1、考研数学二-274 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 （分数：4.00）A.高阶无穷小B.低阶无穷小C.同阶而非等价无穷小D.等价无穷小2.设 f“(x 0 )=0，f“(x 0 )0，则必存在一个正数 ，使得_（分数：4.00）A.曲线 y=f(x)在(x0-，x0+)上是凹的B.曲线 y=f(x)在(x0-，x0+)上是凸的C.曲线 y=f(x)在(x0-，x0 上单调减少，而在x0，x0+)上单调增加D.曲线 y=f(x)在(x0-，x0 上单调增加，而在x0，x0+)上单调减少3.设 u(x，y)在点 M 0 (x
2、0 ,y 0 )处取极大值，并且 ， 均存在，则_ A 0， 0 B 0， 0 C 0， 0 D 0， （分数：4.00）A.B.C.D.4.以下四个命题，正确的个数为_ 设 f(x)是(-，+)上连续的奇函数，则 必收敛，且 设 f(x)在(-，+)上连续，且 存在，则 必收敛，且 若 与 都发散，则 未必发散。 若 与 都发散，则 （分数：4.00）A.1个B.2个C.3个D.4个5.设 是某二阶常系数非齐次线性微分方程的解，则该方程的通解是_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.6.设 f(x)可导，F(x)=f(x)(1+|sinx|)，则 f(0)=0是 F(x)在 x
3、=0处可导（分数：4.00）A.充分必要条件B.充分条件但非必要条件C.必要条件但非充分条件D.既非充分又非必要条件7.设 A，B，C 是 n阶矩阵，并满足 ABAC=E，则下列结论中不正确的是_ A.ATBTATCT=E B.BAC=CAB C.BA1C=E D.ACAB=CABA（分数：4.00）A.B.C.D.8.设矩阵 ，则下列矩阵中与矩阵 A等价、合同但不相似的是_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 y=f(x)在1，3上单调，导函数连续，反函数为 x=g(y)，且 f(1)=1,f(3)=2， ，则 （分数：4.00
4、）10.数列极限 （分数：4.00）11.设 f(x，y)可微,f(x，x 2 )=1且 （分数：4.00）12.与曲线(y-2) 2 =x相切，且与曲线在点(1，3)处的切线垂直的直线方程为 1。 （分数：4.00）13.曲线 （分数：4.00）14.已知 ,A * 是 A的伴随矩阵，则 （分数：4.00）三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.求函数 f(x，y)=e 2x (x+y 2 +2y)的极值。 （分数：10.00）_16.计算二重积分 （分数：10.00）_设曲线 L的参数方程为 x=(t)=t-sint，y=(t)=1-cost(0t2)。（分数：11.00）(1).
5、求证：由 L的参数方程可以确定连续函数 y=y(x)，并求它的定义域；（分数：5.50）_(2).求曲线 L与 x轴所围图形绕 y轴旋转一周所成旋转体的体积 V。（分数：5.50）_17.求微分方程 （分数：11.00）_18.设 a 1 =2， ，n=1，2，求 （分数：10.00）_19.证明不等式 （分数：10.00）_20.设 f(x)在0，1上连续，在(0，1)上可导，且 ，其中 k1。证明：存在 (0，1)使 （分数：10.00）_21.当 a，b 取何值时，方程组 （分数：11.00）_22.已知 1 (1，2，1) T ， 2 =(1，1，a) T 分别是三阶实对称不可逆矩阵
6、A的属于特征值 1 =1与 2 =-1的特征向量。若 =(8，0，10) T ，试求 A k 。 （分数：11.00）_考研数学二-274 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 （分数：4.00）A.高阶无穷小B.低阶无穷小 C.同阶而非等价无穷小D.等价无穷小解析：考点 本题主要考查 型极限。运用洛必达法则和等价无穷小量替换即可。 解析 由洛必达法则和等价无穷小替换得 其中，x0 时，ln(1+sin 2 x 2 )x 4 ， 2.设 f“(x 0 )=0，f“(x 0 )0，则必存在一个正数 ，使得_（分数：4.00）A.曲线
7、 y=f(x)在(x0-，x0+)上是凹的B.曲线 y=f(x)在(x0-，x0+)上是凸的C.曲线 y=f(x)在(x0-，x0 上单调减少，而在x0，x0+)上单调增加 D.曲线 y=f(x)在(x0-，x0 上单调增加，而在x0，x0+)上单调减少解析：考点 本题主要考查函数的单调性和曲线凹凸性的定义。一阶导数可以判断函数单调性，二阶导数可以判断函数凹凸性。 解析 已知 由极限的不等式性质可知，存在 0，当 x(x 0 -，x 0 +)且 xx 0 时， 3.设 u(x，y)在点 M 0 (x 0 ,y 0 )处取极大值，并且 ， 均存在，则_ A 0， 0 B 0， 0 C 0， 0
8、D 0， （分数：4.00）A.B.C. D.解析：考点 本题考查偏导数的性质。偏导数实质上是一元函数的导数，把二元函数的极值转化为一元函数的极值，由一元函数取极值的必要条件可得相应结论。 解析 令 f(x)=u(x，y 0 )，由已知 x=x 0 是 f(x)的极大值点，故有 同理，令 g(y)=u(x 0 ，y)，且 y=y 0 是 g(y)的极大值点，故有 4.以下四个命题，正确的个数为_ 设 f(x)是(-，+)上连续的奇函数，则 必收敛，且 设 f(x)在(-，+)上连续，且 存在，则 必收敛，且 若 与 都发散，则 未必发散。 若 与 都发散，则 （分数：4.00）A.1个 B.2
9、个C.3个D.4个解析：考点 本题主要考查反常积分的敛散性，反常积分具有定积分的性质。 解析 收敛 存在常数 a，使 和 都收敛，此时 设 f(x)=x，则 f(x)是(-，+)上连续的奇函数，且 。但是 故 发散，这表明命题，都不是真命题。 设 f(x)=x，g(x)=-x，由上面讨论可知 与 都发散，但 5.设 是某二阶常系数非齐次线性微分方程的解，则该方程的通解是_ A B C D （分数：4.00）A. B.C.D.解析：考点 本题考查微分方程解的结构定理，非齐次线性方程的通解是其对应的齐次方程的通解与该方程任一特解的和。 解析 由解的结构定理，知 y 1 -y 3 =e -x 是对应
10、的齐次方程的解。 也是对应的齐次方程的解，从而 是齐次方程的解，且 与 线性无关，即对应的齐次方程的通解为 6.设 f(x)可导，F(x)=f(x)(1+|sinx|)，则 f(0)=0是 F(x)在 x=0处可导（分数：4.00）A.充分必要条件 B.充分条件但非必要条件C.必要条件但非充分条件D.既非充分又非必要条件解析：考点 本题考查分段函数的可导性，需在分段点处分别讨论左、右导数。 解析 充分性： 因为 f(0)=0，所以 即 F(x)在 x=0处可导。 必要性： 设 F(x)=|f(x)(1+|sinx|)在 x=0处可导。因 f(x)可导，所以 f(x)|sinx|在 x=0处可导
11、，由此可知 7.设 A，B，C 是 n阶矩阵，并满足 ABAC=E，则下列结论中不正确的是_ A.ATBTATCT=E B.BAC=CAB C.BA1C=E D.ACAB=CABA（分数：4.00）A.B.C. D.解析：考点 本题主要考查矩阵乘法没有交换律、消去律及有零因子等法则。 解析 由 ABAC=E知矩阵 A，B，C 均可逆，那么由 从而(CABA) T =E T ，即 A T B T A T C T =E，故选项 A正确。 由 ABAC=E知 A -1 =BAC，由 CABA=E知 A -1 =CAB，从而 BAC=CAB，故选项 B正确。 由 8.设矩阵 ，则下列矩阵中与矩阵 A等
12、价、合同但不相似的是_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：考点 本题考查矩阵等价、合同及相似的联系与区别，分别根据相关定义进行判断。 解析 由 可知，矩阵 A的特征值是 3，-3，0，故 r(A)=2，二次型 x T Ax的正、负惯性指数均为 1。 选项 A中的矩阵的秩为 1，不可能与矩阵 A等价；选项 B中矩阵的特征值为 1，4，0，正惯性指数为 2，负惯性指数为 0，与矩阵 A既不合同也不相似，但等价(因为秩相等)；选项 C中矩阵的特征值为 3，-3，0，与矩阵 A不仅等价、合同，而且也是相似的，不符合题意；对于选项 D，记其矩阵为 D，则有 二、填空题(总题数：6
13、，分数：24.00)9.设 y=f(x)在1，3上单调，导函数连续，反函数为 x=g(y)，且 f(1)=1,f(3)=2， ，则 （分数：4.00）解析： 考点 本题考查反函数的定积分。利用反函数与原函数的关系进行变量替换，然后分部积分即可。 解析 由 y=f(x)且 f(1)=1,f(3)=2可知， 10.数列极限 （分数：4.00）解析： 考点 本题考查数列的极限。先将数列极限转化成函数极限，再根据导数的定义即可求解。解析 11.设 f(x，y)可微,f(x，x 2 )=1且 （分数：4.00）解析： 考点 本题考查多元函数及复合函数的求导法则。按照多元函数求偏导和复合函数求导法则一一求
14、导即可。 解析 f(x，x 2 )是二元函数 f(x，y)与一元函数 x=x，y=x 2 复合而成的一元函数，由 f(x，x 2 )=1及复合函数求导法则得 因此 12.与曲线(y-2) 2 =x相切，且与曲线在点(1，3)处的切线垂直的直线方程为 1。 （分数：4.00）解析： 考点 此题考查的是曲线的切线方程。由题意可知，该切线与曲线在点(1，3)处的法线平行。 解析 在曲线方程两边对 x求导得 2(y-2)y“=1，即 。 当 y=3时， ，即曲线在(1，3)处的法线斜率为-2，由 得 。所以切点为 ，切线方程为 13.曲线 （分数：4.00）解析：x=0 和 考点 本题考查渐近线的求解
15、，需熟练掌握三类渐近线(垂直渐近线、水平渐近线及斜渐近线)的定义。 解析 由于曲线 只有间断点 x=0，于是有 因此有垂直渐近线 x=0。 又因为 所以有斜渐近线 此外， 14.已知 ,A * 是 A的伴随矩阵，则 （分数：4.00）解析： 考点 本题考查伴随矩阵和逆矩阵的求解。需熟记公式 AA-1=E，AA *=A*A=|A|E。，由 AA * =A * A=|A|E可知 故 三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.求函数 f(x，y)=e 2x (x+y 2 +2y)的极值。 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解方程组 求得驻点 ，又因为 f“xx(x，y)=4(x+y 2
16、+2y+1)e2x，f“ xy(x，y)=4(y+1)e 2x,f“yy(x，y)=2e 2x，所以 由 A0 且 AC-B 2 =4e 2 0，可知在点 处，函数取得极小值 16.计算二重积分 （分数：10.00）_正确答案：()解析：积分区域 D的图形如图所示： 积分区域 ，则 设曲线 L的参数方程为 x=(t)=t-sint，y=(t)=1-cost(0t2)。（分数：11.00）(1).求证：由 L的参数方程可以确定连续函数 y=y(x)，并求它的定义域；（分数：5.50）_正确答案：()解析：证明：由已知可得 “(t)=1-cost0，(0)=0，(2)=2，则 (t)在0，2上单调
17、增加，且值域为(0)，(2)=0，2。 由 x=(t)=t-sint 在0，2上连续可知其在0，2上存在连续的反函数 t= -1 (x)，且定义域为0，2。所以 y(x)= -1 (x)在0，2上连续。(2).求曲线 L与 x轴所围图形绕 y轴旋转一周所成旋转体的体积 V。（分数：5.50）_正确答案：()解析：由旋转体的体积公式(绕 y轴旋转)，有 令 t=2-s，则 上式中， 由周期函数与奇函数的积分性质直接得出。 用到公式 考点 本题主要考查由参数方程所确定的函数以及旋转体体积的计算。曲线 f(x)绕 x轴旋转一周的旋转体体积为 ；绕 y轴旋转一周的旋转体体积为 17.求微分方程 （分数
18、：11.00）_正确答案：()解析：令 p=y“，测 y“=p“，故有 ，两边积分 得 即 由 P(0)=y“(0)=0可知，C 1 =1，故 上式分子有理化，得 。故 所以 由 y(0)=0得 ，因此特解为 18.设 a 1 =2， ，n=1，2，求 （分数：10.00）_正确答案：()解析：显然 a n 0(n=1，2，)，由均值不等式得 又 ，因此a n 单调减少且有下界，所以 存在。 在等式 两边取极限(n)得 。 考点 根据数列的单调有界定理来证明极限的存在性，然后在等式两边同时取极限即可求出 19.证明不等式 （分数：10.00）_正确答案：()解析：令 ，则 令 f“(x)0 得
19、 x0，故当 x0时，f(x)单调递增。所以 x=0是 f(x)的最小值点，且 f(0)=0。于是 f(x)0，即 20.设 f(x)在0，1上连续，在(0，1)上可导，且 ，其中 k1。证明：存在 (0，1)使 （分数：10.00）_正确答案：()解析：令 ，则 g(0)=0， ，由拉格朗日中值定理可知，存在 ，使得 故 kf(1)=ke 1- f()，即 f(1)=e 1- f()。 再令 (x)=xe 1-x f(x)，则 (0)=0，(1)=f1)，所以 (1)=f(1)=()，由罗尔定理可知，存在 ，使得 “()=0，即 所以 21.当 a，b 取何值时，方程组 （分数：11.00）
20、_正确答案：()解析：将增广矩阵用初等行变换化为阶梯形 当 a=-1，b36 时，r(A)=3， ，方程组无解。 当 a-1 且 a6 时， ，方程组有唯一解，其解为 当 a=-1，b=36 时， ，方程组有无穷多解，此时方程组化为 令 x 4 =0，有 x 3 =0，x 2 =-12，x 1 =6，即特解是 =(6，-12，0，0) T 。 令 x 4 =1，解齐次方程组有 x 3 =0，x 2 =5，x 1 =-2，即 =(-2，5，0，1) T 是基础解系。 所以通解为 +k=(6，-12，0，0) T +k(-2，5，0，1) T ，k 是任意常数。 当 a=6时， ，方程组有无穷多解
21、，此时方程组化为 令 x 3 =0，有特解 令 x 3 =1，齐次方程组基础解系 =(-2，1，1，0) T 。所以通解为 22.已知 1 (1，2，1) T ， 2 =(1，1，a) T 分别是三阶实对称不可逆矩阵 A的属于特征值 1 =1与 2 =-1的特征向量。若 =(8，0，10) T ，试求 A k 。 （分数：11.00）_正确答案：()解析：由 A不可逆可知，A 有特征值 3 =0，设特征值 0对应的特征向量为 3 =(x 1 ，x 2 ，x 3 ) T 。注意到 A为实对称矩阵，其不同特征值对应的特征向量必正交，故由 可得 解得 a=-3，x 1 =7x 3 ，x 2 =-4x 3 。 令 3 =(7，-4，1) T ，将 写成 1 ， 2 ， 3 的线性组合，由初等行变换 可得 =3 1-2 2+ 3。由 得到
