1、考研数学二-136 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.若 f(x)=-f(-x)，在(0，+)内 f(x)0，f“(x)0，则 f(x)在(-，0)内_（分数：4.00）A.f(x)0，f“(x)0B.f(x)0，f“(x)0C.f(x)0，f“(x)0D.f(x)0，f“(x)02.设 f(x)是连续函数，且 F(x)= （分数：4.00）A.B.C.D.3.已知函数 f(x)在区间(1-，1+)内具有二阶导数，f(x)严格单调减少，且 f(1)=f(1)=1，则_（分数：4.00）A.在(1-，1)和(1，1+)内均有 f(
2、x)xB.在(1-，1)和(1，1+)内均有 f(x)xC.在(1-，1)内，f(x)x；在(1，1+)内，f(x)xD.在(1-，1)内，f(x)z；在(1，1+)内，f(x)x4.设 F(x)是连续函数 f(x)的一个原函数，“M N”表示“M 的充分必要条件是 N”，则必有_（分数：4.00）A.B.C.D.5.设函数 f(z)在 x=0 处连续，下列命题错误的是_（分数：4.00）A.B.C.D.6.设 f(x，y)为连续函数，则 (rcos，sin)rdr 等于_（分数：4.00）A.B.C.D.7.在下列微分方程中，以 y=C1ex+C2cos2x+C3sin2x(C1，C 2，C
3、 3为任意常数)为通解的是_（分数：4.00）A.y“+y“-4y-4y=0B.y“+y“+4y+4y=0C.y“-y“-4y+4y=0D.y“-y“+4y-4y=08.设 f(x)= （分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）填空项 1:_10.曲线 （分数：4.00）填空项 1:_11. （分数：4.00）填空项 1:_12.过点 且满足关系式 yarcsinx+ （分数：4.00）填空项 1:_13.函数 y=x+2cosx 在 （分数：4.00）填空项 1:_14.曲线 y=xin （分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总
4、题数：9，分数：94.00)15.求 （分数：9.00）_16.设 y=f(x+y)，其中 f 具有二阶导数，且其一阶导数不等于 1，求 （分数：9.00）_17.求 （分数：11.00）_18.在椭圆 （分数：11.00）_19.求函数 u=x2+y2+z2在约束条件 z=x2+y2和 x+y+z=4 下的最大值和最小值（分数：10.00）_20.设区域 D=(x，y)|x 2+y21，x0)，计算二重积分（分数：11.00）_21.已知非齐次线性方程组（分数：11.00）_22.已知平面上三条不同直线的方程分别为（分数：11.00）_23.已知 1， 2， 3， 4是线性方程组 Ax=0
5、的一个基础解系若 1= 1+t 2， 2= 2+t 3， 3= 3+t 4， 4= 4+t 1讨论实数 t 满足什么关系时， 1， 2， 3， 4也是 Ax=0 的一个基础解系（分数：11.00）_考研数学二-136 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.若 f(x)=-f(-x)，在(0，+)内 f(x)0，f“(x)0，则 f(x)在(-，0)内_（分数：4.00）A.f(x)0，f“(x)0B.f(x)0，f“(x)0C.f(x)0，f“(x)0 D.f(x)0，f“(x)0解析：考点提示 利用奇函数的导数为偶函数，偶函数的导数
6、为奇函数的结论得正确答案解题分析 由 f(x)=-f(-x)，得f(x)=-f(-x)(-1)=f(-x)，f“(x)=-f“(-x)于是当 x(-，0)时，-x(0，+)，有f(-x)0，f“(-x)0，从而 f(x)=f(-x)0，f“(x)=-f“(-x)0故应选 C评注 本题考查奇、偶函数导数特性一般地，可导奇函数的导数为偶函数，可导偶函数的导数为奇函数2.设 f(x)是连续函数，且 F(x)= （分数：4.00）A. B.C.D.解析：考点提示 利用变限积分求导公式和复合函数的求导方法计算即可解题分析 *=-e-xf(e-x)-f(x)故应选 A评注 1 本题为选择题，因此也可用取特
7、殊值法求解：取 f(x)=1，则 F(x)=e-x-x，于是 F(x)=-e-x-1，代入四个选项中，只有 A 符合要求评注 2 一般变限积分的求导公式为：*3.已知函数 f(x)在区间(1-，1+)内具有二阶导数，f(x)严格单调减少，且 f(1)=f(1)=1，则_（分数：4.00）A.在(1-，1)和(1，1+)内均有 f(x)x B.在(1-，1)和(1，1+)内均有 f(x)xC.在(1-，1)内，f(x)x；在(1，1+)内，f(x)xD.在(1-，1)内，f(x)z；在(1，1+)内，f(x)x解析：考点提示 泰勒展开式解题分析 由题设，f(x)在(1-，1+)内具有二阶导数，且
8、 f(x)严格单调减少，则 f“(x)0，将f(x)在 x=1 点处作泰勒展开，得*其中 在 x 与 1 之间由已知 f(1)=f(1)=1，则*因此 f(x)x选 A4.设 F(x)是连续函数 f(x)的一个原函数，“M N”表示“M 的充分必要条件是 N”，则必有_（分数：4.00）A. B.C.D.解析：考点提示 奇函数、偶函数、原函数解题分析 由题意可知*于是 f(x)为奇函数*df 为偶函数*f(x)的全体原函数为偶函数；f(x)为偶函数*=f(x)为奇函数所以选 A5.设函数 f(z)在 x=0 处连续，下列命题错误的是_（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：考点提示 连续与极
9、限、导数定义解题分析 A，B，C 三个选项都是正确的对于 D 选项，如 f(x)=|x|，满足*=0，但 f(0+)=1，f(0 -)=-1两者不相等，即 f(0)可以不存在，故应选 D6.设 f(x，y)为连续函数，则 (rcos，sin)rdr 等于_（分数：4.00）A.B.C. D.解析：考点提示 二重积分的计算解题分析 用排除法若选择先 y 后 x 的积分顺序则要用分块积分由于选项并未分块积分，故 A，B错误*其中 D 如图所求，其极坐标表示为 0r1，0*现转换为先 x 后 y 的顺序：因为 y=x 与 x2+y2=1 在第一象限的交点为*所以*从而*故选 C7.在下列微分方程中，
10、以 y=C1ex+C2cos2x+C3sin2x(C1，C 2，C 3为任意常数)为通解的是_（分数：4.00）A.y“+y“-4y-4y=0B.y“+y“+4y+4y=0C.y“-y“-4y+4y=0D.y“-y“+4y-4y=0 解析：考点提示 微分方程及其通解解题分析 由微分方程的通解可知，所求微分方程的特征根为 1=1， 2,3=2i，从而特征方程为(-1)(+2i)(-2i)=(-1)( 2+4)= 3- 2+4-4=0，所以所求微分方程为 y“-y“+4y-4y=0故选 D8.设 f(x)= （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：考点提示 连续性、可导性解题分析 题设所给函数
11、f(x)是分段函数，且 f(0)=0，应分别求左、右极限及左、右导数来讨论 x=0 点的连续性与可导性由*知 f(x)在 x=0 处处连续又由*知 f(x)在 x=0 处可导且 f(0)=0，所以选 D二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：考点提示 极限解题分析 求极限通常会有若干种途径，本题可采用以下几种方法：*注：以上依次采用的方法是等价无穷小因子代换、洛必达法则和麦克劳林级数展开10.曲线 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：2x+y-1=0）解析：考点提示 法线方程、参数方程求导解题分析 由题设，先求曲线在点(
12、0，1)处的切线的斜率由已知 x=0，y-1 时，t=0由*知*因此*，此即该点的切线斜率，因而该点法线斜率为-2，从而法线方程为y-1=-2x，即 2x+y-1=011. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：-cotxln(sinx)-cotx-x+C）解析：考点提示 不定积分解题分析 由题设，*12.过点 且满足关系式 yarcsinx+ （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：yarcsinx=x- ）解析：考点提示 一阶微分方程解题分析 由题设，原方程可化为*应用一阶线性非齐次方程通解公式，得*由已知曲线过点*，则当 x=*时，y=0代入上式，得 C=-*所以曲线方程为
13、*即 yarcsinx=x-*13.函数 y=x+2cosx 在 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：考点提示 函数的最值解题分析 先求出*内的驻点，再将驻点的函数值与端点的函数值比较即可得最值因为 y=1-2sinx，令 y=0，得*内的驻点 x=*又*可见最大值为 y=*14.曲线 y=xin （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：y=x+ ）解析：考点提示 渐近线解题分析 通常渐近线有水平渐近线、铅直渐近线和斜渐近线三种由题设，*，因此无水平渐近线又由*因此也无铅直渐近线关于斜渐近线，设*因此有斜渐近线为 y=x+*三、解答题(总题数：9，分数：94.00)1
14、5.求 （分数：9.00）_正确答案：( )解析：考点提示 用等价无穷小、洛必达法则16.设 y=f(x+y)，其中 f 具有二阶导数，且其一阶导数不等于 1，求 （分数：9.00）_正确答案：(等式两边同时对 x 求导，得y=f(x+y)(1+y)，于是再对 x 求导，得)解析：考点提示 隐函数、复合函数求导数评注 此题考查隐函数和复合函数的求导法，特别注意(f)和 f“(1+y)17.求 （分数：11.00）_正确答案：(三角函数有理式的积分通常用三角恒等式变换和凑微分法详解 1详解 2详解 3详解 4用万能代换：令 t=tan ，则 sinx= ，x=2arctant，dx= dt于是)
15、解析：考点提示 三角函数有理式的积分评注 三角函数有理式的积分方法比较灵活，尽量用最简单的方法(如凑微分法)进行计算18.在椭圆 （分数：11.00）_正确答案：(先求出切线及与坐标轴的交点，所围图形的面积是动点(x 0，y 0)的函数，再由此确定 x0，y 0设 P(x0，y 0)为所求点，则此点处椭圆的切线方程为令 x=0，得该切线在 y 轴上的截距为令 y=0，得该切线在 x 轴上的截距为于是所围图形的面积为设 S1=x0y0= ，因为 S1的极大值点即 S 的极小值点，为计算方便，将求 S 的极小值点改求 S1的极大值点今 S1=0解得在(0，a)内的唯一驻点 x0=由 S1在点 x0
16、= 处的左侧为正，右侧为负，知 x0= 为 S1的极大值点，即 S 的极小值点所以当x0= 时，S 为最小此时 y0= ，即 P )解析：考点提示 函数极值的综合题19.求函数 u=x2+y2+z2在约束条件 z=x2+y2和 x+y+z=4 下的最大值和最小值（分数：10.00）_正确答案：(令 F(x，y，z)=x 2+y2+z2+ 1(x2+y2-z)+ 2(x+y+z-4)，分别对各参数求导并令其为 0得到如下方程组解得 或 )解析：考点提示 多元函数的最值20.设区域 D=(x，y)|x 2+y21，x0)，计算二重积分（分数：11.00）_正确答案：(依题意，如图所示，D 为右半单
17、位圆，且关于 x 轴对称，因为所以令 x=rcos，y=rsin，作极坐标变换则有 D1：0 ，0r1，从而)解析：考点提示 二重积分的计算21.已知非齐次线性方程组（分数：11.00）_正确答案：(1) 用线性相关性判断秩的方法依题意，设 1， 2， 3是非齐次方程组的 3 个线性无关的解，则 1- 2， 1- 3是 Ax=0 线性无关的解所以n-r(A)2，即 r(A)2又矩阵 A 中有二阶子式不为 0，于是 r(A)2，所以秩 r(A)=2(2) 对增广矩阵作初等行变换，有由 r(A)=r =2(已证) )解析：考点提示 向量组的线性相关性、增广矩阵、线性方程组的通解22.已知平面上三条
18、不同直线的方程分别为（分数：11.00）_正确答案：(由题设，三条直线交于一点等价于线性非齐次方程组有唯一解下面先证必要性，设系数矩阵为 A，增广矩阵为 B，则方程组有唯一解，则 r(A)=r(B)=2，因而|B|=0，即=3(a+b+c)r(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0由已知 3 条直线不相同，从而(a-b)2+(b-c)2+(c-a)20，因此 a+b+c=0至此，必要性得证再证充分性，由于 a+b+c=0，则|B|=0，因此，r(B)2又因为)解析：考点提示 线性非齐次代数方程组注 本题的另外一种证法是：(1) 必要性：设三条直线交于一点(x 0，y 0)，则*是 Ax=0
19、 的非零解，其中*因此|A|=0，即|A|=-3(a+b+c)(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2由于(a-b) 2+(b-c)2+(c-a)20，知 a+b+c=0(2) 充分性：由方程组*的三个方程相加，并结合 a+b+c=0，知上述方程等价于以下方程组*由于*=a2+2ab+b2+a2+b2=-(a+b)2+a2+b20因此原方程组解唯一，从而三条直线交于一点23.已知 1， 2， 3， 4是线性方程组 Ax=0 的一个基础解系若 1= 1+t 2， 2= 2+t 3， 3= 3+t 4， 4= 4+t 1讨论实数 t 满足什么关系时， 1， 2， 3， 4也是 Ax=0 的一个基础
20、解系（分数：11.00）_正确答案：(本题考查一个向量组成其为一个线性方程组的基础解系的充分必要条件，即该向量组的所有向量线性无关，且都是原方程组的解；同时该向量组中向量的个数等于原方程组的解空间的维数由题设， 1， 2， 3， 4是 Ax=0 的基础解系，则 Ax=0 的解空间维数是 4，又 1， 2， 3， 4都是 1， 2， 3， 4的线性组合，所以 1， 2， 3， 4都是 Ax=0 的解至此只需讨论 1， 2， 3， 4是否线性无关即可设 k 1 1+k2 2+k3 3+k4 4=0 将题设中 i的表达式代入式，并化简得(k1+tk4) 1+(k2+tk1) 2+(k3+tk2) 3+(k4+tk3) 4=0已知 1， 2， 3， 4线性无关，因此有记方程组的系数行列式为|B|，则)解析：考点提示 基础解系注 在分析 1， 2， 3， 4是否线性无关时，也可利用 1， 2， 3， 4与 1， 2， 3， 4之间的关系：*直接得出 1， 2， 3， 4线性无关的充要条件是*
