1、考研数学三（概率论与数理统计）-试卷 12及答案解析(总分：70.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：12，分数：24.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设随机变量 X在0，1上服从均匀分布，记事件 （分数：2.00）A.A与 B互不相容B.B包含 AC.A与 B对立D.A与 B相互独立3.设随机变量 x的密度函数为 f(x)= （分数：2.00）A.与 a无关随 的增大而增大B.与 a无关随 的增大而减小C.与 无关随 a的增大而增大D.与 无关随 a的增大而减小4.设随机变量 X一 N(0，1)，其分布函数为 (X)，则
2、随机变量 Y=minX，0的分布函数为 F(y)=( )（分数：2.00）A.B.C.D.5.设随机变量 X的分布函数为 F(x)，其密度函数为 其中 A为常数，则 的值为( ) （分数：2.00）A.B.C.D.6.连续型随机变量 X的分布函数 F(x)= 则其中的常数 a和 b为( ) （分数：2.00）A.B.C.D.7.设随机变量 X的概率密度为 f(x)= （分数：2.00）A.e 2 B.一 e -2 C.e -1 D.1一 e -1 8.假设 F(x)是随机变量 X的分布函数，则下列结论不正确的是( )（分数：2.00）A.如果 F(a)=0，则对任意 xa 有 F(x)=0B.
3、如果 F(a)=1，则对任意 xa 有 F(x)=1C.D.9.假设 X为随机变量，则对任意实数 a，概率 PX=a=0的充分必要条件是( )（分数：2.00）A.X是离散型随机变量B.X不是离散型随机变量C.X的分布函数是连续函数D.X的概率密度是连续函数10.假设 X是只可能取两个值的离散型随机变量，Y 是连续型随机变量，则随机变量 X+Y的分布函数( )（分数：2.00）A.是连续函数B.是阶梯函数C.恰有一个间断点D.至少有两个间断点11.假设随机变量 X服从指数分布，则随机变量 Y=minX，2的分布函数( )（分数：2.00）A.是连续函数B.至少有两个间断点C.是阶梯函数D.恰好
4、有一个间断点12.设 f(x)是连续型随机变量 X的概率密度，则 f(x)一定是( )（分数：2.00）A.可积函数B.单调函数C.连续函数D.可导函数二、填空题(总题数：15，分数：30.00)13.袋中有 8个球，其中 3个白球、5 个黑球，现随意从中取出 4个球，如果 4个球中有 2个白球、2 个黑球，试验停止否则将 4个球放回袋中，重新抽取 4个球，直到出现 2个白球、2 个黑球为止用 X表示抽取次数，则 P(X=k)= 1(k=1，2，)（分数：2.00）填空项 1:_14.假设 X服从参数 的指数分布，对 X作三次独立重复观察，至少有一次观测值大于 2的概率为（分数：2.00）填空
5、项 1:_15.已知 X的概率密度 （分数：2.00）填空项 1:_16.设随机变量 X服从(0，2)上的均匀分布，则随机变量 Y=X 2 在(0，4)内的概率分布密度 f Y (y)= 1。（分数：2.00）填空项 1:_17.设随机变量 X的概率分布 P(X=k)= ，k=1，2，其中 a为常数，X 的分布函数为 F(x)，已知F(b)= （分数：2.00）填空项 1:_18.设 X是服从参数为 2的指数分布的随机变量，则随机变量 （分数：2.00）填空项 1:_19.已知随机变量 X服从参数为 的指数分布， 则 PX+Y=0= 1； （分数：2.00）填空项 1:_20.已知随机变量 X
6、的概率分布为 PX=k= (k=1，2，3)，当 X=k时随机变量 Y在(0，k)上服从均匀分布，即 （分数：2.00）填空项 1:_21.设随机变量 X的密度函数 f(x)= (00b)，且 EX 2 =2，则 （分数：2.00）填空项 1:_22.设随机变量 X服从参数为 1的指数分布，随机变量函数 Y=1e -x 的分布函数为 F Y (y)，则 （分数：2.00）填空项 1:_23.设随机变量 X服从正态分布 N(， 2 )，已知 PX2=0062，PX9 =0025，则概率P|X|4= 1(154) =0938，(196) =0975)（分数：2.00）填空项 1:_24.随机变量
7、X在 （分数：2.00）填空项 1:_25.已知随机变量 Y服从0，5上的均匀分布，则关于 x的一元二次方程 4x 2 +4Yx+Y+2=0有实根的概率p= 1（分数：2.00）填空项 1:_26.设 X服从参数为 的泊松分布，PX=1=PX=2，则概率 P0X 2 3= 1.（分数：2.00）填空项 1:_27.设随机变量 X服从指数分布，EX=5，令 Y=minX，2，则随机变量 Y的分布函数 F(y)= 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：8，分数：16.00)28.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_29.设随机变量 X的概率密度为 （分
8、数：2.00）_30.从学校乘汽车到火车站的途中有 3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是 （分数：2.00）_31.随机变量 X在 （分数：2.00）_32.已知连续型随机变量 X的概率密度 f(x)为 （分数：2.00）_33.设有四个编号分别为 1，2，3，4 的盒子和三只球，现将每个球随机地放人四个盒子，记 X为至少有一只球的盒子的最小号码(I)求 X的分布律；()若当 X=k时，随机变量 Y在0，k上服从均匀分布，k=1，2，3，4，求 PY2（分数：2.00）_34.设离散型随机变量 X服从参数 p(0p1)的 0一 1分布(I)求 X的分布函数 F(
9、x)；()令 Y=F(X)，求 Y的分布律及分布函数 G(y)（分数：2.00）_35.已知随机变量 X的概率密度 （分数：2.00）_考研数学三（概率论与数理统计）-试卷 12答案解析(总分：70.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：12，分数：24.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设随机变量 X在0，1上服从均匀分布，记事件 （分数：2.00）A.A与 B互不相容B.B包含 AC.A与 B对立D.A与 B相互独立 解析：解析：由图 21可立即得到正确选项为 D，事实上，根据题设可知3.设随机变量 x的密度函数为
10、f(x)= （分数：2.00）A.与 a无关随 的增大而增大B.与 a无关随 的增大而减小C.与 无关随 a的增大而增大 D.与 无关随 a的增大而减小解析：解析：概率 PX+a(a0)，显然与 a有关，固定 随 a的增大而增大，因而选 C事实上，由于 1= - + f(x)dx=A + e -x dx=Ae - ;A=e ，概率 PX+a=A A +a e -x dx=e (e 一 e -a )=1一 e -a ，与 无关随 a的增大而增大，故选项 C正确4.设随机变量 X一 N(0，1)，其分布函数为 (X)，则随机变量 Y=minX，0的分布函数为 F(y)=( )（分数：2.00）A.
11、B. C.D.解析：解析：F(y)=PYY=Pmin(X，0)Y=1 一 Pmin(X，0)Y=1PXy，0y 当 y0 时，PXy，0y=PXY，F(y)=1 一 PXy=PXy=(y) 当 y0 时，PXY，0y=0，F(y)=1，故选项 B正确5.设随机变量 X的分布函数为 F(x)，其密度函数为 其中 A为常数，则 的值为( ) （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：6.连续型随机变量 X的分布函数 F(x)= 则其中的常数 a和 b为( ) （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析： F(x)为连续型 X的分布，故 F(x)必连续，那么 F(x)在 x=0连续所以7.
12、设随机变量 X的概率密度为 f(x)= （分数：2.00）A.e 2 B.一 e -2 C.e -1 D.1一 e -1 解析：解析：PX2 | X1=1PX2 | X1=1 一 PX2 | X1 =PX1=1 一 e -1 ， 故选项D正确8.假设 F(x)是随机变量 X的分布函数，则下列结论不正确的是( )（分数：2.00）A.如果 F(a)=0，则对任意 xa 有 F(x)=0B.如果 F(a)=1，则对任意 xa 有 F(x)=1C.D. 解析：解析：由于 F(x)是单调不减且 0F(x)1，F(x)=PXx，因此选项 A、B、C 都成立，而选项 D未必成立，因此选 D9.假设 X为随
13、机变量，则对任意实数 a，概率 PX=a=0的充分必要条件是( )（分数：2.00）A.X是离散型随机变量B.X不是离散型随机变量C.X的分布函数是连续函数 D.X的概率密度是连续函数解析：解析：对任意实数 有 PX=a=0是连续型随机变量的必要条件但非充分条件，因此选项 B、D 不能选，又离散型随机变量必有 a使 PX=a0，选项 A不能选，故正确选项是 C事实上，PX=a=0F(a)一 F(a一 0)=0 对任意实数 a，F(a)=F(a 一 0)10.假设 X是只可能取两个值的离散型随机变量，Y 是连续型随机变量，则随机变量 X+Y的分布函数( )（分数：2.00）A.是连续函数 B.是
14、阶梯函数C.恰有一个间断点D.至少有两个间断点解析：解析：对任意实数 t，根据全概率公式及概率性质得 0PX+Y=t=PX+Y=t，X=a+P|X+Y=t，X=b =PY=t一 a，X=a+PY=t 一 b，X=b PY=t 一 a+PY=t一 b=0， (因为 P(AB)P(A)，又 Y是连续型随机变量，所以对任意实数 c，有 PY=c=0)故对任意实数 t，PX+Y=t=011.假设随机变量 X服从指数分布，则随机变量 Y=minX，2的分布函数( )（分数：2.00）A.是连续函数B.至少有两个间断点C.是阶梯函数D.恰好有一个间断点 解析：解析：由于 Y=minX，2= 所以 Y的分布
15、函数为 12.设 f(x)是连续型随机变量 X的概率密度，则 f(x)一定是( )（分数：2.00）A.可积函数 B.单调函数C.连续函数D.可导函数解析：解析：根据概率密度的定义，f(x)满足对任何实数 x，F(x)=PXx= - t f(t)dt，因此 f(x)一定是可积函数，但是 f(x)可以是分段函数，比如，a，b上的均匀分布随机变量 X属连续型，而其概率密度 f(x)在(一，+)内不是单调函数，且在 x=a，b 两点不连续，当然亦不可导，因此不能选B、C、D，选项 A正确二、填空题(总题数：15，分数：30.00)13.袋中有 8个球，其中 3个白球、5 个黑球，现随意从中取出 4个
16、球，如果 4个球中有 2个白球、2 个黑球，试验停止否则将 4个球放回袋中，重新抽取 4个球，直到出现 2个白球、2 个黑球为止用 X表示抽取次数，则 P(X=k)= 1(k=1，2，)（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：若设事件 A i =“第 i次取出 4个球为 2个白球、2 个黑球”，由于是有放回取球，因此 A i 相互独立，根据超几何分布知 P(A i )= 所以 14.假设 X服从参数 的指数分布，对 X作三次独立重复观察，至少有一次观测值大于 2的概率为（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：根据独立试验序列概型，
17、可求得结果事实上，已知 记 A=x2，Y 为对 X作三次独立重复观察事件 A发生的次数，则 YB(3，p)，其中 p=P(X2)= 2 + e -x dx=e -2 ，依题意P(Y1)=1 一 P(Y=0)=1一(1 一 p) 3 = 15.已知 X的概率密度 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：16.设随机变量 X服从(0，2)上的均匀分布，则随机变量 Y=X 2 在(0，4)内的概率分布密度 f Y (y)= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：首先求出在(0，4)上 Y的分布函数 F Y (y)当 0y4 时，有
18、 17.设随机变量 X的概率分布 P(X=k)= ，k=1，2，其中 a为常数，X 的分布函数为 F(x)，已知F(b)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：3b4）解析：解析：首先确定 a，由 解得 a=118.设 X是服从参数为 2的指数分布的随机变量，则随机变量 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：19.已知随机变量 X服从参数为 的指数分布， 则 PX+Y=0= 1； （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析： PX+Y=0=PY=一 X =P|X|1=PX1+PX一 1= 1 e -x dx=e
19、- 根据全概率公式，可得 20.已知随机变量 X的概率分布为 PX=k= (k=1，2，3)，当 X=k时随机变量 Y在(0，k)上服从均匀分布，即 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：21.设随机变量 X的密度函数 f(x)= (00b)，且 EX 2 =2，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：22.设随机变量 X服从参数为 1的指数分布，随机变量函数 Y=1e -x 的分布函数为 F Y (y)，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：23.设随机变量 X服从正态分布 N(， 2
20、 )，已知 PX2=0062，PX9 =0025，则概率P|X|4= 1(154) =0938，(196) =0975)（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：02946）解析：解析：要计算正态分布随机变量在某范围内取值的概率，首先必须求出分布参数 与 ,根据题意有 由题意已知，可得 于是 P|X|4=P一 4X424.随机变量 X在 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：首先求出 Y的分布函数 F Y (y)由于 X在 上服从均匀分布，因此 X的概率密度函数f X (x)与分布函数 F X (x)分别为 F Y (y)=PYy=PsinXy
21、当一 1y1 时，F Y (y)=PXarcsiny=F X (arcsiny)= 当 y一 1时，F Y (y)=0； 当 y1 时，F Y (y)=1 因此 Y的概率密度函数 f Y (y)为 25.已知随机变量 Y服从0，5上的均匀分布，则关于 x的一元二次方程 4x 2 +4Yx+Y+2=0有实根的概率p= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：已知 Y一 f(x)= 所以所求的概率为 p=P方程有实根=P0=P16Y 2 16(Y+2)0 =P16(Y 一 2)(Y+1)0 =P(Y2)(Y一 1) =PY2+PY一 1 = 26.设 X服从参数为
22、 的泊松分布，PX=1=PX=2，则概率 P0X 2 3= 1.（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2e -2）解析：解析：已知 PX=k= (k=0，1，)，由于 PX=1=PX=2，即 27.设随机变量 X服从指数分布，EX=5，令 Y=minX，2，则随机变量 Y的分布函数 F(y)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：当 X2 时，Y=X2；当 X2 时，Y=2因此随机变量 Y的取值为 0Y2，则 P0Y2=1，由于 X服从参数 的指数分布，因此当 x0 时，PXx= 当 0y2 时，PYy=Pmin(X，2)y=PXy= 于
23、是，Y 的分布函数为 F(y)=三、解答题(总题数：8，分数：16.00)28.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：29.设随机变量 X的概率密度为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据分布函数的定义，有 f Y (Y)=PYy=P(e X y)= 于是当 y1 的时候，满足 f Y (y)=Pxlny|= 0 lny e -x dx 因此所求概率密度函数为 )解析：30.从学校乘汽车到火车站的途中有 3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据题意 X服从二项分布 ，因此 X
24、的分布律为 因此，X 的分布函数为X的数学期望是 E(X)= )解析：31.随机变量 X在 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据用分布函数法先求 Y的分布函数 F Y (y)由于 X在 上服从均匀分布，因此 X的概率密度 f X (x)与分布函数 F x (X)分别为 F Y (y)=PYy=PsinXy 当一1x1 时， 当 y一 1时，F Y (y)=0；当 y1 时，F Y (y)=1 因此 Y的概率密度为 f Y (y)为 )解析：32.已知连续型随机变量 X的概率密度 f(x)为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：33.设有四个编号分别为 1，2，3，4
25、的盒子和三只球，现将每个球随机地放人四个盒子，记 X为至少有一只球的盒子的最小号码(I)求 X的分布律；()若当 X=k时，随机变量 Y在0，k上服从均匀分布，k=1，2，3，4，求 PY2（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(I)随机变量 X可能取值为 1，2，3，4，设事件 A i 表示第 i个盒子是空的(k=1，2，3，4)，则 于是 X的分布律为 ()由于当 X=k时，随机变量 Y在0，k上服从均匀分布，故 PY2| X=1=PY2 | X=2=1，PY2 | X=3= 由全概率公式即得 )解析：34.设离散型随机变量 X服从参数 p(0p1)的 0一 1分布(I)求 X的分布函数 F(x)；()令 Y=F(X)，求 Y的分布律及分布函数 G(y)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： PY=0=PX0=0， PY=1 一 p=P0X1=PX=0=1 一 p， PY=1=PX1=PX=1=P， 于是 Y的分布律与分布函数分别为 )解析：35.已知随机变量 X的概率密度 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：直接根据 F(x)=PXx，F Y (y)=PF(X)y求解 ()令 Y=F(X)，则由0F(x)1 及 F(x)为 x的单调不减连续函数知(如图 26所示)，当 y0 时 F Y (y)=0；当 y1 时，F Y (y)=1；当 0y 时， )解析：
