1、考研数学二-194 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.函数 （分数：4.00）A.B.C.D.2.如图，曲线方程为 y=f(x)，函数 f(x)在区间0，a上有连续导数，则定积分 C(0，f(a) 等于_（分数：4.00）A.B.C.D.3.设 an0(n=1，2，)，S n=a1+a2+an则数列 Sn)有界是数列 an)收敛的_A充分必要条件 B充分非必要条件C必要非充分条件 D既非充分也非必要条件（分数：4.00）A.B.C.D.4.设 m，n 均是正整数，则反常积分 （分数：4.00）A.B.C.D.5.微分方程 y“+
2、y=x2+1+sinx 的特解形式可设为_Ay *=ax2+bx+c+x(Asinx+Bcosx)By *=x(ax2+bx+c+Asinx+Bcosx)Cy *=ax2+bx+c+AsinxDy *=ax2+bx+c+Acosx（分数：4.00）A.B.C.D.6.设函数 f(x，y)连续，则二重积分 等于_A BC D （分数：4.00）A.B.C.D.7.设 （分数：4.00）A.B.C.D.8.设 A，B，C 均为 n 阶矩阵，若 AB=C，且 B 可逆，则_A矩阵 C 的行向量组与矩阵 A 的行向量组等价 B矩阵 C 的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价 C矩阵 C 的行向量组与矩阵
3、 B 的行向量组等价 D矩阵 C 的列向量组与矩阵 B 的列向量组等价（分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.曲线 （分数：4.00）填空项 1:_10.已知 （分数：4.00）填空项 1:_11.曲线 (0x （分数：4.00）填空项 1:_12. （分数：4.00）填空项 1:_13.设曲线的极坐标方程为 p=ea (a0)，则该曲线上相应于 从 0 变到 2 的一段弧与极轴所围成的图形的面积为 1（分数：4.00）填空项 1:_14.设 a1，a 2，a 3均为 3 维列向量，记矩阵A=(a1，a 2，a 3)，B=(a 1+a2+a3，a 1+2
4、a2+4a3，a 1+3a2+9a3)，如果|A|=1，那么|B|=_（分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：94.00)已知函数 ，记 （分数：11.00）(1).求 a 的值；（分数：5.50）_(2).若当 x0 时，f(x)=a 是 xk的同阶无穷小，求 k（分数：5.50）_15.设 z=f(x+y，x-y，xy)，其中 f 具有 2 阶连续偏导数，求 dz 与 （分数：10.00）_设 D 是位于曲线 （分数：11.00）(1).求区域 D 绕 x 轴旋转一周所成旋转体的体积 V(a)；（分数：5.50）_(2).当 a 为何值时，V(a)最小?并求此最小值（
5、分数：5.50）_16.求函数 u=x2+y2+z2在约束条件 z=x2+y2和 x+y+z=4 下的最大和最小值（分数：10.00）_设函数 f(x)=lnx+ （分数：10.00）(1).求 f(x)的最小值；（分数：5.00）_(2).设数列x n满足 1nxn+*1，证明*存在并求此极限（分数：5.00）_17.某种飞机在机场降落时，为了减小滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大阻力，使飞机迅速减速并停下来现有一质量为 9000kg 的飞机，着陆时的水平速度为 700km/h经测试，减速伞打开后，飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为 k=6.0106)问从着陆点算
6、起，飞机滑行的最长距离是多少?(注：kg表示千克，km/h 表示千米/小时)（分数：10.00）_18.设函数 f(x)在闭区间0，1上连续，在开区间(0，1)内可导，且 f(0)=0， 证明：存在(0， )，( （分数：10.00）_19.设 ， （分数：11.00）_设 3 阶对称矩阵 A 的特征值 1=1， 2=2， 3=-2，a 1=(1，-1，1) T是 A 的属于 1的一个特征向量，记B=A5-4A3+E，其中 E 为 3 阶单位矩阵（分数：11.00）(1).验证 a1是矩阵 B 的特征向量，并求 B 的全部特征值与特征向量；（分数：5.50）_(2).求矩阵 B（分数：5.50
7、）_考研数学二-194 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.函数 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 首先令 sinx=0 可以得到当 x=0，1，2，3，n 时，函数有可能存在间断点，再判断这些点是否为可去间断点，可以分别对它们进行取极限看极限是否存在，若极限存在则为可去间断点：，2.如图，曲线方程为 y=f(x)，函数 f(x)在区间0，a上有连续导数，则定积分 C(0，f(a) 等于_（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 本题可以采用分部积分法进行化简，然后根据定积分的几何意义求出原定积分的值根据定积分的
8、几何意义得 表示曲边梯形 ABOD 的面积，af(a)表示四边形 ABOC 的面积，所以3.设 an0(n=1，2，)，S n=a1+a2+an则数列 Sn)有界是数列 an)收敛的_A充分必要条件 B充分非必要条件C必要非充分条件 D既非充分也非必要条件（分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 本题重点考查数列收敛的基本概念由 an0，数列 Sn=a1+a2+an，可以推知数列S n为单调递增数列因此若数列S n有界，则 limSn存在，故：4.设 m，n 均是正整数，则反常积分 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 由题设得 x=0，x=1 为瑕点，取插入分点 ，利用瑕积分
9、收敛准则判断两个无界函数反常积分的收敛性，设当 I1，I 2均收敛时，瑕积分 I 才收敛，问题转化为证明 I1，I 2的收敛性设 ，当 x0+，利用洛必达法则有所以有又由已知得 m，n 均为正整数，所以有 ，于是可知 I1收敛显然存在 0t1，使得 ，可知 I2收敛故对于任意正整数 m，n，5.微分方程 y“+y=x2+1+sinx 的特解形式可设为_Ay *=ax2+bx+c+x(Asinx+Bcosx)By *=x(ax2+bx+c+Asinx+Bcosx)Cy *=ax2+bx+c+AsinxDy *=ax2+bx+c+Acosx（分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 根据题干中
10、二阶方程的形式可以写出它的特征方程是 2+1=0，则它的特征根为i，根据原微分方程右端非齐次项的特点，可以运用线性方程解的叠加原理分别求解方程 y“+y=x2+1 和方程y“+y=sinx前一个方程有特解 y*=ax2+bx+c，第二个方程有特解 y*=x(Asinx+Bcosx)，所以有原方程的特解 y*=ax2+bx+c+x(Asinx+Bcosx)6.设函数 f(x，y)连续，则二重积分 等于_A BC D （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 更换二重积分的积分次序，首先要在图形中描绘出积分区域的范围，由题设知，积分区域D 为如图中阴影部分所示，分析得图中最高点的纵坐标为 y
11、=1，最低点的纵坐标为 y=0，而左边界为方程x=-arcsiny，右边边界为 x=，所以积分区域 D 还可以表示为所以交换积分次序的结果为 正确答案为 B7.设 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 三个三维向量组线性相关 向量组的秩3，则|ax，a y，a z|=0显然8.设 A，B，C 均为 n 阶矩阵，若 AB=C，且 B 可逆，则_A矩阵 C 的行向量组与矩阵 A 的行向量组等价 B矩阵 C 的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价 C矩阵 C 的行向量组与矩阵 B 的行向量组等价 D矩阵 C 的列向量组与矩阵 B 的列向量组等价（分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析
12、将矩阵 A、C 按列分块，A=(a 1，a n)，C=( 1， n，)由于 AB=C，故(a 1，a n)二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.曲线 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 由求曲线的水平渐近线的公式知，所以水平渐近线方程为10.已知 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：-2）解析：解析 由函数的奇偶性，可将反常积分化简为：当 k0 时，反常积分发散，当 k0 时，11.曲线 (0x （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：In(1+ ）解析：解析 利用弧长积分公式化成定积分进行计算12. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答
13、案： ）解析：解析 其中，故 原式=13.设曲线的极坐标方程为 p=ea (a0)，则该曲线上相应于 从 0 变到 2 的一段弧与极轴所围成的图形的面积为 1（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析 本题可以直接利用极坐标系下平面图形的面积公式计算 14.设 a1，a 2，a 3均为 3 维列向量，记矩阵A=(a1，a 2，a 3)，B=(a 1+a2+a3，a 1+2a2+4a3，a 1+3a2+9a3)，如果|A|=1，那么|B|=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：2）解析：解析 由题设，有B=(a1+a2+a3，a 1+2a2+4a3，a 1+3a2)+
14、9a3=(a1，a 2，a 3) ，于是有|B|=|A|三、解答题(总题数：9，分数：94.00)已知函数 ，记 （分数：11.00）(1).求 a 的值；（分数：5.50）_正确答案：(I) ，当 x0 时，属于 型，可直接使用洛必达法则故)解析：(2).若当 x0 时，f(x)=a 是 xk的同阶无穷小，求 k（分数：5.50）_正确答案：(方法一：若当 x0 时，f(x)-a 与 xk是同阶无穷小，则 为常数又因为当 x0 时，1-cosx x2，所以 k+1=2，即 k=1方法二：利用泰勒公式当 x0 时，有 sinx=x- x3+o(x3)，故由方法一知)解析：15.设 z=f(x+
15、y，x-y，xy)，其中 f 具有 2 阶连续偏导数，求 dz 与 （分数：10.00）_正确答案：(先求全微分 dzdz=f1(dx+dy)+f2(dx-dy)+f3(ydx+xdy)=(f1+f2+yf3)dx+(f1-f2+xf3)dy由全微分的性质可得再将 对 y 求偏导数得又 ，所以)解析：设 D 是位于曲线 （分数：11.00）(1).求区域 D 绕 x 轴旋转一周所成旋转体的体积 V(a)；（分数：5.50）_正确答案：(由旋转体体积公式得)解析：(2).当 a 为何值时，V(a)最小?并求此最小值（分数：5.50）_正确答案：(对 V(a)求导，进行分类讨论)解析：16.求函数
16、 u=x2+y2+z2在约束条件 z=x2+y2和 x+y+z=4 下的最大和最小值（分数：10.00）_正确答案：(本题应该用拉格朗日乘数法求解，有两个约束条件就要用到两个参数 、设F(x，y，z，)=x 2+y2+z2+(x 2+y2-z)+(x+y+z-4)求解方程组)解析：设函数 f(x)=lnx+ （分数：10.00）(1).求 f(x)的最小值；（分数：5.00）_正确答案：(I)由题意，f(x)=1nx+ ，x0则 )解析：(2).设数列x n满足 1nxn+*1，证明*存在并求此极限（分数：5.00）_正确答案：(知 1nxn+ 1，又由已知 1nxn+ 1，可知 ，即 xn+
17、1x n，故数列x n单调递增又由 1nxn+ 1，故 lnxn1 0x ne，所以数列x n有上界所以 存在，设为 A在 lnxn+ 1 两边取极限得 1nA+ 1在 lnxn+ 1 两边取极限得 lnA 十 1所以 lnA+ =1 A=1即 )解析：17.某种飞机在机场降落时，为了减小滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大阻力，使飞机迅速减速并停下来现有一质量为 9000kg 的飞机，着陆时的水平速度为 700km/h经测试，减速伞打开后，飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为 k=6.0106)问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少?(注：kg表示千克，km/h 表
18、示千米/小时)（分数：10.00）_正确答案：(这是一道求解一阶线性齐次方程的典型应用问题，解决这类问题首先应该进行数学建模，将抽象概念转化为熟悉的数学模型假设飞机接触跑道时刻为 t=0，在 t 时刻飞机的滑行距离为 z(t)，此时刻的速度为 v(t)=x(t)，根据题干中的已知，飞机质量为 m=9000kg，飞机着陆时的水平速度 v(0)=x(0)=v0=700km/h，根据力学知识有 t 时刻飞机所受的阻力为-kv(t)，又根据牛顿第二定律有 接下来有三种解题方法：方法一：根据牛顿第二定律以及初始条件建立的微分方程是这是简单的一阶线性齐次方程，得所以飞机滑行的最长距离为方法二：我们可以先求
19、出 x=x(v)，再来求解 ，由于 ，所以原微分方程可以改写成 ，即，相应的初值 ，易求得此初值问题的解为 ，令 v=0 得飞机滑行的最长距离为方法三：首先求解 x=x(t)，然后再求 ，由于 ， ，原方程可以改写成 ，其特征方程，特征根为 0 和 ，于是通解为 ，根据初始条件 =0 以及 可以推得 ，所以有 ， )解析：18.设函数 f(x)在闭区间0，1上连续，在开区间(0，1)内可导，且 f(0)=0， 证明：存在(0， )，( （分数：10.00）_正确答案：(要证明结论 f()+f ()=+ 2成立，即要证f()- 2= 2-f()成立可设 F(x)=f(x)- x3，G(x)= x
20、3-f(x)，则只要证 F()=G ()成立即可 易知 F(x)、G(x) 都满足拉格朗日中值定理的条件，所以对 F(x)在0， 上、G(x)在 ，1分别使用拉格朗日中值定理即 (0， )，使得 F( )-F(0)= F()；( ，1)，使得 G(1)-G( )= G()由 f(0)=0，f(1)= 可得)解析：19.设 ， （分数：11.00）_正确答案：(由题意可知矩阵 C 为 2 阶矩阵，故可设 ，由 AC-CA=B，可得整理后可得方程组由于矩阵 C 存在，故方程组有解，对的增广矩阵进行初等行变换：方程组有解，故 a+1=0，b=0，即 a=-1，b=0当 a=-1，b=0 时，增广矩阵
21、变为x3，x 4为自由变量，令 x3=1，x 4=0，代入相应齐次方程，得 x2=-1，x 1=1令 x3=0，x 4=1，代入相应齐次方程组，得 x2=0，x 1=1故 1=(1，-1，1，0) T， 2=(1，0，0，1) T，令 x3=0，x 4=0，得特解 =(1，0，0，0) T，方程组的通解为 x=k1 1+k2 2+=(k 1+k2+1，-k 1，k 1，k 2)T(k1，k 2为任意常数)，所以 )解析：设 3 阶对称矩阵 A 的特征值 1=1， 2=2， 3=-2，a 1=(1，-1，1) T是 A 的属于 1的一个特征向量，记B=A5-4A3+E，其中 E 为 3 阶单位矩
22、阵（分数：11.00）(1).验证 a1是矩阵 B 的特征向量，并求 B 的全部特征值与特征向量；（分数：5.50）_正确答案：(本题只给出特征值和特征向量，要从矩阵的特征值和特征向量的定义下手，由已知关系式和矩阵的运算得出具体矩阵()由特征值和特征向量的定义：Aa=a即验证 Ba1=a 1由已知得：B=A5-4A3+E，所以Ba1=(A5-4A3+E)a1=A5a1-4A3a1+a1又Aa1=a 1 )解析：(2).求矩阵 B（分数：5.50）_正确答案：(B 1= 1，B 2= 2 2B 3= 3 3得 B(a 1，a 2，a 3)=(-2a1， 2， 3)则 B=(-2a1， 2， 3)(a1，a 2，a 3)-1)解析：
