组有无穷多解:x 4 = ,x

    27、 2 =t,x 3 =1-2t,x 1 =5t- ,即 = 1 +t 2 +(1-2t) 3 - )解析:24.已知向量组 1 = , 2 = , 3 = 与 1 = , 2 = , 3 = (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:因为 3 可由 1 , 2 , 3 线性表示,故方程组 x 1 1 +x 2 2 +x 3 3 = 3 有解由 并且秩 r( 1 , 2 , 3 )=2 于是 r( 1 , 2 , 3 )=2 从而 1 , 2 , 3 )解析:25.已知 a 1 ,a 2 ,a s 是互不相同的数,n 维向量 i =(1,a i ,a i 2 ,a i n-1 ) T (i=1,

    28、2,s),求向量组 1 , 2 , s 的秩(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:当 sn 时, 1 , 2 , s 必线性相关,但 1 , 2 , n 是范德蒙行列式,故 1 , 2 , n 线性无关因而 r( 1 , 2 , s )=n 当s=n 时, 1 , 2 , n 线性无关,秩 r( 1 , 2 , n )=n 当 sn 时,记 1 =(1,a 1 ,a 1 2 ,a 1 s-1 ) T , 2 =(1,a 2 ,a 2 2 ,a 2 s-1 ) T , s =(1,a s ,a s 2 ,a s s-1 ) T ,则 1 , 2 , s 线性无关那么 1 , 2 , s 必线

    29、性无关故 r( 1 , 2 , s )=s)解析:26.设 A 是 n 阶非零实矩阵,A * 是 A 的伴随矩阵,A T 是 A 的转置矩阵,如果 A T =A * ,证明任一 n 维列向量均可由矩阵 A 的列向量线性表出(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:因为 A * =A T ,按定义有 A ij =a ij ( )解析:27.证明 1 , 2 , s (其中 1 0)线性相关的充分必要条件是存在一个 i (1is)能由它前面的那些向量 1 , 2 , i-1 线性表出(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:必要性因为 1 , 2 , a 线性相关,故有不全为 0 的 k 1 ,k

    30、 2 ,k s ,使 k 1 1 +k 2 2 +k s s =0 设 k s ,k s-1 ,k 2 ,k 1 中第一个不为 0的是 k i (即 k i 0,而 k i+1 =k s-1 =k s =0),且必有 i1(若 i=1 即 k 1 0,k 2 =k s =0,那么 k 1 1 =0于是 1 =0 与 1 0 矛盾),从而 k 1 1 +k 2 2 +k i i =0,k i 0那么 i = )解析:28.已知 A 是 mn 矩阵,B 是 nP 矩阵,如 AB=C,且 r(C)=m,证明 A 的行向量线性无关(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:(用定义) 对矩阵 A 按行分

    31、块,记 A= ,那么 A T =( 2 T , 2 T , m T ) 若 k 1 1 T +k 2 2 T +k m m T =0,即( 1 T , 2 T , m T ) =0,即 A T =0,那么 B T A T =0 于是 C T )解析:29.设 A 是 mn 矩阵,B 是 ns 矩阵,C 是 ms 矩阵,满足 AB=C,如果秩 r(A)=n,证明秩 r(B)=r(C)(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:对齐次方程组()ABx=0,()Bx=0, 如 是()的解,有 B=0,那么AB=0,于是 是()的解 如 是()的解,有 AB=0,因为 A 是 mn 矩阵,秩 r(A)=n,所以Ax=0 只有零解,从而 B=0于是 是()的解 因此方程组()与()同解那么 s-r(AB)=s-r(B),即 r(AB)=r(B) 所以 r(B)=r(C)解析:30.设 A 是 n 阶实反对称矩阵,x,y 是实 n 维列向量,满足 Ax=y,证明 x 与 y 正交.(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:因为 A T =-A,Ax=y,所以 (x,y)=x T Ax=(A T x) T x=(-Ax) T x=(-y,x),得(x,y)=0)解析:


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