1、考研数学二-280 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：31，分数：77.50)1.设 y=x 5 +5 x -tan(x 2 +1)，则 y“= 1 （分数：2.50）2. （分数：2.50）3.f(sinx)=cos2x+3x+2，则 f“(x)= 1 （分数：2.50）4.y=x sin2(2x+1) ，则 y“= 1 （分数：2.50）5.x y =y x ，则 y“= 1 （分数：2.50）6.设 f(x)一阶可导，且 f(x)=f“(x)=1，则 （分数：2.50）7.设函数 y=f(x)由方程 xy+2lnx=y 4 所确定，则曲线 y=f(
2、x)在(1，1)处的法线方程为 1 （分数：2.50）8. （分数：2.50）9.设周期为 4 的函数 f(x)处处可导，且 （分数：2.50）10.设 f(x)为偶函数，且 f“(-1)=2，则 （分数：2.50）11.设 f(x)在 x=a 处可导，则 （分数：2.50）12.设 f“(a)存在且不等于零，则 （分数：2.50）13.设 f(x)为奇函数，且 f“(1)=2，则 （分数：2.50）14.设 （分数：2.50）15.设 f(x)在 x=2 处可导，且 （分数：2.50）16.设 f(x)二阶连续可导，且 ，f“(0)=e，则 （分数：2.50）17.设 f(u)可导，y=f(
3、x 2 )在 x 0 =-1 处取得增量 x=0.05 时，函数增量 y 的线性部分为 0.15，则f“(1)= 1 （分数：2.50）18.设 ，则 （分数：2.50）19.设 则 （分数：2.50）20.设曲线 y=lnx 与 （分数：2.50）21.曲线 （分数：2.50）22.曲线 r=e 在 （分数：2.50）23.设 （分数：2.50）24.设函数 y=y(x)由方程 e x+y +cos(xy)=0 确定，则 （分数：2.50）25.设 （分数：2.50）26.设 f(x)=ln(2x 2 -x-1)，则 f (n) (x)= 1 （分数：2.50）27.设 （分数：2.50）2
4、8.设 f(x)连续，则 （分数：2.50）29.曲线 （分数：2.50）30.曲线 （分数：2.50）31.y=e x 在 x=0 处的曲率半径为 R= 1 （分数：2.50）二、选择题(总题数：9，分数：22.50)32.曲线 （分数：2.50）A.1 条B.2 条C.3 条D.4 条33.函数 f(x)=x 3 -3x+k 只有一个零点，则 k 的范围为_（分数：2.50）A.|k|1B.|k|1C.|k|2D.k234.设 f(x)在 x=0 的邻域内有定义，f(0)=1，且 （分数：2.50）A.可导，且 f“(0)=0B.可导，且 f(0)=-1C.可导，且 f“(0)=2D.不可
5、导35.设 （分数：2.50）A.f(x)在 x=a 处可导且 f“(a)0B.f(a)为 f(x)的极大值C.f(a)不是 f(x)的极值D.f(x)在 x=a 处不可导36.设函数 f(x)在|x| 内有定义且|f(x)|x 2 ，则 f(x)在 x=0 处_（分数：2.50）A.不连续B.连续但不可微C.可微且 f“(0)=0D.可微但 f“(0)037.设 （分数：2.50）A.极限不存在B.极限存在，但不连续C.连续，但不可导D.可导38.设 f(x)连续，且 （分数：2.50）A.f(x)在 x=0 处不可导B.f(x)在 x=0 处可导且 f“(0)0C.f(x)在 x=0 处取
6、极小值D.f(x)在 x=0 处取极大值39.设 f(x)具有二阶连续导数，且 （分数：2.50）A.x=1 为 f(x)的极大点B.x=1 为 f(x)的极小点C.(1，f(1)为 y=f(x)的拐点D.x=1 不是 f(x)的极值点，(1，f(1)也不是 y=f(x)的拐点40.设 f(z)二阶连续可导，f“(0)=0，且 （分数：2.50）A.x=0 为 f(x)的极大点B.x=0 为 f(x)的极小点C.(0，f(0)为 y=f(x)的拐点D.x=0 不是 f(x)的极值点，(0，f(0)也不是 y=f(x)的拐点考研数学二-280 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)
7、一、填空题(总题数：31，分数：77.50)1.设 y=x 5 +5 x -tan(x 2 +1)，则 y“= 1 （分数：2.50）解析：5x 4 +5 x ln5-2xsec 2 (x 2 +1) 解析 y“=5x 4 +5 x ln5-2xsec 2 (x 2 +1)2. （分数：2.50）解析：解析 3.f(sinx)=cos2x+3x+2，则 f“(x)= 1 （分数：2.50）解析： 解析 由 f(sinx)=cos2x+3x+2，得 f(sinx)=1-2sin 2 x+3x+2， f(x)=1-2x 2 +3arcsinx+2， 4.y=x sin2(2x+1) ，则 y“=
8、1 （分数：2.50）解析： 解析 ，则 5.x y =y x ，则 y“= 1 （分数：2.50）解析： 解析 由 x y =y x ，得 ylnx=xlny，两边求导数得 解得 6.设 f(x)一阶可导，且 f(x)=f“(x)=1，则 （分数：2.50）解析：2解析 7.设函数 y=f(x)由方程 xy+2lnx=y 4 所确定，则曲线 y=f(x)在(1，1)处的法线方程为 1 （分数：2.50）解析：x+2 解析 xy+2lnx=y 4 两边对 x 求导得 ， 将 x=1，y=1 代入得 8. （分数：2.50）解析：解析 由 得9.设周期为 4 的函数 f(x)处处可导，且 （分数
9、：2.50）解析：y=-2x+4 解析 由 得 f(1)=2， 再由 10.设 f(x)为偶函数，且 f“(-1)=2，则 （分数：2.50）解析：-8 解析 因为 f(x)为偶函数，所以 f“(x)为奇函数，于是 f“(1)=-2， 11.设 f(x)在 x=a 处可导，则 （分数：2.50）解析：2f(a)5“f(a)=10f(a)f“(a)解析 因为 f(x)在 x=a 处可导，所以 f(x)在 x=a 处连续，于是12.设 f“(a)存在且不等于零，则 （分数：2.50）解析： 解析 13.设 f(x)为奇函数，且 f“(1)=2，则 （分数：2.50）解析：6 解析 因为 f(x)为
10、奇函数，所以 f“(x)为偶函数， 由 得 14.设 （分数：2.50）解析：2 -2 2 解析 f(0)=2，f(0-0)=c， 因为 f(x)在 x=0 处连续，所以 f(0+0)=f(0)=f(0-0)， 从而 a=2，c=2，即 15.设 f(x)在 x=2 处可导，且 （分数：2.50）解析：0，8 解析 因为 ，所以 ，再由 f(x)在 x=2 处的连续性得 f(2)=0 由 16.设 f(x)二阶连续可导，且 ，f“(0)=e，则 （分数：2.50）解析： 解析 由 得 f(0)=0，f“(0)=1， 于是 17.设 f(u)可导，y=f(x 2 )在 x 0 =-1 处取得增量
11、 x=0.05 时，函数增量 y 的线性部分为 0.15，则f“(1)= 1 （分数：2.50）解析： 解析 由 dy=2xf“(x 2 )x 得 dy| x=-1 =-2f“(1)0.05=-0.1f“(1)， 因为 y 的线性部分为 dy，由-0.1f“(1)=0.15 得 18.设 ，则 （分数：2.50）解析：解析 19.设 则 （分数：2.50）解析：解析 20.设曲线 y=lnx 与 （分数：2.50）解析： 解析 设当 x=a 时，两条曲线相切，由 得 a=e 2 两条曲线的公共切线为 ，整理得切线为 21.曲线 （分数：2.50）解析：y=-2x+1 解析 在点(0，1)处 t
12、=0， 22.曲线 r=e 在 （分数：2.50）解析： 解析 当 时，x=0， ，所求切线方程为 23.设 （分数：2.50）解析：y=-2x 解析 t=0 对应的曲线上点为(0，0)， 又 ，切线斜率为 24.设函数 y=y(x)由方程 e x+y +cos(xy)=0 确定，则 （分数：2.50）解析： 解析 方程两边对 x 求导，得 ，解得 25.设 （分数：2.50）解析：解析 令 ，解得 A=3，B=-2，即 ，于是 26.设 f(x)=ln(2x 2 -x-1)，则 f (n) (x)= 1 （分数：2.50）解析： 解析 f(x)=ln2x+1)(x-1=ln(2x+1)+ln
13、(x-1)， ， 27.设 （分数：2.50）解析： 解析 28.设 f(x)连续，则 （分数：2.50）解析：f(x) 解析 于是 ，故 29.曲线 （分数：2.50）解析：y=x+3 解析 30.曲线 （分数：2.50）解析：y=x 解析 由 ，得曲线 31.y=e x 在 x=0 处的曲率半径为 R= 1 （分数：2.50）解析： 解析 y“(0)=1，y“=1，则曲线 y=e x 在 x=0 处的曲率为 ，则曲率半径为 二、选择题(总题数：9，分数：22.50)32.曲线 （分数：2.50）A.1 条B.2 条 C.3 条D.4 条解析：解析 得 x=0 为铅直渐近线；由 得33.函数
14、 f(x)=x 3 -3x+k 只有一个零点，则 k 的范围为_（分数：2.50）A.|k|1B.|k|1C.|k|2 D.k2解析：解析 34.设 f(x)在 x=0 的邻域内有定义，f(0)=1，且 （分数：2.50）A.可导，且 f“(0)=0B.可导，且 f(0)=-1 C.可导，且 f“(0)=2D.不可导解析：解析 而 所以 35.设 （分数：2.50）A.f(x)在 x=a 处可导且 f“(a)0B.f(a)为 f(x)的极大值 C.f(a)不是 f(x)的极值D.f(x)在 x=a 处不可导解析：解析 由 ，根据极限的保号性，存在 0，当 0|x-a| 时，有36.设函数 f(
15、x)在|x| 内有定义且|f(x)|x 2 ，则 f(x)在 x=0 处_（分数：2.50）A.不连续B.连续但不可微C.可微且 f“(0)=0 D.可微但 f“(0)0解析：解析 显然 f(0)=0，且 ，所以 f(x)在 x=0 处连续 又由 得 ，根据夹逼定理得 37.设 （分数：2.50）A.极限不存在B.极限存在，但不连续C.连续，但不可导D.可导 解析：解析 因为 ， ，所以 f(x)在 x=0 处连续； ，即 f“ + (0)=0， 38.设 f(x)连续，且 （分数：2.50）A.f(x)在 x=0 处不可导B.f(x)在 x=0 处可导且 f“(0)0C.f(x)在 x=0
16、处取极小值D.f(x)在 x=0 处取极大值 解析：解析 由 得 f(0)=1， 由极限的保号性，存在 0，当 0|x| 时， 39.设 f(x)具有二阶连续导数，且 （分数：2.50）A.x=1 为 f(x)的极大点B.x=1 为 f(x)的极小点C.(1，f(1)为 y=f(x)的拐点 D.x=1 不是 f(x)的极值点，(1，f(1)也不是 y=f(x)的拐点解析：解析 由 及 f(x)二阶连续可导得 f“(1)=0； 因为 ，所以由极限保号性，存在 0，当 0|x-1| 时， ，从而 40.设 f(z)二阶连续可导，f“(0)=0，且 （分数：2.50）A.x=0 为 f(x)的极大点 B.x=0 为 f(x)的极小点C.(0，f(0)为 y=f(x)的拐点D.x=0 不是 f(x)的极值点，(0，f(0)也不是 y=f(x)的拐点解析：解析 因为 ， 所以由极限的保号性，存在 0，当 0|x| 时， ， 注意到 x 3 =o(x)，所以当 0x 时，f“(x)0， 从而 f“(x)在(-，)内单调递减，再由 f“(0)=0 得
