1、考研数学二-198 及答案解析(总分：146.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 ，则_ABa=0，b=-2C （分数：4.00）A.B.C.D.2.设 （分数：4.00）A.B.C.D.3.有一椭圆形薄板，长半轴为 a，短半轴为 b，薄板垂直立于液体中，而其短轴与液面相齐，液体的比重为 r，则液体对薄板的侧压力为_A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.4.下列广义积分发散的是_ABCD （分数：4.00）A.B.C.D.5.函数 u=sinxsinysinz 满足 （分数：4.00）A.B.C.D.6.y“+2y-3y=e2x的特解为_A
2、B （分数：4.00）A.B.C.D.7.已知三阶矩阵 A 的特征值为 1，2，-1，则矩阵 B=(2A*)-1(其中 A*为 A 的伴随矩阵)的特征值为_A-1，-2，1BCD （分数：4.00）A.B.C.D.8.设 A= 1， 2， 3， 4，且 1=1，1，1，1 T， 2=0，1，0，1 T是齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系，则_A 1， 3线性无关 B 2， 4线性无关C 4能被 2， 3线性表示 D 1， 2， 3线性无关（分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）填空项 1:_10.设 y=f(x+y)，其中 f 具有
3、二阶导数，且其一阶导数不等于 1，则 （分数：4.00）填空项 1:_11.已知函数（分数：4.00）填空项 1:_12.设 f(lnx)=1+x，则 f(x)=_（分数：4.00）填空项 1:_13.积分 （分数：4.00）填空项 1:_14.设 A 是三阶可逆矩阵，如果 A-1的特征值是 1，2，3，则|A|的代数余子式 A11+A22+A33=_（分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：90.00)15.设 （分数：10.00）_16.设 xOy 平面的第一象限中有曲线 ：y=y(x)，过点 A(0， )，y(x)0又 M(x，y)为 上任意一点，满足：弧段 的长度与
4、点 M 处 的切线在 x 轴上的截距之差为 （分数：10.00）_17.已知 f(x)=arctan(x-1)2，且 f(0)=0，求 （分数：10.00）_18.已知 f(x)在 x=0 点可导且 f(0)=0，f(0)=1，试求（分数：10.00）_19.设 f(x)在a，b(ab)上连续，在(a，b)内可导求证：在(a，b)内存在点 ，使得（分数：10.00）_20.求微分方程 2x3y=y(2x2-y2)的通解（分数：10.00）_21.计算二重积分（分数：10.00）_22.设 1， 2， 3， 4， 为四维列向量，A= 1， 2， 3， 4，已知 Ax= 的通解为X=1，-1，2，
5、1 T+k11，2，0，1 T+k2-1，1，1，0 T， 其中1，2，0，1 T，-1，1，1，0 T为对应齐次方程组的基础解系，k 1，k 2为任意常数令B= 1， 2， 3，试求 BY= 的通解（分数：10.00）_23.给定矩阵其行向量都是齐次线性方程组()：（分数：10.00）_考研数学二-198 答案解析(总分：146.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 ，则_ABa=0，b=-2C （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 利用等价无穷小代换及分项求其极限原式(用到等价无穷小代换 x-ln(1+x)x 2/2(x0)当 a-1=0
6、时，原式 ，即 ，故 a=1，2.设 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 先考察在 x=0 处 f(x)是否可导，若可导，进一步讨论 f(x)在 x=0 处的连续性否则，只考察连续性即可当 x0 时，当 x0 时，故3.有一椭圆形薄板，长半轴为 a，短半轴为 b，薄板垂直立于液体中，而其短轴与液面相齐，液体的比重为 r，则液体对薄板的侧压力为_A B C D （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 先写出侧压力微元(元素)，然后在0，a上对其积分即可取坐标系如图所示椭圆方程为在小区间x，x+dx上对应的小横条薄板，液体对应的压力为于是液体对薄板的侧压力为4.下列广义积分发散
7、的是_ABCD （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 四个反常积分容易使人想到用下述结论判别：若 a0，则 与 当 p1 时收敛，当 p1 时发散但要注意上面的下限 a0而现在 a 等于 0，故不能用上述结论判断，而只能用定义判别而5.函数 u=sinxsinysinz 满足 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 写出拉格朗日函数，分别对各个变量求出偏导数，联立解得条件极值点仅(D)入选设则由式与式得到tany=tanx，由式与式得tanz=tany因而 tanx=tany=tanz，而 ，故x=y=z因而 为条件极值点于是所求的条件极值为6.y“+2y-3y=e2x的特解
8、为_AB （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 求出特征根确定特解形式，代入原方程即可得到正确选项由 r2+2r-3=(r+3)(r-1)=0 易求得其特征根为 1=-3， 2=1由于 =2 不是特征根，可设特解为 y*=Ae2x，代入原方程得 ，即特解为7.已知三阶矩阵 A 的特征值为 1，2，-1，则矩阵 B=(2A*)-1(其中 A*为 A 的伴随矩阵)的特征值为_A-1，-2，1BCD （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 先找出矩阵 B 与 A 之间的关系，然后求出其特征值之间的关系而 |A|=12(-1)=-2，即 ，故 B 的三个特征值分别为8.设 A= 1，
9、 2， 3， 4，且 1=1，1，1，1 T， 2=0，1，0，1 T是齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系，则_A 1， 3线性无关 B 2， 4线性无关C 4能被 2， 3线性表示 D 1， 2， 3线性无关（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 将 1， 2代入 Ax=0 得到 1， 2， 3， 4之间的线性关系，再利用 1， 2为 Ax=0的基础解系，得到秩(A)=2利用这些便可判别选项的正确性因为 1， 2为齐次线方程组 Ax=0 的基础解系，可知基础解系含有 n-r=2 个向量，其中 n=4 为齐次方程组未知量的个数，r 为系数矩阵 A 的秩，所以r=n-2=2因此 A=
10、1， 2， 3， 4中任意 3 个向量都线性相关，故(D)不正确由 A 2=0 得 2+ 4=0可见 2， 4线性相关，故(B)不正确再由 2+ 4=0 可知， 4可以被 2线性表示，则 4可被 2， 3线性表示，故(C)正确由 A 1=0，得 1+ 2+ 3+ 4=0又由 A 2=0 得 2+ 4=0，所以 1+ 3=0于是 1， 3线性相关，故(A)不正确仅(C)入选二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 对于函数差的函数为求其极限先用提公因式等法将其化为乘积形式，再用等价无穷小代换求之原式10.设 y=f(x+y)，其
11、中 f 具有二阶导数，且其一阶导数不等于 1，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 利用复合函数求导法则求之11.已知函数（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：A=1，B=-1）解析：解析 利用函数在一点连续的定义及函数在一点可导的必要条件，可建立 A 与 B 的两个方程联立解之，即可求得 A 与 B 的值立 A 与 B 的两个方程联立解之，即可求得 A 与 B 的值因连续是可导的必要条件，所以f(0-0)=f(0+0)=f(0)，而f(0-0)=2A， f(0+0)=-2B， f(0)=-2B，故 A=-B又由 ，12.设 f(lnx)=1+x，则 f(x
12、)=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：xe x+c）解析：解析 先作变量代换：lnx=t，再求不定积分求解时要注意，结果中的任意常数 c 不能丢掉令 1nx=t，则 x=et，于是 f(t)=1+et又13.积分 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 可用调换积分次序法求之积分区域 D 如图所示改换原积分的积分次序得到原式=14.设 A 是三阶可逆矩阵，如果 A-1的特征值是 1，2，3，则|A|的代数余子式 A11+A22+A33=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 注意到 A11+A22+A33为三阶伴随矩阵 A*的主对角线
13、上的元素之和，它就是 A*的迹，它等于 A*的三个特征值之和，因而只需求出 A*的三个特征值即可因为 A-1的特征值为 1，2，3，所以|A-1|=123=6，从而 又则 ，故 A*的特征值为 故三、解答题(总题数：9，分数：90.00)15.设 （分数：10.00）_正确答案：(先将 F(x)转化为变限积分，再用变限积分的求导公式求出 F(x)先将 F(x)转化为变限积分，为此令 S=xt，则)解析：16.设 xOy 平面的第一象限中有曲线 ：y=y(x)，过点 A(0， )，y(x)0又 M(x，y)为 上任意一点，满足：弧段 的长度与点 M 处 的切线在 x 轴上的截距之差为 （分数：1
14、0.00）_正确答案：(不显含 x 的二阶方程 y“=f(y，y)的解法是作变量代换 ，得到 ，代入方程即可降阶求解()先求出 在点 M(x，y)处的切线方程Y-y(x)=y(x)(X-x)，其中(X，Y)是切线上点的坐标在切线方程中令 Y=0，得 x 轴上截距又弧段 的长度为 由题意得这是积分、微分方程两边对 x 求导，可化为二阶微分方程：即又由条件及式，令 x=0，得，y(0)=1因此初值问题为问题与是等价的()下面求解这是不显含 x 的二阶方程，作变换 p=y，并以 y 为自变量得分离变量得到两边积分得于是由 时 p=1，得 c=0于是即将上面两式相减，得再积分得 将坐标点 代入式求得)
15、解析：17.已知 f(x)=arctan(x-1)2，且 f(0)=0，求 （分数：10.00）_正确答案：(已知被积函数的导数或被积函数中含某函数的导数都是用分部积分法计算积分的两种典型的模式分部积分两次得)解析：18.已知 f(x)在 x=0 点可导且 f(0)=0，f(0)=1，试求（分数：10.00）_正确答案：(积分区域为圆域，被积函数为 f(x2+y2)类型，这是使用极坐标计算的最好条件为求极限，先将二重积分化为上限为 t 的变限积分因为故 )解析：19.设 f(x)在a，b(ab)上连续，在(a，b)内可导求证：在(a，b)内存在点 ，使得（分数：10.00）_正确答案：(将待证
16、等式改写为于是应作辅助函数 F(x)=xe-x对 F(x)在a，b上使用拉格朗日中值定理，即可证明待证等式证 将待证等式改写为作辅助函数 F(x)=xe-x，则 F(x)在a，b上连续，(a，b)内可导，且F(x)=e-x-xe-x由拉格朗日中值定理知，存在一点 ，使即亦即 )解析：20.求微分方程 2x3y=y(2x2-y2)的通解（分数：10.00）_正确答案：(原方程可化齐次微分方程求解原方程可化为这是齐次方程令 ，于是代入上述方程，有即分离变量，并两边积分得到将 代回上式并整理，得原方程的通解)解析：21.计算二重积分（分数：10.00）_正确答案：(先用曲线 x2+y2-2x=0 将
17、区域 D 分成两部分，然后再分别计算为去掉被积函数的绝对值符号，先找出使 x2+y2-2x=0 的点，而 x2+y2-2x=0 是一个圆，以其圆周为边界线，将 D 分成两部分：D1：2xx 2+y24，D 2：x 2+y22x故)解析：22.设 1， 2， 3， 4， 为四维列向量，A= 1， 2， 3， 4，已知 Ax= 的通解为X=1，-1，2，1 T+k11，2，0，1 T+k2-1，1，1，0 T， 其中1，2，0，1 T，-1，1，1，0 T为对应齐次方程组的基础解系，k 1，k 2为任意常数令B= 1， 2， 3，试求 BY= 的通解（分数：10.00）_正确答案：(为求 BY=
18、的特解，只需找出 用 B 的列向量 1， 2， 3的线性表示式；为求 BY=0 的基础解系，只需找出 B 的列向量之间等于 0 的线性组合表示式如何求得向量之间的这些线性表示式?现有的条件1，-1，2，1 T为 Ax= 的一特解，这就告诉我们 B 可用 A 的一个列向量组线性表示又已知Ax=0 的两个解1，2，0，1 T，-1，1，1，0 T，这就告诉我们 A 的列向量之间的两个等于 0 的线性组合有了这些条件，刚才提出的问题就可以解决由式知，1，2，0，1 T，-1，1，1，0 T为 Ax=0 的基础解系，1，-1，2，1 T为 Ax= 的一特解，故n-秩(A)=4-秩(A)=2， 即 秩(
19、A)=2，且有= 1- 2+2 3+ 4， 1+2 2+0 3+ 4=0，- 1+ 2+ 3+0 4=0于是有 3= 1- 2， 4=- 1-2 2，=2 1-5 2+0 3可见 1， 2线性无关，秩(B)=2，且2，-5，0 T为 By= 的特解又由 1- 2- 3=0 知，1，-1，-1 T为 By=0 的非零解，可作为基础解系故 By= 的通解为y=2，5，0 T+k1，-1，-1 T，其中 k 为任意常数)解析：23.给定矩阵其行向量都是齐次线性方程组()：（分数：10.00）_正确答案：(先用观察法找出方程组()所包含的独立方程的个数这样易求出其系数矩阵 A 的秩(当然，也可用初等行变换求之)事实上，有2+=，3-=因而方程组()中的方程与是独立方程组，其系数矩阵 A 的秩为 2又 n=5，故方程组()的一个基础解系只含 5-2=3 个解向量因而只需找出 B 中 3 个线性无关的行向量即可令 B 中的第 1，2，4 个行向量分别为 1=1，-2，1，0，0 T， 2=1，-2，0，1，0 T， 4=5，-6，0，0，1 T因 )解析：
